第6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)09-10-1

1、第第6 6章章 無限長單位脈沖響應(yīng)（無限長單位脈沖響應(yīng)（IIRIIR） 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 6.1 6.1 基本概念基本概念 6.2 6.2 常用模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法常用模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法6.3 6.3 模擬濾波器的頻率變換模擬濾波器的頻率變換6.4 6.4 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器6.5 6.5 用雙線性變換法設(shè)計(jì)用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)v理解數(shù)字濾波器的基本概念理解數(shù)字濾波器的基本概念v掌握掌握ButterworthButterworth低通濾波器的特點(diǎn)低通濾波器的特

2、點(diǎn)v了解利用模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的過程了解利用模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的過程v了解利用頻帶變換法設(shè)計(jì)各種類型濾波器的了解利用頻帶變換法設(shè)計(jì)各種類型濾波器的方法方法v掌握脈沖響應(yīng)不變法掌握脈沖響應(yīng)不變法v掌握雙線性變換法掌握雙線性變換法)(jeX0)(jeYc0)()()(nhnxny)()()(jjjeHeXeY0)(jeHc16.1 基本概念基本概念 數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器： 是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過一定運(yùn)算關(guān)是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號所含系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例頻率成分的相對比例或者或者濾除某濾除某些頻率成分些頻率成分的器件。的器件。優(yōu)

3、點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： 高精度、高穩(wěn)定性、體積小、重量輕、靈活；高精度、高穩(wěn)定性、體積小、重量輕、靈活；不要求阻抗匹配；不要求阻抗匹配；可實(shí)現(xiàn)特殊濾波功能；可實(shí)現(xiàn)特殊濾波功能；通過通過A/DCA/DC和和D/ACD/AC，使用數(shù)字濾波器對模擬信號處理，使用數(shù)字濾波器對模擬信號處理 一、一、 數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器的分類1 1、一般分類、一般分類經(jīng)典濾波器：輸入信號中的有用頻率成分和希望濾除經(jīng)典濾波器：輸入信號中的有用頻率成分和希望濾除 的頻率成分占用不同頻帶的頻率成分占用不同頻帶 通過選頻濾波器達(dá)到濾波目的通過選頻濾波器達(dá)到濾波目的現(xiàn)代濾波器：信號和干擾的頻帶相互重疊，要利用信現(xiàn)代濾波器：信號和干擾的

4、頻帶相互重疊，要利用信 號的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，從干擾中最佳提取號的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，從干擾中最佳提取 信號，如：信號，如： 維納濾波器、維納濾波器、 卡爾曼濾波器、卡爾曼濾波器、 自適應(yīng)濾波器等自適應(yīng)濾波器等w0-|H(ejw)|低通(LF)頻率響應(yīng)2-2w0-|H(ejw)|高通(HF)頻率響應(yīng)2-2w0-|H(ejw)|帶通BF頻率響應(yīng)2-2w0-|H(ejw)|帶阻BS頻率響應(yīng)2-2特點(diǎn)：特點(diǎn)：(1)(1)單位脈沖響應(yīng)是非因果且無限長，不可能實(shí)現(xiàn)，只能盡可單位脈沖響應(yīng)是非因果且無限長，不可能實(shí)現(xiàn)，只能盡可 能逼近；能逼近；(2)DF(2)DF的傳輸函數(shù)是以的傳輸函數(shù)是以2 2 為周期，為周期，低

5、通的中心頻帶低通的中心頻帶處于處于2 2 的整的整 數(shù)倍處數(shù)倍處，高通的中心頻帶高通的中心頻帶處于處于 的奇數(shù)倍附近。的奇數(shù)倍附近。 2、按功能分：按功能分：LP、HP、BP、BS、全通濾波器、全通濾波器 0)(jeHc10)(jeHc1如何用實(shí)際如何用實(shí)際特性逼近理特性逼近理想特性？想特性？3、按實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或單位抽樣響應(yīng)分：、按實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或單位抽樣響應(yīng)分：IIR濾波器濾波器（N階階） NkkkMkkkzazbzH101FIR濾波器濾波器（N-1階階） 10NnnznhzH全極點(diǎn)系統(tǒng)或零、極點(diǎn)系統(tǒng)全極點(diǎn)系統(tǒng)或零、極點(diǎn)系統(tǒng)全零點(diǎn)系統(tǒng)全零點(diǎn)系統(tǒng) 二、二、 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程數(shù)字濾波器的設(shè)

6、計(jì)過程 1）按設(shè)計(jì)任務(wù)，確定濾波器性能要求，制定技術(shù)按設(shè)計(jì)任務(wù)，確定濾波器性能要求，制定技術(shù)指標(biāo)；指標(biāo)； 2）用一個因果穩(wěn)定的用一個因果穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近逼近此性能指標(biāo)，根據(jù)不同要求可以用此性能指標(biāo)，根據(jù)不同要求可以用IIR系統(tǒng)函數(shù)，也可系統(tǒng)函數(shù)，也可以用以用 FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近；系統(tǒng)函數(shù)去逼近； 3）利用有限精度算法實(shí)現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運(yùn)算結(jié)利用有限精度算法實(shí)現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運(yùn)算結(jié)構(gòu)、字長的選擇等。構(gòu)、字長的選擇等。 三、三、 數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)jwejjwjweeHeH|H(ejw)|系統(tǒng)的幅頻特性：系統(tǒng)的幅頻特性：表示信號通過該表示

