高校(理工類)數(shù)學(xué)第4節(jié)羅倫級數(shù)教學(xué)(課堂講義)

1、4.4 羅倫羅倫/洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)1、問題的引入2、羅倫級數(shù)的概念3、函數(shù)的羅倫展開式 4、典型例題5、小結(jié)與思考一、問題的引入一、問題的引入問題問題: . , )( 00的的冪冪級級數(shù)數(shù)是是否否能能表表示示為為不不解解析析在在如如果果zzzzf nnnzzc)(. 10 雙邊冪級數(shù)雙邊冪級數(shù)負(fù)冪項(xiàng)部分負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分主要部分主要部分解析部分解析部分同時收斂同時收斂收斂收斂 nnnnzzc)(0nnnnnnzzczzc)()(0001 問題的引入問題的引入nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收斂半徑收斂半徑收斂收斂時時,R 101RRzz

2、收斂域收斂域收斂半徑收斂半徑2R20Rzz 收斂域收斂域:)1( 21RR 若若兩收斂域無公共部分兩收斂域無公共部分,:)2(21RR 兩收斂域有公共部分兩收斂域有公共部分.201RzzR R問題的引入問題的引入結(jié)論結(jié)論:的的收收斂斂區(qū)區(qū)域域?yàn)闉殡p雙邊邊冪冪級級數(shù)數(shù)nnnzzc)(0 .201RzzR 圓環(huán)域圓環(huán)域1R2R.0z常見的特殊圓環(huán)域常見的特殊圓環(huán)域: :2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z問題的引入問題的引入:10 內(nèi)內(nèi)在圓環(huán)域在圓環(huán)域 z例如，例如，10)1(1)( zzzzzf及及在在都不解析都不解析,但在圓環(huán)域但在圓環(huán)域10 z及及110 z內(nèi)都是解

3、析的內(nèi)都是解析的.)1(1)(zzzf 而而1,1112 zzzzzn2、問題：問題：在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能展開成級數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能展開成級數(shù)? ?,111zz 問題的引入問題的引入所以所以)1(1)(zzzf ,121 nzzzz即即在在)(zf10 z內(nèi)可以展開成級數(shù)內(nèi)可以展開成級數(shù).內(nèi)內(nèi)，在在圓圓環(huán)環(huán)域域110 z也可以展開成級數(shù)：也可以展開成級數(shù)：)1(1)(zzzf 1211(1)1 (1)(1)( 1)(1).nnzzzz 211 (1)(1)( ) (1)1nnzzzz 111(1)zzz 二、羅倫級數(shù)的概念二、羅倫級數(shù)的概念 討論下列形式的級數(shù)： （4.

4、4.1）其中，z0和cn(n=0,1,2,)都是常數(shù)。把級數(shù)(4.4.1)分成兩部分來考慮，即正冪項(xiàng)（包括常數(shù)項(xiàng)）部分： （4.4.2）與負(fù)冪項(xiàng)部分 （4.4.3）羅倫級數(shù)羅倫級數(shù)級數(shù)(4.4.2)是一個通常的冪級數(shù)，它的收斂范圍是一個圓域。設(shè)它的收斂半徑為R2，那么當(dāng)|zz0|R2時，級數(shù)發(fā)散。 羅倫級數(shù)羅倫級數(shù)級數(shù)(4.4.3)是一個新型的級數(shù)。如果令=(zz0)-1，那么就得到 （4.4.4）對變數(shù)來說，級數(shù)(4.4.4)是一個通常的冪級數(shù)。設(shè)它的收斂半徑為R，那么當(dāng)|R時，級數(shù)發(fā)散。因此，如果我們要判定級數(shù)(4.4.3)的收斂范圍，只需把用(zz0)-1代回去就可以了，如果令1/R=R

