二項式定理通項公式

1、二項式定理的復(fù)習(xí)1.二項展開式：nab011nnrn r rn nnnnnc aca bc a bc b 這個公式叫做二項式定理,等號后面的式子叫做(a+b)n的二項展開式,其中 Cnk(k=0,1,2,n)叫做二項式系數(shù)。 二項展開式中的第k+1項為Cnkan-kbk叫做二項展開式的通項, 通項公式:TK+1=Cnkan-kbk 2. 2.二項展開式的特點二項展開式的特點 (1) (1) 項數(shù)：項數(shù)： 展開式有共展開式有共n+1n+1項項(2) (2) 系數(shù)系數(shù) ： 都是組合數(shù)，都是組合數(shù)， 依次為依次為C Cn n0 0，C Cn n1 1，C Cn n2 2，C Cn n3 3，CCn

2、nn n (3) (3) 指數(shù)的特點指數(shù)的特點 ： 1) a1) a的指數(shù)的指數(shù) 由由n 0 (n 0 (降冪降冪) ) 2) b 2) b的指數(shù)由的指數(shù)由0 n (0 n (升冪升冪) ) 3) a 3) a和和b b的指數(shù)和為的指數(shù)和為n n 3.二項式定理的幾個變式：nnnrrnrnnnnnnbcbacbacacba110(a-b)n(1+x)n1121 2. ( 1). ( 1)nnnnkn kknnnnnaC a b C a bC abb =1+Cn1x+Cn2x2+Cnkxk+Cnnxn 4. 揚輝三角：1ba 1 1 表中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩數(shù)的和

3、. 1 3 3 13ba 1 4 6 4 14ba1 5 10 10 5 15ba 1 6 15 20 15 6 16ba2ba 1 2 10ba1通項公式的應(yīng)用:Tk+1=Cnkan-kbk一利用二項式定理和展開式的通項公式可以求某些一利用二項式定理和展開式的通項公式可以求某些特殊項，如含某個冪的項、常數(shù)項、有理項、最大項特殊項，如含某個冪的項、常數(shù)項、有理項、最大項等問題。在這里要分清等問題。在這里要分清二項展開式中的各項的二項展開式中的各項的“二項式系數(shù)二項式系數(shù)”與與“系數(shù)系數(shù)”的區(qū)別，這是兩個不同的概念，的區(qū)別，這是兩個不同的概念，“二項式系數(shù)二項式系數(shù)”僅指僅指C Cn n0 0、

4、C Cn n1 1、CCn nr rCCn nn n這些組合數(shù)而言，不包括字母這些組合數(shù)而言，不包括字母a a、b b所表示式子中的系數(shù)。所表示式子中的系數(shù)。通項通項C Cn nk ka an-kn-kb bk k是展開式中的第是展開式中的第k+1k+1項，而不是第項，而不是第k k項。項。 解: 在(1-2x)7的展開式中 , 第四項為 T4=C73(-2x)3=-280 x3, 第四項的二項式系數(shù)是C73=35； 第四項的系數(shù)是C73(-2)3=-280 .例1：求(1-2x)7的展開式中 , 第四項的二項式系數(shù)和第四項的系數(shù)。注意某項的二項式系數(shù)和項的系數(shù)的區(qū)別。931xxx例2：求的展

5、開式中 的系數(shù)。解：展開式的通項是99 219911rrrrrrrTC xC xx 3339184xC 因此， 的系數(shù)是 注意：展開式中第 r + 1 項的二項式系數(shù) 與第 r + 1項的系數(shù)不同。.根據(jù)題意，得 9 2r = 3 r = 3 注意：展開式中第 r + 1 項的二項式系數(shù) 與第 r + 1項的系數(shù)不同。 注意：展開式中第 r + 1 項的二項式系數(shù) 與第 r + 1項的系數(shù)不同。 在實際應(yīng)用過程中， 這個公式很有作用，我們 可以用這個展開式來求一些復(fù)雜數(shù)的近似值。nba 1010100.9970.0010.9971 0.003例3：計算的近似值。精確到解：28210911010