7、信號通過該濾波器濾波器后各頻率成分衰減情況。后各頻率成分衰減情況。(ejw)系統(tǒng)的相頻特性：系統(tǒng)的相頻特性：反映各頻率成分通過濾波反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況。器后在時間上的延時情況。u兩個濾波器幅頻特性相同，相頻特性可能不一樣，兩個濾波器幅頻特性相同，相頻特性可能不一樣，對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形也是不一樣對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形也是不一樣的。的。u選頻濾波器的技術(shù)指標(biāo)由幅頻特性給出，對相頻特選頻濾波器的技術(shù)指標(biāo)由幅頻特性給出，對相頻特性一般不作要求，但如果對輸出波形有要求，則需性一般不作要求，但如果對輸出波形有要求，則需要考慮相頻特性的技術(shù)指標(biāo)，例如，語音

8、合成、波要考慮相頻特性的技術(shù)指標(biāo)，例如，語音合成、波形傳輸、圖像信號處理等。本章主要研究由幅頻特形傳輸、圖像信號處理等。本章主要研究由幅頻特性提出指標(biāo)的選頻濾波器的設(shè)計(jì)。性提出指標(biāo)的選頻濾波器的設(shè)計(jì)。011 通帶截止頻率通帶截止頻率阻帶截止頻率阻帶截止頻率111PSSP2過渡帶過渡帶通帶通帶阻帶阻帶jweH 通帶容限通帶容限1 阻帶容限阻帶容限2在在通帶通帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以最大誤差內(nèi)，幅度響應(yīng)以最大誤差1 1逼近于逼近于1 1，即，即 在在阻帶阻帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以誤差小于內(nèi)，幅度響應(yīng)以誤差小于2 2而逼近于零，即而逼近于零，即 2| )(|jeHs|1| )(|11jeH|p 在在過渡帶過渡帶，從

9、通帶平滑地下降到阻帶，從通帶平滑地下降到阻帶在具體技術(shù)指標(biāo)中往往使用在具體技術(shù)指標(biāo)中往往使用通帶允許的最大衰減通帶允許的最大衰減（波紋）和（波紋）和阻阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減描述，定義分別為：描述，定義分別為： 2010lg20| )(|lg20| )(| )(|lg20)1lg(20| )(|lg20| )(| )(|lg20ssppjjjsjjjpeHeHeHeHeHeH 假定假定|H(ej0)|=1(已被歸一化已被歸一化)|H(ejc)|=0.707，則，則 =3 dB；wc為為3db通帶截止頻率通帶截止頻率|H(ejs)|=0.001，則，則 =60 dB。psNkkMk

10、kNkkkMkkkzdzcAzazbzH111110)1 ()1 (1)(IIRIIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計(jì)就是確定各系數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計(jì)就是確定各系數(shù)a ak k, , b bk k或零極點(diǎn)或零極點(diǎn)c ck k，d dk k和和A A，以使濾波器滿足給定的性能要，以使濾波器滿足給定的性能要求。求。四、四、 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)方法通常有以下兩種：設(shè)計(jì)方法通常有以下兩種： 1. 1. 先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器wp , wsp, sH(s)H(z)巴特沃思設(shè)計(jì)巴特沃思設(shè)計(jì)切比雪夫設(shè)計(jì)切比雪夫設(shè)計(jì)脈沖響應(yīng)不變

11、脈沖響應(yīng)不變雙線性變換法雙線性變換法2. 2. 直接設(shè)計(jì)法直接設(shè)計(jì)法 零極點(diǎn)位置累試法零極點(diǎn)位置累試法 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法6.2 常用模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法常用模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法 常用的模擬濾波器原型有常用的模擬濾波器原型有: :u 巴特沃思（巴特沃思（ButterworthButterworth）濾波器）濾波器 具有單調(diào)下降的幅頻特性具有單調(diào)下降的幅頻特性u 切比雪夫（切比雪夫（ChebyshevChebyshev）濾波器）濾波器 幅頻特性在通帶或阻帶有波動幅頻特性在通帶或阻帶有波動u 橢圓（橢圓（EllipseEllipse）濾波器）濾波器 通帶和阻帶均為等波紋特性通

12、帶和阻帶均為等波紋特性u 貝塞爾（貝塞爾（BesselBessel）濾波器）濾波器 通帶內(nèi)有較好的線性相位特性通帶內(nèi)有較好的線性相位特性以這些數(shù)學(xué)函以這些數(shù)學(xué)函數(shù)命名的濾波數(shù)命名的濾波器是低通濾波器是低通濾波器的原型器的原型圖圖 各種理想模擬濾波器的幅頻特性各種理想模擬濾波器的幅頻特性 )(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c|Ha(j )|0.707 p s通帶通帶阻帶阻帶過過渡渡帶帶10 C p s通帶通帶過過渡渡帶帶阻帶阻帶 (dB) 衰減衰減 p S 0一、模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法一、模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法1 1、模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有

13、：、模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有：pp、ss、pp、sspp和和ss分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率; ;p p是通帶中的最大衰減系數(shù)，是通帶中的最大衰減系數(shù)，s s是阻帶的最小衰減系數(shù)，是阻帶的最小衰減系數(shù)，p和和s一般用一般用dB數(shù)表示。對于單調(diào)下降的幅度特性，數(shù)表示。對于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：可表示成：22220lg100lg10saaspaapjHjHjHjH圖中c稱為3dB截止頻率，因 ( )1 /2 ,2 0 lg ( ) 3a ca cHjHjd B ( ) 1 / 2 , 2 0 lg ( ) 3acacHjHjd B22lg10lg1

14、01010saspapajHjHjH，即處幅度已歸一化到如果2、 逼近方法逼近方法用頻率響應(yīng)的幅度平方函數(shù)逼近用頻率響應(yīng)的幅度平方函數(shù)逼近)()(| )(|*2jHjHjHaaa由于濾波器沖激響應(yīng)由于濾波器沖激響應(yīng)ha(t)是實(shí)函數(shù)，因而是實(shí)函數(shù)，因而Ha(j)滿足滿足 )()(*jHjHaajsaaaaasHsHjHjHjH| )()()()(| )(|2u 如何由如何由|Ha(j)|2求求Ha(s)？jsaaaaasHsHjHjHjH| )()()()(| )(|2穩(wěn)定的濾波器要求左半平面的極點(diǎn)一穩(wěn)定的濾波器要求左半平面的極點(diǎn)一定屬于定屬于Ha(s)，則右半平面的極點(diǎn)必屬，則右半平面的極點(diǎn)

