數(shù)字信號(hào)處理第2章習(xí)題答案

1、時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.1學(xué)習(xí)要點(diǎn)與重要公式學(xué)習(xí)要點(diǎn)與重要公式2.2FT和和ZT的逆變換的逆變換2.3分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻率特性分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻率特性2.4例題例題2.5習(xí)題與上機(jī)題解答習(xí)題與上機(jī)題解答時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章2.1學(xué)習(xí)要點(diǎn)與重要公式學(xué)習(xí)要點(diǎn)與重要公式數(shù)字信號(hào)處理中有三個(gè)重要的數(shù)學(xué)變換工具， 即傅里葉變換（FT）、 Z變換（ZT）。 利用它們可以將信號(hào)和系統(tǒng)在時(shí)域空間和頻域空間相互轉(zhuǎn)換， 這大大方便了對(duì)信號(hào)和系統(tǒng)的分析和處理。 兩者種變換互有聯(lián)系， 但又不同。 表征一個(gè)信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性是用傅里葉變換。 Z變換是傅里葉變換

2、的一種推廣， 單位圓上的Z變換就是傅里葉變換。時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章在z域進(jìn)行分析問(wèn)題會(huì)感到既靈活又方便。 離散傅里葉變換是離散化的傅里葉變換， 因此用計(jì)算機(jī)分析和處理信號(hào)時(shí)， 全用離散傅里葉變換進(jìn)行。 離散傅里葉變換具有快速算法FFT， 使離散傅里葉變換在應(yīng)用中更加方便與廣泛。 但是離散傅里葉變換不同于傅里葉變換和Z變換， 它將信號(hào)的時(shí)域和頻域， 都進(jìn)行了離散化， 這是它的優(yōu)點(diǎn)。 但更有它自己的特點(diǎn)， 只有掌握了這些特點(diǎn)， 才能合理正確地使用DFT。 本章只學(xué)習(xí)前兩種變換， 離散傅里葉變換及其FFT將在下一章學(xué)習(xí)。時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章2.1.1學(xué)習(xí)要點(diǎn)學(xué)習(xí)要點(diǎn)（1） 傅

3、里葉變換的正變換和逆變換定義， 以及存在條件。 （2）傅里葉變換的性質(zhì)和定理： 傅里葉變換的周期性、 移位與頻移性質(zhì)、 時(shí)域卷積定理、 巴塞伐爾定理、 頻域卷積定理、 頻域微分性質(zhì)、 實(shí)序列和一般序列的傅里葉變換的共軛對(duì)稱性。 （3）Z變換的正變換和逆變換定義， 以及收斂域與序列特性之間的關(guān)系。時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章（5） Z變換的定理和性質(zhì)： 移位、 反轉(zhuǎn)、 z域微分、 共軛序列的Z變換、 時(shí)域卷積定理、 初值定理、 終值定理、 巴塞伐爾定理。 （6） 系統(tǒng)的傳輸函數(shù)和系統(tǒng)函數(shù)的求解。 （7） 用極點(diǎn)分布判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。 （8） 零狀態(tài)響應(yīng)、 零輸入響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的求解。

4、 （9） 用零極點(diǎn)分布定性分析并畫(huà)出系統(tǒng)的幅頻特性。 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章2.1.2重要公式重要公式（1）nnnxeXjje )()(jjde )e (21)(nXnx這兩式分別是傅里葉變換的正變換和逆變換的公式。 注意正變換存在的條件是序列服從絕對(duì)可和的條件， 即nnx)(時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章（2） 若y(n)=x(n)*h(n), 則)e ()e ()e (jjjHXY這是時(shí)域卷積定理。時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章（3） 若y(n)=x(n)h(n), 則)e ()e (21)e (jjjXHY這是頻域卷積定理或者稱復(fù)卷積定理。 （4） )()(21)(enxn

5、xnx)()(21)(onxnxnx時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章式中, xe(n)和xo(n)是序列x(n)的共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列， 常用以求序列的xe(n)和xo(n)。 （5） nnznxzX)()(),( d)(21)(1xxcnRRczzzXjnx這兩式分別是序列Z變換的正變換定義和它的逆Z變換定義。 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章（6） d)(21)(222jneXnxcnvvvYvXnynxd)1()(21)()(1,min1,maxyxyxRRvRRyxyxRRRR1時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章前兩式均稱為巴塞伐爾定理， 第一式是用序列的傅里葉變換表示， 第二式

6、是用序列的Z變換表示。 如果令x(n)=y(n)， 可用第二式推導(dǎo)出第一式。（7） 若x(n)=a|n|, 則)1)(1 (1)(12azazazX1azax(n)=a|n|是數(shù)字信號(hào)處理中很典型的雙邊序列， 一些測(cè)試題都是用它演變出來(lái)的。 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章2.2FT和和ZT的逆變換的逆變換（1） FT的逆變換為 jjde )e (21)(nXnx用留數(shù)定理求其逆變換， 或者將z=ej代入X(ej)中， 得到X(z)函數(shù)， 再用求逆Z變換的方法求原序列。 注意收斂域要取能包含單位圓的收斂域， 或者說(shuō)封閉曲線c可取單位圓。 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章例如， 已知序列x(n)

