1.2第四節(jié)有理函數(shù)的積分ppt課件

1、高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系第四節(jié)第四節(jié) 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分 利用各種代換可將無理函數(shù)或超越函數(shù)的積分化為有理式函數(shù)的積分.有理式函數(shù)的積分可以用初等函數(shù)的形式處理.1.有理函數(shù):有理函數(shù)是指由兩個多項式的商所表示的函數(shù).有理函數(shù)的形式是：mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxp11101110.)()(高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系(其中m,n為非負(fù)整數(shù),a0,a1,an及b0,b1,bm為實數(shù),且a00,b0 0)注意: (1)我們假設(shè)分子p(x)和分母Q(x)這兩個多項式之間沒有公因式

2、; (2)分子是n次多項式,分母為m次多項式, 當(dāng)nm時,此有理函數(shù)為假分式.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系2.2.真分式及其性質(zhì)真分式及其性質(zhì) 通過多項式的除法通過多項式的除法, ,總可以把一個假分總可以把一個假分式化為一式化為一個多項式和一個真分式之和的形式。個多項式和一個真分式之和的形式。例如1111223xxxxx 由此可見,對于有理函數(shù)的積分,只要計算真分式即可,因為多項式的積分在前面已經(jīng)得到了研究,高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系另外, 真分式也可用p(x)/Q(x)表示. 真分式p(x)/Q(x)可分解

3、為部分分式之和, 條件是多項式Q(x)在實數(shù)范圍內(nèi)能分解為一次因式和二次因式的乘積, 即高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系).()().()()(220srxxqpxxbxaxbxQ其中p2-4q0,r2-4q0 則部分分式之和的形式如下:2.R xSxrxs 其中A1,.B1,.M1,.N1,.R1,.S1,都是常數(shù)121211( ).( )()()()()BAAABBp xQ xxaxaxaxbxbxb 112211222212221.()()()()M xNM xNM xNR xSR xSxpxqxpxqxpxqxrxsxrxs高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)

4、電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系注意: 分母Q(x)中, 如有因式(x-a)k, 則分解后有k個部分分式之和, 即axAaxAaxAkkk.)()(121(其中A1,A2.AK都是常數(shù),為待定系數(shù))特別是若k=1, 則分解后的部分分式就是axA1高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系 (2)分母Q(x)中,如有因式(x2+px+q)k,則分解后有下列k個部分分式之和,即qpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMKKkk21222211.)()(其中p2-4q0,M1,N1,.都是常數(shù), 為待定系數(shù))特別是若k=1,則分解后的部分分式為qpxxNMx

5、2高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例1 把真分式 分解為部分分式之和6532xxx)2)(3(36532xxxxxx解:此題分母Q(x)分解為二個一次因式, 有32)2)(3(3xBxAxxx其中A, B為待定系數(shù)高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系 2. 2.待定系數(shù)的求法待定系數(shù)的求法 第一種方法：等式右端通分第一種方法：等式右端通分, ,等式兩端去分母等式兩端去分母, ,比較等式比較等式兩端的系數(shù)與常數(shù)兩端的系數(shù)與常數(shù), ,使之相等使之相等, ,解方程組解方程組, ,求出待求出待定系數(shù)定系數(shù). .(3)(2)23(2

6、)(3)ABA xB xxxxx1,3235,6ABABAB 3(3)(2)()(32 )xA xB xAB xAB高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系第二種方法：在通分和去分母后,得到一恒等式, 在恒等式中,代入特殊的x值,求出待定系數(shù)例如例1得到 x+3=A(x-3)+B(x-2) 令x=2 A=-5 x=3 B=6 則有部分分式之和為3625)2)(3(3xxxxx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例2 把真分式 分解為部分分式之和2) 1(1xx解:22221(1)(1)(1)(1)1(1)ABCA xBxCx xx

7、 xxxxx x221111(1)(1)1x xxxx2(1)(1)1,2,1xxCx xxC 令得到0,1;1,1,xAxBA B令得到把代入 得到2(1)(1)1A xBxCx x高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系3.3.有理真分式的積分有理真分式的積分 積分步驟積分步驟: :(1)(1)把真分式分解為部分分式之和把真分式分解為部分分式之和. . (2)(2)對各部分分式積分對各部分分式積分. .高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系dxxxx65322333256(2)(3)23(2)(3)xxABAxABxBxxxxx

8、xxx解 例3 求23565ln26ln35623xdxdxdxxxCxxxx 1,3235,6ABABAB 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例4 計算43232222221xxxxdxxxx例5 計算2) 1(xxdx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系下面討論積分.)(2dxqpxxNMxn把分母中的二次質(zhì)因式配方得到22222()24ppxtxpxqtaaq222(),24ppxpxqxq()2MpMxNMtb bN22222.()()()nnnMxNMtdtbdxdtxpxqtata高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案

9、 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系222ln()2pxMxNMbdxxpxqarctgCxpxqaa222122()2(1)()()nnnMxNMbdxdtxpxqntata 1,n 當(dāng)時1,n 當(dāng)時221,()ndtta用遞推公式解之有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系122211(23)2(1) ()nnntInIanta2112212(1)()nnnntInIa Ita22212212(1) ()()nnandttata221()ntta2221222(1)()()nnttndttata122122111,()()nnnd

10、tIdudt vuttata222(1)()nntdtdvta 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系以此作遞推公式,并由CaxarctgaI11例6有些可化為有理函數(shù)的積分,如2sec(1 sec )xdxx還有些可把代數(shù)恒等變形或換元等方法：27(1)(1)dxxx例求5881xxdxx例求高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系從上面的不定積分看出,求一個函數(shù)的不定積分比求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)靈活得多,一個積分可以用多種方法計算,并且積分結(jié)果在形式上也可能不一樣,在具體計算時,應(yīng)盡可能選擇簡單的積分法.例9 求224xxdx高等數(shù)學(xué)電子

11、教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系二、三角函數(shù)有理式的積分二、三角函數(shù)有理式的積分 1. 三角函數(shù)有理式的表達(dá)式為三角函數(shù)有理式的表達(dá)式為R(sinx,cosx)三角函數(shù)有理式是指三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)三角函數(shù)有理式是指三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則過有限次四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù)運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù),而各類三角函數(shù)都可而各類三角函數(shù)都可用用sinx及及cosx的有理式表示的有理式表示.故三角函數(shù)有理式也就是故三角函數(shù)有理式也就是sinx, cosx的有的有理式理式.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系2.2.簡單三角函數(shù)有理式積分的求法簡單三角函數(shù)有

12、理式積分的求法 萬能代換萬能代換2222222,21112xtgxdtttgtdxtgxxtttgdttttttRdxxxR222212)12,11()sin,(cos2222121.sin,cos211tttctgxxxttt高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分 1. 簡單的無理函數(shù)的形式簡單的無理函數(shù)的形式 我們只討論我們只討論R(x, t)形式的簡單無理函數(shù)形式的簡單無理函數(shù). 其中：其中：nndcxbaxtbaxt,2.2.簡單無理函數(shù)積分舉例簡單無理函數(shù)積分舉例一般直接令根號為t ,目的是換元后去掉根號.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系dxxx12:1,1,2txxtdxtdt解 令例10 求12(11)xtgxC 1212 (1)2()1dtttg tCt2222121 1211xttdxdtdtxtt 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例11 求xxdx)1 (365,6tx dxt dt=解解22325316)1 (6)1 (tdttt