直線(xiàn)二級(jí)倒立擺的建模和控制綜述

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上西南科技大學(xué)自動(dòng)化專(zhuān)業(yè)方向設(shè)計(jì)報(bào)告設(shè)計(jì)名稱(chēng)：直線(xiàn)二級(jí)倒立擺的建模和鎮(zhèn)定控制 姓 名： 學(xué) 號(hào): 班 級(jí)： 指導(dǎo)教師： 起止日期： 方 向 設(shè) 計(jì) 任 務(wù) 書(shū)學(xué)生班級(jí)： 學(xué)生姓名： 學(xué)號(hào)： 設(shè)計(jì)名稱(chēng)： 起止日期： 指導(dǎo)教師： 設(shè)計(jì)要求： （1）建立直線(xiàn)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在垂直向上方向上（工作點(diǎn)附近）得到線(xiàn)性化模型；（2）理解lqr（線(xiàn)性二次調(diào)節(jié)器）的基本原理，會(huì)利用matlab提供的lqr函數(shù)獲得直線(xiàn)二級(jí)倒立擺線(xiàn)性化模型的lqr控制器；（3）利用matlab的simulink仿真環(huán)境，搭建倒立擺的控制系統(tǒng)，得到并分析仿真結(jié)果；（4）撰寫(xiě)設(shè)計(jì)報(bào)告，完成答辯。方

2、向 設(shè) 計(jì) 學(xué) 生 日 志時(shí)間設(shè)計(jì)內(nèi)容專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)直線(xiàn)二級(jí)倒立擺的建模與鎮(zhèn)定控制摘要（150-250字）倒立擺是一個(gè)典型的多變量、非線(xiàn)性、強(qiáng)耦合、欠驅(qū)動(dòng)的自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，對(duì)倒立擺系統(tǒng)的控制研究，能反映控制過(guò)程中的鎮(zhèn)定、非線(xiàn)性和隨動(dòng)等問(wèn)題，因此常用于各種控制算法的研究。而且對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究還有重要的工程背景，對(duì)機(jī)器人行走、火箭的姿態(tài)調(diào)整等都有重要的現(xiàn)實(shí)意義。本文以直線(xiàn)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)為模型，闡釋了直線(xiàn)二級(jí)倒立擺的建模方法和鎮(zhèn)定控制算法。其次介紹了直線(xiàn)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，應(yīng)用拉格朗日方程建模方法詳細(xì)推導(dǎo)了二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析。接下來(lái)，本文重點(diǎn)研究了最優(yōu)控制算法在

3、直線(xiàn)二級(jí)倒立擺鎮(zhèn)定控制中的應(yīng)用；在介紹倒立擺系統(tǒng)的最優(yōu)控制算法的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的最優(yōu)控制器，分析得出控制參數(shù)的選擇規(guī)律；并且在Simulink上完成仿真實(shí)驗(yàn),觀(guān)察控制系統(tǒng)性能。關(guān)鍵詞：倒立擺；建模；LQR；鎮(zhèn)定控制Modeling and Balance Control of the Linear Double Inverted Pendulum Abstract：Inverted pendulum is a typical multivariable, nonliner, closed coupled and quick movement natural instable system.

4、The process of control research can reflect many key problems in control theory, such as the problem of tranquilization, non linearity, following and so on. So the inverted pendulum is commonly used for the study of many kinds of control theory. The research of inverted pendulum also has important b

5、ackground of engineering, and has practical significance for the Robot walk and Rocket-profile adjustment.In this paper, taking the linear double inverted pendulum system as the control model, reaching of the control system based on lagrange equation and optimal control algorithm. First of all, givi

6、ng out the research significance and situation of the inverted pendulum system, and introducing the linear double inverted pendulum modeling methods and stabilization control theory. Secondly, introducing the structure and parameters of the inverted pendulum system. Researching of the inverted pendu

7、lum mathematical model based on lagrange equation, and giving a detailed derivation, then having stability analysis of the system. Next, this paper studied the inverted pendulum systems optimal control algorithm, and designed the LQR controller based on it, then coming to the law of selection of con

