2010屆高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)：攻略數(shù)列

1、2010 屆高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)：攻略數(shù)列屆高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)：攻略數(shù)列數(shù)列在中學(xué)數(shù)學(xué)中地位非常重要，它是銜接初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的橋梁，是高考數(shù)學(xué)每年必考的重要內(nèi)容。內(nèi)容涉及到數(shù)列概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)及求和、數(shù)學(xué)歸納法和數(shù)列極限等；它滲透了分類討論和類比、歸納等重要的數(shù)學(xué)思想。事實(shí)上，在數(shù)列的復(fù)習(xí)中，既要重視公式的應(yīng)用，還要注意計(jì)算的合理性。在處理某些數(shù)列問題時(shí)，要滲透函數(shù)觀點(diǎn)，借助函數(shù)思想幫助解決；同時(shí)要注意新情景下的數(shù)列問題研究，有意識(shí)建立與等差數(shù)列、等比數(shù)列的聯(lián)系，探討通項(xiàng)和求和問題；數(shù)學(xué)思想如分類思想、特殊化思想等在數(shù)列中的考查，也是同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)中必須重視的問題。我們先來分析一下解析幾何高考

2、的命題趨勢(shì)：我們先來分析一下解析幾何高考的命題趨勢(shì)：一題型穩(wěn)定：近幾年來高考數(shù)列試題一直穩(wěn)定在 1-2 個(gè)小題和 1 道大題上，分值約為 20分左右， 占總分值的 12%左右，但是如果把數(shù)列與其他知識(shí)結(jié)合的綜合題目，分值會(huì)更大。二在進(jìn)行數(shù)列二輪復(fù)習(xí)時(shí)，建議可以具體從以下幾個(gè)方面著手:1運(yùn)用基本量思想(方程思想)解決有關(guān)問題；2注意等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用；3注意等差、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的特征在解題中的應(yīng)用； 4注意深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其等價(jià)形式；5根據(jù)遞推公式，通過尋找規(guī)律，運(yùn)用歸納思想，寫出數(shù)列中的某一項(xiàng)或通項(xiàng)，主要需注意從等差、等比、周期等方面進(jìn)行歸納； 6掌握數(shù)列

3、通項(xiàng) an 與前 n 項(xiàng)和 Sn 之間的關(guān)系；7根據(jù)遞推關(guān)系，運(yùn)用化歸思想，將其轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列；8掌握一些數(shù)列求和的方法(1)分解成特殊數(shù)列的和(2)裂項(xiàng)求和(3)“錯(cuò)位相減”法求和9以等差、等比數(shù)列的基本問題為主，突出數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與方程、數(shù)列與不等式、數(shù)列與幾何等的綜合應(yīng)用三方法總結(jié)1. 求數(shù)列的通項(xiàng)通常有兩種題型：一是根據(jù)所給的一列數(shù)，通過觀察求通項(xiàng)；一是根據(jù)遞推關(guān)系式求通項(xiàng)。2. 數(shù)列中的不等式問題是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)問題，對(duì)不等式的證明有比較法、放縮，放縮通常有化歸等比數(shù)列和可裂項(xiàng)的形式。3. 數(shù)列是特殊的函數(shù)，而函數(shù)又是高中數(shù)學(xué)的一條主線，所以數(shù)列這一部分是容易命制多個(gè)知識(shí)點(diǎn)交融的題

4、，這應(yīng)是命題的一個(gè)方向。四2010 年高考預(yù)測(cè)1. 數(shù)列中nS與na的關(guān)系一直是高考的熱點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是最為常見的題目，要切實(shí)注意nS與na的關(guān)系.關(guān)于遞推公式，在考試說明中的考試要求是：“了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)” 。但實(shí)際上，從近兩年各地高考試題來看，是加大了對(duì)“遞推公式”的考查。2. 探索性問題在數(shù)列中考查較多，試題沒有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給以證明.探索性問題對(duì)分析問題解決問題的能力有較高的要求.3. 等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)必考.這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題。4. 求和問題也是常