15、必屬于于Ha(-s)；將以虛軸為對稱軸的對稱零點(diǎn)的任一將以虛軸為對稱軸的對稱零點(diǎn)的任一半作為半作為Ha(s)的零點(diǎn)，虛軸上的零點(diǎn)一的零點(diǎn)，虛軸上的零點(diǎn)一半歸半歸Ha(s)。由由|Ha(j)|2確定確定Ha(s)的方法：的方法：由幅度平方函數(shù)得象限對稱的由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s s平面函數(shù)；平面函數(shù)；將將H Ha a(s)Ha(-s)(s)Ha(-s)因式分解，得到各零極點(diǎn)；因式分解，得到各零極點(diǎn)；對比對比H Ha a(j)(j)和和H Ha a(s)(s)，確定增益常數(shù)；，確定增益常數(shù)；1.1. 由零極點(diǎn)及增益常數(shù)，得由零極點(diǎn)及增益常數(shù)，得H Ha a(s)(s)。222223649251

16、6jHa 222223649251622sssjHsHsHsaaa 67252sssksHa 672544200ssssHkjHsHaasa二、二、 巴特沃思低通逼近巴特沃思低通逼近NcajH22)/(11|)(|u N為正整數(shù)，代表濾波器的階數(shù)。為正整數(shù)，代表濾波器的階數(shù)。u 當(dāng)當(dāng)=0時，時，|Ha(j0)|=1； u 當(dāng)當(dāng)=c時，時，|Ha(jc)|=0.707，20lg|Ha(j0)/Ha(jc)|=3 dB， c為為3 dB截止頻率。（截止頻率。（3分貝帶寬）分貝帶寬） 1) 在通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小；在通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減??； 2) 過渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)

17、減??；過渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減?。?3) N越大，通帶內(nèi)特性越平坦，過渡帶越窄；越大，通帶內(nèi)特性越平坦，過渡帶越窄； 4) 3dB不變性不變性;1. 1. 幅度函數(shù)的特點(diǎn)幅度函數(shù)的特點(diǎn)NcjsNcaaajssHsHjH2221111)()(Ha(s)Ha(-s)的極點(diǎn)為的極點(diǎn)為 NkjccNkejs2122121)() 1(k=0,1, 2, , 2N-1 Ha(s)Ha(-s)的的2N個極點(diǎn)等間隔分布在個極點(diǎn)等間隔分布在半徑為半徑為c的圓上。的圓上。 2. 2. 幅度平方特性的極點(diǎn)分布幅度平方特性的極點(diǎn)分布全極點(diǎn)系統(tǒng)全極點(diǎn)系統(tǒng)ooc / 3jjc / 4(a) N3(b) N4 極點(diǎn)在極點(diǎn)在

18、s平面呈象限對稱，分布在巴特沃思圓上，平面呈象限對稱，分布在巴特沃思圓上，共共2N個；個； 極點(diǎn)間的角度間隔為極點(diǎn)間的角度間隔為/N rad； 極點(diǎn)不會落在虛軸上（起點(diǎn)極點(diǎn)不會落在虛軸上（起點(diǎn)(/2)+ (/2N)）；）； N=奇數(shù)奇數(shù) 實(shí)軸上有極點(diǎn)，實(shí)軸上有極點(diǎn)，N=偶數(shù)偶數(shù) 實(shí)軸上無極點(diǎn)。實(shí)軸上無極點(diǎn)。 為形成穩(wěn)定的濾波器，為形成穩(wěn)定的濾波器，Ha(s)Ha(-s)的的2N個極點(diǎn)中只取個極點(diǎn)中只取S左半左半平面的平面的N個極點(diǎn)為個極點(diǎn)為Ha(s)的極點(diǎn)，而右半平面的的極點(diǎn)，而右半平面的N個極點(diǎn)構(gòu)成個極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)的極點(diǎn)。的極點(diǎn)。10)()(NkkNcasssHNkjckes21221

19、k=0,1, 2, , 2N-1 3. 濾波器系統(tǒng)函數(shù)濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)230121 33231345 jccjjccjccsessesesse 設(shè)設(shè)N=3N=3，極點(diǎn)有，極點(diǎn)有6 6個，它們分別為個，它們分別為 32323jccjccaessessH cspaapHsHu由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB3dB截止頻截止頻率率c c歸一化歸一化 s/c=j/c =/c，稱為歸一化頻率稱為歸一化頻率； p=j，p稱為歸一化復(fù)變量稱為歸一化復(fù)變量，歸一化巴特沃斯歸一化巴特沃斯

20、的傳輸函數(shù)為的傳輸函數(shù)為101( )()aNkkccHsss101()()aNkkHppp4 4、歸一化系統(tǒng)函數(shù)、歸一化系統(tǒng)函數(shù)pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：將極點(diǎn)展開可得到的將極點(diǎn)展開可得到的H Ha a(p)(p)的分母的分母p p的的N N階多項(xiàng)式，用階多項(xiàng)式，用下式表示：下式表示： 1 21()22,0,1,1kjNkpekN2101211( )aNNNH pbb p b pbpp （1）確定模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)）確定模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)p, s，p p s s ； （2） 根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N：5. 5. 濾波器的設(shè)計(jì)步驟濾

