浙江省歷年高考立體幾何大題總匯(題目及答案)

1、1 .(本題滿分15分)如圖，平面PAC，平面ABC , ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形。E,F,O分別為 PA,PB,PC 的中點，AC 16,PA PC 10。(I)設C是OC的中點，證明：PC/平面BOE;(II )證明：在 ABO內(nèi)存在一點 M ,使FM，平面BOE ,并求點M到OA, OB的距 離。2 .如圖，在棱長為 1的正方體 ABCD AiBiCiDi中，P是側(cè)棱CC1上的一點，CP=m ,(I )試確定 m,使得直線 AP與平面BDB 1D1所成角的正切值為 372 ;(n)在線段 A1C1上是否存在一個定點 Q,使得對任意的 m, D1Q在平面APD1上的射影 垂直于

2、AP,并證明你的結(jié)論。3 .如圖甲， ABC是邊長為6的等邊三角形，E, D分別為AB、AC靠近B、C的三等分 點，點G為BC邊的中點.線段 AG交線段ED于F點，將 AED沿ED翻折，使平面AEDL平面BCDE ,連接AB、AC、AG形成如圖乙所示的幾何體。(I)求證BCL平面AFG ;(II)求二面角 B AE D的余弦值.4在如圖所示的幾何體中，EAAC BC BD 2AE, M是 AB的中點.(1)求證：CM EM ;求CM平面CDEf成的角平面ABC, DB平面 ABC, AC BC ,5.如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相BE / CF ,BCFCEF 90°,

3、 AD技 EF 2.(I)求證:AE / 平面 DCF(n)當AB的長為何值時，二面角 A EF C的大小為60o ?(第18題)26 .如圖，在矩形 ABCD中，點E, F分別在線段 AB , AD上，AE=EB=AF= FD 4.沿直 3線EF將 AEF翻折成 A' EF ,使平面A' EF 平面BEF.(I)求二面角A' FD C的余弦值；(II)點M, N分別在線段FD, BC上，若沿直線 MN將四邊形MNCD向上翻折，使C與A'重合，求線段FM的長.7 .如圖，在三棱錐 P-ABC中，AB=AC, D為BC的中點，PO,平面 ABC,垂足。落在線段 A

4、D 上，已知 BC=8, PO=4, AO = 3, OD = 2(I )證明：APBC;(n)在線段 AP上是否存在點 M ,使得二面角 A-MC-B為直二面角？若存在，求出 AM的長；若不存在，請說明理由。.8 .如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面是邊長為 2J3的菱形，ZBAD=120 ° ,且 PAL平面 ABCD , PA= 2J6 , M , N 分別為 PB,PD 的中點。(1)證明：MN /平面 ABCD ;(2)過點A作AQ，PC,垂足為點 Q,求二面角 A-MN-Q的平面角的余弦值。9 .如圖，在四面體 A BCD中，AD 平面BCD,BC CD, AD 2,

5、BD 272 . M 是 AD 的中點，P 是 BM 的中 點，點Q在線段AC上，且AQ 3QC .(I)證明：PQ/平面BCD;10.如圖，在五面體 ABCDEF中，已知DE AB 2, DE EF 1.(1)求證：BC/EF;(2)求三棱錐 B DEF的體積.平面 ABCD , AD/BC , BAD 60o,(n)若二面角 C BM D的大小為60 ,求 BDC的大小.11.如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，已知CACB1 , AA1 2 , BCA 900.(1)求異面直線 BA與CB夾角的余弦值；(2)求二面角B AB1 C平面角的余弦值.112（本小題 14 分）在等腰梯形

6、 ABCD 中，AD/BC, AD - BC , ABC 600, N 是 BC 2的中點.將梯形 ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)900,得到梯形ABCD (如圖).(1)求證：AC 平面ABC ;(2)求證：C N /平面ADD ;(3)求二面角 A CN C的余弦值.13.(本題滿分14分) 如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD/BC,/ADC=90°,平面PAD，底面 ABCD, Q為AD的中點，M是棱PC上 的點，PA=PD=2, BC=1AD=1, CD=內(nèi).2(I)求證：平面 PQBL平面PAD;(II )若二面角 M-BQ-C 為 30°,設 PM

