異面直線角的計算

1、授課：曲靖一中授課：曲靖一中 韓韓 睿睿復(fù)習(xí)定義復(fù)習(xí)定義探索方法探索方法歸納小結(jié)歸納小結(jié)反饋練習(xí)反饋練習(xí)例題例題1例題例題2練習(xí)練習(xí)1練習(xí)練習(xí)3練習(xí)練習(xí)2abbO一.定義:注意：注意：異面直線所成角的范圍是異面直線所成角的范圍是 直線直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點是異面直線，經(jīng)過空間任意一點 O ,分別分別引直線引直線aa , b b.我們把直線我們把直線a和和b所成的銳角所成的銳角(或或直角直角)叫做異面直線叫做異面直線a和和b所成的角所成的角.（0， a2求角的步驟：1. 確定角確定角2. 求角求角求異面直線所成角的步驟求異面直線所成角的步驟有哪些？有哪些？長方體長方體ABCDAB

2、CD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，ABAB= =AAAA1 1= =2cm2cm， ADAD= =1cm1cm，求異面直線，求異面直線A A1 1C C1 1與與BDBD1 1所成角的余弦值所成角的余弦值. .取BB1的中點M，連O1M，則O1MD1B，如圖，連B1D1與A1C1 交于O1，于是A1O1M就是異面直線A1C1與BD1所成的角（或其補(bǔ)角）O1MDB1A1D1C1ACB解：解：為什么？為什么？于是A1O1M就是異面直線A1C1與BD1所成的角（或其補(bǔ)角），長方體長方體ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，ABAB= =AA

3、AA1 1= =2cm2cm， ADAD= =1cm1cm，求異面直線求異面直線A A1 1C C1 1與與BDBD1 1所成角的余弦值所成角的余弦值. .取BB1的中點M，連O1M，則O1MD1B，如圖，連B1D1與A1C1 交于O1，解：解：為什么？為什么？O1MDB1A1D1C1ACB,23212212122211=BDMO,512221=MA,2512212211=OA由余弦定理得,55cos11=MOAA1C1與BD1所成角的余弦值為方法歸納： 平移法連A1M，在A1O1M中即根據(jù)定義，以即根據(jù)定義，以“ “運(yùn)動運(yùn)動” ”的觀點，用的觀點，用“ “平移轉(zhuǎn)化平移轉(zhuǎn)化” ”的方法，使之成

4、為相交直線所成的角的方法，使之成為相交直線所成的角. .55解法二解法二：方法歸納：方法歸納： 補(bǔ)形法補(bǔ)形法把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、長方體等，其目的在于易于發(fā)如正方體、長方體等，其目的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系. .3, 52, 51111=ECEACA在在 A1C1E中，中，由余弦定理得由余弦定理得55cos11=ECAA1C1與與BD1所成角的余弦值為所成角的余弦值為如圖，補(bǔ)一個與原長方體全等的并與原長方體有公共面如圖，補(bǔ)一個與原長方體全等的并與原長方體有公共面連結(jié)連結(jié)A1E，C1E，則，則 A1C1E為為A

5、1C1與與BD1所成的角所成的角(或補(bǔ)角或補(bǔ)角)，F(xiàn)1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的方體的方體B1F，55正方體ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,則OB1與A1C1所成的角的度數(shù)為A1B1C1D1ABCDO練習(xí)1900在正四面體S-ABC中，SABC, E, F分別為SC、AB 的中點，那么異面直線EF 與SA 所成的角等于（ ）CSABEFD(A)300 (B)450 (C)600 (D)900練習(xí)2BSABEFCDG練習(xí)2（解法二）SACBEFSABEFC練習(xí)2 （解法三）三、解答題三、解答題已知正方體的棱長為已知正方體的棱長為a a , , M M為為ABAB的

6、中點的中點, ,N N 為為 B BB B1 1的中點，的中點，求求 A A1 1M M 與與 C C1 1 N N 所成角的余弦值所成角的余弦值. .解：解：A1D1C1B1ABCDMNEG如圖，取如圖，取AB的中點的中點E, 連連BE, 有有BE A A1 1M M 取取CC1的中點的中點G，連，連BG. 有有BG C C1 1N N 則則EBG即為所求角即為所求角.BG=BE= a,， F C1 = a由余弦定理，由余弦定理， cosEBG=2/5F取取EB1的中點的中點F，連，連NF,有有BENF則則FNC為所求角為所求角.想一想：想一想：還有其他定角的方法嗎？還有其他定角的方法嗎？2

7、526在在EBG 中中（1）平移法（常用方法）平移法（常用方法）小結(jié)：小結(jié)： 1、求異面直線所成的角是把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，體現(xiàn)了化、求異面直線所成的角是把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想歸的數(shù)學(xué)思想.2、用余弦定理求異面直線所成角時，要注意角的范圍：、用余弦定理求異面直線所成角時，要注意角的范圍： （1） 當(dāng)當(dāng) cos 0 時，所成角為時，所成角為 （2） 當(dāng)當(dāng) cos 0 時，所成角為時，所成角為 （3） 當(dāng)當(dāng) cos = 0 時，所成角為時，所成角為 3、當(dāng)異面直線當(dāng)異面直線垂直垂直時，還可應(yīng)用線面垂直的有關(guān)知識解決時，還可應(yīng)用線面垂直的有關(guān)知識解決.90o（2）補(bǔ)形法）補(bǔ)形法化歸的一般步驟是：化歸的一般步驟是：定角定角求角求角說明說明：異面直線所成角的范圍是（異面直線所成角的范圍是（0， ，在把異面直線，在把異面直線所成的角平移轉(zhuǎn)化為平面三角形中的角時，常用余所成的角平移轉(zhuǎn)化為平面三角形中的角時，常用余弦定理求其大小，當(dāng)弦定理求其大小，當(dāng)余弦值為負(fù)值余弦