21、波器的設(shè)計(jì)步驟NcppapapjHjH2211lg201101 . 02pNcp通帶截止頻率關(guān)于通帶截止頻率關(guān)于c歸一化歸一化NcssasasjHjH2211lg201101 . 02sNcs阻帶截止頻率關(guān)于阻帶截止頻率關(guān)于c歸一化歸一化1101 . 02pNcp1101 . 02sNcs1101101 . 01 . 0spNsp,pssp 令令：110110k1 . 01 . 0spspspspkN lglg 取大于等于取大于等于N N的最小整數(shù)的最小整數(shù)3）求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)）求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ha (p) NkkapppH11Nkjkep21221k=0,1, 2, , N-1 巴特沃思

22、圓巴特沃思圓巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項(xiàng)式的因式分解巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項(xiàng)式的因式分解巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項(xiàng)式系數(shù)巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項(xiàng)式系數(shù) 4）去歸一化）去歸一化 caspaacsHpHsHspc)(通帶指標(biāo)剛好，阻帶指標(biāo)有富裕通帶指標(biāo)剛好，阻帶指標(biāo)有富裕阻帶指標(biāo)剛好，通帶指標(biāo)有富裕阻帶指標(biāo)剛好，通帶指標(biāo)有富裕pNcp1 . 02101sNcs1 . 02101Npcp211 . 0) 110(Nscs211 . 0) 110(例例6-1 6-1 已知通帶截止頻率已知通帶截止頻率f fp p=5kHz=5kHz，通帶最，通帶最大衰減大衰減p p=2dB=2

23、dB，阻帶截止頻率，阻帶截止頻率f fs s=12kHz=12kHz，阻帶最小衰減阻帶最小衰減s s=30dB=30dB，按照以上技術(shù)指，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。解解 (1) (1) 確定階數(shù)確定階數(shù)N N。 0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN (2) (2) 其極點(diǎn)為其極點(diǎn)為歸一化傳輸函數(shù)為歸一化傳輸函數(shù)為401()()akkHppppk=ej (+(2k+1)/2N) k=0,1,2,N-15745632541530jjjjjepepepepep由由N=5N=5，直接查

24、表得到：，直接查表得到： 極點(diǎn)：極點(diǎn)：-0.3090-0.3090j0.9511,-0.8090j0.9511,-0.8090j0.5878; j0.5878; -1.0000-1.00005432432101( )aHppb pb pb pb pb b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361 11618. 11618. 0122ppppppHa(3) (3) 為將為將Ha(p)Ha(p)去歸一化，先求去歸一化，先求3dB3dB截止頻率截止頻率c c。得到：得到：將將p=s/p=s/c c代入代入H Ha a(p)(p)中得到：中得到：5

25、54233245432( )10cacccccHssbsbsbsbsb10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckradskrads 此時算出的截止頻率比題目中給出的小，或者說在截止此時算出的截止頻率比題目中給出的小，或者說在截止頻率處的衰減大于頻率處的衰減大于30dB30dB，所以說阻帶指標(biāo)有富裕量。，所以說阻帶指標(biāo)有富裕量。b0=1.0000、b1=3.2361、b2=5.2361、b3=5.2361、b4=3.2361第5章 無限長單位脈沖響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 4 Chebyshev低通濾波器的設(shè)計(jì)方法比同階的比同階的But

26、terworth濾波器具有更陡峭的濾波器具有更陡峭的過渡帶和更優(yōu)的阻帶衰減特性過渡帶和更優(yōu)的阻帶衰減特性.振幅具有等振幅具有等波紋波紋.(1) Chebyshev低通濾波器特點(diǎn)低通濾波器特點(diǎn)第5章 無限長單位脈沖響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 第5章 無限長單位脈沖響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 ，表示通帶波紋大小，表示通帶波紋大小， 越大，波紋越大越大，波紋越大01N：濾波器的階數(shù)：濾波器的階數(shù)幅度平方函數(shù)：幅度平方函數(shù)：)(11)()(2222pNaCjHA ：N階階Chebyshev多項(xiàng)式多項(xiàng)式( )NCx通帶截止頻率:p第5章 無限長單位脈沖響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法

27、1),(1),arccoscos()(xNArchxchxxNxCN第5章 無限長單位脈沖響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 )1ln(,22xxArchxeechxxx第5章 無限長單位脈沖響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 幅度函數(shù)特點(diǎn)：幅度函數(shù)特點(diǎn)：N為偶數(shù)為偶數(shù)2( 0)1/ 1aHjN為奇數(shù)為奇數(shù)( 0)1aHj0 v )(11)(22pNaCjH211)(,jHap時之間等波紋起伏和在通帶內(nèi)2111:p增大迅速下降隨通帶外:p第5章 無限長單位脈沖響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 (2) 設(shè)計(jì)原理設(shè)計(jì)原理)(11)()(222pNaCjHA)(11)()(22pNaajsCsHs

28、H)(,sHa確定求極點(diǎn)第5章 無限長單位脈沖響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 (3) 濾波器的設(shè)計(jì)步驟濾波器的設(shè)計(jì)步驟:;,和參數(shù)確定階數(shù)和由技術(shù)指標(biāo)Nsspp)()(11psArchkArchN其中其中1101101 . 01 . 011psk1101 . 0p第5章 無限長單位脈沖響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 )()2(sHa求)1(1, 2 , 1,)212cos()212sin()(ArshNNiNichNichjssHpipiiiia其中的極點(diǎn)確定)(sHa用左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成6.3 6.3 模擬濾波器的頻率變換模擬濾波器的頻率變換 AF濾波器LP其他AF濾波器HP, BP

