人教版高中數(shù)學【選修4-5】[知識點整理及重點題型梳理]_不得關系與不等式_提高

1、人教版高中數(shù)學選修4-5知識點梳理重點題型常考知識點穩(wěn)固練習【穩(wěn)固練習】不得關系與不等式【學習目標】i.在復習不等式性質(zhì)的根底上,介紹了含有絕對值的不等式及其解法,平均值不等式及簡單應用、 證實不等式的一些根本方法,以及不等式在實際生活中的應用2.特別強調(diào)了不等式及證實的幾何意義和背景,以加深學生對不等式的數(shù)學本質(zhì)的理解、提升學生的邏輯思維水平和分析解決問題的水平.【要點梳理】要點一：不等式的性質(zhì)性質(zhì)1對稱性：abubb,bcnac;性質(zhì)3加法法那么同向不等式可加性：abua+cb+ccwR;推論：ab,cd=acbd.,c-0=acbc,性質(zhì)4乘法法那么：假設ab,那么c=0=ac=bc,c

2、:0=ac:bc.推論1:ab0,od0=aobd；推論2：ab0(nNN N*Ha2b20；推理3：ab0nN N*二anbn0；推理4：ab0(nNN近n1knJaVb要點二：含有絕對值的不等式絕對值的幾何意義設a是一個實數(shù),在數(shù)軸上|a|表示實數(shù)a對應的點與原點的距離;|x-a|表示實數(shù)x對應的點與實數(shù)a對應的點之間的距離.關于絕對值的幾個結論定理對任意實數(shù)a和b,有,可以把a、b、a+b看作是三角形三邊,很象三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,這樣理解便于記憶,此定理在后面學習復數(shù)時,可以推廣到比擬復數(shù)的模長,并有其幾何意義,有時也稱其為式.(2)絕對值不等式|a+b|ai+

3、|b|或|a-b|ac|+|cb|,從左到右是一個不等式放大過程,證實不等式可以直接使用,也可通過適當?shù)奶?、拆項證實不等式,還可利用它消去變量求最值.絕對值不等式的解法含絕對值白不等式|x|a的解集f(xjc(c0)和f(xJ0)型不等式的解法1 .先去絕對值符號,化為不等式組：f(xjc(c0)?f(x戶c或f(x產(chǎn)c；f(x)Mc(c0)?-cf(x)Ec.2.解關于x的不等式.不等式f(x)Wg(x)的解法1.將不等式兩邊平方,去絕對值：1f(x才之g(x注；推論i.a-ba+b2.a-b0a=0a0|x|a的解集-axa的解集xa或x-akwR|x0Ra+b+c|a+b+|c.要點詮釋

4、：(i)關于定理a-bab2ab(當且僅a=b時,取“力)定理2對任意兩個正數(shù)a,b,有a-bVab(當且僅a=b時,取“=#)對任意三個正數(shù)a,b,c,有a3+b3+c323abc(當且僅a=b=c時,取力)對任意三個正數(shù)a,b,c,有a a+ +b b+ +c c之癡c(當且僅a=b=c時,取號)3推廣對于n個正數(shù)a,比,|ann之2,有-n儂22川an當且僅當a1二a2=111=an時取=n述為n個正數(shù)的算術平均值不小于它們的幾何平均值要點四：不等式的證實不等式的性質(zhì)和根本不等式是證實不等式的理論依據(jù).但是由于不等式的形式多樣,因此不等式的證實方法也很多比擬法有兩種：1.求差比擬法：任意

5、兩個代數(shù)式 a、b,可以作差a-b后比擬a-b與0的關系,進一步比擬 a 與b的大小.1 ab0=ab；2 a-b：0=a:b；3 a-b=0=a=b.2.求商比擬法：任意兩個值為正的代數(shù)式 a、b,可以作商a+b后比擬旦與1的關系,進一步比擬 a 與b的大小.ba1一1uab；b.a2一：1：-a:二b；b3a=1=a=b.b要點詮釋：1比擬法通常是進行因式分解或進行配方,利用非負數(shù)的性質(zhì)來進行判斷.2假設代數(shù)式 a、b均為負數(shù),也可以用求商比擬法.綜合法和分析法綜合法和分析法是直接證實的兩種常用的思維方法1.綜合法其中,ai.a2HI.anna1a2川an叫作這n個正數(shù)的算術平均值和幾何平

