矩陣論在二十世紀(jì)得到飛速發(fā)展

1、第第2章章 矩陣矩陣n矩陣論在二十世紀(jì)得到飛速發(fā)展，成為在矩陣論在二十世紀(jì)得到飛速發(fā)展，成為在物理學(xué)、生物學(xué)、地理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等中有大物理學(xué)、生物學(xué)、地理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等中有大量應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。量應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。n矩陣比行列式在數(shù)學(xué)中占有更重要的位置。矩陣比行列式在數(shù)學(xué)中占有更重要的位置。本章內(nèi)容本章內(nèi)容 引入引入矩陣矩陣概念，繼而介紹矩陣概念，繼而介紹矩陣的基本運(yùn)算和可逆陣的概念，最后介的基本運(yùn)算和可逆陣的概念，最后介紹簡(jiǎn)化矩陣運(yùn)算的技巧紹簡(jiǎn)化矩陣運(yùn)算的技巧矩陣分塊矩陣分塊法。法。注意矩陣與行列式的不同，行注意矩陣與行列式的不同，行列式是數(shù)值，矩陣是數(shù)表。列式是數(shù)值，矩陣是數(shù)表。2.1 矩陣的概念

2、矩陣的概念2.1.1 矩陣的定義矩陣的定義定義定義2.1 由由 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)mn(1,2, ;1,2,ijimajmnmnmmnnaaaaaaaaa212222111211為為 行行 列列矩陣矩陣.簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng) 矩陣矩陣mnmn, ) n排成的排成的 行行 列的列的數(shù)表數(shù)表， 稱(chēng)稱(chēng)111212122212 nnmmmnaaaaaaAaaal橫的各排稱(chēng)為矩陣的橫的各排稱(chēng)為矩陣的行行， l豎的各排稱(chēng)為矩陣的豎的各排稱(chēng)為矩陣的列列. l 稱(chēng)為矩陣的第稱(chēng)為矩陣的第 行第行第 列的列的元素元素. ijaij元素為實(shí)數(shù)的矩陣稱(chēng)為元素為實(shí)數(shù)的矩陣稱(chēng)為實(shí)矩陣實(shí)矩陣, ,我們只討論實(shí)矩陣我們只討論實(shí)矩陣. .矩陣通常用

3、大寫(xiě)字母矩陣通常用大寫(xiě)字母 等表示等表示ABC、 、矩陣簡(jiǎn)記為矩陣簡(jiǎn)記為( )m nij m nAa行標(biāo)行標(biāo)列標(biāo)列標(biāo)112nnAa aa121mmaaAa 行矩陣行矩陣列矩陣列矩陣當(dāng)當(dāng) 時(shí)，稱(chēng)時(shí)，稱(chēng)A為為 階方陣或階方陣或 階矩陣階矩陣. m nnn23a如如 即為工廠向第即為工廠向第2店發(fā)店發(fā)送第送第3種產(chǎn)品的數(shù)量種產(chǎn)品的數(shù)量.其中其中 為工廠向第為工廠向第 店發(fā)送店發(fā)送第第 種產(chǎn)品的數(shù)量種產(chǎn)品的數(shù)量.ijaji例例2.1 (P36) 某廠向三個(gè)商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量可列成矩陣某廠向三個(gè)商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量可列成矩陣?yán)?.2 (P36) 四城市間的單向航線如右圖四城市間的單向航線如右圖

4、令令1,0,ija從從 市到市到 市有一條單向航線市有一條單向航線ij從從 市到市到 市沒(méi)有單向航線市沒(méi)有單向航線ijDBACDBAC0111100001001010BACD211a 230a 0iia ()ija主對(duì)角線主對(duì)角線111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa2.1.2幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣對(duì)角（方）陣對(duì)角（方）陣（1）00000m n零矩陣零矩陣（2）1122nnaaa1122(,)nndiag aaa（3）111nE單位陣單位陣（4）（5）兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時(shí)，稱(chēng)它們是兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時(shí)，稱(chēng)它們是同型矩陣同型矩陣.

