向量法求空間角高二數(shù)學(xué),立體幾何

1、向量法求空間角ABCDPQ1（本小題滿分10分）在如圖所示的多面體中，四邊形為正方形，四邊形是直角梯形，平面，（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角的大小2（滿分13分）如圖所示，正四棱錐PABCD中，O為底面正方形的中心，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為DBACOEP（1）求側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的大?。唬?）若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線PD與AE所成角的正切值；（3）問在棱AD上是否存在一點(diǎn)F，使EF側(cè)面PBC，若存在，試確定點(diǎn)F的位置；若不存在，說明理由3（本小題只理科做，滿分14分）如圖,已知平面,是正三角形,且是的中點(diǎn).（1）求證:平面;（2）求證:

2、平面平面;（3）求平面與平面所成銳二面角的大小.4（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中,底面,且底面為正方形,分別為的中點(diǎn)（1）求證:平面;（2）求平面和平面的夾角.5如圖，在直三棱柱中，平面 側(cè)面且.（）求證：； （）若直線AC與平面所成的角為,求銳二面角的大小.6如圖，四邊形是正方形，平面， 分別為，的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的大小.參考答案1（1）詳見解析；（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)題中所給圖形的特征，不難想到建立空間直角坐標(biāo)，由已知，兩兩垂直，可以為原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系表示出圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè)，則，則可表示出，根據(jù)數(shù)量積

3、為零與垂直的充要條件進(jìn)行證明，由，故，即可證明；（2）首先求出兩個(gè)平面的法向量，其中由于平面，所以可取平面的一個(gè)法向量為；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，故即取，則，故，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)法向量的夾角，設(shè)與的夾角為，則即可求出平面與平面所成的銳二面角的大小.試題解析：（1）由已知，兩兩垂直，可以為原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)，則，故，因?yàn)椋?，即?又 所以，平面 （2）因?yàn)槠矫?，所以可取平面的一個(gè)法向量 為， 點(diǎn)的坐標(biāo)為，則， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，故即取，則，故設(shè)與的夾角為，則所以，平面與平面所成的銳二面角的大小為考點(diǎn)：1.空間向量的應(yīng)用；2.二面角的計(jì)算；3.直線與平面的

4、位置關(guān)系2（1）; （2）; （3）F是AD的4等分點(diǎn)，靠近A點(diǎn)的位置.【解析】試題分析：（1）取AD中點(diǎn)M，連接MO，PM，由正四棱錐的性質(zhì)知PMO為所求二面角PADO的平面角，PAO為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角tanPAO，設(shè)ABa，則AOa，POa，MO=, tanPMO,PMO60; （2）依題意連結(jié)AE，OE，則OEPD ，故OEA為異面直線PD與AE所成的角，由正四棱錐的性質(zhì)易證OA平面POB,故為直角三角形，OEPDa tanAEO；（3）延長MO交BC于N，取PN中點(diǎn)G，連BG，EG，MG，易得BC平面PMN，故平面PMN平面PBC，而PMN為正三角形，易證MG平面PBC，

5、取MA的中點(diǎn)F,連EF,則四邊形MFEG為平行四邊形，從而MG/FE,EF平面PBC, F是AD的4等分點(diǎn)，靠近A點(diǎn)的位置.MDBACOEP試題解析：（1）取AD中點(diǎn)M，連接MO，PM，依條件可知ADMO，ADPO，則PMO為所求二面角PADO的平面角 （2分）PO面ABCD，PAO為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角tanPAO設(shè)ABa，AOa， POAOtanPOAa，tanPMOPMO60 （4分）MDBACOEP（2）連接AE，OE， OEPD，OEA為異面直線PD與AE所成的角 （6分）AOBD，AOPO，AO平面PBD又OE平面PBD， AOOEOEPDa，tanAEO （8分）（3）

6、延長MO交BC于N，取PN中點(diǎn)G，連BG，EG，MGMDBACO EP N G F BCMN，BCPN，BC平面PMN平面PMN平面PBC （10分）又PMPN，PMN60，PMN為正三角形MGPN又平面PMN 平面PBCPN，MG平面PBC （12分）F是AD的4等分點(diǎn)，靠近A點(diǎn)的位置 （13分）考點(diǎn)：立體幾何的綜合問題3（1）見解析；（2）見解析；（3）.【解析】試題分析：（1）取CE中點(diǎn)P，連接FP、BP，根據(jù)中位線定理可知FP|DE，且且FP=，而AB|DE，且AB=則ABPF為平行四邊形，則AF|BP，AF平面BCE，BP平面BCE，滿足線面平行的判定定理，從而證得結(jié)論；（2）根據(jù)A