5、見的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和.5. 將數(shù)列應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題也是高考中的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，從本章在高考中所在的分值來看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.6. 有關(guān)數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與概率等問題既是考查的重點(diǎn)，也是考查的難點(diǎn)。今后在這方面還會(huì)體現(xiàn)的更突出。、數(shù)列與程序框圖的綜合題應(yīng)引起高度重視。在近年高考中，對(duì)平面向量?jī)?nèi)容的考查的主要知識(shí)點(diǎn)和題型有：在近年高考中，對(duì)平面向量?jī)?nèi)容的考查的主要知識(shí)點(diǎn)和題型有：等差數(shù)列的證明方法：等差數(shù)列的證明方法：1.1. 定義法：2等差中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列，若 na212nnna

6、aa等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：-該公式整理后是關(guān)于 n 的一次函數(shù)dnaan) 1(1等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前 n n 項(xiàng)和項(xiàng)和 1 2. 3.2)(1nnaanSdnnnaSn2) 1(1BnAnSn2等差中項(xiàng)等差中項(xiàng): : 如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)。即：或aAbAab2baAbaA2等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì): :1等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果是等差數(shù)列的第項(xiàng)，是等差數(shù)列的第項(xiàng)，nanmam且，公差為，則有nm ddmnaamn)( 2 對(duì)于等差數(shù)列，若，則。也就是： naqpmnqpmnaaaa， 23121nnnaaaaaa3若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前 n

7、 項(xiàng)的和，那么， nanS*Nk kSkkSS2成等差數(shù)列。如下圖所示：kkSS23 kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S3214設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，：奇數(shù)項(xiàng)和，：偶數(shù)項(xiàng)和，是前 n 項(xiàng)和，則有如下 na奇S偶SnS性質(zhì)：1。當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， 2。當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，則，d2nS奇偶S中偶奇aSS偶奇SSnn1等比數(shù)列的判定方法等比數(shù)列的判定方法: : 定義法：若 等比中項(xiàng)：若，則數(shù)列是等比數(shù)列。)0(1qqaann212nnnaaa na等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列的通項(xiàng)公式: :如果等比數(shù)列的首項(xiàng)是，公比是，則等比數(shù)列的通項(xiàng)為。 na1aq11nnqaa等比數(shù)列

8、的前等比數(shù)列的前 n n 項(xiàng)和：項(xiàng)和：1 1。 2。 3。當(dāng)時(shí)，) 1(1)1 (1qqqaSnn) 1(11qqqaaSnn1q1naSn等比中項(xiàng)等比中項(xiàng): : 如果使，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)等比中項(xiàng)。那么。aGbGababG 2等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的性質(zhì): :1等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果是等比數(shù)列的第項(xiàng)，是等差數(shù)列的第項(xiàng)，nanmam且，公比為，則有nm qmnmnqaa2對(duì)于等比數(shù)列，若，則也就是： navumnvumnaaaa。23121nnnaaaaaa3若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前 n 項(xiàng)的和，那么， nanS*Nk kSkkSS2成等比數(shù)列。如下圖所示：kkSS23

9、kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S321一、選擇題（每小題 5 分）1.(2009 年廣東卷文)已知等比數(shù)列na的公比為正數(shù)，且3a9a=225a，2a=1，則1a= A. 21 B. 22 C. 2 D.2 解析：解析：設(shè)公比為q,由已知得22841112a qa qa q,即22q ,又因?yàn)榈缺葦?shù)列na的公比為正數(shù)，所以2q ,故211222aaq,選 B2.（2008 全國一 5）已知等差數(shù)列滿足，則它的前 10 項(xiàng)的和 na244aa3510aa（ ）10SA138B135C95D23解析：解析：C. 由；243511014,104,3,104595a

10、aaaadSad 3.（2009 廣東卷 理）已知等比數(shù)列na滿足0,1,2,nan，且25252 (3)nnaan，則當(dāng)1n 時(shí)，2123221logloglognaaa A. (21)nn B. 2(1)n C. 2n D. 2(1)n解析：解析：由25252 (3)nnaan得nna222，0na，則nna2， 3212loglogaa 2122) 12(31lognnan ，選 C. 4.（2008 北京卷 6）已知數(shù)列對(duì)任意的滿足，且，那 na*pqN，p qpqaaa26a 么等于（ ）10aABCD165333021解析：解析：由已知+ -12，+24,=+= -30 C C4a

11、2a2a8a4a4a10a8a2a5.（2009 安徽卷文）已知為等差數(shù)列，則等于A. -1 B. 1 解析：解析：135105aaa 即33105a 335a 同理可得433a 公差432daa 204(204)1aad .選 B。6.（2009 江西卷文）公差不為零的等差數(shù)列na的前n項(xiàng)和為nS.若4a是37aa與的等比中項(xiàng), 832S ,則10S等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 解析：解析：由2437aa a得2111(3 )(2 )(6 )adad ad得1230ad,再由81568322Sad得 1278ad則12,3da ,所以1019010602Sad,.