8、trol parameters. Finishing the simulation in the Simulink software, observing the performance of the control system. Key words: inverted pendulum, modeling, LQR, balance control一、設(shè)計(jì)目的和意義二、控制要求對(duì)直線(xiàn)二級(jí)倒立擺模型的物理特性做分析，然后利用拉格朗日方程建模方法建立倒立擺的數(shù)學(xué)模型。利用線(xiàn)性二次最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)倒立擺的LQR鎮(zhèn)定控制器，在Matlab和Simulink中完成倒立擺的鎮(zhèn)定控制仿真，得出倒立擺LQ

9、R控制器設(shè)計(jì)規(guī)律。三、設(shè)計(jì)方案論證牛頓力學(xué)建模方法：根據(jù)傳統(tǒng)的牛頓力學(xué)分析，建立二級(jí)擺動(dòng)力學(xué)方程，最后經(jīng)過(guò)求解方程建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 特點(diǎn)：分析通俗易懂，但需要求解大量微分方程，計(jì)算復(fù)雜；對(duì)于二級(jí)以上倒立擺建模很少使用。拉格朗日建模方法：基于廣義力和廣義坐標(biāo)的系統(tǒng)能量法，需要求出系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能，建立Lagrange方程。特點(diǎn)：理論較難，但建模簡(jiǎn)單，可以編程求解方程。四、系統(tǒng)設(shè)計(jì)倒立擺系統(tǒng)是由導(dǎo)軌、小車(chē)和各級(jí)擺桿組成，本文研究的直線(xiàn)二級(jí)倒立擺的物理結(jié)構(gòu)如圖1-1所示。小車(chē)依靠直流電機(jī)施加的控制力，可以在導(dǎo)軌上左右移動(dòng)，其位移和擺桿角度信息由傳感器測(cè)得，目標(biāo)是使倒立擺在有限長(zhǎng)的導(dǎo)軌上豎立穩(wěn)定，

10、達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡。圖1-1直線(xiàn)二級(jí)倒立擺的物理結(jié)構(gòu)其中，雙擺系統(tǒng)由擺桿1、擺桿2、質(zhì)量塊1、小車(chē)和基座組成。擺桿1與擺桿2由質(zhì)量塊1連接，擺桿1與基座都由帶滾動(dòng)軸承的旋轉(zhuǎn)軸自由相連。小車(chē)裝在滑動(dòng)軸上，通過(guò)電機(jī)帶動(dòng)皮帶使小車(chē)移動(dòng)。為了測(cè)量擺桿的轉(zhuǎn)角，轉(zhuǎn)軸上安裝有增量式角度編碼器，內(nèi)桿與小車(chē)連接處的角度編碼器的質(zhì)量可直接考慮為小車(chē)質(zhì)量的一部分，故圖中只表注了內(nèi)外桿連接處的編碼器質(zhì)量塊1。兩個(gè)擺桿不帶動(dòng)力源，兩擺桿的運(yùn)動(dòng)控制只能通過(guò)小車(chē)的移動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。計(jì)算機(jī)從運(yùn)動(dòng)控制卡中讀取實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，確定控制決策，并由運(yùn)動(dòng)控制卡來(lái)實(shí)現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應(yīng)的控制量，使電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)小車(chē)運(yùn)動(dòng)，保持?jǐn)[桿的平衡。當(dāng)把擺桿提起到平

