導(dǎo)數(shù)在處理不等式的恒成立問題一輪復(fù)習(xí)教案

1、導(dǎo)數(shù)中的不等式恒成立問題適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級高二年級適用區(qū)域全國課時(shí)時(shí)長（分鐘）120知識點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)公式2函數(shù)的單調(diào)性3函數(shù)中的不等式包成立問題教學(xué)目標(biāo)1理解和掌握導(dǎo)數(shù)在處理不等式包成立問題是高考的一個(gè)難點(diǎn)。2能應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的方法來研究函數(shù)中的不等式問題，,來培養(yǎng)學(xué)生應(yīng) 用數(shù)學(xué)分析、解決實(shí)際函數(shù)的能力.3培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，發(fā)現(xiàn)問題，善于解決問題，探究知識，合作交流的意識，體驗(yàn)數(shù)學(xué)中的美，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，從而培養(yǎng)學(xué)生勤于動腦和動手的良好品質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的公式，函數(shù)的單調(diào)性，不等式問題教學(xué)難點(diǎn)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)中的不等式問題學(xué)習(xí)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)考綱要求：理解導(dǎo)數(shù)和切線方程的概念。2.能在具體的數(shù)學(xué)環(huán)

2、境中，會求導(dǎo)，會求切線方程。3.特別是沒有具體點(diǎn)處的切線方程，如何去設(shè)點(diǎn)，如何利用點(diǎn)線式建立直線方程。4.靈活應(yīng)用建立切線方程與其它數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。5.靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題、知識講解1.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式和運(yùn)算法則幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：C 0( C為常數(shù))；(xn)nx n 1( n Q);1(sin x) cosx; (cosx) sin x ; (In x) ； (log a x) x1 loga e , (ex)ex ; (ax)ax ln ax求導(dǎo)法則：法則 1u(x) v(x) u (x) v(x).法則 2u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v(x), Cu

3、(x)Cu(x)法則3： uv*(v 0)v v復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)u (x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)u(x)，函數(shù)y f (u)在點(diǎn)x的對應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)y u f u ,則復(fù)合函數(shù)y f( (x)在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)，且 yx yu ux或 f x( (x) f (u)(x)2 .求直線斜率的方法(高中范圍內(nèi)三種)k tan (為傾斜角)； k f(X)f(x2) ,兩點(diǎn)(xj(xi),(x2,f(x2); x1 x2k f (xo)(在x x。處的切線的斜率)；3 .求切線的方程的步驟：(三步走)(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)；(2) k f (xo)(在x x。處的切線的斜率)；(3)點(diǎn)斜式

4、求切線方程y f (xo) k(x xo)；4 .用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性：(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)；(2) f (x) 0,求單調(diào)遞增區(qū)問；(3) f (x) 0 ,求單調(diào)遞減區(qū)問；(4) f (x) 0 ,是極值點(diǎn)?？键c(diǎn)一 函數(shù)的在區(qū)間上的最值【例題1】：求曲線y x3 6x2 9x 2在(2,5)上的最值 。【答案】：最大值為18,最小值為-2.【解析】：二.根據(jù)題意y 3x2 12x 9 0,.-. xi 1,x2 3,由函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)x1 1,y 2, 取得極大值；當(dāng)x2 3, y 2,取得極小值；當(dāng)x 5, y 18。所以最大值為18,最小 值為-2.【例題2】：求曲線

5、y x3 3x2 1在(2,5)上的最值范圍 ?！敬鸢浮?(19,51)【解析】：由f (x) 3x2 6x 0, x1 0,x2 2,該函數(shù)在(，0) (2,)上單增，在(0,2)上 單減，當(dāng) x 0, y 1 ； x 2,y3 ； x 2, y 19 ； x 5, y 51。曲線 y x3 3x2 1 在(2,5)上的最值范圍為(19,51)。考點(diǎn)二用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【例題3：已知函數(shù)f(x) ax3 x2 x 5在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍?！敬鸢浮浚篴 1 3【解析】：f (x) 3ax2 2x 1 ,因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增，所以，f (x) 0 ,即：a 0 .a 0