7、=tMC, 試確定t的值1 4.如圖，直角梯形 ABCD 中，AB/CD , BCD = 90 ° , BC = CD = &,AD =BD : EC,底面 AC FDL底面 ABO且行E=FD2.(I )求證：AD± BF :(II )若線段EC上一點M在平面BDF上的射影恰好是 BF的中點N,試求二面角B-MF-C 的余弦值1.證明：(I)如圖，連結(jié) OP,以O為坐標原點，分別以 OB、OC、OP所在直線為X軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系 O xyz,則 O0,0,0 ,A(0, 8,0), B(8,0,0), C(0,8,0), P(0,0,6), E(0

8、, 4,3),uuuuuuG 0,4,0 ,因 OB (8,0,0), OE (0, 4,3),因此平面 BOE 的法向ruuinr uuir量為n (0,3,4), FG ( 4,4, 3得n FG 0 ,又直線FG不在平面BOE內(nèi)，因此有FG/平面BOEuuuu(II)設點M的坐標為 ,y0,0 ,則FM(% 4,y0, 3),因為uuuu r9FM 平面BOE,所以有FM /n,因此有& 4,y0一，即點4F 4,0,3 ,由題意得,9 .，-一M的坐標為4, 一,0 ,在平面直角坐標系4xoy中， AOB的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組x 0y 0,經(jīng)檢驗，點 M的坐標滿足上述不等式組，

9、所以在ABO內(nèi)存在一點 M ,使x y 89FM 平面BOE ,由點M的坐標得點M到OA, OB的距離為4,一.42.解法 1： (1)連AC,設AC I BD O,AP與面BDDBi交于點G,連OG.因為 PC/面BDD1B1 ,面BDD1 B1 I 面APC OG,1m故 OGPC。所以 OG -PC m o 22又 AO DB,AO BB1,所以 AO 面BDD1 B1 .故 AGO即為AP與面BDD1B1所成的角。在 RtAOG 中，tanAGO 2 3& ,即 m 1. m3萬故當m 1時，直線AP與平面BDDB所成的角的正切值為3 日 3(n )依題意，要在 A Ci上找一

10、點Q ,使得Di Q AP .可推測AiCi的中點Oi即為所求的Q點。因為 DiOiACi.DiOiAA,所以DiQ面ACCiAi.又 AP 面ACC1Al.，故 DiOiAP o從而DiOi在平面ADi P上的射影與AP垂直。解法二：(1 )建立如圖所示的空間直角坐標系，則 A(i,0,0),B(i,i,0),P(0,i, m), C(0,i,0),D(0Q0),Bi(i,i,i),Di(0Qi).uuruuuu所以 BD ( i, i,0), BBi(0,0,i),uuruuurAP ( i,i,m),AC ( i,i,0).uuur uur uur uuur uur又由AC BD 0,

11、AC BBi 0知AC為平面BBDD的一個法向量設AP與面BDDiBi所成的角為uuu uuur則 sincos(-) 4uuP4CrL_ 2_2 |AP| |AC| , 2 ,2 m2上23,2 加曰 1依題思有： ,-,斛得m .22 m21 (3 .23故當m 1時，直線AP與平面BDDB所成的角的正切值為3世。 3(2 )若在 A G上存在這樣的點 Q ,設此點的橫坐標為 x ,uuuu則 Q(x,1 x,1),DQ(x,1 x,0)。依題意，對任意的 m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于 AP。等價于uuuuuuu umur1D1Q AP AP D1Q 0 x (1 x) 0 x

12、 -即Q為A1C1的中點時，滿足題設的要求.3 .(1)在圖甲中，由 ABC是等邊三角形，E, D分別為AB, AC的三等分點，點 G為BC 邊的中點，易知 DEAF, DEXGF, DE/BC. 2分在圖乙中，因為 DEAF, DEXGF, AF FG = F,所以DE，平面 AFG .又DE/BC,所以BCL平面 AFG . 4分(II )因為平面 AED,平面 BCDE ,平面 AED 平面 BCDE=DE, DEXAF, DE ± GF , 所以FA, FD, FG兩兩垂直.以點F為坐標原點，分別以 FG, FD, FA所在的直線為x, y, Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標