11、衡位置附近后放開(kāi)，若小車(chē)不動(dòng)，擺桿會(huì)由于重力倒下來(lái)。當(dāng)小車(chē)在水平方向上移動(dòng)時(shí)，擺桿受到一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，這個(gè)力矩使擺桿朝與小車(chē)運(yùn)動(dòng)方向相反的方向運(yùn)行，通過(guò)規(guī)律性的改變小車(chē)的受力方向使得擺桿在豎直方向上左右擺動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)擺桿在豎直方向上的動(dòng)態(tài)平衡。直線(xiàn)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的物理參數(shù)如表2.1所示。表2.1直線(xiàn)二級(jí)倒立擺的物理參數(shù)符號(hào)描述參數(shù)符號(hào)描述參數(shù)m1擺桿1質(zhì)量0.108kgl1擺桿1質(zhì)心到轉(zhuǎn)矩距離0.20mm2擺桿2質(zhì)量0.108 kgl2擺桿2質(zhì)心到轉(zhuǎn)矩距離0.20mm3質(zhì)量塊質(zhì)量0.208kgL擺桿1、2的長(zhǎng)度0.40mM小車(chē)質(zhì)量1.32kgf0小車(chē)與導(dǎo)軌的摩擦系數(shù)22.915g重力加速度9.8

12、000N/kgf1擺桿1與小車(chē)的摩擦系數(shù)0.7756J1擺桿1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量0.00144 kg.m2f2擺桿1與擺桿2的摩擦系數(shù)0.7756J2擺桿2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量0.00144 kg.m21擺桿1轉(zhuǎn)動(dòng)角度x小車(chē)水平位移2擺桿2轉(zhuǎn)動(dòng)角度1.基于Lagrange方程方法建立二級(jí)擺的數(shù)學(xué)模型為了對(duì)二級(jí)擺的性能做具體的研究，需要建立倒立擺的數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)建模方法可以分為兩種：機(jī)理建模和實(shí)驗(yàn)建模。實(shí)驗(yàn)建模就是通過(guò)在研究對(duì)象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號(hào)，激勵(lì)研究對(duì)象并通過(guò)傳感器檢測(cè)其可觀(guān)測(cè)的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。機(jī)理建模就是在了解研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律基礎(chǔ)上，通過(guò)物理、化學(xué)的知識(shí)和

13、數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入、狀態(tài)關(guān)系。對(duì)于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一定的困難。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行機(jī)理建模。對(duì)于小車(chē)系統(tǒng)的機(jī)理建模，一般有牛頓力學(xué)建模方法和分析力學(xué)中的拉格朗日方程建模方法兩種途徑。牛頓力學(xué)建模法分析復(fù)雜，且要計(jì)算大量的微分方程組，而拉格朗日建模方法分析簡(jiǎn)單，可以編程求解方程。因此本文采用拉格朗日方程建模方法建立倒立擺的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用mathematica軟件編程求解拉格朗日方程，簡(jiǎn)化對(duì)微分方程的求解。2.Lagrange方程建模的基本原理Lagrange方程屬于分析力學(xué)的范疇，

14、是基于廣義坐標(biāo)和廣義能量的方法。Lagrange方程是由虛功原理推導(dǎo)出來(lái)的，指受理想約束的完整力學(xué)系中廣義力做功為零。在分析力學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)系的虛功可以表示如下： 其中，稱(chēng)為對(duì)應(yīng)于第個(gè)廣義坐標(biāo)的廣義主動(dòng)力，是廣義坐標(biāo)的廣義虛位移。因?yàn)榭梢允翘摼€(xiàn)位移，也可以是虛角位移，因此可以有力或力矩的量綱，這體現(xiàn)了廣義力的廣義性。廣義力一般分為保守力和非保守力，保守力是做功與路徑無(wú)關(guān)的力，非保守力是做功與路徑有關(guān)的力。虛功原理解決的是受理想約束的完整力學(xué)系統(tǒng)處于靜平衡狀態(tài)的問(wèn)題，當(dāng)系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過(guò)達(dá)朗伯定理引入慣性力，將系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問(wèn)題。此時(shí)系統(tǒng)受主動(dòng)力、約束力和慣性力處于靜平衡狀態(tài)，應(yīng)用虛功