29、, BS設(shè)：傳輸函數(shù)歸一化截止頻率歸一化拉氏變量p=jq=j歸一化傳輸函數(shù)G(p)H(q) sG各類模擬濾波器的設(shè)計(jì)過程圖 HPBPBS指標(biāo)LP指標(biāo)G(j)傳輸函數(shù)傳輸函數(shù)頻率變換頻率變換設(shè)計(jì)jHjHjHBSBPHP sH0jGjH0sccscssc低通到高通低通到高通sccs00:00:sccs0csccssscjjjcccc2ssccjs ccc11qpsscc1 qppGqH1 csqqHsH spcpGsH例例6-2 設(shè)計(jì)高通濾波器設(shè)計(jì)高通濾波器,f,fp p=200Hz,f=200Hz,fs s=100Hz=100Hz，幅度特，幅度特性單調(diào)下降，性單調(diào)下降，f fp p處最大衰減為處

30、最大衰減為3dB3dB，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減s s=15dB=15dB。解解:高通技術(shù)高通技術(shù)要求要求： fp=200Hz,p=3dB; fs=100Hz,s=15dB歸一化頻率歸一化頻率低通技術(shù)要求：低通技術(shù)要求：11,23,15psspsdBdB5 . 01cscsscpcppffff 設(shè)計(jì)歸一化低通設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故。采用巴特沃斯濾波器，故0.10.1321010.181012lg2.47,3lg1( )221psspssppspspkkNNG pppp 求模擬高通求模擬高通H(s)H(s)： pccccspfsssspGsHc22232233設(shè)

31、計(jì)技術(shù)成設(shè)計(jì)技術(shù)成熟有相當(dāng)簡熟有相當(dāng)簡便的公式和便的公式和圖表圖表模擬濾波器模擬濾波器)(sHaAF由此設(shè)計(jì)由此設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器)(zHDF要求要求DFDF特性特性模仿模仿AFAF的特性的特性實(shí)際上是個映射問題實(shí)際上是個映射問題MappingMapping離散時間域離散時間域(Z(Z平面平面) )轉(zhuǎn)換關(guān)系轉(zhuǎn)換關(guān)系連續(xù)時間域連續(xù)時間域(S (S平面平面) )（1 1） H(z)的頻率響應(yīng)要能的頻率響應(yīng)要能模仿模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)的頻率響應(yīng) 也即也即S平面虛軸平面虛軸j必須映射到必須映射到Z平面的單位圓平面的單位圓ej上上（2 2） 因果穩(wěn)定的因果穩(wěn)定的Ha(s)應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的應(yīng)

32、能映射成因果穩(wěn)定的H(z) 也即也即S平面的左半平面平面的左半平面Res0必須映射到必須映射到Z平面單位平面單位 圓的內(nèi)部圓的內(nèi)部|z|1 對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求:滿足上述轉(zhuǎn)換關(guān)系的映射方法有：滿足上述轉(zhuǎn)換關(guān)系的映射方法有： 脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法和和雙線性變換法雙線性變換法一、一、 變換原理變換原理數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)，即將，即將ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，使進(jìn)行等間隔采樣，使h(n)正好等于正好等于ha(t)的采樣值，的采樣值，滿足：滿足： 6.4 用脈沖響應(yīng)不變

33、法設(shè)計(jì)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 nTtathnhHa(s)H(z) sHzHaezsT)(Ha(s)LT-1Ha(s)ha(t)時域采樣時域采樣h(n)ZTh(n)H(z)所以說脈沖響應(yīng)不變法是一種時域上的變換方法所以說脈沖響應(yīng)不變法是一種時域上的變換方法sTez S S平面到平面到Z Z平面的映射關(guān)系為：平面的映射關(guān)系為：kTjsHTjksHTkaska21)(1)(,)(,)(,)()(zHzsHezsHssHthAFasTaaas得得到到平平面面上上映映射射到到將將關(guān)關(guān)系系的的映映射射然然后后再再經(jīng)經(jīng)過過得得到到周周期期延延拓拓平平面面上上沿沿虛虛軸軸在在的的

34、拉拉氏氏變變換換的的 j S/2- S/23 S/2ImZReZjwsTrezezTerTjs二、混疊失真二、混疊失真數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為 TkjHTeHkaj21)(數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。正如數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶限帶的，且的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時，數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)模帶限于折疊頻率以內(nèi)時，數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻

35、響而不產(chǎn)生混疊失真。擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生混疊失真。 0)(jHa2|sTTjHTeHaj1)(| 任何一個實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，任何一個實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的， 變換后就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的變換后就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這時數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻混疊失真。這時數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。響，而帶有一定的失真。 當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。

36、這時，采用脈沖響應(yīng)快時，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。 脈沖響應(yīng)不變法只適合于設(shè)計(jì)脈沖響應(yīng)不變法只適合于設(shè)計(jì)LPLP和和BPBP濾波器濾波器圖圖 脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象 3 2)j(aHoo23 T)(ejHT2TTT2解決混疊的方法：解決混疊的方法：濾波器指標(biāo)以模擬域形式給出，此時濾波器指標(biāo)以模擬域形式給出，此時H Ha a(j)(j)、H Ha a(s)(s)、h ha a(t)(t)已確定，采樣頻率已確定，采樣頻率T T增加，混疊減小；增加，混疊減小

37、；濾波器指標(biāo)以數(shù)字域形式給出，此時濾波器指標(biāo)以數(shù)字域形式給出，此時H Ha a(j)(j)、H Ha a(s)(s)、h ha a(t)(t)未確定，但未確定，但p p s s已定，采樣頻率增已定，采樣頻率增加，為保證加，為保證s s不變，必有不變，必有s s增加，增加濾波器的增加，增加濾波器的階數(shù)階數(shù)N N，混疊減小。，混疊減小。 三、模擬濾波器的數(shù)字化方法三、模擬濾波器的數(shù)字化方法 設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)只有只有單階極點(diǎn)單階極點(diǎn)，且假定分母，且假定分母的階數(shù)高于分子的階數(shù)的階數(shù)高于分子的階數(shù) NkkkassAsH1)(NktskaatueAsHLthk11)