13、系 F xyz.則 A(0,0,2，3), B(j3, 3,0), E(0, 2,0),所以AB (V3, 3, 2圾，BE ( V3,1,0).設平面ABE的一個法向量為 n (x,y,z).皿 n AB 0 口u3x 3y 2 3z 0則.，即，n BE 03x y 0取 x 1,則 y 33, z 1,則 n (1,<3I顯然m (1,0,0)為平面ADE的一個法向量，m n . 5步以 cos m,n 10分|m| |n|5面角B AE D為鈍角，所以二面角 B AE D的余弦值為- 5512分4 .方法一：(1)證明：因為AC=BCM是AB的中點，所以CML AB.又EAL平面

14、 ABC 所以CML EM(2)解：過點M作MHL平面CDE垂足是H,連結(jié)CH并延長交 ED于點F,連結(jié) MF MD /FCM是直線 CMA/和平面CDE/f成的角.因為 MHL平面 CDE所以 MHL ED又因為 CML平面 EDM所以 CMLED則EDL平面 CMF因此 EDL MF設 EA= a, BD= BC= AG= 2a,在直角梯形 ABDE中，AB= 2j2a, M是AB的中點,所以 DE= 3a, EM= J3a , MD= J6 a ,得EMD直角三角形，其中/ EMD= 90°EM MD 5所以 MF= J2a .DE在 RtCMF中，tan ZFCM=MF=1

15、,所以/ FCM=45 , MC故CM與平面CDE所成的角是45° .方法二：如圖，以點C為坐標原點，以 CA, CB分別作為x軸和y軸, 過點C作與平面ABC垂直的直線為z軸，建立直角坐標系 C-xyz, 設EA=a,則A (2a, 0,0),B(0,2a, 0),C (2 a,0, a),A (0, 2 a,2 a),A(a,a, 0).(1)證明：因為 EM= (-a, a, -a), CM= (a, a, 0),umuur所以 EM CM=0,故 EMCM.(2)解：設向量n= (1, yo , x0)與平面CDE垂直,則 n CCE, nCD,uuur即 n CE =0,

16、n CD=0.因為 CE= (2a,0,a ) , CD=(0,2a,2a),所以 y0=2, z0=-2 ,即 n= (1, 2, -2), uur一織 aCMr2cosn,CMur ,Mgn2直線CM與平面CD即稱的角是45° .5 .方法一：(I)證明：過點 E作EG CF交CF于G ,連結(jié)DG ,可得四邊形BCGE為矩形, 又ABCD為矩形， 所以AD £ EG ,從而四邊形 ADGE為平行四邊形,故 AE / DG .因為AE 平面DCF , DG 平面DCF ,所以AE /平面DCF .(n)解：過點 B作BH EF交FE的延長線于H ,連結(jié)AH . 由平面AB

17、CD 平面BEFC , AB BC ,得AB 平面 BEFC ,從而AH EF .所以 AHB為二面角A EF C的平面角.在RtEFG中，因為EGAD V3, EF 2,所以 CFE又因為CE從而BEEF ,所以CFCG 3.4,因為BHBE gsinBEH3.32ABBH cjanAHB ，9 所以當AB為9時,260°, FG 1.方法二：如圖，以點面角A EF C的大小為60°.C為坐標原點，以 CB, CF和CD分別作為x軸,y軸和z軸，建立空間直角坐標系C設 AB a BE b, CFc,則 C(0QQ),a)，B(6,0,0), E(V3,bQ),F(0,c,

18、0).(I)證明:ULUTAE (0,b,uuu -a), CB (73,0,0),uuuBE(0, b,0),uuu uuu 所以CBgCEuuuuuu0 , CBgBECB所以CB 平面ABE.因為CB 平面DCF ,所以平面 ABE /平面DCF .故AE /平面DCF .0),uuin -uuu -(n)解：因為 EF( J3,c b,0), CE(J3,b,uuir uuuuuin所以EF®E 0 , | EF | 2,從而3 b(c b) 0,.3 (c b)2 2,解得b 3, c 4.所以 E(小:,3,0), F(0,4,0).設n (1, y, z)與平面AEF垂