15、原理，得到達(dá)朗伯-拉格朗日方程。應(yīng)用達(dá)朗伯-拉格朗日方程可以推導(dǎo)出基于廣義坐標(biāo)和廣義能量的Lagrange方程，本節(jié)中我們只對(duì)Lagrange方程進(jìn)行應(yīng)用，因此舍去其詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程。下面對(duì)Lagrange方程的三種基本形式做介紹。 （1）基本的第二類(lèi)拉格朗日方程為： （2）主動(dòng)力是保守力的拉格朗日方程為：（3）主動(dòng)力包括保守力和非保守力的拉格朗日方程為：其中為拉格朗日算子，q 為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，T 為系統(tǒng)的動(dòng)能，V 為系統(tǒng)的勢(shì)能，為廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義力。對(duì)一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行Lagrange方程建模時(shí)的步驟為：首先明確對(duì)象，一般取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象。對(duì)整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行受力分析，分析主動(dòng)力，當(dāng)出現(xiàn)非理想約束

16、力時(shí)，將其視為主動(dòng)力；選擇恰當(dāng)形式的拉格朗日方程。然后對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)性能進(jìn)行分析，恰當(dāng)系統(tǒng)中獨(dú)立的廣義坐標(biāo)。進(jìn)而求取系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能，得到系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，求偏導(dǎo)和全導(dǎo)，代入拉格朗日方程，獲N個(gè)運(yùn)動(dòng)微分方程。最后對(duì)N個(gè)微分方程進(jìn)行線(xiàn)性化，求出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。3.二級(jí)倒立擺系統(tǒng)建模應(yīng)用Lagrange方程對(duì)二級(jí)擺系統(tǒng)進(jìn)行建模時(shí)，對(duì)二級(jí)擺系統(tǒng)進(jìn)行受力分析。由于二級(jí)擺系統(tǒng)受推力和摩擦力作用，其中推力屬于保守力，摩擦力屬于非保守力。因此選用主動(dòng)力包括保守力和非保守力的拉格朗日方程。對(duì)二級(jí)擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行分析，確定廣義坐標(biāo)。在二級(jí)倒立擺系統(tǒng)中，系統(tǒng)有三個(gè)廣義坐標(biāo)，分別為。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的為零。然

17、后求出系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能，系統(tǒng)的動(dòng)能由小車(chē)、擺桿1、擺桿2和質(zhì)量塊1的動(dòng)能組成，系統(tǒng)的勢(shì)能由擺桿1、擺桿2和質(zhì)量塊1的勢(shì)能組成。由于系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)下沒(méi)有外力作用，可以列出系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)中所受外力為零的方程。然后求解方程組，就可以得到倒立擺狀態(tài)量的表達(dá)式，進(jìn)而建立倒立擺的狀態(tài)空間方程。由于倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)非線(xiàn)性和不確定的系統(tǒng)，因此應(yīng)用機(jī)理建模法對(duì)二次級(jí)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)作如下假設(shè)：1)每一級(jí)擺桿都是剛體。2)在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中同步帶長(zhǎng)度保持不變。3)驅(qū)動(dòng)力與放大器輸入成正比并無(wú)延遲的直接施加于小車(chē)。4)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的庫(kù)侖摩擦、動(dòng)摩擦等所有摩擦力足夠小，在建模過(guò)程中可忽略不計(jì)。使用Lagrange方程對(duì)直

18、線(xiàn)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的建模過(guò)程為：(1)求出倒立擺的動(dòng)能和勢(shì)能圖1-2 直線(xiàn)二級(jí)倒立擺受力分析先對(duì)倒立擺的物理模型進(jìn)行分析，如圖2-3所示，然后建立擺桿和質(zhì)量塊的質(zhì)心的坐標(biāo)表達(dá)式。這里規(guī)定擺桿1的質(zhì)心坐標(biāo)為，擺桿2的質(zhì)心坐標(biāo)為，質(zhì)量塊的質(zhì)心坐標(biāo)為。質(zhì)心坐標(biāo)如下： 在直線(xiàn)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)中，廣義坐標(biāo)為，和。根據(jù)倒立擺的物理模型分析圖，列寫(xiě)出系統(tǒng)的動(dòng)能為： 其中，、和分別為小車(chē)、擺桿1、擺桿2和質(zhì)量塊1的動(dòng)能，它們分別為： 其中，和分別為擺桿1和擺桿2質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能，和分別為擺桿1和擺桿2繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。然后，應(yīng)用擺桿和質(zhì)量塊質(zhì)心表達(dá)式求出系統(tǒng)的動(dòng)能。帶入公式（2.7）擺桿1的動(dòng)能為：所以得到同理，求出擺