6、.13ax 2x 1 0在R上恒成立，即：，所以，所以，a -。04 12a 03【例題4】：設(shè)函數(shù)f(x) xekx(k 0).求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;【答案】：若k 0,則當(dāng)x , 1時(shí)，f x 0,函數(shù)f x單調(diào)遞增，當(dāng)x - kk時(shí)，f x 0,函數(shù)f x單調(diào)遞減?！窘馕觥浚河?fx Ikxekxo/Sx 1k 0, k1. 一 .右k0,則當(dāng)x ，-時(shí)，fx 0,函數(shù)fx單調(diào)遞減， k時(shí)，f x0 ,函數(shù)f x單調(diào)遞增，若k 0 ,則當(dāng)x時(shí),f x 0,函數(shù)f x單調(diào)遞增，當(dāng)x,時(shí),0,函數(shù)f x單調(diào)遞減?？键c(diǎn)三用導(dǎo)數(shù)證明不等式【例題51:設(shè)函數(shù)f x1 e x,證明：當(dāng)x-1時(shí)，

7、f x【答案】：如下【證明】：當(dāng)x 1時(shí)，f (x) x當(dāng)且僅當(dāng)，令g(x) ex x 1,則g(x) ex 1.當(dāng)x 0時(shí) x 1g (x)0 , g (x)在 0.是增函數(shù)：當(dāng)x 0時(shí)g(x) 0, g(x)在.0是減函數(shù)，于是g(x)在x 0處達(dá)到最小值，因而當(dāng)x R時(shí)，g(x) g(0),即ex 1 x,所以當(dāng)x 1時(shí), f(x)2x【例題6】：設(shè)函數(shù)f(x) ln(1 x)上乙,證明：當(dāng)x0時(shí)，f(x)0； x 2【答案】：如下【證明】：；f (x)六用鳥二2x2 0,(x1),(僅當(dāng) x 0 時(shí) f(x) 0)故函數(shù)”刈在(1,)單調(diào)遞增，當(dāng)x 0 時(shí)，f(x) 0 ,故當(dāng) x 0

8、, f(x) 0 0考點(diǎn)四函數(shù)中含參數(shù)的問題【例題7】：設(shè)f(x)-1xe2,其中a為正實(shí)數(shù)，若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范 ax【答案】：0 a 1.【解析】：對f (x)求導(dǎo)得f (x) e21ax 2 ax.若f(x)為r上的單調(diào)函數(shù)，則f (x)在 (1 ax )R上不變號，結(jié)合與條件知 ax2 2ax1 0,在R上包成立，因此4a2 4a 4a(a 1) 0,由此并結(jié)合a0,知 0 a1.【例題8：已知點(diǎn)P在曲線士上,e 1為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則 的取值(x 1)(x 2)2范圍是【解析】：因?yàn)閥4ex/ x . .2(e 1)1，所以34考點(diǎn)五導(dǎo)數(shù)的綜合問題【例

9、題9】：設(shè)a 0 ,討論函數(shù)f (x) ln x a(1 a)x2 2(1 a)x的單調(diào)性.【答案】：如下【解析】函 數(shù) f(x) 的 定 義 域 為 (0,),1f (x) 2a(1 a)x 2(1 a) x2a(1 a)x2 2(1 a)x 1x令 g(x) 2a(1 a)x2 2(1 a)x 1,2_24-4(1 a)8a(1a) 12a16a4 4(3a1)(a 1)11 a .(3a 1)(a 1)當(dāng)0 a 時(shí)，0 ,令f (x) 0 ,解得x S則當(dāng)0 x1a 2a3a “ 或 x1 a J(3a 1)(a 1)時(shí),f (x) 02a(1 a)32a(1 a)當(dāng) 1 a J(3a

10、1)(a 1) x 1 a J(3a 1)(a 1)時(shí) f (x)2a(1 a)2a(1 a)則 f(x)在(0,10(1a 2a3a :1)上單調(diào)遞增,在(心.(3a 1)(a 1) 1 a；(3a 1)(a 1)2a(1a)2a(1 a)上單調(diào)遞減a 1 時(shí)， 0,f (x)0 ,則 f (x)在(0,)上單調(diào)遞增1時(shí)， 0,令f (x)；(3a 1)(a 1)2a(1 a)1 a ；(3a 1)(a 1)2a(1 a)則當(dāng)01a 紫丁 f(x)01 a(31百1)時(shí),f(x)2a(1 a),則f(x)在(0,y)上單調(diào)遞增,1 ma ?)上單調(diào)遞減【例題10】：設(shè)函數(shù)f(x) a2 In

11、 x x2 ax , a 0(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(H)求所有實(shí)數(shù)a,使e 1 f(x) e2又tx 1,e恒成立.【答案】：f (x)的增區(qū)間為(0, a),減區(qū)間為(a,)【解析】：(1 ) 因?yàn)?f (x) a2 ln x x2 ax其中x 0, 所以2a(x a)(2 x a)f (x) 一 2x a xx由于a 0 ,所以f (x)的增區(qū)間為(0, a),減區(qū)間為(a,)(H)證明：由題意得，f(1) a 1 c 1,即a c,由(I )知f(x)在1,e內(nèi)單調(diào)遞增，一一cf(1) a 1 e 1, 一要使e 1 f (x) e2對x 1,e恒成立，只要99 解得a e.f(e