19、直， uuiruur則 ngAE 0, ngEF 0,解得n (1,6逑), aurn又因為 BA 平面 BEFC , BA (0,0, a), uuu_uu | BAgi|3、3a1所以 |cos n,BA | uu '-,|BA|gn| a、4a2 27 2一 ,9得到a 9. 2所以當AB為9時，二面角 A EF C的大小為60°. 26 .方法一：(I )解：取線段 EF的中點H,連結(jié)A H因為AE AF及H是EF的中點，所以AH EF又因為平面 A EF 平面BEF,及AH 平面AEF.所以A H 平面BEF。如圖建立空間直角坐標系A xyz.則 A(2,2,2、2

20、),C(10,8,0), F(4,0,0), D(10,0,0). uuur- uuin故 FN ( 2,2,2 .2), FD (6,0,0) r設n (x, y, z)為平面A FD的一個法向量所以 2x 2y 2& 06x 0取 z V2,wn(0, 2, V2)ur又平面BEF的一個法向量m(0,0,1)r ir, r 1r n m 故 cos n,m-rk|n| |m|一，3所以二面角的余弦值為3(n)解：設FM x£?則 M(4 x,0,0)因為翻折后,C與A重合，所以CM= AM2故(6 x)28202 ( 2 x)2 22(272)2 ,經(jīng)檢驗，此時點N在線段

21、BG上21所以FM 4方法二:(I)解：取截段EF的中點H, AF的中點G,連結(jié)AG, NH, GH因為AE AF及H是EF的中點,又因為平面A EF 平面BEF,所以 A H/EF 。所以 A H' 平面BEF, 又AF 平面BEF ,又因為G, H是AF, EF的中點,易知GH/AB ,所以GH AF ,AF 面 A GH所以AGH為二面角ADF C的平面角,在 RtAGH 中，A H 2s/2,GH 2, A G 273所以cos AGH史 3故二面角A -DF-C的余弦值為 03(n)解：設 FM x, 因為翻折后，G與A重合，所以CM AM,_22_2_2_2而 CM 2DC

22、2DM 282(6x)22222_2_22_2_2A M A H MH A H MG GH (2.2) (x 2)221 得x 4經(jīng)檢驗，此時點N在線段BC上，21 所以FM .47 .解：(1)證：Q AB =AC, D 為 BC 的中點， BCXADQ PO,平面 ABC PO± BC,而 POP AD=O BC，平面 ADP APXBC(n)當 CM LAP時，二面角 A-MC-B為直二面角，OB OC 2而，PB PC 6, AB AC V41 , AP 5PAB PAC AMC AMB AM MB AM，平面 MBC 平面 AMC，平面MBC25 41 3633 一cos

23、PABAM cos PAB AB、41 32 5 .41.41.41方法二：1”在明小便出力為虎點以射也如為工熱的正華融,建立空間福鼎坐班嘉公”砂=2.*4，if = < T/ir由比可野/ 舒電場口6i前，即被j腔(重因國(n)解；役成一人南d*i,網(wǎng)品工(。13'-41 司-g陪喬”演 (-4t-l 0+-*S.T) L3A.U0”證( T J鬲 ( -8巾川， 班平兩EMC的層的於其(巧，力山)， ¥面AFC忖法向量芯=(.明flil 藏小.3? 可。.-4，（3+3A）力*"=4）力01膽0,巴叫取*（。.1,出）.ra八*j?»0t，祝 *

24、K 心；：別工三%.3 可取可(3/3),叁= 一三，由 K，可m0. 得4-3 j=0, r , A.院循述丁在點期料侖尉K.四二38. (I)因為M , N分別是PB, PD的中點，所以MN是PBD的中位線，所以MM /BD又因為MN 平面ABCD ,所以MM /平面 ABCD .(n)方法一：連結(jié)AC交BD于O ,以O為原點，OC , OD所在直線為x , y軸，建立空間直角坐標系Oxyz ,如圖所示在菱形ABCD中， BAD 120 ,得AC AB 2由，BD 73AB 6.又因為PA平面ABCD ,所以PA AC.在直角 PAC 中，AC 2，3, PA 2而，AQ PC ,得QC