19、桿2的動(dòng)能為： 質(zhì)量塊1的動(dòng)能為：因此，可以得到系統(tǒng)動(dòng)能為 另一方面，系統(tǒng)的勢(shì)能為 從而得到Lagrange函數(shù)為 （2）列出Lagrange方程由于在廣義坐標(biāo)上均無(wú)外力作用，故列寫(xiě)Lagrange方程得到 將式(2.21)代入式(2.22)和(2.23)得到 上述方程為倒立擺的動(dòng)力學(xué)方程，求解微分方程可以得到倒立擺狀態(tài)量的表達(dá)式，然后可以建立倒立擺的數(shù)學(xué)模型。4.倒立擺運(yùn)動(dòng)方程的線(xiàn)性化處理針對(duì)已建立的拉格朗日方程，求解方程可以得到倒立擺狀態(tài)量的表達(dá)式。由于是關(guān)于系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸入控制量u的方程，小車(chē)施加的加速度信號(hào)作為控制量，有；因此設(shè)方程的解為： 對(duì)倒立擺模型進(jìn)行線(xiàn)性化處理，這里采用在平

20、衡點(diǎn)附近將函數(shù)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)。上面的方程為七元函數(shù)，因此采用對(duì)多元函數(shù)展開(kāi)的方法展開(kāi)，這里對(duì)二元函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)方法進(jìn)行介紹。二元函數(shù)的形式為，在其平衡點(diǎn)附近進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)。在平衡點(diǎn)附近，由于偏差及的絕對(duì)值很小，可以省略函數(shù)高次項(xiàng)得：將上式化簡(jiǎn)，得到一次線(xiàn)性方程： ，這樣，與和之間的非線(xiàn)性關(guān)系，轉(zhuǎn)化為與和之間的線(xiàn)性關(guān)系。當(dāng)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)處于原點(diǎn)時(shí)，即，可以對(duì)方程化簡(jiǎn)為：按照二元函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)方法對(duì)公式（2.24）進(jìn)行展開(kāi)，由于直線(xiàn)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為：；因此線(xiàn)性化后得到的表達(dá)式為： 其中由于求解微分方程比較繁瑣，因此對(duì)線(xiàn)性化處理后的方程采用mathematica軟件編寫(xiě)程序，求解倒

21、立擺狀態(tài)量的表達(dá)式。根據(jù)得到的參數(shù)，建立倒立擺的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能，求得拉格朗日算子，然后建立Lagrang方程，并按線(xiàn)性化后的關(guān)系求解方程。根據(jù)倒立擺的拉格朗日建模方法編寫(xiě)mathematica程序，求解Lagrang方程。直線(xiàn)二級(jí)倒立擺拉格朗日方程求解的mathematica實(shí)現(xiàn)代碼見(jiàn)附錄1。運(yùn)行程序求出倒立擺狀態(tài)量的表達(dá)參數(shù)，其中k11、k14、k15、k16、k21、k24、k25、k26的值為0，其余各參數(shù)的表達(dá)式如下：=33.4502；=-7.3229；=2.6661；=-50.1753；=47.7343；=-0.2491；對(duì)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)，取系統(tǒng)狀態(tài)變量為，然后