12、) a2 e2 ae e2四、課堂練習(xí)【基礎(chǔ)型】1若不等式x4-4x3 2-a對任意實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍答案：(29,) 解析：記F (x) =x4-4x3 x4 - 4x3 2 - a對任意實(shí)數(shù)x都成立，.二F (x)在R上的最小值大于2 - a求導(dǎo)：f (x) =4x312x2=4x2 (x 3),當(dāng) xC ( 8, 3)時(shí)，f (x) 0,故 F (x)在(3, +8) 上是增函數(shù).當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)F (x)有極小值，這個(gè)極小值即為函數(shù) F (x)在R上的最小值即F (x) min=F (3) =-27,因此當(dāng) 2 a29 時(shí)，等式 x4 4x32a對任意 實(shí)數(shù)x都成立，故答

13、案為：(29, +oo)2若不等式2x 1m(x2-1)對滿足2 m 2的所有m都成立，求x的取值范圍。1 71 3答案：2 x 2-解析：原不等式化為 (x 21)m (2x 1)0,記 f(m)= (x21)m (2x - 1) (-2 m2)f(-2) -2(x2-1)-(2x-1) 0 口口 2x2 2x-3 0根據(jù)題意有： 2，)，即：2f(2) 2(x -1)-(2x-1) 02x2x-1 01 71 3解之得x的取值范圍為 2 x -2-【鞏固型】1若函數(shù)f (x) kx lnx在區(qū)間(1, + )單調(diào)遞增，則k的取值范圍是(A), 2(B), 1(C) 2,(D) 1,答案D1

14、解析：因?yàn)?f(x)在(1,)上遞增，f (x) 0 包成立，f (x) kx lnx, f (x) k - 0 , x一 1即 k 1 ,所以 k 1,) ox2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P是函數(shù)f(x) ex(x 0)的圖象上的動點(diǎn)，該圖象在P處的切線l交y軸于點(diǎn)M過點(diǎn)P作l的垂線交y軸于點(diǎn)N,設(shè)線段MN勺中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t , 則t的最大是。答案：1(e 1)2 e解析：y ex0e x0 (x x0), N(0,ex x()e x0),1 xxxx xx Xt (1 x)eexe ex0(ee )2 2t 1(ex0 ex0 )(1 x。)，所以，t在(0,1)上單調(diào)增，在(1,)

15、單調(diào)減，/ -(e 1)22 e【提高型】1 設(shè) f x 1x3 mx(2)要使 f x - x3 mx2 nx 單調(diào)遞減，則 f xx2 2mx n 0 nx .3(1)如果g x f x 2x 3在x 2處取得最小值 5,求f x的解析式；(2)如果m n 10 m,n N , f x的單調(diào)遞減區(qū)間的長度是正整數(shù)，試求 m和n的值.1 。答案：f(x) -x 3x 2x (2) m=2 n=3或，m 3,n 5 31 。c一，c解析：(1)已知 f x - x mx2 nx , f x x2 2mx n3又 gx f x 2x3x2 2m 2xn3在x 2處取極值，則g 22 2 2m 2

16、0 m 3,又在x 2處取最小值-5.1 QO則 g 22 22 4 n 35 n 2 , f x - x3 3x2 2x3又遞減區(qū)間長度是正整數(shù)，所以 f xx2 2mx n 0兩根設(shè)做a, b。即有：b-a 為區(qū)間長度。又 b a 0ab4ab 、4m當(dāng) 0 x 1 時(shí)，h(x) h(1) 0,即 g(x) g(-). x 4n 2%m2 n m, n N又b-a為正整數(shù)，且 m+n0成立. a答案：(1) g(1) 1. (3) 0 a e1x 1 ,解析：(1)由題設(shè)知 f(x) ln x, g(x) ln x , g (x) 2,令 g(x) 0 得 x=1, xx當(dāng)xe (0, 1

17、)時(shí)，g (x) 0, g(x)是增函數(shù)，故(1, +OO)是g(x)的單調(diào)遞增區(qū)問，因此，x=1是g(x)的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以g(x)的最小值為g(1) 1. 2 1-11 i(x 1)(2) g(-)ln x x ,設(shè) h(x) g(x) g(-) ln x x 一，則 h (x)2-，當(dāng) x 1 時(shí)，xxxx1h(1) 0,即 g(x) g(一),當(dāng) x (0,1) (1,)時(shí)，h(x) 0 ,因止匕，h(x)在(0,)內(nèi)單調(diào) x遞減，1.1(3)由(1)知g (x)的取小值為1,所以，g(a) g(x),對任息x 0 ,成立 g(a) 1 -,aa即Ina

