高等數學第六版下冊復習參考

1、復習課機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一一、空間解析幾何、空間解析幾何內容小結內容小結 空間平面空間平面一般式點法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx1. 1. 空間直線與平面的方程空間直線與平面的方程),( :000zyx點0)()()(000zzCyyBxxA),(:CBAn 法向量機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 為直線的方向向量.空間直線空間直線一般式對稱式參數式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000),(000zyx),(

2、pnms 為直線上一點; 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 面與面的關系面與面的關系0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直:平行:夾角公式:2. .線面之間的相互關系線面之間的相互關系),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA021nn021nn2121cosnnnn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,1111111pzznyymxxL：直線0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm線與線的關系線與線的關系直線垂直:平行:夾角公式:),(1111pn

3、ms ),(2222pnms 021ss021ss2121cosssss 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 CpBnAm平面:垂直：平行：夾角公式：0CpBnAm面與線間的關系面與線間的關系直線:),(, 0CBAnDCzByAx),(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssin機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 241312zyx例例1 1. 求直線與平面062zyx的交點 . 提示提示: : 化直線方程為參數方程代入平面方程得 1t從而確定交點為（1，2，2）.tztytx2432t機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、二、 多元函數微分學多元函數微分學連續(xù)性 偏導數存在 方

4、向導數存在可微性1. 多元函數的定義、極限 、連續(xù)、偏導數、全微分2. 幾個基本概念的關系機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2、多元函數微分法、多元函數微分法顯示結構隱式結構(1) 分析復合結構(畫變量關系圖)(2)正確使用求導法則，如“分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導”注意正確使用求導符號(3)一階微分形式不變性機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xzxuuzxvvzyzyuuzyvvz(4) 隱函數求導法（一個方程情形；兩個方程情形）例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zy

5、xyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 zxFFxz 例例3. 設F( x , y)具有連續(xù)偏導數, 0),(zyzxF.dz求解解 利用偏導數公式.是由方程設),(yxfz 0),(zyzxF 212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 確定的隱函數,)dd(2121yFxFFyFxz則)()(2221zyzxFF 已知方程機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 故zxFF

6、xzzyFFyz3、多元函數微分法的應用、多元函數微分法的應用1 1.在幾何中的在幾何中的應用應用求曲線的切線及法平面 (關鍵: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法線 (關鍵: 抓住法向量) 2. 極值與最值問題極值與最值問題 極值的必要條件與充分條件 求條件極值的方法 (消元法, 拉格朗日乘數法) 求解最值問題機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 求函數的方向導數和梯度coscoscoszfyfxflf221yx 例例4 求 grad 221yx 解解 這里 f (x，y) xfyf因為222)(2yxx，222)(2yxy，222)(2yxxi221yx 所以 grad222)(2yxyj 例

7、例5 設 f (x，y，z) x3xy2z ， 求grad f (1,1,0) 解解 grad f (fx，fy，fz ) ( 3x2y2, 2xy, 1 )，于是 grad f (1，1，0) (2, 2,1)函數在此點沿方向(2,-2,-1)增加率最大,其值為3. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 函數在此點沿方向(-2,2,1)減少率最大,其值為-3. 例例6. 求橢球面3632222zyx在點(1 , 2 , 3) 處的切平面及法線方程. 解解:3632),(222zyxzyxF所以橢球面在點 (1 , 2 , 3) 處有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法線方程

8、法線方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n三三. 二重積分二重積分1. 二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形直角坐標系情形 : 若積分區(qū)域為)()(,),(21xyyxybxayxD則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域為)()(,),(21yxxyxdycyxD則xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )()(,

9、),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(則)()(21d)sin,cos(drrrrf2.極坐標系情形極坐標系情形: 若積分區(qū)域為ddrrDo)(1r)(2r機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD則Dyxfd),(例例7 . 計算,ddsinDyxxx其中D 是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域.oxyDxxy 解解: 由被積函數可知,因此取D 為X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先對 x 積分不行, 說明說明: 有