7、的傅里葉變換為jje11)e (aX1a求其反變換x(n)。 將z=ej代入X(ej)中， 得到111)(azzX因極點(diǎn)z=a， 取收斂域?yàn)閨z|a|， 由X(z)很容易得到x(n)=anu(n)。 （2） ZT的逆變換為),( d)(21)(1xxcnRRczzzXjnx時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章求Z變換可以用部分分式法和圍線積分法求解。 用圍線積分法求逆Z變換有兩個(gè)關(guān)鍵。 一個(gè)關(guān)鍵是知道收斂域以及收斂域和序列特性之間的關(guān)系， 可以總結(jié)成幾句話： 收斂域包含點(diǎn)， 序列是因果序列； 收斂域在某圓以內(nèi)， 是左序列； 收斂域在某圓以外， 是右序列； 收斂域在整個(gè)z面， 是有限長(zhǎng)序列； 以上、

8、 、 均未考慮0與兩點(diǎn)， 這兩點(diǎn)可以結(jié)合問(wèn)題具體考慮。另一個(gè)關(guān)鍵是會(huì)求極點(diǎn)留數(shù)。 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章2.3分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻率特性分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻率特性求信號(hào)與系統(tǒng)的頻域特性要用傅里葉變換。 但分析頻率特性使用Z變換卻更方便。 我們已經(jīng)知道系統(tǒng)函數(shù)的極、 零點(diǎn)分布完全決定了系統(tǒng)的頻率特性， 因此可以用分析極、 零點(diǎn)分布的方法分析系統(tǒng)的頻率特性， 包括定性地畫(huà)幅頻特性， 估計(jì)峰值頻率或者谷值頻率， 判定濾波器是高通、 低通等濾波特性， 以及設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的濾波器（內(nèi)容在教材第5章）等。時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章根據(jù)零、 極點(diǎn)分布可定性畫(huà)幅頻特性。 當(dāng)頻率由0到2變化時(shí)， 觀察零點(diǎn)

9、矢量長(zhǎng)度和極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度的變化， 在極點(diǎn)附近會(huì)形成峰。 極點(diǎn)愈靠進(jìn)單位圓， 峰值愈高； 零點(diǎn)附近形成谷， 零點(diǎn)愈靠進(jìn)單位圓， 谷值愈低， 零點(diǎn)在單位圓上則形成幅頻特性的零點(diǎn)。 當(dāng)然， 峰值頻率就在最靠近單位圓的極點(diǎn)附近， 谷值頻率就在最靠近單位圓的零點(diǎn)附近。 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章2.4例題例題例例2.4.1已知IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)試判斷濾波器的類(lèi)型（低通、 高通、 帶通、 帶阻）。 （某校碩士研究生入學(xué)考試題中的一個(gè)簡(jiǎn)單的填空題）解解： 將系統(tǒng)函數(shù)寫(xiě)成下式:19 . 011)(zzH9 . 09 . 011)(1zzzzH時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章系統(tǒng)的零點(diǎn)為z=0， 極

10、點(diǎn)為z=0.9， 零點(diǎn)在z平面的原點(diǎn)， 不影響頻率特性， 而惟一的極點(diǎn)在實(shí)軸的0.9處， 因此濾波器的通帶中心在=0處。 毫無(wú)疑問(wèn)， 這是一個(gè)低通濾波器。 例例2.4.2假設(shè)x(n)=xr(n)+jxi(n)， xr(n)和xj(n)為實(shí)序列， X(z)=ZTx(n)在單位圓的下半部分為零。 已知其它 02 410 21)(nnnxr求X（ej）=FTx(n)。時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章解解： Xe(ej)=FTxr(n)2cos1 (21e41e4121)(FT)e (2 j2 jrjenxX)e ()e (21)e (jjjeXXX因?yàn)閄(ej)=02所以X(e-j)=X(ej(2-

11、)=00時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章當(dāng)0時(shí)， ， 故)e (21)e (jjeXX)2cos1 (21)e (21)e (jjeXX2cos1)e (jX當(dāng)2時(shí)， X(ej)=0， 故 02cos1)e (jX02時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章因此ReX(ej)=X(ej)ImX(ej)=0例例2.4.3已知02)(nNnnx0nNN+1n2Nn0, 2Nn求x(n)的Z變換。 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章解解： 題中x(n)是一個(gè)三角序列， 可以看做兩個(gè)相同的矩形序列的卷積。 設(shè)y(n)=RN(n)*RN(n), 則 0) 1(210)()()(nNnnRnRnyNNn00nN1N

12、n2N12Nn將y(n)和x(n)進(jìn)行比較， 得到y(tǒng)(n1)=x(n)。 因此 Y（z）z1=X(z)Y(z)=ZTRN(n)ZTRN(n)時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章zzzzzzznRNNNNnnN0 , ) 1(111)(ZT1110故212111111) 1(1) 1(1)(zzzzzzzzzzzXNNNNNN例例2.4.4時(shí)域離散線性非移變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為為常數(shù)和babzazzH ,)(1)(時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章 （1） 要求系統(tǒng)穩(wěn)定， 確定a和b的取值域。 （2） 要求系統(tǒng)因果穩(wěn)定， 重復(fù)（1）。 解： （1） H(z)的極點(diǎn)為a、 b， 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是收斂