7、B平面ACD，DE|AB，則DE平面ACD，又AF平面ACD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知，滿足線面垂直的判定定理，證得AF平面CDE，又BP|AF，則BP平面CDE，BP平面BCE，根據(jù)面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（3）由（2），以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A，F(xiàn)D，F(xiàn)P所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz設(shè)AC=2，根據(jù)線面垂直求出平面BCE的法向量n，而m=（0，0，1）為平面ACD的法向量，設(shè)平面BCE與平面ACD所成銳二面角為，根據(jù)可求出所求試題解析：（1）解:取CE中點(diǎn)P,連結(jié)FP、BP, F為CD的中點(diǎn),FP|DE,且FP= 又AB|DE,且AB=AB|FP,且AB=FP,

8、ABPF為平行四邊形,AF|BP 又平面BCE,BP平面BCE, AF|平面BCE （2）ACD為正三角形,. AB平面ACD,DE|AB, DE平面ACD,又AF平面ACD, DEAF.又AFCD,CDDE=D, AF平面CDE 又BP|AF,BP平面CDE.又BP平面BCE, 平面BCE平面CDE （3）法一、由（2）,以F為坐標(biāo)原點(diǎn), FA,FD,FP所在的直線分別為x,y,z軸（如圖）, 建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz.設(shè)AC=2, 則C（0,1,0）, 設(shè)為平面BCE的法向量， ，令n=1,則 顯然,為平面ACD的法向量. 設(shè)面BCE與面ACD所成銳二面角為 則. 即平面BCE與平面AC

9、D所成銳二面角為 法二、延長EB、DA,設(shè)EB、DA交于一點(diǎn)O,連結(jié)CO. 則面面. 由AB是的中位線,則. 在中, . ,又. 面而CE面ECD, 在中， 即平面BCE與平面ACD所成銳二面角為. 考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定4證明見解析【解析】試題分析：（1）利用已知的線面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.（2）證明線面平行，需證線線平行，只需要證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；（3）把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;（4）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化

10、為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問題代數(shù)化.同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備.試題解析：（1）如圖，以為原點(diǎn),以為方向向量建立空間直角坐標(biāo)系則. 設(shè)平面的法向量為即 令則. 又平面平面 （2）底面是正方形,又平面 又,平面向量是平面的一個(gè)法向量,又由（1）知平面的法向量. 二面角的平面角為. 考點(diǎn)：（1）證明直線與平面平行；（2）利用空間向量解決二面角問題.5（）詳見解析;（）.【解析】試題分析：（）取 的中點(diǎn)D，連接AD，由已知條件推導(dǎo)出AD平面，從而，由線面垂直得由此能證明（）方法一：連

11、接CD，由已知條件得即為直線與平面所成的角，即為二面角的一個(gè)平面角，由此能求出二面角的大小解法二（向量法）：由（1）知且，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則， ，求出平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，則得，解得，即，求出平面的一個(gè)法向量為，設(shè)銳二面角的大小為，則，且， 即可求出銳二面角的大小.試題解析：解（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，因，則 由平面?zhèn)让?，且平面?zhèn)让妫?得，又平面， 所以. 因?yàn)槿庵侵比庵瑒t，所以. 又，從而側(cè)面 ，又側(cè)面，故. -6分解法一：連接，由（1）可知，則是在內(nèi)的射影 即為直線與所成的角，則 在等腰直角中，且點(diǎn)是中點(diǎn)， ，且

12、， 過點(diǎn)A作于點(diǎn)，連，由（1）知，則，且 即為二面角的一個(gè)平面角且直角中：，又， ，且二面角為銳二面角 ，即二面角的大小為 -12分 解法二（向量法）：由（1）知且，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，且設(shè)，則， 設(shè)平面的一個(gè)法向量，由， 得： 令 ，得 ，則設(shè)直線與所成的角為，則得，解得，即 又設(shè)平面的一個(gè)法向量為，同理可得，設(shè)銳二面角的大小為，則，且，得 銳二面角的大小為.考點(diǎn)：1.用空間向量求平面間的夾角；2.空間中直線與直線之間的位置關(guān)系6（1）證明見解析；（2）【解析】試題分析：（1）利用已知的線面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾

13、何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.（2）證明證線線垂直，只需要證明直線的方向向量垂直；（3）把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;（4）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問題代數(shù)化.同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備.試題解析：（1）證明：,分別為，的中點(diǎn)，.又平面，平面，平面. （2）解:平面，平面平面，. 四邊形是正方形，.以為原點(diǎn),分別以直線為軸, 軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè) ,，, ,.， 分別為，的中點(diǎn)，, （解法一）設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則,即，令，得. 設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則,即，令，得. 所以=. 所以平