25、2, PQ 4.由此知各點坐標如下，A( >/3,0,0), B(0, 3,0),C(收0,0), D(0,3,0),P( 5/3,0,276) , M (立，3,76),22.33-.32.6N( f , x 呵,Q(-, 0,2233設m (x , y , z)為平面AMN的法向量.uuuu. 33- uuur 、3 33 一 2 332由 AM(1 , 3 ,病，AN(1 , 3 , V6)知x 3 y .6z 02x - y、6z 02取x 1 ,得m (2 <2,0, 1)設n (x , y , z)為平面QMN的法向量.事 uuu / 5 -33 .6、uuur / 5

26、 -3 3、6、到由 QM ( , 一 , ) , QN (, 一 ,)知62 362 35.33.6x y z 06235、，33、，6 八x y z 0623取z 5 ,得n (2 .2 ,0,5)于是m n 33cos m, n |m| |n|333333所以二面角A MNQ的平面角的余弦值為方法二：在菱形ABCD中， BAD 120 ,得AC AB BC DA, BD V3aB , 有因為PA平面ABCD ,所以PA AB , PA AC , PA AD , 所以 PB PC PD . 所以 PBC PDC .而M , N分別是PB, PD的中點，所以 11“MQNQ,且 AM-PB-

27、 PDAN .22取線段MN的中點E ,連結(jié)AE , EQ ,則AE MN , QE MN , 所以 AEQ為二面角A MN Q的平面角.由AB 2百，PA 2而，故1 在 AMN 中，AM AN 3, MN - BD 3,得23.3 AE .2在直角 PAC中，AQ PC ,得AQ 2%/2, QG 2, PQ 4,222PB2 pc2 BC25 /曰在 PBC 中，cos BPC - ,得2PB PC 6MQ JPM2 PQ2 2PM PQcos BPC 45 .在等月MQN 中，MQ NQ x/5 , MN 3,得QE x MQ2 ME2-11 .在AEQ中，AEcos AEQAE2 Q

28、E2 AQ2、332AE QE33.33所以二面角A MN Q的平面角的余弦值為-一 339.方法一:(I)取BD中點O ,在線段CD上取點F ,使得DF 3FC ,連結(jié)OP , OF , FQ一， 一 一 _1 因為 AQ 3QC ,所以 QF/AD ,且 QF - AD . 4因為O, P分別為BD, SM的中點，所以OP是 BDM的中位線, ，一 一 11所以 OP/DM ,且 OP -DM .21又點M是AD的中點，所以 OP/AD,且OP - AD . 4從而 OP/FQ，且 OP FQ .所以四邊形 OPQF為平行四邊形，故 FQ/QF又PQ 平面BCD, OF 平面BCD,所以P

29、Q/平面BCD.(n)作CG BD于點G ,作GH BM于點H ,連結(jié)CH因為AD 平面BCD , CG 平面BCD ,所以AD CG ,又 CG BD , AD BD D ,故 CG 平面 ABD ,又BM 平面ABD ,所以CG BM .又 GH BM , CG GH G ,故 BM 平面 CGH ,所以 GH BM , CH BM .所以 CHG為二面角C BM D的平面角，即 CHG 60 .設 BDC .在 Rt BCD 中,CD BD cos 2、2 cos ,CG CD cos2 ,2 cos sinBG BC sin272 sin2 .在 Rt BDM 中，HGBG DMBM2

30、、3sin23在 Rt CHG 中，tan CHG -CG 3cos- 8.HG sin所以tanM .從而 60 ,即 BDC 60 .方法二：(i)如圖，取 BD中點O,以O為原點，OD, OP所在射線為y, z軸的正半軸，建立空間直角坐標系Oxyz.22即 X0y02.(2)由題意知 A(0 ,衣，2) , B(0, J2,0), D(0,J2,0).uuu uuur32 31設點 C 的坐標為(X0 ,y0 ,0),因為 AQ 3QC ,所以 Q(X0 , J 丫0, )44421因為M是AD的中點，故M (0 ,，2,1).又P是BM的中點，故P(0,0,-).uuur3,2 3所以