22、建立連續(xù)狀態(tài)空間方程為： 根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)變量直接的關(guān)系，寫(xiě)出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：在倒立擺的鎮(zhèn)定控制中,采用LQR控制器實(shí)現(xiàn)鎮(zhèn)定控制。當(dāng)?shù)沽[系統(tǒng)受到干擾偏離了平衡狀態(tài)時(shí),能在不消耗過(guò)多能量的情況下,保持系統(tǒng)最快的回到平衡狀態(tài)。設(shè)計(jì)最優(yōu)控制器時(shí)，選擇合適的正定矩陣和使系統(tǒng)的性能指標(biāo)取最小，然后利用Matlab提供的函數(shù)，按照給定的加權(quán)陣求出控制參數(shù)。在最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)中，最優(yōu)控制信號(hào)和加權(quán)陣、的選擇相關(guān)。為狀態(tài)變量加權(quán)矩陣，表示對(duì)誤差向量的重視程度；為控制加權(quán)陣，表示在對(duì)控制能量的要求。實(shí)際上，控制系統(tǒng)的誤差與控制消耗的能量是相互制約的，如果僅要求控制誤差盡量小，則可能造成求得的控制向量u過(guò)大，

23、控制能量消耗過(guò)大；反之，為了節(jié)省控制能量，就不得不降低對(duì)控制性能的要求。因此選擇加權(quán)矩陣時(shí)，要滿(mǎn)足控制性能和控制能量消耗的要求。為了方便對(duì)每個(gè)控制量進(jìn)行控制，通常將加權(quán)陣、選擇為對(duì)稱(chēng)矩陣，對(duì)角線(xiàn)上的加權(quán)系數(shù)表示對(duì)每個(gè)控制量的重視程度。在實(shí)際選擇加權(quán)陣時(shí)，都是通過(guò)試湊法來(lái)實(shí)現(xiàn)，選擇一組加權(quán)陣，然后仿真觀(guān)察其控制性能是否滿(mǎn)足要求，直到尋找到滿(mǎn)足其性能要求的加權(quán)陣為止。加權(quán)陣、是相對(duì)的，因此在實(shí)際選擇中，先令=1，然后改變對(duì)角線(xiàn)上的值，直到滿(mǎn)足性能要求為止。在二級(jí)倒立擺的鎮(zhèn)定控制中，要求系統(tǒng)最快的回到平衡位置，按照控制要求選擇加權(quán)陣的值。因?yàn)槎?jí)倒立擺控制器只有一個(gè)輸入控制量，為標(biāo)量，直接選擇=1。

24、在平衡點(diǎn)附近,小車(chē)的速度和各擺桿的角速度很小,與這些速度變量相對(duì)應(yīng)的項(xiàng)對(duì)指標(biāo)函數(shù)貢獻(xiàn)很小,為簡(jiǎn)化控制,我們只選擇狀態(tài)向量中的位移量作為受控量,因而各速度項(xiàng)對(duì)應(yīng)的權(quán)系數(shù)取為0。因?yàn)槎?jí)倒立擺是一個(gè)高階、絕對(duì)不穩(wěn)定的系統(tǒng), 上下擺的穩(wěn)定性是最重要的，所以其對(duì)應(yīng)的加權(quán)系數(shù)取值要大一些。又因?yàn)樯?、下擺穩(wěn)定是通過(guò)小車(chē)的移動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)的, 所以對(duì)小車(chē)位置的變化范圍不要控制的過(guò)嚴(yán), 以免在擾動(dòng)過(guò)大時(shí)失去調(diào)節(jié)作用, 所以位置對(duì)應(yīng)的加權(quán)系數(shù)取值要盡量小些。總之在考慮各個(gè)狀態(tài)向量時(shí)，上擺偏角比下擺偏角重要，下擺偏角比小車(chē)位移重要，按照這個(gè)規(guī)律選擇加權(quán)矩陣、能較快的滿(mǎn)足控制性能要求。5.LQR控制器設(shè)計(jì)利用線(xiàn)性二次最優(yōu)