6、010003. 01003. 011ccc 根據(jù)精確度的要求，從第三項起的各項都可以省去，所以000009. 0145003. 0101997. 010970. 0030. 01.970. 0997. 010則例4：在二項式 的展開中式， 前三項系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中所 有的有理項。分析：本例是典型的特定項的問題，涉及到前三項和有理項，可以用通項公式來解決。412nxx例4：在二項式 的展開中式，前三項系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的所有有理項。解：二項展開式的通項公式是:前三項的r=0,1,2，得系數(shù)為:t1=1, t2= ,t3=由已知得:t1+t3=2t2, 1+ 得n=8.通項公式:

7、k=0,1,2,8TK+1為有理項，16-3k是4的倍數(shù)，k=0,4,8,有理項有三項，依次為:T1=x4,T5=35x/8,T9=1/256x2412nxx2341411()()22nkknkkkknnkTCxCxx11122nCn211(1)48nCn n1(1),8n nn16 341812kkkkTCx例例5.5. 已知已知( ( ) ) n n (nN)(nN)的展開式的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比為比為10:110:1。 (1) (1) 求展開式各項系數(shù)的和；求展開式各項系數(shù)的和； (2) (2) 求展開式中含求展開式中含x x 的項。的項。

8、 (3) (3) 求展開式中系數(shù)最大的項和系數(shù)求展開式中系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項。最小的項。 x xx x2 22 22 23 3例例5.5. 已知已知( ( ) )n n (nN)(nN)的展開式中第五項的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比為的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比為10:110:1。(1) (1) 求展開求展開x xx x2 22 22 23 3式各項系數(shù)的和；式各項系數(shù)的和；(2) (2) 求展開式中含求展開式中含 x x 的項。的項。 (3) (3) 求展開式中系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項。求展開式中系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項。 分析：分析：要靈活、正確的應(yīng)用二項展開要靈活、正確的

9、應(yīng)用二項展開式的式的 通項公式。通項公式。(1) (1) 先根據(jù)通項公式得到第五項與第先根據(jù)通項公式得到第五項與第三項三項 的系數(shù)，再由已知條件求出的系數(shù)，再由已知條件求出n n的的值。由值。由“賦值法賦值法”求各項系數(shù)的和。求各項系數(shù)的和。 例例5.5. 已知已知( ( ) )n n (nN)(nN)的展開式中第五項的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比為的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比為10:110:1。(1) (1) 求展開求展開x xx x2 22 22 23 3式各項系數(shù)的和；式各項系數(shù)的和；(2) (2) 求展開式中含求展開式中含 x x 的項。的項。 (3) (3) 求展開式中系數(shù)最大

10、的項和系數(shù)最小的項。求展開式中系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項。 (2) (2) 根據(jù)通項公式先出求含根據(jù)通項公式先出求含x x 的項是展開的項是展開式中的第幾項，然后把它代入通項公式。式中的第幾項，然后把它代入通項公式。 (3) (3) 這個二項展開式在奇數(shù)項系數(shù)是正的，這個二項展開式在奇數(shù)項系數(shù)是正的，偶數(shù)項系是負(fù)的，所以只須考慮系數(shù)的絕偶數(shù)項系是負(fù)的，所以只須考慮系數(shù)的絕對值最大。對值最大。 2 23 3例例5.5. 已知已知( ( ) )n n (nN)(nN)的展開式中第五項的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比為的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比為10:110:1。(1) (1) 求展開求展開式

11、各項系數(shù)的和式各項系數(shù)的和x xx x2 22 2解：解：( ( ) )n n展開式中的通項為展開式中的通項為 x xx x2 22 2T Tk+1k+1=C=Cn nk k( )( )n nk k( ( ) )k k=(=(2)2)k kC Cn nk k( )( )n n5k5kx xx x2 22 2x x T T5 5=T=T4+14+1=2=24 4C Cn n4 4x x 2 2n n1010 T T3 3=T=T2+12+1=2=22 2C Cn n2 2x x 2 2n n5 5第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)分別為第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)分別為 2 24 4C Cn n4 4、2

12、 22 2C Cn n2 2; ; 例例5.5. 已知已知( ( ) )n n (nN)(nN)的展開式中第五項的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比為的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比為10:110:1。(1) (1) 求展開求展開式各項系數(shù)的和式各項系數(shù)的和x xx x2 22 2由題意得：由題意得：2 24 4C Cn n4 4222 2C Cn n2 2=101 =101 n n2 25n5n24=024=0；解得解得 n=8 n=8 或或 n=n=3 (3 (舍舍) )。 令令x=1x=1，代入，代入( ( ) )8 8 x xx x2 22 2令令x=1,x=1,得得(1-2)(1-2)8