38、()()(NknTskNknTskanueAnueAnThnhkk11)()()()()( NkTskNknTsnknNknTsknnzeAzeAzeAznhzHkkk111100111)()()()(（1 1）極點(diǎn)：）極點(diǎn)：S平面平面s=sk Z Z平面上平面上z=eskT（2 2）系數(shù)相同：）系數(shù)相同：A Ak k （3 3）穩(wěn)定性不變：）穩(wěn)定性不變：S S平面平面ReRes sk k00 Z Z平面平面|e|es sk kT T|1|1（4 4）零點(diǎn)位置沒有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系）零點(diǎn)位置沒有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系 NkTskNkkkazeAzHssAsHk1111Ha(s)Ha(s)有共軛復(fù)數(shù)對極

39、點(diǎn)：有共軛復(fù)數(shù)對極點(diǎn)：Ha(s)Ha(s)的極點(diǎn)的極點(diǎn)s si i一般是一個復(fù)數(shù)，以共軛成對的形式出現(xiàn)，將一般是一個復(fù)數(shù)，以共軛成對的形式出現(xiàn)，將一對復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，形成一個二階基本節(jié)。一對復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，形成一個二階基本節(jié)。AFAF二階基本節(jié)形式一：二階基本節(jié)形式一：21211)()(:sssHa形式一極點(diǎn)極點(diǎn)- - 1 1 j j 1 1+= 0 nnnT1 jnT1 jnT1nnz )ee (21 ez ) n ( h) z ( H1111121211cos12cosTTTzeTzeTzeAFAF二階基本節(jié)形式二二階基本節(jié)形式二：21211)()(:ssHa形式二極點(diǎn)極點(diǎn)-

40、- 1 1 j j 1+= 0 nnnT1 jnT1 jnT1nnz )ee (21 ez ) n ( h) z ( H1111112211112121,()s i n12c o sTTTjszeTzeTzeTjHTeHaj1)(| 如果采樣頻率很高，即如果采樣頻率很高，即T很小，數(shù)字濾波器可能具有太高的很小，數(shù)字濾波器可能具有太高的增益，容易溢出，這是不希望的。為了使數(shù)字濾波器增益不隨采增益，容易溢出，這是不希望的。為了使數(shù)字濾波器增益不隨采樣頻率而變化，可以作以下簡單的樣頻率而變化，可以作以下簡單的修正修正，令，令 h(n)=Tha(nT) NkTskzeTAzHk111)(TjHkTjT

41、jHTTeHakaj21)(| 例例 6-3 6-3 設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 3111342)(2sssssHa試?yán)妹}沖響應(yīng)不變法將試?yán)妹}沖響應(yīng)不變法將H Ha a( (s s) )轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成IIRIIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H H( (z z) ) 解：解： 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 TTTTTTTezeezeeTzezTezTzH423131311)(1)(11)(設(shè)設(shè)T T=1=1，則有，則有 21101831. 04177. 013181. 0)(zzzzH 模擬濾波器的頻率響應(yīng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)Ha(j)以及數(shù)字

42、濾波器的頻率響應(yīng)以及數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ej)分別為分別為: : 2201831. 04177. 013181. 0)(432)(jjjjaeeeeHjjH）（把把| |H Ha a(j(j)|)|和和| |H H(e(ej j)|)|畫在圖上。由該圖可看出，由于畫在圖上。由該圖可看出，由于H Ha a(j(j) )不是充分限帶的，所以不是充分限帶的，所以H H(e(ej j) )產(chǎn)生了嚴(yán)重的頻譜混疊失真。產(chǎn)生了嚴(yán)重的頻譜混疊失真。 圖圖 例例6-36-3的幅頻特性的幅頻特性 / T2/ T2)j(aH)(ejHoo四、優(yōu)缺點(diǎn)四、優(yōu)缺點(diǎn) 1 1、優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： 脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的

43、單位脈沖響應(yīng)完全模仿脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時域逼近良好時域逼近良好； 模擬頻率模擬頻率和數(shù)字頻率和數(shù)字頻率之間呈之間呈線性關(guān)系線性關(guān)系= =TT。 因而，因而，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然是一個線性相位的數(shù)字濾波器。應(yīng)不變法得到的仍然是一個線性相位的數(shù)字濾波器。 2 2、缺點(diǎn)、缺點(diǎn)是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng) 脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器只適用于限帶的模擬濾波器( (

44、例如，例如， 衰減衰減特性很好的特性很好的低通低通或或帶通帶通濾波器濾波器) )，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。越小。 不適于高通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)，由于它們在高頻部分不衰不適于高通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)，由于它們在高頻部分不衰減，減， 因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。 如果要對高通和帶阻濾波器采用脈沖響應(yīng)不變法，如果要對高通和帶阻濾波器采用脈沖響應(yīng)不變法， 就必須就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率先對高通和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。以上的頻率，然后再

45、使用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。 當(dāng)然這樣會進(jìn)一步增加設(shè)計(jì)復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)。當(dāng)然這樣會進(jìn)一步增加設(shè)計(jì)復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)。6.5 6.5 用雙線性變換法設(shè)計(jì)用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 一、變換原理一、變換原理從從S S平面到平面是多值的映射關(guān)系造成頻率響應(yīng)的混疊失真平面到平面是多值的映射關(guān)系造成頻率響應(yīng)的混疊失真克服：克服：第一步先將整個第一步先將整個S S平面壓縮映射到平面壓縮映射到S S1 1平面的平面的-/-/T T/T T一條橫一條橫帶里；帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z=es1T將此橫帶變換到整個將此橫帶變換到整個Z Z平面上平