25、控制規(guī)律設(shè)計(jì)LQR控制器時(shí)，就是求取控制器的反饋增益K的問(wèn)題。根據(jù)期望性能指標(biāo)選取加權(quán)矩陣、，利用Matlab 命令lqr 就可以得到反饋增益K 的值。然后利用求得的K值進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，觀(guān)察系統(tǒng)性能是否滿(mǎn)足要求。若不滿(mǎn)足要求，則改變加權(quán)矩陣的值，直到符合系統(tǒng)的性能要求。【給出公式】在設(shè)計(jì)LQR控制器時(shí)，根據(jù)LQR控制規(guī)律，編寫(xiě)直線(xiàn)二級(jí)倒立擺的LQR控制Matlab計(jì)算程序，程序見(jiàn)附錄2。程序中利用lqr指令計(jì)算出控制器的反饋增益K，然后進(jìn)行LQR控制仿真，觀(guān)察系統(tǒng)在擾動(dòng)信號(hào)下的響應(yīng)。系統(tǒng)中通過(guò)引入反饋增益K來(lái)消除穩(wěn)態(tài)誤差，控制信號(hào)為輸入量與輸出信號(hào)乘以反饋增益之后的差。這樣反饋信號(hào)與輸入信號(hào)的量

26、綱不同，需要對(duì)輸入信號(hào)做標(biāo)度變換，給輸入信號(hào)乘以增益Nbar。程序中用函數(shù)rscale求出增益Nbar，即Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K),由于Matlab工具箱中不帶rscale函數(shù)，在運(yùn)行程序時(shí)要將函數(shù)添加到工具箱中。實(shí)際上輸入信號(hào)與反饋信號(hào)相減時(shí)，對(duì)應(yīng)的是輸入量與小車(chē)位移x對(duì)應(yīng)的項(xiàng)相減，因此輸入量的增益Nbar與K向量中x對(duì)于的項(xiàng)相等，即Nbar=Kx。在程序中選擇加權(quán)矩陣，求出控制器的最優(yōu)反饋增益K，并對(duì)控制系統(tǒng)在輸入擾動(dòng)作用下的性能進(jìn)行分析。在最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)時(shí)，控制器的加權(quán)陣由選擇者選擇，然后驗(yàn)證得到的控制參數(shù)是否滿(mǎn)足控制性能。這里首先將加權(quán)陣選擇為1，然后選擇中的、

27、和參數(shù)，獲得最優(yōu)反饋增益K。這里選擇=1、=1和=1，求取LQR控制器的反饋矩陣K，然后進(jìn)行系統(tǒng)的干擾響應(yīng)實(shí)驗(yàn)，得到仿真如圖3-2所示。6.LQR控制器的控制參數(shù)優(yōu)化按照前面的控制器設(shè)計(jì)程序，重新選擇二級(jí)倒立擺的加權(quán)陣，直到獲得最佳的控制參數(shù)K。選取二級(jí)倒立擺的加權(quán)陣的參數(shù)時(shí)，按照上擺偏角比下擺偏角重要，下擺偏角比小車(chē)位移重要的規(guī)律選擇。改變小車(chē)位移、擺桿1角位移和擺桿2角位移對(duì)應(yīng)的加權(quán)系數(shù)、和，得出二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的QR參數(shù)與反饋控制矩陣K以及系統(tǒng)控制性能的關(guān)系，在固定R為1的情況下，加權(quán)陣Q的參數(shù)在0-100時(shí)，控制器的控制能力很弱，不能明顯的改善控制性能；加權(quán)陣Q的參數(shù)在100-1000內(nèi)