6、均值,因此這個結論也可以闡一般地,從命題的條件出發(fā),利用定義、公理、定理及運算法那么,經(jīng)過演繹推理,一步步地接近要證實的結論,直到完成命題的證實,我們把這種思維方法叫做綜合法.2.分析法一般地,從需要證實的命題出發(fā),分析使這個命題成立的充分條件,逐步尋找使命題成立的充分條件,直至所尋求的充分條件顯然成立條件、定理、定義、公理等,或由證實成立,從而確定所證的命題成立的一種證實方法,叫做分析法.要點詮釋：綜合法的根本思路：執(zhí)因索果；分析法的根本思路：執(zhí)果索因.它們是思維方向互逆的兩種推理方法放縮法通過縮小或放大分式的分母或分子,或通過放大或縮小被減式或減式來證實不等式,這種證明不等式的方法稱為放縮

7、法.要點詮釋：放縮法的要求較高,要想用好它,必須有目標,目標可以從要證的結論中去尋找.幾何法通過構造幾何圖形,利用幾何圖形的性質(zhì)來證實不等式的方法稱為幾何法反證法反證法是間接證實的一種根本方法.一般地,首先假設要證實的命題結論不正確,即結論的反面成立,然后利用公理,的定義、定理,命題的條件逐步分析,得到和命題的條件或公理、定理、定義及明顯成立的事實等矛盾的結論,以此說明假設的結論不成立,從而證實了原命題成立,這樣的證實方法叫做反證法.反證法的根本思路：假設一一矛盾一一肯定要點五：不等式的應用不等式的應用十分廣泛,不僅可以解決一些數(shù)學問題,而且也可以解決其他學科中以及生產(chǎn)生活中的一些問題.在應用

8、時一般按以下步驟進行：先理解題意,設變量,設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；建立相應的函數(shù)關系式,把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最大或最小值；寫出正確答案.【典型例題】類型一：絕對值不等式例1.解以下關于 x 的不等式：(1)|2x+3|1;(2)|3x4|x1;(3)|x-4|-|2x+5|1.【思路點撥】去絕對值,轉化為解一元一次不等式(組)的形式【解析】(1)由原不等式可得2x+31,x-1,原不等式的解集為x|x1.(2)當x-10,即x1時,有：x-10一一,53.原不等式的解集為x|5；x.,42(3)原不等式可化為:綜上所述,原不等

9、式的解集為x|x2.3【總結升華】解含有絕對值的不等式的關鍵在于去掉絕對值符號,處理的方法通常是利用絕對值的定義與幾何意義或平方等方法.對含多個絕對值符號的不等式一般利用零點分段法,分類討論.如此題(3)中,分別令x-4=0,5.55一,一2x+5=0,得兩個手點x1=4,x2=-.故分x4二種情況.222舉一反三：【變式1】U=R,A=&兇,B=x|x2|1,.A=x|x由|x2|1得1x21,即1x3,.B=x|1x3.借助數(shù)軸得：(0A)Tl(CUB)=x|-1xx+1.【答案】原不等式可化為下面不等式組來解53解得一二x一,42-(x-1):3x-4:二x-1rx當2一(x4)

10、+解不等式組得:解不等式組得:解不等式組得:2x5二1x-8.245_x4,或.、一一(x4)2x5：11,CUA=x|-1x0八2x1x12不等式組的解為x0；不等式組的解集為x-232原不等式白斛集為x|x0.3【變式3】解不等式|x|下.1x1xx【答案】由題意得0,即x(x+1)0,解得1x0,1x原不等式的解集為xI1x3 的解集；(2)假設 f(x)x4|的解集包含1,2,求a的取值范圍.【思路點撥】此題第(1)問較簡單,一般用零點劃分法就可以轉化,第(2)問容易犯直接求解 f(x)x4|的解集的錯誤,應該是利用1,2是其解集而將絕對值先去掉再轉化為1,2J-2-a,2-a這一問題

11、,注意不要弄反._|_-2x5,x12,I【解析】(1)當 a=3 時,f(x1,2x3.當x猖一2x+53,解得xl;當 2Vx3 無解；當x3時,由 f(x)3得 2x53,解得x4所以 f(x)4 的解集為x|x4.(5 分)(2)f(x)x+a|u4-x-(2-x)x+a|u-2-ax2-a.由條件得一 2a2,即一 3a0.故滿足條件的a的取值范圍為3,0.(10 分)【總結升華】等價轉化思想在數(shù)學中是一重要的數(shù)學思想方法之一,應用其思想的關鍵是強調(diào)等價兩字,轉化的目的是使問題簡單化.舉一反三：【變式1】假設存在實數(shù)x使|xa|+|x1|W 成立,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】由絕對值