46、面上去。去。這樣就使這樣就使S S平面與平面與Z Z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系，平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系， 消除了多消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象。值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象。 j 平面的單位圓外的右半平面平面的單位圓上平面的虛軸平面的單位圓內(nèi)的左半平面映射zszszsezzHsHsTsa 11111)()( 1j 1 S/2- S/2ImZReZ 為了將為了將S S平面的整個虛軸平面的整個虛軸j j壓縮到壓縮到S S1 1平面平面j j1 1軸上的軸上的-/-/T T到到/T T段上，可以通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn)段上，可以通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn) 2tan22tan21TT

47、T式中式中, , T T仍是采樣間隔。仍是采樣間隔。 當(dāng)當(dāng)1 1由由-/T經(jīng)過經(jīng)過0 0變化到變化到/T時，時，由由-經(jīng)過經(jīng)過0 0變化到變化到+， 也即映射了整個也即映射了整個j軸。將式（軸。將式（5-425-42）寫成）寫成 2/2/2/2/11112TjTjTjTjeeeeTj 將此關(guān)系解析延拓到整個將此關(guān)系解析延拓到整個S S平面和平面和S S1 1平面，令平面，令j j= =s s，j j1 1= =s s1 1， 則得則得111111/2/21/2/2222 1tan21sTsTsTsTsTsTsTeeesT eeTTe再將再將S S1 1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到平面通過以下

48、標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z Z平面：平面： z=es1T 從而得到從而得到S S平面和平面和Z Z平面的單值映射關(guān)系為：平面的單值映射關(guān)系為： 11112zzTssTsTsTsTz222121S S平面與平面與Z Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個線性函數(shù)平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換。之比，因此稱為雙線性變換。 二、逼近的情況二、逼近的情況 雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。 （1 1）把）把z z=e=ejj代入式，可得代入式，可得 jTjeeTsjj2tan2112即即S S平面的虛軸映射到平面的虛

49、軸映射到Z Z平面的單位圓。平面的單位圓。 （2 2） 將將s s= =+j+j代入式得代入式得 jTjTz22222222|TTz 由此看出：由此看出： 當(dāng)當(dāng)00時，時， | |z z|1|00時，時，| |z z|1|1。 即即 S S平面的平面的左左半平面映射到半平面映射到Z Z平面的平面的單位圓內(nèi)單位圓內(nèi)，S S平面的平面的右右半平面映射到半平面映射到Z Z平面的平面的單位圓外單位圓外，S S平面的平面的虛軸虛軸映射到映射到Z Z平面平面的的單位圓上單位圓上。 因此，因此，穩(wěn)定穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是波器也一定是穩(wěn)定穩(wěn)

50、定的。的。 三、優(yōu)缺點(diǎn)三、優(yōu)缺點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因?yàn)閮?yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因?yàn)镾 S平面與平面與Z Z平平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系。面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系。S S平面整個平面整個j j軸單值地對應(yīng)于軸單值地對應(yīng)于Z Z平面平面單位圓一周，單位圓一周， 即頻率軸是單值變換關(guān)系。即頻率軸是單值變換關(guān)系。2tan2TS S平面上平面上與與Z Z平面的平面的成非線性的正切關(guān)系。成非線性的正切關(guān)系。 雙線性變換法的頻率變換關(guān)系雙線性變換法的頻率變換關(guān)系 o2tan2T在零頻率附近，模擬角頻在零頻率附近，模擬角頻率率與數(shù)字頻率與數(shù)字頻率之間的之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；

51、變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；當(dāng)當(dāng)進(jìn)一步增加時，進(jìn)一步增加時，增長得越來越慢，最后增長得越來越慢，最后當(dāng)當(dāng)時，時，終止在終止在折疊頻率折疊頻率=處，因而處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，去的現(xiàn)象， 從而消除了從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。頻率混疊現(xiàn)象。模擬角頻率模擬角頻率和數(shù)字角頻率和數(shù)字角頻率的映射關(guān)系的映射關(guān)系22tanT Ha(j ) 2 頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。 首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線首先，一個線性相位

52、的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了； 其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分分段常數(shù)型的段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)相對于原模擬濾相對于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會有波器的幅頻響應(yīng)會有畸變畸變。

53、雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射ooo)j (aH)(ejHooo)(eargjH)j (argaH 對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了為分段常數(shù)的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變，畸變， 這種頻率的畸變，可以通過頻率的這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)畸預(yù)畸來加以校正。也來加以校正。也就是將就是將臨界模擬頻率事先加以畸變臨界模擬頻率事先加以畸變， 然后經(jīng)變換后正好映射到然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。所需要的

54、數(shù)字頻率上。 )(jeH)( jHa)2tan(2T)(jeH)2tan(2T)( jHa四、模擬濾波器的數(shù)字化方法四、模擬濾波器的數(shù)字化方法 雙線性變換法比起脈沖響應(yīng)不變法來，在設(shè)計(jì)和運(yùn)算上也雙線性變換法比起脈沖響應(yīng)不變法來，在設(shè)計(jì)和運(yùn)算上也比較直接和簡單。由于雙線性變換法中，比較直接和簡單。由于雙線性變換法中，s s到到z z之間的變換是簡之間的變換是簡單的代數(shù)關(guān)系，即單的代數(shù)關(guān)系，即 11112112)()(11zzTHsHzHazzTsa頻率響應(yīng)也可用直接代換的方法得到頻率響應(yīng)也可用直接代換的方法得到 2tan2)()(2tan2TjHjHeHTaj （1 1） 如果給出的是待設(shè)計(jì)的帶