12、故選 C7.（2008 四川卷 7）已知等比數(shù)列中，則其前 3 項(xiàng)的和的取值范圍是() na21a 3S（） （）, 1 ,01,（） （）3, , 13, 解析：解析：D 由雙勾函數(shù)的圖象知，或，故本題選311Sxx (0)x 1yxx12xx12xx D本題主要考查等比數(shù)列的相關(guān)概念和雙勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)以上諸題，基本功扎實(shí)的同學(xué)耗時(shí)不多8.（2009 湖南卷文）設(shè)nS是等差數(shù)列 na的前 n 項(xiàng)和，已知23a ，611a ，則7S等于【 C 】A13 B35 C49 D 63 解析：解析：172677()7()7(3 11)49.222aaaaS故選 C.或由21161315112aad

13、aaadd, 71 6 213.a 所以1777()7(1 13)49.22aaS故選 C.9.（2009 福建卷理）等差數(shù)列na的前 n 項(xiàng)和為nS，且3S =6，1a=4， 則公差 d 等于A1 B 53 C.- 2 D 3【答案】：C解析：解析：31336()2Saa且3112 =4 d=2aad a.故選 C 10.（2008 江西卷 5）在數(shù)列中， ，則 ( )na12a 11ln(1)nnaanna A B C D2lnn2(1)lnnn2lnnn1lnnn解析：解析：A ，211ln(1)1aa321ln(1)2aa11ln(1)1nnaan1234ln( )( )( )()2l

14、n1231nnaann11.（2009 遼寧卷文）已知 na為等差數(shù)列，且7a24a1, 3a0,則公差 d（A）2 （B）12 （C）12 （D）2解析：解析：a72a4a34d2(a3d)2d1 d12【答案】B12.（2009 遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列 na的前 n 項(xiàng)和為nS ，若 63SS=3 ，則 69SS = （A） 2 （B） 73 （C） 83 （D）3解析：解析：設(shè)公比為 q ,則36333(1)Sq SSS1q33 q32 于是63693112471123SqqSq 【答案】B13.（2009 寧夏海南卷理）等比數(shù)列 na的前 n 項(xiàng)和為ns，且 41a，22a，3a成等差數(shù)

15、列。若1a=1，則4s=（A）7 （B）8 （3）15 （4）16解析：解析：41a，22a，3a成等差數(shù)列，22132111444,44,440,215aaaaa qa qqqq即，S,選 C.14.（2009 四川卷文）等差數(shù)列na的公差不為零，首項(xiàng)1a1，2a是1a和5a的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前 10 項(xiàng)之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190【答案答案】B】B解析：解析：設(shè)公差為d，則)41 (1)1 (2dd.d0，解得d2，10S10015.（2009 湖北卷文）設(shè),Rx記不超過x的最大整數(shù)為x,令x=x-x，則 215 ，215 ,215 【答案】B解析：解析：

16、可分別求得515122 ，5112 .則等比數(shù)列性質(zhì)易得三者構(gòu)成等比數(shù)列.16.（2009 湖北卷文）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數(shù)，例如： . 他們研究過圖 1 中的 1，3，6，10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù);類似地，稱圖 2 中的 1，4，9，16這樣的數(shù)成為正方形數(shù)。下列數(shù)中及時(shí)三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是A.289 B.1024 C【答案】C解析：解析：由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)(1)2nnan ，同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)2nbn ，則由2nbn ()nN 可排除 A、D，又由(1)2nnan 知na必為奇數(shù)，故選 C.17.（2009 寧

17、夏海南卷文）等差數(shù)列 na的前 n 項(xiàng)和為nS，已知2110mmmaaa，2138mS,則m （A）38 （B）20 （C）10 （D）9 【答案】C解析：解析：因?yàn)?na是等差數(shù)列，所以，112mmmaaa，由2110mmmaaa，得：2ma2ma0，所以，ma2，又2138mS，即2)(12(121maam38，即（2m1）238，解得 m10，故選.C。18.（2009 重慶卷文）設(shè) na是公差不為 0 的等差數(shù)列，12a 且136,a a a成等比數(shù)列，則 na的前n項(xiàng)和nS=（ ） A2744nn B2533nn C2324nnD2nn【答案】A解析：解析：設(shè)數(shù)列na的公差為d，則根