28、時(shí)，控制器能明顯的提高控制性能；加權(quán)陣Q的參數(shù)大于1000時(shí)，系統(tǒng)的的控制量加大，但是性能提高緩慢，而且參數(shù)選擇過(guò)大時(shí)，系統(tǒng)會(huì)喪失穩(wěn)定性。因此選擇加權(quán)陣Q的參數(shù)時(shí)，在100-1000的范圍內(nèi)合理選擇，能獲得最優(yōu)的控制性能。在加權(quán)陣Q中，將小車(chē)位移加權(quán)系數(shù)從100增加到500后，系統(tǒng)的性能指標(biāo)提高明顯；繼續(xù)加大小車(chē)位移加權(quán)系數(shù)，不能明顯減小穩(wěn)定時(shí)間；因此將小車(chē)的位移加權(quán)系數(shù)選為500時(shí)，系統(tǒng)性能最優(yōu)。固定小車(chē)位移加權(quán)系數(shù)為500時(shí)，相應(yīng)增加擺桿1和擺桿2的加權(quán)系數(shù)，則反饋控制矩陣中擺桿1的角速度反饋?lái)?xiàng)減小，其余項(xiàng)增大，小車(chē)位移和穩(wěn)態(tài)時(shí)間減小；當(dāng)擺桿1和擺桿2 的加權(quán)系數(shù)過(guò)大時(shí)，擺桿的靈敏度較高，

29、系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí)間增加。所以，要在較小的控制量下得到較好的控制性能，應(yīng)當(dāng)選取Q=，R = 1時(shí)，反饋控制矩陣K=，二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制性能較佳。五、設(shè)計(jì)結(jié)果及分析要在較小的控制量下得到較好的控制性能，應(yīng)當(dāng)選取Q=，R = 1時(shí)，反饋控制矩陣K=，二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制性能較佳。此時(shí)倒立擺干擾響應(yīng)實(shí)驗(yàn)的仿真如圖1-3所示。【給出搭建出來(lái)的simulink仿真環(huán)境圖】【要對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析】圖1-3 LQR控制仿真結(jié)果 圖中倒立擺的穩(wěn)定時(shí)間為2.5s左右，為最優(yōu)結(jié)果。結(jié)束語(yǔ)參考文獻(xiàn)（遞增引用，引用相關(guān)內(nèi)容）1畢效輝,自動(dòng)控制理論M.北京：中國(guó)輕工業(yè)出版社，2007.2郭圣權(quán),畢效輝.現(xiàn)代控制理論

30、M.北京：中國(guó)輕工業(yè)出版社，2007.3鄭恩讓,聶詩(shī)良.控制系統(tǒng)仿真M.北京：北京大學(xué)出版社，2006.4荊海英.最優(yōu)控制理論與方法EB.超星數(shù)字圖書(shū)館，2002.6倒立擺與自動(dòng)控制原理實(shí)驗(yàn)Z.固高科技（深圳）有限公司，2005.7梁艷陽(yáng). 時(shí)變不確定機(jī)電運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的非線(xiàn)性自適應(yīng)控制D.中國(guó)科技大學(xué)博士學(xué)位論文,2008.8宋君烈,肖軍,徐心和.倒立擺系統(tǒng)Lagrange方程建模與模糊控制J. 東北大學(xué)學(xué)報(bào), 2002,23(4)9吳文進(jìn),葛鎖良.基于LQR 最優(yōu)調(diào)節(jié)器的二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)J. 安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007,13(2)10張宏立.基于MATLAB/RTW的實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)開(kāi)發(fā)J.制造業(yè)自動(dòng)化，2004，362附錄（程序、電路圖等）附錄1 直線(xiàn)二級(jí)倒立擺拉格朗日方程求解的mathematica實(shí)現(xiàn)代碼其中M為小車(chē)質(zhì)量，m1為擺桿1的質(zhì)量，m2為擺桿2的質(zhì)量，m3為質(zhì)量塊的質(zhì)量，為擺桿1的長(zhǎng)度，為擺桿2的長(zhǎng)度；小車(chē)的動(dòng)能擺桿1的質(zhì)心擺桿1的動(dòng)能擺桿2的質(zhì)心擺桿2的動(dòng)能質(zhì)量塊的質(zhì)心質(zhì)量塊的動(dòng)能整個(gè)倒立擺系統(tǒng)的勢(shì)能拉格朗日算子倒立擺系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)上的Lagrang方程倒立擺系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)上的Lagrang方程求解Lagrang方程得到的表達(dá)式的表達(dá)式的表達(dá)式求解的表達(dá)式的參數(shù) 求解的表達(dá)