13、域包含單位圓， 即單位圓上不能有極點(diǎn)。 因此， 只要滿足|a|1, |b|1即可使系統(tǒng)穩(wěn)定， 或者說(shuō)a和b的取值域?yàn)槌龁挝粓A以的整個(gè)z平面。（2） 系統(tǒng)因果穩(wěn)定的條件是所有極點(diǎn)全在單位圓內(nèi)， 所以a和b的取值域?yàn)?|a|1, 0|b|1時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章例例2.4.5, f1=10 Hz， f2=25 Hz， 用理想采樣頻率Fs=40 Hz對(duì)其進(jìn)行采樣得到。 （1） 寫(xiě)出的表達(dá)式;（2） 對(duì)進(jìn)行頻譜分析， 寫(xiě)出其傅里葉變換表達(dá)式， 并畫(huà)出其幅度譜；（3）如要用理想低通濾波器將cos(2f1t)濾出來(lái)， 理想濾波器的截止頻率應(yīng)該取多少？) 2cos() 2cos()(21tftft

14、x)(tx)(tx)(tx解：)( )2cos()2cos()( 21nTtnTfnTftxn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章（2） 按照采樣定理, 的頻譜是x(t)頻譜的周期延拓， 延拓周期為Fs=40 Hz，x(t)的頻譜為)( tx)2()2()2()2()(2211ffffjX)( )(txFTjX )jj (1nsnXT)22()22( )22()22( 2211nFfnFfnFfnFfTssssn畫(huà)出幅度譜如圖2.4.1所示。時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章圖2.4.1時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章（3） 觀察圖2.4.1， 要把cos(2f1t)濾出來(lái)， 理想低通濾波器的截止頻

15、率fc應(yīng)選在10 Hz和20 Hz之間，可選fc15 Hz。 如果直接對(duì)模擬信號(hào)x(t)=cos(2f1t)+cos(2f2t)進(jìn)行濾波， 模擬理想低通濾波器的截止頻率選在10 Hz和25 Hz之間， 可以把10 Hz的信號(hào)濾出來(lái)， 但采樣信號(hào)由于把模擬頻譜按照采樣頻率周期性地延拓， 使頻譜發(fā)生變化，因此對(duì)理想低通濾波器的截止頻率要求不同。 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章例例2.4.6對(duì)x(t)=cos(2t)+cos(5t)進(jìn)行理想采樣， 采樣間隔T=0.25 s， 得到， 再讓通過(guò)理想低通濾波器G(j)， G(j)用下式表示:)( tx)( tx404 25. 0)j (G(1) 寫(xiě)出的

16、表達(dá)式;(2) 求出理想低通濾波器的輸出信號(hào)y(t)。)( tx時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章)( )5cos() 2cos()( nTtnTnTtxn解解：(1)( )25. 1cos() 5 . 0cos(nTtnnn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章（2） 為了求理想低通濾波器的輸出， 要分析的頻譜。 中的兩個(gè)余弦信號(hào)頻譜分別為在0.5和1.25的位置， 并且以2為周期進(jìn)行周期性延拓， 畫(huà)出采樣信號(hào)的頻譜示意圖如圖2.4.2（a）所示， 圖2.4.2（b）是理想低通濾波器的幅頻特性。 顯然， 理想低通濾波器的輸出信號(hào)有兩個(gè)， 一個(gè)的數(shù)字頻率為0.5， 另一個(gè)的數(shù)字頻率為0.75， 相應(yīng)的

17、模擬頻率為2和3， 這樣理想低通濾波器的輸出為y(t)=0.25cos(2t)+cos(3t)( tx)( tx)( tx時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章圖2.4.2時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章2.5習(xí)題習(xí)題1 設(shè)X(ej)和Y(ej)分別是x(n)和y(n)的傅里葉變換， 試求下面序列的傅里葉變換： (1) x(nn0) (2) x*(n)(3) x(n) (4) x(n)*y(n)(5) x(n)y(n) (6) nx(n)(7) x(2n) (8) x2(n)奇數(shù)偶數(shù)nnnxnx 0 )2/()(9(9)時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章解解：（1） nnnnxnnxj00e )()(

18、FT令n=nn0, 即n=n+n0， 則)e (e )()(FTjj)(j000Xenxnnxnnnn（2）)e (e )(e )()(FTjjjXnxnxnxnnnn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章（3） nnnxnxje )()(FT令n=n， 則)e (e )()(FTjjXnxnxnn（4） FTx(n)*y(n)=X(ej)Y(ej) 下面證明上式成立： mmnymxnynx)()()()(時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章mnnmnymxnynxje)()()()(FT令k=nm, 則)e ()e (e )(e )(ee)()()()(FTjjjjjjyxmxkykymxnynxmn

19、kkmnkk時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章（5） nnnnnYnxnynxnynxjjjjede )e (21)( e )()()()(FT)( j)( jd)e ()e (21de )()e (21XYnxYjnnj時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章或者 )( jjd)e ()e (21)()(FTYXnynx（6） 因?yàn)閚nnxXjje )()e (對(duì)該式兩邊求導(dǎo)， 得到)(jFTe )(jd)e (dnnxnnxXnnjj時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章因此d)e (dj)(FTjXnnx（7） nnnxnxje)2()2(FT令n=2n， 則時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章)(e)e