31、 PQ (-X0 y0 ,0).444ruuur r又平面BCD的一個法向量為a (0,0,1),故PQa 0 .又PQ 平面BCD ,所以PQ / /平面BCD .一 ur(n)設m (x , y , z)為平面BMC的一個法向重.uuuu -BM(0,272 ,1)uuuur由 CM ( x°,j2 y0,1)XoX (,.2 y0)y z 02、2y z 0'7 y 、2一取 y 1,得 m (y0, 1,2回.X。又平面BDM的一個法向量為rn (1,0,0),于是ir r|cos<m, n>|=即 ,y°一也3 .( 1)X0 uuu uuur

32、 又 BC CD , 所 以 CB CD 0(% ,后 y0,0) ( X0,>/2 y°,0) 0,Xo 0人，一聯(lián)立(1),，解得(舍去)或所以tan BDCXoyo62/2又 BDC是銳角，所以 BDC 60 .10 (1)因為 AD/BC , AD 平面 ADEF , BC 平面 ADEF ,所以BC/平面ADEF , 3分又BC 平面BCEF ,平面BCEF I平面ADEF EF ,所以BC /EF . 6分(2)在平面 ABCD內(nèi)作BH AD于點H ,因為DE 平面ABCD , BH 平面ABCD ,所以DE BH , 又 AD , DE 平面 ADEF, ADI

33、DE D ,所以BH 平面ADEF , 所以BH是三棱錐B DEF的高.9分在直角三角形 ABH中， BAD 60°, AB 2 ,所以BH J3, 因為DE 平面ABCD , AD 平面ABCD ,所以DE AD ,又由(1)知，BC / /EF，且AD/BC ,所以AD/EF ,所以DE EF ,12分所以三棱錐B DEF的體積V - SDEF BH -33 2uur uun uuuu11.如圖，以CA,CB,CC1為正交基底，建立空間直角坐標系uur則 A(1,0,0) , B(0,1,0) , A1(1,0,2) , BK0,1,2),所以 CB1 uun：UULTAB1 (

34、1,1,2), BA1 (1, 1,2).UULT LUUTUUT UUTCB1 BA3.30(1)因為 cos： CB1, BA11 uult UUir| 1=產(chǎn) ,'''|CB1 ba|V6 J510所以異面直線 BA與CB夾角的余弦值為 四.10 4分(2)設平面CAB1的法向量為 m (x,y,z),UUULm AB1 0, x y 2z 0,則uult1即 y ,m CB1 0, y 2z 0,11百多C xyz.14分取平面CAB1的一個法向量為m (0,2, 1);設平面網(wǎng)的法向量為颼.匕睪)，則卜學即】 用 45-0,一1十$ 二 Q取平面氏的一個法向量

35、為燈=(1,1,0)(10yo 2所以二面角B AB1 C平面角的余弦值為11分512. 1 -(1)證明：因為 AD BC, N是BC的中點 2所以 AD NC,又 AD/BC所以四邊形ANCD是平行四邊形，所以 AN DC又因為等腰梯形，ABC 60o,所以 AB BN AD,所以四邊形 ANCD是菱形，所以所以 BAC 90o,即 AC AB由已知可知 平面C BA 平面ABC ,因為平面CBAI平面ABC AB所以AC 平面ABC 4分(2)證明：因為 AD /BC , AD /BC ,AD I AD A, BC I BC B所以平面ADD /平面BCC又因為CN 平面BCC,所以CN/平面ADD1ACB DCB 30°(3)因為AC 平面ABC，同理AC 平面ABC ,建立如圖如示坐標系設 AB 1,則 B(1,0,0),C(0,萬0), C(0,0,石),N(-, ,0),uuur則BC_ uuuu(1,0,a CC(0, .3, .3)r設平面C NC的法向量為nuuuu r(x, y,