12、不等式的幾何意義可知,數(shù)軸上點x到a點與1點的距離的和小于等于3.由圖可得一 2m對一切實數(shù)x恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.【答案】|x2|+|x+3|表示數(shù)軸上任意一點x對應的點到2與-3對應的點的距離之和,易知|x2|+|x+3 戶 5,所以,m5.【變式3】(2021中山市模擬)函數(shù)f(x)=|x-a|.(1)假設f(x)wm的解集為x|-1x5,求實數(shù)a,m的值；(2)當a=2且0Wtf(x+2)【解析】(1)由于f(x)m,所以|x-a|m,即a-mxwa+m,l2x10或-(2x1)x1由于f(x)m的解集為x|-1xf(x+2)等價于|x-2|+t引x|,當x2時,x-2+tx,即

13、t2與條件0Wt2矛盾,t2當0Wxx,即0 x成立2當xx,即t-2恒成立.綜上不等式白解集為i-g,r2l.2例 1 13.3.0,|x-a|5,|yb|匕求證：|2x3y-2a-3b|二5.【思路點撥】利用絕對值的兩個性質(zhì)給予證實【證實】由于|x-at,y-b&?所以2x+3y-2a-3b二(2x-2a3y-3b=2x-a3y-b|2(x-aJ+3(y-b)?=2x-a+3y-b23=5.所以|2x3y-2a-3b|二5.【總結升華】 絕對值不等式|a+b|a|+|b|從左到右是一個不等式放大過程,從右到左是縮小過程,證實不等式可以直接使用,也可通過適當?shù)奶?、拆項證實不等式,還可

14、利用它消去變量求最值.舉一反三：【變式】函數(shù) f(x)=Ji+x2,設 a,bR,且 a#b,求證：|f(a)-f(b,|a-b|.【證實】由于|fafb|=|.1a2-.1b2|2J(1=a2)(1=b2)|.1a211b2|a2-b21：|a|b|(ab)(a-b)|一|ab|=|a-b|,所以原不等式成立.類型二：平均值不等式42例4.右0 x,求f(x)=x(4-3x)的最大值3【思路點撥】適當拼湊,利用平均值不等式的定理求函數(shù)的最值【解析】f(x)=x2(4-3x)=3x|_3-xL(4-3x)4,一43一由于0 x,所以x和43x都是正數(shù),所以32當且僅當3x=4-3x,即x=8時

15、取等號.29所以,f(x)的最大值為256.243【總結升華】(1)當假設干正數(shù)的積為定植時,可以求它們的和的最小值,當假設干正數(shù)的和為定植時,可以求它們的積的最小值,正所謂積定和最小,和定積最大(2)求最值的條件-正,二定,三取等.舉一反三：5【變式1x0,4y=4x-2-=一5-4x-3-23=1.4x-55-4x一,1當且僅當54x=,即x=1時,上式等號成立,故當x=1時,ymax=1.5-4x19【變式2x0,y0,且一+=1,求x+y的最小值.xy【答案】16.19,；x0,y0,-+-=1,xy,19)y9x,x+y=(x+y)+=2+10之6+10=16_xyJxyc、4-3x

16、)一9?x+：x+(4-3x)34256-=9243因4x50,b0,c0,且abc=1.(I)證實：(1+a)(1+b)(1+c)8;(口)證實：v;+Vb+v2Val+b2 五,l+c2 灰,相乘即可證實結論.(n)禾1J用二1ab+bc+ajab+bc2dab2c 二 ab+ae2 爪 2b 燈二2向,人+水2丁二 2 代,3PC相加證實即可.【證實】(I)l+a2心,l+b2 五,l+c2F,相乘得：(1+a)(1+b)(1+c)8abc=8當且僅當a=b=c=1時等號成立實數(shù)a,b,c滿足a0,b0,c0,且abc=1.(1+a)(1+b)(1+c)8(n)工 W+ab+bc+ac,

17、abcab+bc2Vab2c=2Vb,ab+ac2v1.a2bbc+ac2VabC2=2A/C,相加得：-.I_3bc【總結升華】運用根本不等式時,要保證：正、二定、三相等,此題是根底題舉一反三：【變式1】(2021贛州一模)設a、b為正實數(shù),且-+-=2/2.ab(1)求a2+b2的最小值;(2)假設(a-b)24(ab)3,求ab的值.【解析】(1);a、b為正實數(shù),且-+-=2/2.b為正實數(shù),且工+2=2&3abVab即ab?a=b時等號成立a2+b22ab=X=1(a=b時等號成立)2,a2+b2的最小值為1,一.、23(2)(a-b)4(ab),(a-b)2o(a=b時等號