20、(21)(ee )(21e)() 1()(21e )()2(FT)(21j21j21j21j21j， 2/jXXenxnxnxnxnxnxnnnjnnnnnnnn取偶數(shù)時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章或者)e()e (21)2(FT21j21jXXnx（8） nnnxnxj22e )()(FT利用（5）題結(jié)果， 令x(n)=y(n), 則d)e ()e (21)e ()e (21)(FTjjjj2XXXXnx時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章（9）nnnxnxje )2/()2/(FT令n=n/2， 則)e (e )()2/(FT2 j2 jXnxnxnn2 已知 |, 0|, 1)e (00j

21、X求X(ej)的傅里葉反變換x(n)。 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章解解： nnnxnsinde21)(0j003. 線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（頻率響應(yīng)函數(shù)）H(ej)=|H(ej)|ej()， 如果單位脈沖響應(yīng)h(n)為實(shí)序列， 試證明輸入x(n)=A cos(0n+j)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為)(cos| )e (|)(00j0jnHAny時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章解解： 假設(shè)輸入信號(hào)x(n)=ej0n，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為h(n)， 則系統(tǒng)輸出為nmmnmmnHmhmhnxnhny00000jjjj)(je )e (e )(e e )()()()(上式說(shuō)明當(dāng)輸入信號(hào)為復(fù)指數(shù)序列時(shí)， 輸出序列

22、仍是復(fù)指數(shù)序列， 且頻率相同， 但幅度和相位取決于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù)。 利用該性質(zhì)解此題：時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章)cos()(0jnAnxeeee 21jjjj00jjnnA)(jjjj)(jjjjjjjjjj0000000000e)e (eee)e (e21)e (ee)e (ee 21)(jjjjHHeAHHAnynnnn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章上式中|H(ej)|是的偶函數(shù)， 相位函數(shù)是的奇函數(shù)， |H(ej)|=|H(e-j)|， ()=(), 故)(cos()e (eeeeee)e (21)(00j)(j)(jjj000000jjjnHAHAnynjjnj4設(shè)其它01 .

23、 01)(nnx時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章將x(n)以4為周期進(jìn)行周期延拓， 形成周期序列， 畫(huà)出x(n)和的波形， 求出的離散傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換。)(nx)(nx)(nx)(kX解： 畫(huà)出x(n)和的波形如題4解圖所示。 )(nx為周期以4) ( e)4cos(2)ee (ee1ee )()(DFS)(4j4j4j4j2j102j42j30kXknxnxkXkkkkknknknn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章題4解圖時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章或者 為周期以4)( 41sin21sine )e(ee)ee (ee1e1e)(4141j41j41j21j21j21j2j102j

24、kXkkkXkjkkkkkkkkjnkn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章)2( e )4cos()2( )(2)42()(42)(FT)e (4jjkkkkXkkXnxXkkkk時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章5. 設(shè)題5圖所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示， 不直接求出X(ej)， 完成下列運(yùn)算或工作：題5圖時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章)e (0 jX(1)(2)jd)e (X(3)e (jX(4) 確定并畫(huà)出傅里葉變換實(shí)部ReX(ej)的時(shí)間序列xa(n)；2jd| )(e|X(5)(6)d|d)e (d|2jX時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章解解(1)6)()e (730 jn

25、nxX(2)42)0(d)e (jxX(3)2)() 1(e )()e (73jjnnnnnxnxX（4） 因?yàn)楦道锶~變換的實(shí)部對(duì)應(yīng)序列的共軛對(duì)稱部分， 即nnjnxeXRjeee )()()()(21)(enxnxnx時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章按照上式畫(huà)出xe(n)的波形如題5解圖所示。題5解圖時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章(5)28)(2d)e (7322njnxX(6) 因?yàn)?(jFTd)e (djnnxX因此316)(2dd)e (d7322jnnnxX時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章6 試求如下序列的傅里葉變換：(1) x1(n)=(n3)(2) 1(21)() 1(21)(

26、2nnnnx(3) x3(n)=anu(n)0a1(4) x4(n)=u(n+3)u(n4)解解(1)3jjj1ee)3()e (nnnX時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章(2)cos1)ee (211 e211e21e )()e (jjjjj2j2nnnxX(3)j0jjj3e11e e )()e (aanuaXnnnnnn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章(4)33jjj4ee )4()3()e (nnnnnunuXjj3 jj4j31j30j31j30jee1e1e1e1eeeennnnnnnn)21sin()27sin(e)ee (e)ee (eee1e1e1eee1e1e1e13j21j

27、21j21j27j27j27j3 jj7 jj4 j3 jj3jj4 j時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章或者: ) 3()4() 3()(73nRnununxnnnRXj7j4e )3()e (j7 j60j7e1e1e)(FTnnnRnnnRXj7j4e )3()e (3 jj7 jee1e1)21sin()27sin()ee (e)ee (ee)ee (e)ee (e2j2j2j27j27j2j3 j2j2j227j2727jjj時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章7 設(shè)： （1） x(n)是實(shí)偶函數(shù)， （2） x(n)是實(shí)奇函數(shù)， 分別分析推導(dǎo)以上兩種假設(shè)下， 其x(n)的傅里葉變換性質(zhì)。