5、1，那么當(dāng)且僅當(dāng)|R1；當(dāng)且僅當(dāng)|R時，|zz0|R1時收斂；當(dāng)|zz0|R2（如圖(a)），級數(shù)(4.4.2)與(4.4.3)沒有公共的收斂范圍。所以，級數(shù)(4.4.1)處處發(fā)散；羅倫級數(shù)羅倫級數(shù)當(dāng)R1R2時（如圖(b)），級數(shù)(4.4.2)與(4.4.3)的共公收斂范圍是圓環(huán)R1|zz0|R2。所以，級數(shù)(4.4.1)在這圓環(huán)內(nèi)收斂，在這圓環(huán)外發(fā)散。在圓環(huán)的邊界|zz0|=R1及|zz0|=R2上可能有些點(diǎn)收斂，有些點(diǎn)發(fā)散。這就是說，級數(shù)(4.4.1)的收斂區(qū)域是圓環(huán)：R1|zz0|R2。在特殊情形，圓環(huán)的內(nèi)半徑R1可能等于零，外半徑R2可能是無窮大。羅倫級數(shù)羅倫級數(shù)冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)具有的

6、許多性質(zhì)，級數(shù)(4.4.1)在收斂圓環(huán)內(nèi)也具有。例如，可以證明，級數(shù)(4.4.1)在收斂圓環(huán)內(nèi)其和函數(shù)是解析的，而且可以逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)求導(dǎo)。由上節(jié)可知，在以為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)可用泰勒級數(shù)來表示。如果函數(shù)在以為中心的圓環(huán)內(nèi)解析，那末它是否能用級數(shù)來表示呢？羅倫級數(shù)羅倫級數(shù)試先看下例。函數(shù)f(z)=1/(z(1z)在z=0及z=1都不解析，但在圓環(huán)0|z|1及0|z1|1內(nèi)都是處處解析的。先研究在圓環(huán)：0|z|1內(nèi)的情形。我們有f(z)=1/(z(1z)=1/z+1/(1z)上節(jié)例4-2-1中的，當(dāng)|z|1時，有所以由此可見，f(z)在0|z|1內(nèi)是可以展開為級數(shù)的。羅倫級數(shù)羅倫級數(shù)其次，在

7、圓環(huán)：0|z1|1內(nèi)也可以展開為級數(shù)：從以上的討論看來，函數(shù)f(z)=1/(z(1z)是可以展開為級數(shù)的，不過這時的級數(shù)，含有負(fù)冪的項(xiàng)罷了。據(jù)此推想起來，在圓環(huán)域R1|zz0|R2內(nèi)處處解析的函數(shù)f(z)，可能展開形如(4.4.1)的級數(shù)。羅倫級數(shù)羅倫級數(shù)定理4-4-1 設(shè)f(z)在圓環(huán)域R1|zz0|R2內(nèi)處處解析，那么其中，這里C為在圓環(huán)域內(nèi)繞z0的任何一條正向簡單閉曲線。 ,)()(0nnnzzczf cn為洛朗系數(shù)。為洛朗系數(shù)。定理定理4-4-1 證明 設(shè)z為圓環(huán)域內(nèi)的任一點(diǎn)，在圓環(huán)域內(nèi)作以z0為中心的正向圓周K1與K2，K2的半徑R大于K1的半徑r，且使z在K1與K2之間（ 如圖）由

8、柯西積分公式（第3章習(xí)題18）得對于上式右端第一個積分來說，積分變量取在圓周K2上，點(diǎn)z在K2的內(nèi)部，所以 。定理定理4-4-1 又由于|f()|在K2上連續(xù)，因此存在一個常數(shù)M，使得|f()|M。跟第3節(jié)中泰勒展開式的證明完全一祥，可以推得：應(yīng)當(dāng)指出， 并不等于f(n)(z0)/n!，因?yàn)檫@時函數(shù)f(z)在K2內(nèi)不是處處解析的。定理定理4-4-1 再來考慮第2個積分 。由于積分變量取在K1上，點(diǎn)z在K1的外部，所以 。因此就有定理定理4-4-1 所以其中，定理定理4-4-1 現(xiàn)在我們要證明 在K1外部成立。令顯然q是與積分變量無關(guān)的量，而且0q1，因?yàn)閦在K1的外部，由于|f()|在K1上連