10、些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 對y 積分是常量四四. 三重積分的計算方法三重積分的計算方法方法方法1. “先一后二先一后二” (投影法投影法)方法方法2. “先二后一先二后一” (截面法截面法)方法方法3. “三次積分三次積分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyxvzyxfd),(vzyxfd),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xyzzzDzxyDyxdd1.直角坐標情形直角坐標情形:2.不

11、同坐標系的三重積分不同坐標系的三重積分zyxdddzddddddsin2rr積分區(qū)域多由坐標面被積函數形式簡潔, 或坐標系 體積元素 適用情況直角坐標系柱面坐標系球面坐標系變量可分離.圍成 ;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzFzdddzyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrFdddsin2rr3.重積分的應用重積分的應用1. 幾何方面面積 ( 平面圖形面積或曲面面積 ) , 體積 , 形心等質量, 轉動慣量, 質心, 引力 2. 物理方面機動 目錄 上頁 下頁 返回

12、 結束 yxyzxzADdd)()(122其中曲面: z = f (x,y), (x,y)D 的面積公式為,dddVzyxxx形心坐標：其中為由例例8. 計算三重積分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所圍解解: 在柱面坐標系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原式398a柱面cos2成半圓柱體.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例9. 計算雙曲拋物面yxz 被柱面222Ryx所截解解: 曲面在 xoy 面上投影為,:222RyxD則yxzzADyxdd122yxyxDdd122rr

13、rRd1d0220 )1)1( 32232R出的面積 A .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 五、曲線積分五、曲線積分1. 基本方法曲線積分第一類 ( 對弧長 )第二類 ( 對坐標 )(1) 統一積分變量轉化定積分用參數方程用直角坐標方程用極坐標方程(2) 確定積分上下限第一類: 下小上大第二類: 下始上終機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 LDyQxPyxyPxQdddd2.格林公式格林公式 3.平面上曲線積分與路徑無關的等價條件平面上曲線積分與路徑無關的等價條件定理定理. 設D 是單連通域 ,),(),(yxQyxP在D 內具有一階連續(xù)偏導數,(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有.

14、0ddLyQxP(2) 對D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在 D 內每一點都有.xQyPLyQxPdd與路徑無關, 只與起止點有關. 函數則以下四個條件等價:在 D 內是某一函數的全微分,即 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理證明采用例例11. 計算曲線積分 ,d)(222szyx其中為螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,

15、costtkztaytax線機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例12. 計算,dd22Lyxxyyx其中L為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線.解解: 令,022時則當 yx22222)(yxxyxQ設 L 所圍區(qū)域為D,)0 , 0(時當D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxoL機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 dsincos2022222rrr2,)0 , 0(時當D在D 內作圓周,:222ryxl取逆時針方向,1D, 對區(qū)域1D應用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx

16、2222ddddL1Dloyx記 L 和 l 所圍的區(qū)域為林公式 , 得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例13. 驗證yyxxyxdd22是某個函數的全微分, 并求出這個函數. 證證: 設,22yxQyxP則xQyxyP2由定理2 可知, 存在函數 u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 六、數項級數的審斂法六、數項級數的審斂法1. 利用部分和數列的極限判別級數的斂散性2. 正項級數審斂法必要條件0l

17、imnnu不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法 limn1nunu根值審斂法nnnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 任意項級數審斂法為收斂級數1nnuLeibniz判別法判別法: 若,01nnuu且,0limnnu則交錯級數nnnu1) 1(收斂 ,概念概念:且余項.1nnur1nnu若收斂 ,1nnu稱絕對收斂1nnu若發(fā)散 ,1nnu稱條件收斂機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1. 求冪級數的收斂半徑和收斂域七、冪級數求和與函數展開成冪級數七、冪級數求和與函數展開成冪級數 求和3. 映射變換法 逐項求導或求積分nnnxa0)(*xS對和式積分或求導)(xS難2. 初等變換法: 求部分和極限,分解,套用公式等方法;（在收斂區(qū)間內）機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 nnnxa0 直接展開法 間接展開法 利用已知展式的函數及冪級數性質 利用泰勒公式4. 函數的冪級數展開法例例14. 求冪級數01nnnx的和函數. )(xS解解: 易求出冪級數的收斂半徑為 1 , 時級數且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x