28、解解：令nnnxXjje )()e (1) 因?yàn)閤(n)是實(shí)偶函數(shù)， 對(duì)上式兩邊取共軛， 得到)e (e)(e)()e (j)( jjjXnxnxXnnnn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章因此 X(ej)=X*（ej）上式說(shuō)明x(n)是實(shí)序列， X(ej)具有共軛對(duì)稱性質(zhì)。 nnnnxnxXsinj)cos(e )()e (jj由于x(n)是偶函數(shù)， x(n) sin是奇函數(shù)， 那么nnx0sin)(因此nnxXcos)()e (j時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章該式說(shuō)明X(ej)是實(shí)函數(shù)， 且是的偶函數(shù)。 總結(jié)以上, x(n)是實(shí)偶函數(shù)時(shí)， 對(duì)應(yīng)的傅里葉變換X(ej)是實(shí)函數(shù)， 是的偶函數(shù)。

29、 （2） x(n)是實(shí)奇函數(shù)。 上面已推出， 由于x(n)是實(shí)序列， X(ej)具有共軛對(duì)稱性質(zhì)， 即 X(ej)=X*(ej)nnnnxnxXsinj)cos(e )()e (jj時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章由于x(n)是奇函數(shù)， 上式中x(n) cos是奇函數(shù)， 那么0cos)(nnx因此 nnxXsin)(j)(ej這說(shuō)明X(ej)是純虛數(shù)， 且是的奇函數(shù)。 8 設(shè)x(n)=R4(n)， 試求x(n)的共軛對(duì)稱序列xe(n)和共軛反對(duì)稱序列xo(n)， 并分別用圖表示。 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章解解：)()(21)(44enRnRnx)()(21)(44onRnRnxxe(n

30、)和xo(n)的波形如題8解圖所示。 題8解圖時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章9已知x(n)=anu(n), 0a1， 分別求出其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)的傅里葉變換。解解：nnnxXjje )()e (因?yàn)閤e(n)的傅里葉變換對(duì)應(yīng)X(ej)的實(shí)部， xo(n)的傅里葉變換對(duì)應(yīng)X(ej)的虛部乘以j， 因此時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章cos21cos1e1e1e11e11)e ()(FT2jjjejejeeaaaaaaRaRXRnxcos21sine1e1e11Imje11Imje (Imj)(FT2jjjjjaaaaaaaXnxo時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章10 若序列h

31、(n)是實(shí)因果序列， 其傅里葉變換的實(shí)部如下式： HR(ej)=1+cos求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 解解：nnRnhnhHjeejjje )()(FT e21e211cos1)e (時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章121011 21)(ennnnhnnnnnhnnhnnh其它01101 0)(20)(00)(ee)2/cos(e2e1e )()e (2/jjjjnnnhH時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章11 若序列h(n)是實(shí)因果序列， h(0)=1， 其傅里葉變換的虛部為HI(ej)=sin求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 解解： eej21sin)e (jjjIHn

32、noIonhHnhjjjje )(ee 21)(ej)(FT時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章12100121)(onnnnhnnnnnhnnhnnh其它011010)(20)(00)(o)2/cos(e2e1e )()e (2/jjjjnnnhH時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章12 設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n), 0a1， 輸入序列為x(n)=(n)+2(n2)完成下面各題： (1) 求出系統(tǒng)輸出序列y(n)； (2) 分別求出x(n)、 h(n)和y(n)的傅里葉變換。 解解(1)2(2)( )2()()()()(2nuanuannnuanxnhnynnn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻

33、域分析第章(2)2 jjje21e)2(2)()e (nnnnXj0jjje11ee )()e (aanuaHnnnnnnj2jjjje1e21)e ()e ()e (aXHY時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)， 式中f0=100 Hz， 以采樣頻率fs=400 Hz對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣， 得到采樣信號(hào)和時(shí)域離散信號(hào)x(n)， 試完成下面各題： （1） 寫(xiě)出的傅里葉變換表示式Xa(j)； （2） 寫(xiě)出和x(n)的表達(dá)式； （3） 分別求出的傅里葉變換和x(n)序列的傅里葉變換。 解解： )(txa)(txa)(txa)(txatttttxXttttta

34、ade ee de )cos(2de )()j ( jjjj0j00時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在， 引入奇異函數(shù)函數(shù)， 它的傅里葉變換可以表示成： )()(2)j ( 00aX（2） )()cos(2)()()(0nnaanTtnTnTttxtxnnTnx- )cos(2)(0ms 5 . 21 rad 2002s00fTf時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章（3） )()(2 )jj (1)(s00ksksaakkTkXTjX式中rad/s 8002ssf)2()2(2e ee e )cos(2e )cos(2e )()e (00jjjj0j0jj00kknn

35、TnxXknnnnnnnnnn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章式中0=0T=0.5 rad上式推導(dǎo)過(guò)程中， 指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在， 只有引入奇異函數(shù)函數(shù)才能寫(xiě)出它的傅里葉變換表示式。 14 求出以下序列的Z變換及收斂域:(1) 2nu(n)(2) 2nu(n1)(3) 2nu(n)(4) (n)(5) (n1)(6) 2nu(n)u(n10)時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章解(1)21 2112)(2)(2ZT110zzzznununnnnnnn(2)21 21121222) 1(2)1(2ZT1111zzzzzzznununnnnnnnnnn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章21 2