13、 8=1,=1,所以各項系數(shù)和為所以各項系數(shù)和為1 1。 例例5.5. 已知已知( ( ) )n n (nN)(nN)的展開式中第五項的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比為的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比為10:110:1。x xx x2 22 22 23 3 (2) (2) 求展開式中含求展開式中含 x x 的項。的項。 解：解：展開式通項為：展開式通項為：2 28 85k5kT Tk+1k+1=(=(2)2)k kc c8 8k kx x 則條件則條件 = = ，解得，解得k=1 k=1 2 28 85k5k2 23 3展開式中含展開式中含x x 的項為的項為T T2 2=(=(2)2)1 1

14、C C8 81 1x =x =16 x 16 x 。2 23 32 23 32 23 3例例5.5. 已知已知( ( ) )n n (nN)(nN)的展開式中第五項的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比為的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比為10:110:1。x xx x2 22 2(3) (3) 求展開式中系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項。求展開式中系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項。 解：解：展開式中的第展開式中的第r r項、第項、第r+1r+1項、第項、第r+2r+2項的系數(shù)絕對值分別為項的系數(shù)絕對值分別為C C8 8r-1r-12 2r-1r-1、C C8 8r r2 2r r、C C8 8r+1r+12 2

15、r+1r+1若第若第r+1r+1項的系數(shù)的絕對值最大，則有項的系數(shù)的絕對值最大，則有 C C8 8r r1 12 2r r1 1CC8 8r r2 2r rC C8 8r r2 2r rCC8 8r+1r+12 2r+1r+1解得解得 5r65r6，例例4.4. 已知已知( ( ) )n n (nN)(nN)的展開式中第五項的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比為的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比為10:110:1。x xx x2 22 2(3) (3) 求展開式中系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項。求展開式中系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項。 即系數(shù)的絕對值最大為第即系數(shù)的絕對值最大為第6 6或或7 7項，因為項

16、，因為 第第6 6項為負(fù)的、第項為負(fù)的、第7 7項為正的，項為正的， 所以，展開式中系數(shù)最大的項是：所以，展開式中系數(shù)最大的項是：系數(shù)最小的項是系數(shù)最小的項是T T6 6=1792 1792 。 T T7 7=1792 =1792 ； x x11111 1x x9 9x xv例例6 6 :(1)求(1-x)3(1+x)10展開式中x5的系數(shù)； (2)求(x+ +2)6展開式中的常數(shù)項 x1分析：本題的兩小題都不是二項式展開，但可以轉(zhuǎn)化為二項式展開的問題，（1）可以視為兩個二項展開式相乘；（2）可以經(jīng)過代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為二項式解：（1）(1-x)3(1+x)10展開式中的x5可以看成下列幾種方式得

17、到，然后合并同類項：用 (1-x)3 展開式中的常數(shù)項乘以(1+x)10 展開式中的x5項，可以得到C105 x5； 用(1-x)3 展開式中的一次項乘以(1+x)10 展開式中的x4項可得到(-3x)(C104x4)=-3C104x5； 用(1-x)3 展開式中的x2乘以(1+x)10 展開式中的x3項可得到3x2(C103x3)=3C103x5； 用(1-x)3 展開式中的x3乘以(1+x)10 展開式中的x2項可得到(-x3)(C102x2)=-C102x5；得x5項為:(C105 -3C104 +3C103 -C102)x5=-63x5 (2)求(x+ +2)6展開式中的常數(shù)項 解：x11262121121)()(,)(xxxxxxxx通項公式：Tr+1=rrrrrxCxxC6121212)1()(當(dāng)r=6時，得常數(shù)項為：T7=C126=924 分析：(1+x-x2)6不是二項式， 通過1+x-x2=(1+x)-x2或1+(x-x2) 把它看成二項式展開 解：方法一：(1+x-x2)6 =(1+x)-x26=(1+x)6-6(1+x)5x2+15(1+x)4x4- 其中含x5 的項為： 含x5項的系數(shù)為655145355566156xxCxCxC例例5 5：求(1+x-x2)6展開式中x5的系數(shù)方法二：(1+x-x2)6=1+(x-x2)