線性代數(shù)-課程學(xué)習(xí)必備的教材

1、線性代數(shù) 行列式的性質(zhì)及其計算行列式的性質(zhì)及其計算 矩陣的運算、可逆矩陣、分塊矩陣、初等變換與初矩陣的運算、可逆矩陣、分塊矩陣、初等變換與初等矩陣、矩陣的秩、方陣的特征值與特征向量、矩等矩陣、矩陣的秩、方陣的特征值與特征向量、矩陣相似對角化陣相似對角化 n維向量的線性運算、向量組的線性相關(guān)性、向量維向量的線性運算、向量組的線性相關(guān)性、向量組的極大線性無關(guān)組組的極大線性無關(guān)組 齊次、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型 npppppptnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121222211121121211 1212

2、121nntppnpp ppDaaa 或或其中其中 為排列為排列 的逆序數(shù)的逆序數(shù). .t12np pp 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. .即即 . . TDD 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號行列式變號. .推論推論 如果行列式有兩行（列）的對應(yīng)元素完全如果行列式有兩行（列）的對應(yīng)元素完全相同，則此行列式為零相同，則此行列式為零. . 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)乘以同一數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘此行列式乘此行列式. .kk推論推論2 2行列式中如果有兩行（列）元素成比例，行列式中如果有兩

3、行（列）元素成比例，則此行列式為零則此行列式為零若行列式的某一列（行）的元素都是兩若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和數(shù)之和, ,則這個行列式等于兩個行列式之和則這個行列式等于兩個行列式之和. .把行列式的某一列（行）的各元素乘以同把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列一數(shù)然后加到另一列( (行行) )對應(yīng)的元素上去，行列式對應(yīng)的元素上去，行列式不變不變余子式與代數(shù)余子式余子式與代數(shù)余子式ija記作記作 . .劃去后，留下來的劃去后，留下來的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列列

4、nij1n ijaijM 1ijijijAM ，叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式ija記記關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)1, ,0 , ;nkikjijkDija ADij 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)1, ,0 , ;nikjkijkDija ADij 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)1, 0, .ijijij ，當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)在線性方程組中在線性方程組中 若常數(shù)項若常數(shù)項 不全為零，則稱此方程組不全為零，則稱此方程組為為非齊次線性方程組非齊次線性方程組；12,nb bb 若常數(shù)項若常數(shù)項 全為零，則稱此方程組全為零，則稱此方程組為為齊次線性方程組齊次線性方程組. .12,nb bb 如果線性方程組的系數(shù)行列式如

5、果線性方程組的系數(shù)行列式 則線則線性方程組一定有解性方程組一定有解, ,且解是唯一的且解是唯一的 . ., 0 D 如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零的系數(shù)行列式必為零. .1 1）、定義法）、定義法121121000000000nnnaaaabbb 2 2）、展開法）、展開法0000000000000000 xyxyxxyyx3 3）、加邊法）、加邊法2112122122212111nnnnnxx xx xx xxx xx xx xx 4 4）、拆分法）、拆分法111212122212nnnnnnabababababababab

6、ab 5 5）、遞推法）、遞推法950000495000049000000950000495000049n6 6）、三角法）、三角法120111100100100naaa7 7）、）、LaplaceLaplace展開定理展開定理11121314152122232425313241425152000000000aaaaaaaaaaaaaaaa9 9）、綜合法）、綜合法133332333333333n8 8）、）、Vander mondeVander monde行列式行列式111111 1111222222111111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaba bbaaba bbDaab

7、abb 1010）、降階法）、降階法 （略）（略）,2122221112111aaaaaaaaaDnnnnnn ,221122222111112112abababaabababaaDnnnnnnnnnn 1111）、定義證明）、定義證明證明證明12DD 1212）、數(shù)學(xué)歸納法）、數(shù)學(xué)歸納法cos100012cos100012cos00cos.000100012cosnDn 定義定義()ijm nAa ）排成的）排成的 行行 列的矩形數(shù)表，稱為數(shù)域列的矩形數(shù)表，稱為數(shù)域mn由數(shù)域中的個數(shù)（由數(shù)域中的個數(shù)（nm ijaF1,2,;im 1,2,jn 記作：記作：m nA ()ija中的一個中的一個