36、112 2)(2)(2ZT00zzzzznununnnnnnnnnn(3)(4) ZT(n)=10|z|(5) ZT(n1)=z10|z|(6) 0 2121 2)10()(2ZT11101090zzzznununnnn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章15 求以下序列的Z變換及其收斂域， 并在z平面上畫(huà)出極零點(diǎn)分布圖。 (1) x(n)=RN(n)N=4(2) x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9, 0=0.5 rad, j=0.25 rad(3)其它02 12 0)(NnNnNNnnnx式中， N=4。時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章解(1) 0 ) 1(1z11 )()(

37、3414304zzzzzzznRzXnnnn由z41=0， 得零點(diǎn)為3 , 2 , 1 , 0 ez 42jkkk由z3(z1)=0， 得極點(diǎn)為 z1, 2=0, 1零極點(diǎn)圖和收斂域如題15解圖(a)所示， 圖中, z=1處的零極點(diǎn)相互對(duì)消。時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章題15解圖時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章(2) )( ee eeAr21 )()cos()(jjjj000nununArnxnnnnjjje1ee1e21eeee21)(1jj1j00jjjj0000zrzrAzrzrAzXjnnnnnnnnjjjj)e1 ()e1 ()cos(cos1j1j1000zrzrzrAjjrz

38、 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章零點(diǎn)為 cos)cos(01jj rz極點(diǎn)為00j3j2e erzrz極零點(diǎn)分布圖如題15解圖(b)所示。(3)令y(n)=R4(n), 則x(n+1)=y(n)*y(n)zX(z)=Y(z)2, X(z)=z1Y(z)2時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章因?yàn)? 1(111)(3414zzzzzzY因此2472341) 1(11) 1(1)(zzzzzzzzX極點(diǎn)為z1=0, z2=1零點(diǎn)為3 , 2 , 1 , 0 e42jkzkk在z=1處的極零點(diǎn)相互對(duì)消， 收斂域?yàn)?|z|， 極零點(diǎn)分布圖如題15解圖(c)所示。時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章16 已知1

39、12122113)(zzzX求出對(duì)應(yīng)X(z)的各種可能的序列表達(dá)式。 解解： X(z)有兩個(gè)極點(diǎn)： z1=0.5, z2=2， 因?yàn)槭諗坑蚩偸且詷O點(diǎn)為界， 因此收斂域有三種情況： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。 （1）收斂域|z|0.5： 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章zzzXjnxcnd)(21)(1令nnnzzzzzzzzzzXzF)2)(5 . 0(75 )21)(5 . 01 (75)()(11111n0時(shí)， 因?yàn)閏內(nèi)無(wú)極點(diǎn)，x(n)=0;n1時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0 ， 但z=0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改為求圓外極點(diǎn)留數(shù)， 圓外極點(diǎn)有z1=0.5

40、, z2=2， 那么時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章) 1(22)21(3)2()2)(5 . 0()75()5 . 0()2)(5 . 0()75(2),(sRe5 . 0),( sRe)(25 . 0nuzzzzzzzzzzzFzFnxnnznzn(2)收斂域0.5|z|2:)2)(5 . 0()75()( zzzzzFn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5，nzFnx)21(35 . 0 ),( sRe)( n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0.5、 0 ， 但 0 是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求c外極點(diǎn)留數(shù)， c外極點(diǎn)只有一個(gè)， 即2，x(n)=ResF(z), 2=2 2nu(n

41、1)最后得到) 1(22)()21(3)(nununxnn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章（3）收斂域|z|2: )2)(5 . 0()75()( zzzzzFnn0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0.5、 2，nnzFzFnx222132 ),( sRe5 . 0),( sRe)( n0時(shí)， 由收斂域判斷， 這是一個(gè)因果序列， 因此x(n)=0； 或者這樣分析， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2、 0， 但0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外無(wú)極點(diǎn)， 所以x(n)=0。 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章最后得到)(22213)( nunxnn17 已知x(n)=anu(n), 0a1。 分別求： (1) x(

42、n)的Z變換；(2) nx(n)的Z變換；(3) anu(n)的Z變換。解解： (1)azazznuanuazXnnnn 11)()(ZT)(1時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章azazazzXzznnx )1 ()(dd)( ZT212(2)(3)100 11)(ZTazazzazanuannnnnnn18 已知2112523)(zzzzX分別求： （1） 收斂域0.5|z|2對(duì)應(yīng)的原序列x(n)。 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章解解：cnzzzXnxd)(j21)(1)2)(5 . 0(232523)()(12111zzzzzzzzzXzFnnn（1） 收斂域0.5|z|2:n0時(shí)，c內(nèi)有

43、極點(diǎn)0.5，x(n)=ResF(z), 0.5=0.5n=2nn0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 0， 但0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改求c外極點(diǎn)留數(shù)， c外極點(diǎn)只有2， x(n)=ResF(z), 2=2n時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章最后得到 x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n|n2:n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2，nnznnzzzzzFzFnx25 . 0)2()2)(5 . 0(235 . 02),(sRe5 . 0),( sRe)( 2時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2、 0， 但極點(diǎn)0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求c外極點(diǎn)留數(shù)， 可是c外沒(méi)有極點(diǎn)， 因此x