18、1,從而得0 a e。五、課程小結(jié)本節(jié)課是高考中必考的知識點(diǎn)，而且在高考中往往有一定的難度，所以需要學(xué)生要準(zhǔn)確的 理解知識點(diǎn)，靈活并熟練地掌握求導(dǎo)公式，學(xué)會建立切線方程，特別是沒有給出具體點(diǎn)切 線方程的建立。用點(diǎn)線式求切線方程的步驟： 用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性:(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)；(2) f (x) 0,求單調(diào)遞增區(qū)間;(3) f (x) 0 ,求單調(diào)遞減區(qū)間;(4) f (x) 0,是極值點(diǎn)。六、課后作業(yè)【基礎(chǔ)型】1 21n241設(shè)函數(shù)f xx2 aIn 1 x有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2,且xx?(I)求a的取值范圍，并討論f x的單調(diào)性；(II )證明：f x2答案：0 a工

19、2解析：(I2x2x2 2x1 xa(x1),令g(x) 2x2 2x a ,其對稱軸為由題意知xX2是方程g(x) 0的兩個(gè)均大于1的不相等的實(shí)根，其充要條件為4 8a 0 -1,得0 a ,當(dāng)x ( 1,xi)時(shí)，f x 0, “乂)在(1內(nèi))內(nèi)為增函數(shù);g( 1) a 02當(dāng)x (x1，發(fā))時(shí)，f x 0, f(x)在(x,x2)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)x (x2, f x 0, f(x)在(x2,)內(nèi)為增函數(shù);1 2(II )由(I) g(0) a 0, x2 0, a (2x 2+2x2)2f x2x22 aln 1 x2x22 (2x22+2x2)ln 1 x2,設(shè)h x x2 (2x2 2

20、x)ln 1 x (x -), 2貝Uh x 2x 2(2x 1)ln 1 x 2x 2(2x 1)ln 1 x，當(dāng) x (1,0)時(shí)，h x 0, h(x) 2,1在,0)單調(diào)遞增；當(dāng)x (0,)時(shí)，h x 0, h(x)在(0,)單調(diào)遞減。211121n 21當(dāng) x ( ,0)時(shí),h x h(-),故 f224x2h(x)1 21n24x0 時(shí),f(x)0；2x ,2(1)設(shè)函數(shù)f(x) ln(1 x) ，證明：當(dāng) x 2(n)從編號1到100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個(gè)號碼互不相同的概率為p.證明：p ()190時(shí)，f(x)0.(n

21、)從編號1到100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張，然后放回，連續(xù)抽取 20次，則A20 抽得的20個(gè)號碼互不相同的概率為p a20,要證10020p (190) 19 0.x 1,則912 11n(19)TJ29ln(1109219/ 9 、 192()e10【鞏固型】當(dāng)mK2時(shí)，證明f(x) 0.3 已知函數(shù) f(x) =e0在(一2, +oo)有唯一實(shí)根 x。，且 x。 ( 1,0).當(dāng) x ( 2,x。)時(shí)，f 當(dāng)x (x0,)時(shí)，f (x) 0f,從而當(dāng)x = x0時(shí)，f(x)取得最小值.x 1由 f (x0) 0得 ex0 , ln(x0 2)x0 ,x0 2 ln( x+m),

22、答案：如下證明：當(dāng)mK2, x ( m,)時(shí),ln(x m) ln(x 2),故只需證明當(dāng)my= 2時(shí),f(x)0.,一一v 1當(dāng)mi= 2時(shí)，函數(shù)f (x) e x 2在(2, +oo)單調(diào)遞增.又f ( 1) 0f, f(1)0,(x)故 f(x) f(x0)1x02(x0 1) 2x0.x020 .綜上，當(dāng) n 2 時(shí)，f(x) 0f (x)0.4已知函數(shù)f(x)x2 ax b, g(x) ex(cx d)若曲線y f(x)和曲線y g(x)都過點(diǎn) P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線y 4x 2.(I)求a, b, c, d的值；(H)若x 2時(shí)，f (x) kg(x),求k的取值范圍