18、據(jù)題意得(22 )22 (25 )dd，解得12d 或0d （舍去） ，所以數(shù)列na的前n項(xiàng)和2(1)1722244nn nnnSn19.（2009 安徽卷理）已知 na為等差數(shù)列，1a+3a+5a=105，246aaa=99，以nS表示 na的前n項(xiàng)和，則使得nS達(dá)到最大值的n是 （A）21 （B）20 （C）19 （D） 18 解析：解析：由1a+3a+5a=105 得33105,a 即335a ，由246aaa=99 得4399a 即433a ，2d ，4(4) ( 2)41 2naann ，由100nnaa得20n ，選 B20.（2009 江西卷理）數(shù)列na的通項(xiàng)222(cossin

19、)33nnnan，其前n項(xiàng)和為nS，則30S為A470 B490 C495 D510答案：A解析：解析：由于22cossin33nn以 3 為周期,故2222222223012452829(3 )(6 )(30 )222S 221010211(32)(31)59 10 11(3 ) 925470222kkkkkk故選 A21.（2009 四川卷文）等差數(shù)列na的公差不為零，首項(xiàng)1a1，2a是1a和5a的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前 10 項(xiàng)之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 . 【答案答案】B】B解析：解析：設(shè)公差為d，則)41 (1)1 (2dd.d0，解得d2，10S10

20、0二、填空題（每小題 5 分）22.（2009 全國卷理） 設(shè)等差數(shù)列 na的前n項(xiàng)和為nS，若972S ,則249aaa= 。解析：解析： na是等差數(shù)列,由972S ,得599,Sa58a 2492945645()()324aaaaaaaaaa. 23.（2008 四川卷 16）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大 nannS4510,15SS4a值為_。解析：解析：由題意，即，4114 34102545152adad11461051015adad1123523adad413aad這是加了包裝的線性規(guī)劃，有意思建立平面直角坐標(biāo)系，畫出可行域1a od（圖略） ，畫出目標(biāo)函數(shù)即直線，由圖知，當(dāng)

21、直線過可行域內(nèi)1123523adad413aad413aad點(diǎn)時(shí)截距最大，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取最大值本題明為數(shù)列，實(shí)為線性規(guī)劃，著力考查(1,1)44a 了轉(zhuǎn)化化歸和數(shù)形結(jié)合思想掌握線性規(guī)劃問題畫移求答四步曲，理解線性規(guī)劃解題程序的實(shí)質(zhì)是根本這是本題的命題意圖因約束條件只有兩個(gè)，本題也可走不等式路線設(shè)，111213(23 )(2 )adadad由解得，1212213231213 ，1113(23 )3(2 )adadad 由不等式的性質(zhì)得： 1123523adad11(23 )53(2 )9adad ，即11(23 )3(2 )4adad ，的最大值是 44134aad4a24.（2009 浙江理）

22、設(shè)等比數(shù)列na的公比12q ，前n項(xiàng)和為nS，則44Sa 答案：15解析：解析：對(duì)于4431444134(1)1,151(1)aqsqsaa qqaqq25. （20082008 安徽卷 1414）在數(shù)列在中，na542nan212naaaanbn,其中為常數(shù)，則的值是 *nN, a blimnnnnnabab解析：解析：1 從而。,254 nan,231a222)25423(2nnnnSna=2，則21b12()2lim112()2nnnnn 26.（2009 浙江文）設(shè)等比數(shù)列na的公比12q ，前n項(xiàng)和為nS，則44Sa 【命題意圖】此題主要考查了數(shù)列中的等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，通過對(duì)

23、數(shù)列知識(shí)點(diǎn)的考查充分體現(xiàn)了通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的知識(shí)聯(lián)系解析：解析：對(duì)于4431444134(1)1,151(1)aqsqsaa qqaqq 27.（2009 浙江文）設(shè)等差數(shù)列na的前n項(xiàng)和為nS，則4S，84SS，128SS，1612SS成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列 nb的前n項(xiàng)積為nT，則4T， ， ，1612TT成等比數(shù)列答案： 81248,TTTT【命題意圖】此題是一個(gè)數(shù)列與類比推理結(jié)合的問題，既考查了數(shù)列中等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí)，也考查了通過已知條件進(jìn)行類比推理的方法和能力. 解析：解析：對(duì)于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列 nb的前n項(xiàng)積為nT，則4T，81248,TTTT