44、(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n)19 用部分分式法求以下X(z)的反變換：21|,252311)(211zzzzzX(1)時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章(2)21|,41121)(21zzzzX解解： (1)21z 411311)(21zzzX 4131)(22zzzzX時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章21652161 )21)(21(31 4131)(2zzzzzzzzzX)(2165)21(61)(2116521161)(11nunxzzzXnn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章(2)21z 41121)(21zzzX 21252123 2121z2z 412)(2z

45、zzzzzzX112112521123)(zzzX時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章) 1()21(25)21(23)(nunxnn20 設(shè)確定性序列x(n)的自相關(guān)函數(shù)用下式表示： nxxmnxnxmr)()()(試用x(n)的Z變換X(z)和x(n)的傅里葉變換X(ej)分別表示自相關(guān)函數(shù)的Z變換Rxx(z)和傅里葉變換Rxx(ej)。時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章解： 解法一nxxmnxnxmr)()()(mnmmnmxxzmnxnxzmnxnxzR )()()()()(令m=n+m, 則)()( )()()()()(1zXzXzmxznxzmxnxzRnmmnnmnmxx時(shí)域離散信號(hào)和

46、系統(tǒng)的頻域分析第章解法二)()()()()()()()(1zXzXzRmxmxmnxnxmrxxnxx)e ()e ()()e (jjejjXXzRRzxxxx因?yàn)閤(n)是實(shí)序列， X(ej)=X*(ej)， 因此2jj)e ()e (XRxx時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章21 用Z變換法解下列差分方程： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0 n1(2) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(1)=1， y(n)=0n1(3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n) y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 當(dāng)n3時(shí)。解解

47、： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0n1)1)(9 . 01 (05. 0)(1105. 0)(9 . 0)(1111zzzYzzzYzY時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章1111119 . 005. 019 . 0105. 0)()(nnnzzzzzzzzYzFn0時(shí)， 5 . 09 . 05 . 0 1 . 005. 0)9 . 0(1 . 005. 0 1),( sRe9 . 0),( sRe)(11nnzFzFnyn0時(shí)， y(n)=0最后得到 y(n)=0.5 (0.9)n+1+0.5u(n)時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章(2) y(n)0.9y(n

48、1)=0.05u(n), y(1)=1, y(n)=0 n1111105. 0)()(9 . 0)(zzkyzYzzYkk11111105. 09 . 0)(9 . 0)(105. 0) 1()(9 . 0)(zzYzzYzzyzYzzY)1)(9 . 01 (9 . 095. 0)(111zzzzY時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章nnnzzzzzzzzzzYzF) 1)(9 . 0(9 . 095. 0)1)(9 . 01 (9 . 095. 0)()(11111n0時(shí)， )()5 . 0)9 . 0(45. 0( 1 ),( sRe9 . 0 ),( sRe)(nuzFzFnynn0時(shí)，

49、y(n)=0最后得到 y(n)=0.45(0.9)n+0.5u(n)時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章(3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n)y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 當(dāng)n2時(shí)Y(z)0.8z1Y(z)+y(1)z0.15z2Y(z)+y(1)z+y(2)z2=121115. 08 . 013 . 091. 1)(zzzzYnnnzzzzzzzzzzYzF)5 . 0)(3 . 0(3 . 091. 115. 08 . 013 . 091. 1)()(12111時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章n0時(shí)，nnzFzFny5 . 02 . 0275. 1

50、3 . 02 . 0873. 0 5 . 0 ),( sRe 3 . 0 ),( sRe)( y(n)=4.365 0.3n+6.375 0.5nn0時(shí), y(n)=0最后得到 y(n)=(4.365 0.3n+6.375 0.5n)u(n)時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章22 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為為實(shí)數(shù)aazzazH 11)(111（1） 在z平面上用幾何法證明該系統(tǒng)是全通網(wǎng)絡(luò)， 即|H(ej)|=常數(shù)；（2） 參數(shù) a 如何取值， 才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定？畫(huà)出其極零點(diǎn)分布及收斂域。 解解： 11)(1111azazazzazH(1)時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章極點(diǎn)為a, 零

51、點(diǎn)為a1。 設(shè)a=0.6， 極零點(diǎn)分布圖如題22解圖(a)所示。 我們知道|H(ej)|等于極點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度除以零點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度， 按照題22解圖(a)， 得到ACABaaazazHzj1je1jee)e (j因?yàn)榻枪茫?aOAOBOCOA1，且AOBAOC， 故aACAB1，即時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章aACABH1)e (j故H(z)是一個(gè)全通網(wǎng)絡(luò)。 或者按照余弦定理證明:1cos22aaAC1cos212aaABaaaaaaACABH1cos21cos21)(e221j時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章題22解圖時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章（2） 只有選擇|a|1才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定

52、。 設(shè)a=0.6， 極零點(diǎn)分布圖及收斂域如題22解圖(b)所示。 23 設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述： y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)（1） 求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)， 并畫(huà)出極零點(diǎn)分布圖；（2） 限定系統(tǒng)是因果的， 寫(xiě)出H(z)的收斂域， 并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)；（3） 限定系統(tǒng)是穩(wěn)定性的， 寫(xiě)出H(z)的收斂域， 并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)。 解： （1） y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)將上式進(jìn)行Z變換， 得到 Y(z)=Y(z)z1+Y(z)z2+X(z)z1時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章因此2111)(zzzzH11)(2211zzzzzzzH零點(diǎn)為z