23、.答案：(1) a 4,b 2,c 2,d 2 (2) 1 , e解析： 由 已知 得 f(0) 2,g(0) 2, f (0) 2,g (0) 4.而xf (x) 2x a, g (x) e (cx a c),故 b 2,d 2,a 2,d c 4 .從而 a 4,b 2,c 2,d2.由知，f(x) x2 4x 2,g(x) 2ex(x 1).設(shè)函數(shù) F(x) kg(x) f(x) 2kex(x 1) x2 4x 2,則 F(x)2kex(x2) 2x42(x2)(kex 1).由題設(shè)可得F(0) 0,即 k 1.令 F (x)0得*1 1nk ,x22 .若 1 k e2,則 2 x1

24、0.從而當(dāng) x (2,XH,F(x) 0;當(dāng)* (x1,)時(shí)，F(xiàn)(x) 0. 即F(x)在(一2, X1)單調(diào)遞減，在(X1, +8)單調(diào)遞增.故F(x)在2, +8)的最小值為 F(X1).而 F (x1) 2x1 2 x2 4x1 2x1 (x1 2) 0 .故當(dāng) x 2 時(shí)，F(xiàn)(x) 0,即 f(x) kg(x)恒成立.若 k e2,則 F(x) 2e2(x 2)(ex e 2) .從而當(dāng) x 2 時(shí)，F(xiàn) (x) 0,即 F(x)在(一2,+ oo)單調(diào)遞增.而F( 2) 0,故當(dāng)x 2時(shí)，f(x) 0,即f (x)&kg(x)恒成立.若 ke2,則5( 2) 2ke 2 2 2e 2(

25、k e2) 0 .從而當(dāng) x2時(shí)，f (x) kg(x)不可能包成立.綜上，k的取值范圍是1 , e2 .5已知函數(shù)f(x) 也x b ,曲線y f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為x 2y 3 0 x 1 xb的值;(n)如果當(dāng)f(x)-,求k的取值范圍。x 1 x答案：(1) a1 (2) k 0解析：(I)f(x)(U ln x)x(x 1)2由于直線x2y1 一0的斜率為-,且過點(diǎn)(1,1)f(1) 1,f(1)b 1, 即a b-b21解得a2,(n)由(I)知 f(x)lnx 1，所以x 1 xf(x)譬k) x21 c (k 1)(x2 1)、2 (2ln x -) o1 x

26、x考慮函數(shù)h(x) 2ln xOjx 0),則 h(x) x(k1)(x2 1) 2x2ox(i)設(shè) k0 ,由 h(x)22k(x 1) (x 1)知，當(dāng)x 1時(shí)，h(x) 0, h(x)遞減。而h(1) 0故當(dāng) x (0,1)時(shí)，h(x)-110 ,可得2h(x) 0;當(dāng) x (1, + )時(shí)，h (x) 0從而當(dāng)x0,且x 1時(shí)，f (x)ln x + k)0,即 f (x) ln x + x 1 x(ii )設(shè) 0k0,故 h(x ) 0,而 h (1)=0,故當(dāng)x(1,h (x) 0,，I 1，一、一可得 h (x) 0,而 h (1) =0,故當(dāng) x (1,時(shí)，h (x)一10,可

27、彳導(dǎo)h1 x(x) 0,與題設(shè)矛盾?！咎岣咝汀?已知函數(shù)f(x)32x 3ax(3 6a)x 12a 4(aR)(I)證明:曲線y *)在* 0的切線過點(diǎn)(2,2);(H )若儀)在* Xo處取得極小值，Xq(1,3)，求a的取值范圍。答案:(5, .2 1)解析：(I) f (x) 3x2 6ax (3 6a),f (0) 3 6a ,又 f (0) 12a 4曲線y *)在* 0的切線方程是：y (12a 4) (3 6a)x ,在上式中令x 2,得y 2所以曲線y *）在* 0的切線過點(diǎn)（2,2）;(H)由 f (x) 0得x2 2ax 1 2a 0 , (i )當(dāng) 721aA/2 1 時(shí)，f(x)沒有極小值；(ii)當(dāng) a J2 1 或a& 1 時(shí)，由 f (x)0得xa Ja2 2a 14 a Ja2 2a1故 x2。由題設(shè)知1aJa2 2a 1 3,當(dāng)a 近1時(shí)，不等式1a Ja2 2a 13無解；當(dāng)a72 1時(shí)，解不等式1 a Ja2 2a 1 3得5 a72 12綜合(i)(ii)得a的取值范圍是(5, & 1)。27 已知函數(shù) f (x) (x 1)ln x x 1 .(I)若 xf(x) x2 ax 1,求 a 的取值范圍；(H)證明：(x