24、，1612TT成等比數(shù)列28. （2008 湖北卷 14）已知函數(shù),等差數(shù)列的公差為.若( )2xf x xa2,則 .6246810()4f aaaaa212310log ()() ()()f af af af a解析：解析：依題意，所以2468102aaaaa1357925 28aaaaa 1210612310()()()()22aaaf af af af a212310log ()()()()6f af af af a 29.（2009 北京文）若數(shù)列na滿足：111,2()nnaaa nN，則5a ；前8 項(xiàng)的和8S .（用數(shù)字作答）解析：解析：本題主要考查簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列以及數(shù)列的求和

25、問題. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.1213243541,22,24,28,216aaaaaaaaa，易知88212552 1S，應(yīng)填 255.30. （2008 湖北卷 15）觀察下列等式：2111,22niinn2321111,326niinnn34321111,424niinnn454311111,52330niinnnn5654211151,621212niinnnn67653111111,722642niinnnnn212112101,nkkkkkkkkkiiana nanana na可以推測(cè)，當(dāng)2（）時(shí)， x*kN1111,12kkkaaak12k .，02ka解析：解析：由觀察

26、可知當(dāng)，每一個(gè)式子的第三項(xiàng)的系數(shù)是成等差數(shù)列的，所以，2k 時(shí)112kka第四項(xiàng)均為零，所以。20ka31.（2009 北京理）已知數(shù)列na滿足：434121,0,N ,nnnnaaaa n則2009a_；2014a=_.【答案答案】1，0解析：解析：本題主要考查周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí).屬于創(chuàng)新題型.依題意，得20094 503 31aa，20142 100710074 252 10aaaa. 應(yīng)填 1，0.32.（2009 江蘇卷）設(shè) na是公比為q的等比數(shù)列，| 1q ，令1(1,2,)nnban，若數(shù)列 nb有連續(xù)四項(xiàng)在集合53, 23,19,37,82中，則6q= . 解析：解析： 考查等

27、價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力。等比數(shù)列的通項(xiàng)。 na有連續(xù)四項(xiàng)在集合54, 24,18,36,81，四項(xiàng)24,36, 54,81成等比數(shù)列，公比為32q ，6q= -9-933.(2009 山東卷文)在等差數(shù)列na中,6, 7253aaa,則_6a.解析：解析：:設(shè)等差數(shù)列na的公差為d,則由已知得6472111dadada解得132ad,所以61513aad. 答案:13.【命題立意】:本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及基本計(jì)算.34.（2009 全國卷文）設(shè)等比數(shù)列na的前 n 項(xiàng)和為ns。若3614, 1ssa，則4a= 答案：答案：3 3解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運(yùn)算，由解析：本題考

28、查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運(yùn)算，由3614, 1ssa得 q3=3 故 a4=a1q3=3。35.(2009 湖北卷理)已知數(shù)列 na滿足：1am（m 為正整數(shù)） ，1,231,nnnnnaaaaa當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)。若6a 1，則 m 所有可能的取值為_。. 【答案】4 5 32解析：解析：（1）若1am為偶數(shù)，則12a為偶, 故223 a224amma 當(dāng)4m仍為偶數(shù)時(shí)，46832mmaa 故13232mm 當(dāng)4m為奇數(shù)時(shí)，4333114aam 63144ma故31414m得 m=4。（2）若1am為奇數(shù)，則213131aam 為偶數(shù)，故3312ma必為偶數(shù)63116ma，所以3116m=

29、1 可得 m=536.（2009 全國卷理）設(shè)等差數(shù)列 na的前n項(xiàng)和為nS，若535aa則95SS 9 . 解析：解析： na為等差數(shù)列，9553995SaSa37.（2009 遼寧卷理）等差數(shù)列 na的前n項(xiàng)和為nS，且53655,SS則4a 解析解析：Snna112n(n1)d . S55a110d,S33a13d 6S55S330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4【答案】31三解答題38.(2009 湖北卷理)（本小題滿分 13 分） （注意：在試題卷上作答無效）（注意：在試題卷上作答無效）已知數(shù)列 na的前 n 項(xiàng)和11( )22nnnSa （n 為正