9、續(xù)，因此存在一個常數(shù)M1，使得|f()|M，于是有：定理定理4-4-1 因?yàn)?，所以 ，從而有綜上所述，我們有其中，（4.4.5）（4.4.7）（4.4.6）定理定理4-4-1 級數(shù)(4.4.5)的系數(shù)由不同的式子(4.4.6)與(4.4.7)表出。如果在圓環(huán)域內(nèi)取繞z0的任何一條簡單的閉曲線C，那末根據(jù)閉路變形定理，這兩個式子可用一個式子來表示： （4.4.8）證畢定理定理4-4-1說明說明函數(shù)函數(shù))(zf在圓環(huán)域內(nèi)的在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式洛朗展開式)(zf在圓環(huán)域內(nèi)的在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗洛朗(Laurent)級數(shù)級數(shù). nnnzzczf)()(0 1) 2) 某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正

10、、負(fù)某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級數(shù)是唯一的，冪項(xiàng)的級數(shù)是唯一的， 這就是這就是 f (z) 的洛朗級數(shù)的洛朗級數(shù). 定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級數(shù)定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級數(shù)的一般方法的一般方法. .羅倫級數(shù)羅倫級數(shù)在許多應(yīng)用中，往往需要把在某點(diǎn)z0不解析但在z0的鄰域內(nèi)解析的函數(shù)f(z)展開成級數(shù)，那末就利用羅倫級數(shù)來展開。象泰勒級數(shù)一樣，羅倫級數(shù)在它的收斂圓環(huán)域內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)或積分。另外，一個在某一圓環(huán)內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級數(shù)是唯一的，這個級數(shù)就是f(z)的羅倫級數(shù)。級數(shù)(4.4.5)叫做函數(shù)f(z)在z0以為中心的圓環(huán)：R1|zz0

11、|R2內(nèi)的羅倫（laurent）級數(shù)。羅倫級數(shù)羅倫級數(shù)事實(shí)上，假定f(z)在圓環(huán)域R1|zz0|R2內(nèi)不論用何種方法已展成了由正、負(fù)冪項(xiàng)組成的級數(shù)： ，并設(shè)C為圓環(huán)域內(nèi)任何一條正向簡單閉曲線，為C上任一點(diǎn)，那末 以(z0)-p-1去乘上式兩邊，這里p為任一整數(shù)，并沿C的正向積分，得羅倫級數(shù)羅倫級數(shù)從而這就是(4.4.8)。三、函數(shù)的羅倫級數(shù)展開式三、函數(shù)的羅倫級數(shù)展開式羅倫展開式的系數(shù)cn用公式去計算是很繁重的。根據(jù)含正、負(fù)冪項(xiàng)級數(shù)的唯一性，我們可以用別的方法，特別是代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開，這樣往往比較便利。常用方法常用方法 : 1. 直接法直接法 2. 間接法間接法 1、直接

12、展開法、直接展開法利用定理公式計算系數(shù)利用定理公式計算系數(shù)nc), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficCnn 然后寫出然后寫出.)()(0nnnzzczf 缺點(diǎn)缺點(diǎn): 計算往往很麻煩計算往往很麻煩.2、間接展開法、間接展開法根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級數(shù)的唯一性根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級數(shù)的唯一性, 可可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開 .優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn) : 簡捷簡捷 , 快速快速 .在收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)；在收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù)可以逐項(xiàng)積分；在收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù)的和函數(shù)是解析函數(shù)。級數(shù)展開舉例級數(shù)展開舉例 例4-4-1 函數(shù)