5、 如如()()m nijm nijAaBb與（6） 若同型矩陣中，對(duì)應(yīng)元素若同型矩陣中，對(duì)應(yīng)元素 則矩陣則矩陣 ，稱(chēng)，稱(chēng) 為為相等的矩陣相等的矩陣.ijijabABAB與aaaaaan1112122n2nn11121222nnnnaaaaaa三角（方）陣三角（方）陣上三角陣上三角陣下三角陣下三角陣0000例例2.3（P38）從從 個(gè)變量個(gè)變量 到到 個(gè)變量個(gè)變量 的的 線性變換線性變換n12,nx xxm12,my yy111 11221221 122221 122,nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xa xya xa xa x mnmmnnaaaaaaaaa21222211

6、121112,myyy12,nx xx表達(dá)了兩組變量表達(dá)了兩組變量 與與之間的變換關(guān)系之間的變換關(guān)系.可利用矩陣?yán)碚撗芯烤€性變換問(wèn)題可利用矩陣?yán)碚撗芯烤€性變換問(wèn)題系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)看幾個(gè)具體的線性變換的例子看幾個(gè)具體的線性變換的例子1.恒等變換恒等變換.,2211nnxyxyxy111nE 階單位陣階單位陣n112200,00,00,nnyxyxyx即即2.線性變換線性變換.,222111nnnxyxyxy12000000n 階對(duì)角陣階對(duì)角陣n11 122200,00,00,nnnyxyxyx即即4.旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換siny1(coscossinsin ,P sincoscoss

7、in )cossinsincoscosx( , )( cos , sin )P x yP1111( , )(cossin,sincos)P x yPxyyx 1( cos(),sin()Pxy0P1P11cossinsincosxxyyxyop 5.投影變換投影變換,0,11yxx0001),(yxP111( ,)P x y1( ,0)P xxy0P( , )x y1P( ,0)x點(diǎn)點(diǎn) 是點(diǎn)是點(diǎn) 在軸上的投影點(diǎn)在軸上的投影點(diǎn).1( ,0)P x),(yxP向量向量 是向量是向量 在軸上的投影向量在軸上的投影向量.1( ,0)OP x ( ,)OP x y 2.2 矩矩 陣陣 的的 運(yùn)運(yùn) 算算

8、矩陣的運(yùn)算主要是指矩陣的矩陣的運(yùn)算主要是指矩陣的加法加法數(shù)與矩陣相乘數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘等運(yùn)算矩陣與矩陣相乘等運(yùn)算. 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 與與 ，定義，定義 ( )m nijAa( )m nijBb()ijijm nABab() ()ijij m nA B ABab 同型陣同型陣稱(chēng)稱(chēng) 是矩陣是矩陣A的的負(fù)矩陣負(fù)矩陣 ()ij m na(1)ABBA(2)()()A BCAB C(3)00AAA(4)()0AA 運(yùn)算性質(zhì)：運(yùn)算性質(zhì)：用元素間的運(yùn)算定義矩陣間相應(yīng)的運(yùn)算用元素間的運(yùn)算定義矩陣間相應(yīng)的運(yùn)算2.2.12.2.1矩陣的加減法矩陣的加減法（P40定義定義2.2）111112121121212

9、222221122nnnnmmmmm nm nababababababA Bababab 例例2.4（P41）321 30 11 12 11450221 3221 642AB 521233502076321 ( 3)0 11 ( 1)2 11 4502( 2)1 32( 2)1 642AB 31 0121 5 2 ,1 2 1 4A23 1114023262BA BA B計(jì)算 及 141015544452解解()()AA AAA)(BABA)( 為同型陣，為同型陣， 為數(shù)為數(shù).稱(chēng)為數(shù)稱(chēng)為數(shù) 與矩陣與矩陣A的的乘法乘法，簡(jiǎn)稱(chēng)，簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)乘數(shù)乘.2.2.2 2.2.2 數(shù)與矩陣相乘數(shù)與矩陣相乘（P41

10、定義定義2.3） 用實(shí)數(shù)的運(yùn)算定義用實(shí)數(shù)的運(yùn)算定義矩陣間相應(yīng)的運(yùn)算矩陣間相應(yīng)的運(yùn)算AA或記作：記作：1,1,( 1)AA00A 1AA運(yùn)算性質(zhì)：運(yùn)算性質(zhì)：1212()ijijABab加法與數(shù)乘合稱(chēng)矩陣的加法與數(shù)乘合稱(chēng)矩陣的線性運(yùn)算線性運(yùn)算，即，即,A B, 111212122212nnmmmnaaaaaaA Aaaa注意與行列式注意與行列式運(yùn)算的不同運(yùn)算的不同 2.2.3 2.2.3 矩陣與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘221222312111213112223222232()() ,byaaaxaaaxbbbbb1222321121311112121211312()()(),yaxxaxbbxabb

11、b xb x設(shè)有兩個(gè)線性變換設(shè)有兩個(gè)線性變換111 112 213 3221 122 223 3,ya ta ta tya ta ta t122211221231112132321,txxtxxtxbbbxbbb111213212223aaaaaa11 1112 2113 3111 1212 2213 3221 1122 2123 3121 1222 2223 32a ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba b3311121133212211i ii iiii ii iiia ba ba ba b111121311111213111213222232()() ,bya

