由于實對稱矩陣對于不同特征值對應(yīng)的特征向量互相正交

1、作業(yè)及其提示次型第五章：相似矩陣及二433151;123131,011101110111. 13211321bbb答案：正交化，試用施密特法把向量組件進(jìn)行驗證。）正交。用正交定義條）不正交，（答案與提示：（）（交矩陣，并說明理由判斷下列矩陣是不是正21979494949198949891)2(1213121121312111. 2作業(yè)及其提示相關(guān)性第五章：向量組的線性是正交陣又對稱。證：是對稱的正交陣求證：令維列向量，為設(shè)HExxxxExxEHHHHHxxExxExxEHHxxEHxxnxTTTTTTTTTTTTT,44)2(2)2()2(,2, 1. 322正交，正交正交，）證（11,1AA

2、AEAAAAAEAAAAATTTTTT正交即。正交且*111*111111*)()()(,)()( ,)()()()(AEAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAATTTTTTTTTTT也是正交矩陣）（也是正交矩陣；）階正交矩陣，證明（都是與設(shè)ABAAAnBAT2,1. 4*1）略（2作業(yè)及其提示相關(guān)性第五章：向量組的線性所以不正交特征向量同解方程：特征向量：同解方程）解：（是否兩兩正交，并問它們的特征向量，）（特征向量求下列矩陣的特征值和, 0)2, 1(21:00121212)3( :0)3() 1, 1(:00112211)2( :0)2(3, 2:0)3)(2(42111633

3、312321)2(42111. 5212121TTTxxEAxEAxxEAxEAEA作業(yè)及其提示相關(guān)性第五章：向量組的線性。經(jīng)驗證，特征向量正交，得：特征向量解，得：特征向量解，得：特征向量解）解：（是否兩兩正交，并問它們的特征向量特征向量求下列矩陣的特征值和TTTxEAxEAxEAEA2, 1, 10)9(0, 1, 10)(1, 1, 10)0(9, 1, 0, 0)9()1 (663332001)1 (63331201)1 (6333123212633312321)2(. 5321征值相同。特征多項式相同，則特證：的特征值相同。與階矩陣，證明為設(shè)EAEAEAEAAAnATTTTT)()(

4、. 6作業(yè)及其提示相關(guān)性第五章：向量組的線性 . 2, 1, 0)2)(1(, 0, 0, 0, 0,2321, 023. 722ppAppApAEAAAAEAA又則：，設(shè)特征向量為的特征值為，則證明：設(shè)?；虻奶卣髦抵荒苋∽C明設(shè)的特征值。為由于矛盾。即得：與已知即即：假定則：易得：令：即：且：對應(yīng)的特征向量，是證：設(shè)的特征值階矩陣也是的特征值，證明階矩陣是設(shè)BAqqBABpBpBAqppABpABpBpqqqpBBpBpBABpABpBpABpppBAnBAmnmmnmnnm.)().()(. 00, 0, 0, 0, 0, 0, 0. 0.).()()(, 00. 811作業(yè)及其提示相關(guān)性第

5、五章：向量組的線性 1832133223175,75 18.753213. 9232323AAAAAAAAA，。則：。答案與提示：，求，的特征值為階矩陣已知8)3)()(5(32442001)5(12422101)5(1242250512422421)4)()(5( ,54.,4512422421.10 xxxxxEAyEEAyxyxyxA由：答案與提示：相似，求與設(shè)方陣作業(yè)及其提示相關(guān)性第五章：向量組的線性相似與令可逆，存在，證：相似。與證明：階方陣，且都是與設(shè)BAABBAABAAABPPAPAAABAABAnBA,0, 0.11111即可只要解解出：由答案與提示：可相似對角化，求設(shè)矩陣,

6、1)(, 0)(6, 1, 0 3.50413102.12321EARxEAEAxxxA.,212,122,221, 1, 0, 13.13321321ApppA求對應(yīng)的特征向量依次為的特征值為階方陣設(shè)作業(yè)及其提示相關(guān)性第五章：向量組的線性11321321321,),(, .032323231032031.13PPAAPPpppPppppppA推出：由單位化，令將量，是不同特征值的特征向答案與提示：第五章：. 1, 0, 3,21352121, 1, 1.14bapAppbabaApT對應(yīng)求出：答案與提示：根據(jù)所對應(yīng)的特征值。及特征向量參數(shù)的一個特征向量，試求是矩陣已知作業(yè)及其提示相關(guān)性第五章

7、：向量組的線性答案與提示：求對應(yīng)的特征向量為。特征值，的特征值為階實對稱矩陣設(shè).,1, 1, 163363.151ApAT解解 設(shè),36321由于實對稱矩陣對于不同特征值對應(yīng)的特征向量互相正交,則對應(yīng)于 的特征向量 滿足方程:32,32pp ,0,xTp1即,0111321xxx. 0321xxx得基礎(chǔ)解系.101,01132PP作業(yè)及其提示相關(guān)性第五章：向量組的線性,101011111),(321PPPP*1|1PPP.211121111311PPA101011111300030006.21112111131.411141114P21,4,323132323231313232 .020212

8、0221.16排出。對應(yīng)解出特征向量，求出特征值為答案與提示：）（陣化為對角矩陣換矩陣，將下列對稱矩試求一個正交的相似變PA作業(yè)及其提示相關(guān)性第五章：向量組的線性 .542452222216A）（1011,32003255251315552,10, 1321P答案與提示：10010010010010010010011001100530005305445) 1(1331110210413500050001110210211,:,340430241.17APAPPAAPPAA對角化求出先將答案與提示：求設(shè)作業(yè)及其提示相關(guān)性第五章：向量組的線性zyxAzyxfAyzzxzyxyxf,12124212