18、成立).即4(ab)3Qab0,b0,2ca+b,用分析法證實：c-&2abac+7cab.【證實】要證c-.cab:a：ccab,只要證一Jc2-aba-cJc2-ab,即證|a-c|0,也就是證ab：2c,由條件可知,顯然成立故c-cab二a：c.cab.【總結升華】分析法是由果索因,在用分析法證實問題時,一定要恰當運用要證、只要證“、即證“、也即證等用語.舉一反三：一a、a=b時等號成立【變式2】設a、b、c三數(shù)成等比數(shù)列,而x、y分別為a、b和b、c的等差中項.【證實】依題意,a、b、c三數(shù)成等比數(shù)列,即由比例性質(zhì)有又由題設,y二所以ac2a2c十=十2b上2c2(b+d=J=

19、bcbcbc=2.【變式】函數(shù)f(x)=tanx,xw(0,一).升二一 i 一.1_一,x1x9x假設x1,x2W(0,),且xi*乂2,用分析法證實：一f(x1)+f(x2XAf(二一-).【證實】要證f(x1)+f(x2XAf(x xi；x2x2) )即證實1(tanx1tanx2)tanx-x2221 ,sinx1sinx2、x1x2只需證實一(1-).tan-22 c0sxicosx22只需證實sin(Xi+X2)sin(xi+X2),2cosx1cosx21cos(xx2)由于X,x2u(0,),故xi+x2u(0,n),所以c0sxicosx20,sinxx2i0,1cos(x1

20、x2)0.故只需證實1cosx1x2j大2c0sxicosx2,即證1cosx1cosxsinx1sinx22cosx1cosx2.即證cos(x1x2)：1,由于X,x2u(0,-),且x1豐x2,所以上式成立.所以1f(X)+f(x2工f(x x1).22例7.用比擬法證實：(1)a5+b5a2b3+a3b2,(ab且 b)(2)a2ab2bA(ab廣(ab0).【思路點撥】(1)用求差比擬法,(1)用求商比擬法.【證實】5,52,33,2、(1)(ab)-(abab)c11c10:二一：二一,0:二一：a2111十一0,-a+b0,a+ab+b0,一,、2一又a#b,(a-b)0,.(a

21、b)(a-b)2(a2abb2)0,.52ba332b3+a3b2,得證.(2)2al2baba：;babab0,1,a-b0,ba 也又ab0,ab0,a2ab2b(abf+.【總結升華】比擬法是證實不等式的一種最根本、最重要的一種方法,用比擬法證實不等式的步驟是：作差商一變形一判斷符號比擬與1的大小一下結論.舉一反三：【變式1】用比擬法證實：a4-b4a2b-ab2.【證實】11丁一5-g%一油：二a 一,by一三/J.24【變式2】用求商比擬法證實：假設a2,b2,那么a+bab.ab11【證實】,ababa2,b2,二次方程ax2+bx+c=0(a#0)有兩個以上的實數(shù)根,且各不相等.

22、令x1、x2、x3為方程的三個相異實根,那么:ab:ab.區(qū) J8J8.用放縮法證實:111Tl17F2屐1Tz【思路點撥】將1,11一“,放大為,_,注意從第三項開始放縮nn-1n=n(n-1)n-11111111,1122HI-：12(,卜-122232n22223n-1n二54【總結升華】放縮拆項時,不一定從第一項開始,須根據(jù)具體題型分別對待,真正做到恰到好處.舉一反三：即不能放的太寬,也不能縮的太窄,4xe、r【變式】函數(shù)fx=x,用放縮法證實:14f1f2.11,一*、fnnN).4x14x=1-14n得f(1)+f(2)+f-22712-1+1-I22nJ111,1二n(-HI)n

23、2242n例9.在ABC中,A、B、C的對邊分別為a、b、c,假設【思路點撥】用反證法證實.a、b、c三邊的倒數(shù)成等差數(shù)列,求證：B90.【解析】假設B90,從而B是4ABC的最大角,所以b是/ABC的最大邊,即ba,bc.1111所以一 A 一,abcb一,11211所以,這與_+一所以B90不成立,故B90.【總結升華】結論中假設有都是“、都不是“、至多“、至少等字眼,或直接從正面證實較為困難的問題,一般可以考慮使用反證法.舉一反三：【變式1試證二次方程至多有兩個不同的實根【證實】假設精品文檔用心整理axbX+c=Oax；+bx；+c=O:+c=0(D由-得：(xL-xJ=0二 x；壬工；.a(x+x；)+b-0由-得工 a(-J+b(K：rJ=0：*豐x：a(xL+xJ+b=0由-得&-注)=00.x