12、aaxaaaxbbbbb與與111221223132bbbbbb1222321121322112221221112()()(),yaxxaxbbxabbb xb x232221131211aaaaaa323122211211bbbbbb11 1112 2113 3111 1212 2213 3221 1122 2123 3121 1222 2223 32a ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba b= ?定義定義2.4 P(43)設(shè)設(shè)()ij m sAa( )ij m nCABcijc 12iiisaaa12jjsjbbb1ikkjksa b31ikkjka b( )

13、ijs nBb1 12 2jjsiiisja ba ba b注意注意（P44)請(qǐng)自讀請(qǐng)自讀ssmnCAB請(qǐng)記矩陣請(qǐng)記矩陣 與與 乘積的可行條件乘積的可行條件AB 例例2.5（P44）131012A311120131B設(shè)設(shè) 求求 及及 .ABBA131012AB131021113解解3) 1(13) 1(11) 1(2331) 1() 1(01101) 1() 1(202) 1(320012因?yàn)橐驗(yàn)?是是 矩陣，矩陣， 是是 矩陣，矩陣， 由定義由定義4知，知， 與與 不能相乘不能相乘.AABB3 32 3!AB2432812 1 0 0 1 ( 1) 3 1 ( 1) 3 11110,00AB

14、AB但 1111例例2.6 P4500設(shè)設(shè)1111A1111B求求 及及 .ABBA解解因?yàn)橐驗(yàn)?， 都是都是2階方陣，故階方陣，故 與與 都有意義都有意義.ABBABA于是于是1111AB1111BA2222顯然顯然ABBA矩陣乘法不滿足交換律矩陣乘法不滿足交換律有非零的零因子有非零的零因子這正是矩陣運(yùn)算與數(shù)運(yùn)算的不同！這正是矩陣運(yùn)算與數(shù)運(yùn)算的不同！0066 由例由例2.5、例、例2.6、例、例2.7得出以下結(jié)論：得出以下結(jié)論：(P46) 例例2.7 P4549設(shè)設(shè)24,36A14,21B1101C.ABAC求 及 ABAC解解ABAC但是但是BC矩陣乘法不滿足消去律矩陣乘法不滿足消去律這又

15、是矩陣與這又是矩陣與數(shù)的不同！數(shù)的不同！1.矩陣乘法不滿足交換律；矩陣乘法不滿足交換律；2.矩陣乘法有非零的零因子；矩陣乘法有非零的零因子；3.矩陣乘法不滿足消去律矩陣乘法不滿足消去律矩陣乘法滿足矩陣乘法滿足什么運(yùn)算規(guī)律？什么運(yùn)算規(guī)律？6496矩陣乘法滿足下列矩陣乘法滿足下列運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律（假設(shè)運(yùn)算都是可行的）：（假設(shè)運(yùn)算都是可行的）：1.()m ss tt nABC()m ss tt nAB C2.)()()(kBABkAABk（ 為常數(shù)）為常數(shù)）k3.()m ss ts tm ss tm ss tABCABA CCABAACB)(4.mm nm nm nnm nE AAAEA結(jié)合律結(jié)合律

16、左右左右分配律分配律 為為 單位陣單位陣E111212122212nnm nmmmnaaaaaaAaaa100010001nE111212122212100010001nnnmmmnaaaaaaAEaaa12nnnnaaa21222naaa12a1na11a111212122212100010001nnmmmmnaaaaaaE Aaaa111212122212nnmmmnaaaaaaaaa上節(jié)例上節(jié)例2.3中的中的線性變換線性變換111212122212 nnmmmnaaaaaaaaa12nxxx12myyYy11mm nnYAX111 112 21221 122 221 12 2,n nn

17、nmmmmn nya xa xa xya xa xa xya xa xa x 旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換cossinsincosxy11xy將將 旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)角OP 11cossinsincosxxyyxy 2110011110000211上節(jié)例上節(jié)例2.2中四城市間的單向航線矩陣中四城市間的單向航線矩陣 即過(guò)即過(guò) 市的雙向航線有兩條市的雙向航線有兩條 DBAC0111100001001010A2A01110111100010000100010010101010 2A記記 ， 2()ijAb則則 為從為從 市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到 市的單向航線條數(shù)市的單向航線條數(shù). ijbij231,b 即從即從 市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到 市的單向航線有市的單向航線有1條，條， BCBAC即從即從 市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到 市的單向航線有市的單向航線有2條，條， BDBADDCB 112,b A330,b 即即 市沒(méi)有雙向航線市沒(méi)有雙向航線.C(,ABA 422,b )ADA定義定義2.5 (矩陣的乘冪矩陣的乘冪)設(shè)設(shè) 是是 階方陣，定義階方陣，定義An1,AA211,AAA11,kkAA A（其中（其