30、整數(shù)） 。（）令2nnnba，求證數(shù)列 nb是等差數(shù)列，并求數(shù)列 na的通項(xiàng)公式；（）令1nnncan，12.nnTccc試比較nT與521nn的大小，并予以證明。解析解析：（：（I）在11( )22nnnSa 中，令 n=1，可得1112nSaa ，即112a 當(dāng)2n 時(shí)，21111111( )2( )22nnnnnnnnnSaaSSaa ，11n1112a( ),212nnnnnaaan即2. 112,1,n21nnnnnnbabbbn即當(dāng)時(shí)，b. 又1121,ba 數(shù)列nb是首項(xiàng)和公差均為 1 的等差數(shù)列. 于是1 (1) 12,2nnnnnnbnnaa .(II)由（I）得11(1)(

31、 )2nnnncann，所以23111123 ( )4 ( )(1)( )2222nnTn K2341111112 ( )3 ( )4 ( )(1)( )22222nnTn K由-得231111111 ( )( )( )(1)( )22222nnnTn K 111111 ( )133421(1)( )122212332nnnnnnnnT 535(3)(221)3212212 (21)nnnnnnnnnTnnn于是確定521nnTn與的大小關(guān)系等價(jià)于比較221nn與的大小由234522 1 1;22 2 1;22 3 1;22 4 1;22 5; K 可猜想當(dāng)3221.nnn時(shí)，證明如下：證法

32、1：（1）當(dāng) n=3 時(shí)，由上驗(yàn)算顯示成立。（2）假設(shè)1nk時(shí)122 22(21)422(1) 1 (21)2(1) 1kkkkkkk g所以當(dāng)1nk時(shí)猜想也成立綜合（1） （2）可知 ，對(duì)一切3n 的正整數(shù)，都有221.nn證法 2：當(dāng)3n 時(shí)01210112(1 1)2221nnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCnnK綜上所述，當(dāng)1,2n 時(shí)521nnTn，當(dāng)3n 時(shí)521nnTn39.（2009 四川卷文） （本小題滿分 14 分）設(shè)數(shù)列 na的前n項(xiàng)和為nS，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有51nnaS成立，記*4()1nnnabnNa。 （I）求數(shù)列 na與數(shù)列 nb的通項(xiàng)公式；（I

33、I）設(shè)數(shù)列 nb的前n項(xiàng)和為nR，是否存在正整數(shù)k，使得4nRk成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)k；若不存在，請(qǐng)說明理由；（III）記*221()nnncbbnN，設(shè)數(shù)列 nc的前n項(xiàng)和為nT，求證：對(duì)任意正整數(shù)n都有32nT ；【解析解析】 （I）當(dāng)1n時(shí)，111151,4 aSa 又1151,51nnnnaSaS11115,4即 nnnnnaaaaa數(shù)列 na是首項(xiàng)為114 a，公比為14 q的等比數(shù)列，1()4 nna，*14()4()11 ()4 nnnbnN （II）不存在正整數(shù)k，使得4nRk成立。證明：由（I）知14()5441( 4)11 ()4 nnnnb 21221255520

34、15 16408888.( 4)1( 4)1161164(161)(164)kkkkkkkkkbb當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，設(shè)2 ()nm mN 1234212()()()84nmmRbbbbbbmn當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，設(shè)21()nmmN1234232221()()()8(1)4844nmmmRbbbbbbbmmn對(duì)于一切的正整數(shù) n，都有4nRk 不存在正整數(shù)k，使得4nRk成立。 （III）由54( 4)1nnb 得 212221225515 1615 1615 16154141(161)(164)(16 )3 164(16 )16nnnnnnnnnnnnnncbb 又1221343,33bbc， 當(dāng)1n時(shí)，132T ，當(dāng)2n 時(shí)，22232111 ()41114161625 ()2513161616311614693162513482116nnnT 14 分40. （2008 全國一 22） 設(shè)函數(shù)數(shù)列滿足，( )lnf xxxx na101a1()nnaf a（）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；( )f x(01)，（）證明：；11nnaa（）設(shè)，整數(shù)證明：1(1)ba，11lnabkab1ka