53、=0。 令z2z1=0， 求出極點(diǎn)： 2511z2512z極零點(diǎn)分布圖如題23解圖所示。 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章題23解圖時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章(2) 由于限定系統(tǒng)是因果的， 收斂域需選包含點(diǎn)在內(nèi)的收斂域， 即。 求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)可以用兩種方法， 一種是令輸入等于單位脈沖序列， 通過(guò)解差分方程， 其零狀態(tài)輸入解便是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)； 另一種方法是求H(z)的逆Z變換。 我們采用第二種方法。 2/ )51 ( zzzzHzHTZnhcnd)(j21)()(11式中時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章 1)(212zzzzzzzzzH2511z2512z，令211)()(zz

54、zzzzzHzFnn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章n0時(shí)， h(n)=ResF(z), z1+ResF(z), z2nnnnzznzznzzzzzzzzzzzzzzzzzz25125151zz12221122112121因?yàn)閔(n)是因果序列, n0時(shí)， h(n)=0， 故)(25125151)( nunhnn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章(3) 由于限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 收斂域需選包含單位圓在內(nèi)的收斂域， 即|z2|z|z1|, 211)()(zzzzzzzHzFnnn0時(shí)， c內(nèi)只有極點(diǎn)z2， 只需求z2點(diǎn)的留數(shù)， nzzFnh)251(51),( sRe)(2時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分

55、析第章n0時(shí)， c內(nèi)只有兩個(gè)極點(diǎn)： z2和z=0， 因?yàn)閦=0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求圓外極點(diǎn)留數(shù)， 圓外極點(diǎn)只有一個(gè)， 即z1, 那么nzzFnh25151),( sRe)(1最后得到) 1(25151)(25151)(nununynn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章24 已知線性因果網(wǎng)絡(luò)用下面差分方程描述： y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)（1） 求網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)及單位脈沖響應(yīng)h(n)； （2） 寫(xiě)出網(wǎng)絡(luò)頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej)的表達(dá)式， 并定性畫(huà)出其幅頻特性曲線； （3） 設(shè)輸入x(n)=ej0n， 求輸出y(n)。 解： （1） y(n)=0.9y(n1)+

56、x(n)+0.9x(n1)Y(z)=0.9Y(z)z1+X(z)+0.9X(z)z1時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章119 . 019 . 01)(zzzHcnzzzHnhd)(j21)(1令119 . 09 . 0)()(nnzzzzzHzFn1時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.9，nznzzzzzFnh9 . 02)9 . 0(9 . 09 . 09 . 0),( sRe)( 9 . 01時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章n=0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.9 ， 0，0),( sRe9 . 0),( sRe)( ZFzFnh2)9 . 0()9 . 0(9 . 09 . 0),( sRe9 . 0zzzzzzF1)

57、9 . 0(9 . 00),(sRe0zzzzzzF最后得到 h(n)=2 0.9nu(n1)+(n)時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章（2） jje11e9 . 01e9 . 019 . 019 . 01)(FT)e (jzzznhH極點(diǎn)為z1=0.9, 零點(diǎn)為z2=0.9。 極零點(diǎn)圖如題24解圖(a)所示。 按照極零點(diǎn)圖定性畫(huà)出的幅度特性如題24解圖(b)所示。 （3）nnx0je)(00000jjjje9 . 01e9 . 01e)(e)(njneHny時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章題24解圖時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章25 已知網(wǎng)絡(luò)的輸入和單位脈沖響應(yīng)分別為x(n)=anu(n),

58、h(n)=bnu(n) 0a1, 0b1（1） 試用卷積法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)； （2） 試用ZT法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)。 解解： （1） 用卷積法求y(n)。mmnmmnuamubnxnhny)()()()()(n0時(shí)， babababaabaabanynnnnnnmmmnnmmmn111110011)( 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章n0時(shí)，y(n)=0最后得到)()( 11nubabanynn（2） 用ZT法求y(n)。 1111)( 11)(bzzHazzX)1)(1 (1)()()(11bzazzHzXzY，時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章zzzYnyncd)(j21)(1令bzazz

59、bzazzzzYzFnnn1111111)()(n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)： a、 b, 因此babaabbbaabzFRazFnynnnn1111),(es),(sRe)(時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章因?yàn)橄到y(tǒng)是因果系統(tǒng), 所以n0時(shí)， y(n)=0。 最后得到)()(11nubabanynn26 線性因果系統(tǒng)用下面差分方程描述： y(n)2ry(n1) cos+r2y(n2)=x(n)式中， x(n)=anu(n), 0a1, 0rmax(r, |a|)， 且n0時(shí)， y(n)=0， 故時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章cnzzzYnyd)(j21)(1c包含三個(gè)極點(diǎn)， 即a、 z1、 z2。)

60、()( )()()()(21212131zzzzazzzzzzzazzzzYzFnnn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章)()()()()()( )()()( )()()(),( sRe),( sRe),( sRe)(1222221121212221212122122121zzazzzzazzzazaazzzzzzazzzzzzzzazzazzzzzazzzzFzzFazFnynnnzznzznazn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章)e)(e(sin2 jsin2)e(e)e(ejj22-jj2jjararrarjrarrarnnn27 如果x1(n)和x2(n)是兩個(gè)不同的因果穩(wěn)定實(shí)序列， 求