55、通濾波器的數(shù)字域轉(zhuǎn)折頻率如果給出的是待設(shè)計(jì)的帶通濾波器的數(shù)字域轉(zhuǎn)折頻率（通、（通、 阻帶截止頻率）阻帶截止頻率）1 1、2 2、3 3、4 4及采樣頻率及采樣頻率(1/(1/T T) )，則直接利用式則直接利用式2tan2T計(jì)算出相應(yīng)的模擬濾波器的轉(zhuǎn)折頻率計(jì)算出相應(yīng)的模擬濾波器的轉(zhuǎn)折頻率1 1、2 2、3 3和和4 4。這樣。這樣得到的模擬濾波器得到的模擬濾波器H Ha a( (s s) )的轉(zhuǎn)折頻率的轉(zhuǎn)折頻率1 1、2 2、3 3和和4 4，經(jīng)雙線，經(jīng)雙線性變換后就映射到數(shù)字濾波器性變換后就映射到數(shù)字濾波器H H( (z z) )的原轉(zhuǎn)折頻率的原轉(zhuǎn)折頻率1 1、2 2、3 3和和4 4。 設(shè)

56、計(jì)步驟：設(shè)計(jì)步驟： 如果給出的是待設(shè)計(jì)的帶通濾波器的模擬域轉(zhuǎn)折頻率（通、如果給出的是待設(shè)計(jì)的帶通濾波器的模擬域轉(zhuǎn)折頻率（通、 阻帶截止頻率）阻帶截止頻率）f f1 1、f f2 2、f f3 3、f f4 4和采樣頻率和采樣頻率(1/(1/T T) )，則需要先計(jì)，則需要先計(jì)算數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)折頻率（通、阻帶截止頻率）算數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)折頻率（通、阻帶截止頻率）、2 2、3 3 和和4 4。 =2fT 再進(jìn)行預(yù)畸變得再進(jìn)行預(yù)畸變得1 1、 3 3和和4 4 2tan2TH Ha a(s) (s) 經(jīng)雙線性變換后映射到數(shù)字濾波器經(jīng)雙線性變換后映射到數(shù)字濾波器H(z)H(z)的轉(zhuǎn)折頻率的轉(zhuǎn)折頻率1 1

57、、2 2、 3 3、4 4，并且能保證數(shù)字域頻率，并且能保證數(shù)字域頻率1 1、2 2、3 3、4 4與與給定的模擬域轉(zhuǎn)折頻率給定的模擬域轉(zhuǎn)折頻率f f1 1、f f、f f、f f4 4成線性關(guān)系。成線性關(guān)系。 （3 3）將）將 代入代入H Ha a( (s s) )，得，得H H( (z z) )為為 11112zzTs11112112| )()(11zzTHsHzHazzTsa22| )()(2tan2TjHjHeHaTaj（2 2） 按按1 1、2 2、3 3和和4 4等指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬濾波器的系統(tǒng)函等指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)數(shù)H Ha a(s)(s) 需要特別強(qiáng)調(diào)的是，若模擬濾波器需要

58、特別強(qiáng)調(diào)的是，若模擬濾波器H Ha a( (s s) )為低通濾波器，應(yīng)為低通濾波器，應(yīng)用用變換得到的數(shù)字濾波器變換得到的數(shù)字濾波器H H( (z z) )也是低通濾波器；也是低通濾波器； 若若H Ha a( (s s) )為高通濾波器為高通濾波器，應(yīng)用應(yīng)用 變換得到的數(shù)字濾波器變換得到的數(shù)字濾波器H H( (z z) )也是高通濾波器也是高通濾波器; ; 若為帶通、帶阻濾波器也是如此若為帶通、帶阻濾波器也是如此。 在在IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，當(dāng)強(qiáng)調(diào)模仿濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，當(dāng)強(qiáng)調(diào)模仿濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)時，采用脈沖響應(yīng)不變法較好時，采用脈沖響應(yīng)不變法較好; ; 而在其余情況

59、下，大多采用雙而在其余情況下，大多采用雙線性變換法。線性變換法。 11112zzTs11112zzTs 求求H H( (z z) )時，若階數(shù)較高，可用兩種方法進(jìn)行簡化設(shè)計(jì)：時，若階數(shù)較高，可用兩種方法進(jìn)行簡化設(shè)計(jì)： 1. 1. 可以先將模擬系統(tǒng)函數(shù)分解成可以先將模擬系統(tǒng)函數(shù)分解成并聯(lián)并聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)（的子系統(tǒng)函數(shù)（子系子系統(tǒng)函數(shù)相加統(tǒng)函數(shù)相加）或）或級聯(lián)級聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)（的子系統(tǒng)函數(shù)（子系統(tǒng)函數(shù)相乘子系統(tǒng)函數(shù)相乘），使每個），使每個子系統(tǒng)函數(shù)都變成低階的（例如一、子系統(tǒng)函數(shù)都變成低階的（例如一、 二階的）；二階的）； 然后再對每個子系統(tǒng)函數(shù)分別采用雙線性變換。分解為然后再對每個子系統(tǒng)函數(shù)分別

60、采用雙線性變換。分解為低階的方法是在模擬系統(tǒng)函數(shù)上進(jìn)行的，而模擬系統(tǒng)函數(shù)的分解低階的方法是在模擬系統(tǒng)函數(shù)上進(jìn)行的，而模擬系統(tǒng)函數(shù)的分解已有大量的圖表可以利用，分解起來比較方便。已有大量的圖表可以利用，分解起來比較方便。 2. 2. 可用表格的方法來完成雙線性變換設(shè)計(jì)，即預(yù)先求出雙可用表格的方法來完成雙線性變換設(shè)計(jì)，即預(yù)先求出雙線性變換法中離散系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)與模擬系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)之間的線性變換法中離散系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)與模擬系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系式，并列成表格，便可利用表格進(jìn)行設(shè)計(jì)了。關(guān)系式，并列成表格，便可利用表格進(jìn)行設(shè)計(jì)了。 設(shè)模擬系統(tǒng)函數(shù)的表達(dá)式為設(shè)模擬系統(tǒng)函數(shù)的表達(dá)式為 NNNNNkkkNk