9、1.42441.18222）（次型用矩陣記號表示下列二43214321423241312124232221, ,102101322311121146242218xxxxAxxxxfAxxxxxxxxxxxxxxf答案：）（作業(yè)及其提示相關(guān)性第五章：向量組的線性2322213213213223222152,500020001,2202222022010.1, 1, 0,0, 0, 1,1, 1, 00)(, 5, 2, 143321.19yyyfPpppXEAxxxxxfTTT基礎(chǔ)解為：的對應(yīng)的：答案與提示：特征值為）（列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形求一個正交矩陣，化下作業(yè)及其提示相關(guān)性第五章：向量組的線性2

10、423222143214321433241212322213,1000030000100001,2121210212102121212102121021,1, 1, 1, 1,1, 1, 1, 1,1, 0, 1, 0,0, 1, 0, 10)(, 1, 3, 122222.19yyyyfPppppXEAxxxxxxxxxxxfTTTTi基礎(chǔ)解為：的對應(yīng)的：答案與提示：特征值為）（列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形求一個正交矩陣，化下作業(yè)及其提示相關(guān)性第五章：向量組的線性max12222211max1222211112122121122222111222221122221 001,)(,0, 0, 1,.,),

11、 2 , 1(), 2 , 1(.)()(, 1;, 11.,1.20fyyyffyyPfPyfyyyyyyyyfniAniyyyPyfxfyyyyxyyPyPyxxEPPPyxPAxAxxfnnnTnnnnniinnnTTTTTT即得：則取則中最大者為設(shè)的特征值為其中即且：則：為證：令對角化正交變換的最大特征值。時的最大值為方陣在證明：二次型作業(yè)及其提示相關(guān)性第五章：向量組的線性110100111,)()(22222),(1.21321321232221222322312222322323312132312321321PyyyPPyxxxxyyyxxxxxxxxxxxxxxfxxxxxxxx

12、xf其中答案與提示：）（成規(guī)范型用配方法化下列二次型2321231231312213221232221322123222132142)()()(222422242),(2.21xxxxxxxxxxxxxxxxxfxxxxxxxxxxf答案與提示：）（成規(guī)范型用配方法化下列二次型作業(yè)及其提示相關(guān)性第五章：向量組的線性3300332113310,)3()()()2.(21321321232221232312321PyyyPPyxxxxyyyxxxxxx其中續(xù)用主子式法判定即可答案與提示：正定。）（性判別下列二次型的正定,401061112224621.223121232221Axxxxxxxf作業(yè)

13、及其提示相關(guān)性第五章：向量組的線性用主子式法判定即可答案與提示：正定。）（,1960169320331121112624221993222433241312124232221Axxxxxxxxxxxxxxf為正定二次型即即可逆，為可逆矩陣，證明：設(shè)為正定二次型。證明為可逆矩陣，設(shè)AxxffqUxUxqqqqqxfqqqqxUUxUxUxUxAxxxfUUAUAxxfUUAUTnTnnnnnTTTTTTT0, 0, 0, 00)(,)()()(,.23222212111作業(yè)及其提示相關(guān)性第五章：向量組的線性結(jié)論成立。則：令即使得：，與對角矩陣交矩陣對稱且正定，則存在正證：設(shè)使得逆矩陣為正定陣，證

14、明存在可設(shè)對稱陣.,:., 2 , 1, 0),(.,.2411111121UUAPUPPPPPPAPPPPAAPPAPPnidiagPAUUAUATTnTnnTnTTTinT作業(yè)及其提示相關(guān)性第五章：向量組的線性定。的特征值均為正，即正正定：相似。特征值相同，為與即：即：正定。特征值均為正，即。為：的相同，的特征值與相似，與。則：設(shè)正交，使得：在的特征值全為正。且存正定，證：也為正定矩陣。階正定矩陣，則均為與）（也正定；與正定，則）試證：（*11*1*11111*1111111111111111*1., 1, 0, 0, 0,., 1,.,., 2 , 1, 01, 01,1)1,1(),(

15、.)(.)(21.25AniAAAniAAAAAAPAPAPAAPAAAEAAAAniAAdiagdiagPAPAPPAPPPAABAnBAAAAiiiiinnn作業(yè)及其提示相關(guān)性第五章：向量組的線性正定。正定，、則）證：設(shè)（BAxfxfxfBxxxfAxxxfxBABxxAxxxBAxxfBxxfAxxfTTTTTTT. 0)()()(0)(, 0)(,)()(;, ,225212121)()(,)(A B. ;)( ;)( ;)( ;)( )2()()(.41)( 21)( 43)( ;34)( )3121.261*1111*12fAfAAAfADACABAAAAAnAfAfBDCBAAAnn的特征值為答案與提示：）的一個特征值是（的伴隨矩陣的一個特征值，則為階可逆矩陣，為設(shè)的特征值為提示：答案：；）有一個特征值等于（的一個特征值，則矩陣是非奇異矩陣）設(shè)（選擇題作業(yè)及其提示相關(guān)性第五章：向量組的線性000)(0, 0 .)( )()( ; 0)( ),(03.26knkkkkkEEACnADACABAAkAnA答案與提示：個線性無關(guān)的特征值。有的特征值全為零；有一個不為零的特征值）則（為正整數(shù)階可逆矩陣，