13、f(z)=1/(z1)(z2)在圓環(huán)域（1）0|z|1；（2）1|z|2；（3）2|z|內(nèi)是處處解析的。試把f(z)在這些域內(nèi)展開成羅倫級數(shù)。解 先把f(z)用部分分式來表示f(z)=1/(1z)+1/(2z)然后利用第2節(jié)例4-2-1的結(jié)果：例例4-4-1 （1）在0|z|1內(nèi)（如圖(a），由于|z|1，從而|z/2|1。所以 （4.4.9） （4.4.10）例例4-4-1 因此，我們有結(jié)果中不含有z的負(fù)冪項(xiàng)，原因在于f(z)=1/(z1)(z2)在z=0處是解析的。例例4-4-1 （2）在1|z|1，所以(4.4.9)不成立，但此時|1/z|1，因此把1/(1z)另行展開如下 （4.4.1

14、1）并由于此時|z|2，從而|z/2|1。所以(4.4.10)仍然有效。因此我們有例例4-4-1 （3）在2|z|2，所以(4.4.10)不成立，但此時|2/z|1，因此把1/(2z)另行展開如下并因此時|1/z|2/z|1，所以(4.4.11)仍然有效。因此，我們有：級數(shù)展開舉例級數(shù)展開舉例例4-4-2 把函數(shù) 在0|z|內(nèi)展開成羅倫級數(shù)。解函數(shù) 在0|z|內(nèi)是處處解析的。我們知道，ez在復(fù)平面被的展開式是而1/z在0|z|解析，所以把上式中的z代換成1/z，兩邊同時乘z3以，即得到所求的羅倫展開式 例例4-4-2 級數(shù)展開舉例級數(shù)展開舉例例4-4-3 求積分 的值。解 函數(shù)1/z(z+1)

15、(z+4)在1|z|4內(nèi)處處解析，把它在圓環(huán)域內(nèi)展開成羅倫級數(shù)：例例4-4-3 所以)c1=1/12。由于z=3在圓環(huán)域1|z|4內(nèi)，根據(jù)（4.3.5）有羅倫級數(shù)羅倫級數(shù)應(yīng)當(dāng)注意，給定了函數(shù)f(z)與平面內(nèi)一點(diǎn)z0以后，由于這個函數(shù)可以在以z0為中心的（由奇點(diǎn)隔開）不同圓環(huán)域內(nèi)解析，因而在各個不同的圓環(huán)域中有不同的羅倫展開式（包括泰勒展開式作為它的特例）。但不要把這種情形與羅倫展開式的唯一性相混淆。我們知道，所謂羅倫展開式的唯一性，是指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)域內(nèi)的羅倫展開水展開式是唯一的。另外，在展開式的收斂圓環(huán)域的內(nèi)圓周上有f(z)的奇點(diǎn)，外圓周上也有f(z)的奇點(diǎn)，或者外圓周的半徑為無窮大

16、。羅倫級數(shù)羅倫級數(shù)例如函數(shù)有兩個奇點(diǎn)z=0與z=i，分別在以i為中心的圓周：|zi|=1與|zi|=2上（如圖）。因此，f(z)在以i為中心的展開式有3個： （1）在|zi|1中的泰勒展開式； （2）在1|zi|2中的羅倫展開式； （3）在2|zi|中的羅倫展開式。四、典型例題四、典型例題 例例11, 0 內(nèi)內(nèi)在在 z. )( 2展開成洛朗級數(shù)展開成洛朗級數(shù)將將zezfz 解解,)(nnnzczf 由定理知由定理知: d)()(2110 Cnnzfic d213 Cnei其中其中)2, 1,0(, )0(: nzC 例例1 3 ,n 當(dāng)時0 nc3 ,znez在圓環(huán)域內(nèi)解析故由柯西故由柯西古薩

17、基本定理知古薩基本定理知: 3 ,n 當(dāng)時由高階導(dǎo)數(shù)公式知由高階導(dǎo)數(shù)公式知:022)(dd)!2(1 zznnezn)!2(1 n 2)!2()( nnnzzf故故 ! 4! 3! 211122zzzz z0 d213 Cnneic例例1另解另解 ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzzz本例中圓環(huán)域的中心本例中圓環(huán)域的中心 z = 0 既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn)點(diǎn),. 2的奇點(diǎn)的奇點(diǎn)也是函數(shù)也是函數(shù)zez典型例題典型例題 例例2 2 : )2)(1(1)( 在圓環(huán)域在圓環(huán)域函數(shù)函數(shù) zzzf;10)1 z;21)2 z.2)3 z內(nèi)是處處解

18、析的內(nèi)是處處解析的,試把試把 f (z) 在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù).解解,)2(1)1(1)(zzzf , 10 )1內(nèi)內(nèi)在在 z例例2oxy1,1 z由于由于 nzzzz2111則則2112121zz )( zf所以所以)1(2 zz 421212zz 2874321zz12 z從而從而 nnzzz22212122例例2 , 21 )2內(nèi)內(nèi)在在 z12oxyzzz111111 21111zzz1 z由由11 z2 z12 z且仍有且仍有 2112121zz nnzzz22212122例例2)( zf于是于是 21111zzz 2222121zz 842111121

19、zzzzznn, 2 )3內(nèi)內(nèi)在在 z2oxy2 z由由12 z此時此時zzz211121 例例2 24211zzz, 121 zz此時此時仍有仍有zzz111111 21111zzz)( zf故故 24211zzz 21111zzz.731432 zzz例例2注意注意:0 z奇點(diǎn)但卻不是函數(shù)奇點(diǎn)但卻不是函數(shù))2)(1(1)( zzzf的奇點(diǎn)的奇點(diǎn) .本例中圓環(huán)域的中心本例中圓環(huán)域的中心是各負(fù)冪項(xiàng)的是各負(fù)冪項(xiàng)的說明說明:1. 函數(shù)函數(shù))(zf在以在以0z為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)中盡管含有數(shù)中盡管含有0zz 的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng), 而且而且0z又是這些又是這些項(xiàng)的奇點(diǎn)項(xiàng)的奇

20、點(diǎn), 但是但是0z可能是函數(shù)可能是函數(shù))(zf的奇點(diǎn)的奇點(diǎn),也可能也可能)(zf的奇點(diǎn)的奇點(diǎn).不是不是例例22. 給定了函數(shù)給定了函數(shù))(zf與復(fù)平面內(nèi)的一點(diǎn)與復(fù)平面內(nèi)的一點(diǎn)0z以后以后,函數(shù)在各個不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開函數(shù)在各個不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開式式 (包括泰勒展開式作為它的特例包括泰勒展開式作為它的特例).回答：不矛盾回答：不矛盾 .朗展開式是唯一的朗展開式是唯一的)問題：這與洛朗展開式的唯一性是否相矛盾問題：這與洛朗展開式的唯一性是否相矛盾?(唯一性唯一性 : 指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)域內(nèi)的洛指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)域內(nèi)的洛典型例題典型例題解解 z0zzzfsin)( .)!12()1(02 nnnnz例例3. 0 sin 0洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)的去心鄰域內(nèi)展開成的去心鄰域內(nèi)展開成在在將函數(shù)將函數(shù) zzz )!12()1(! 51! 3111253nzzzzznn典型例題典型例題例例4 4. 2 )2( 01展開成洛朗級數(shù)展開成洛朗級數(shù)的去心鄰域內(nèi)的去心鄰域內(nèi)在在將函數(shù)將函數(shù) zzz解解 , 220 內(nèi)內(nèi)在在 z ) 2(1)(zzzf 22112121zz 011)2(2)1(nnnnz.2221)2(2132 zz) 2(2121 zz典型例題典型例