8、矩陣矩陣. .mn F實矩陣、復(fù)矩陣、行矩陣、列矩陣、階方陣、實矩陣、復(fù)矩陣、行矩陣、列矩陣、階方陣、方陣的行列式、兩矩陣同型、兩矩陣相等方陣的行列式、兩矩陣同型、兩矩陣相等.零矩陣、對角矩陣、單位矩陣、數(shù)量矩陣、三角矩陣、零矩陣、對角矩陣、單位矩陣、數(shù)量矩陣、三角矩陣、負矩陣、對合矩陣、正交矩陣、冪等矩陣、階梯形、負矩陣、對合矩陣、正交矩陣、冪等矩陣、階梯形、行最簡形矩陣、標(biāo)準(zhǔn)形行最簡形矩陣、標(biāo)準(zhǔn)形1 1）、）、加法加法注意注意: :只有只有同型矩陣同型矩陣才能進行才能進行加法加法運算運算. .()ijijm nABab (),()ijm nijm nAaBb ，若若規(guī)定規(guī)定2 2）、）、數(shù)

9、乘數(shù)乘(),ijm nAaR ()ijm nAAa 若若規(guī)定規(guī)定3 3）、）、乘法乘法(),ijm nABCc ()(),ijmnssijAaBb ，若若規(guī)定規(guī)定1 1221ijijijissjikkjca ba ba ba b 其中其中1 21 2im jn （， ，；， ， ）4 4）、）、冪冪kkAAAA (),ijn nAakZ 規(guī)定規(guī)定若若1 1、一般矩陣的冪無意義，除了方陣、一般矩陣的冪無意義，除了方陣. .2 2、只能是正整數(shù)只能是正整數(shù). . 把矩陣把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做叫做的的轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣，記作，記作 . .Aor A

10、5 5）、轉(zhuǎn)置）、轉(zhuǎn)置設(shè)設(shè)為階方陣，若為階方陣，若 ，即，即 ，TAA ijjiaa 那么那么稱為稱為對稱矩陣對稱矩陣. .TAA ijjiaa 設(shè)設(shè)為階方陣，若為階方陣，若 ，即，即 ，那么那么稱為稱為反對稱矩陣反對稱矩陣. .行列式行列式 的各個元素的代數(shù)余子式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成矩陣的轉(zhuǎn)置所構(gòu)成矩陣的轉(zhuǎn)置. .AijA）、伴隨矩陣）、伴隨矩陣112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA 記作記作) )、共軛矩陣、共軛矩陣當(dāng)當(dāng) 為復(fù)矩陣時，用為復(fù)矩陣時，用 表示表示 的共軛的共軛復(fù)數(shù)，記，稱為復(fù)數(shù)，記，稱為 的的共軛矩陣共軛矩陣. . ijaA ijaija ijaA

11、AA6 6）、方陣的行列式）、方陣的行列式行列式行列式（各元素的位置不變）叫做（各元素的位置不變）叫做方陣方陣的行列式的行列式. .記作記作.etAorDA由階方陣由階方陣的元素所構(gòu)成的的元素所構(gòu)成的,ABBAE 使得使得的逆矩陣記作的逆矩陣記作1.A A1)1)、定義、定義對于對于 階矩陣階矩陣 ，如果有一個，如果有一個 階矩陣階矩陣 ，nABnA則稱矩陣則稱矩陣 是是可逆可逆的，的，BA并把矩陣并把矩陣 稱為稱為 的的逆矩陣逆矩陣. .定理定理1 1若矩陣若矩陣 可逆，則可逆，則0.A A定理定理2 2矩陣矩陣 可逆的充要條件是可逆的充要條件是 ，且且A0A 11,AAA AA 其中其中為

12、矩陣為矩陣的伴隨矩陣的伴隨矩陣. .性質(zhì)性質(zhì)對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了簡化運算，對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了簡化運算，經(jīng)常采用經(jīng)常采用分塊法分塊法，使大矩陣的運算化成小矩陣的運，使大矩陣的運算化成小矩陣的運算算. 具體做法是：將矩陣用若干條縱線和橫線分成具體做法是：將矩陣用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為子塊子塊，以子塊為，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣分塊矩陣.分塊矩陣的運算規(guī)律與普通矩陣規(guī)律運算相類似分塊矩陣的運算規(guī)律與普通矩陣規(guī)律運算相類似. 1,2,iAis 都是方陣都是方陣. .12,sAAAA 12

13、;sAA AA 1111;sAAA 若若則有則有11,ssABABAB 11;ssA BABA B 若若 ，則有，則有0iA 若若1,sAAA 1111;sAAA 則則 1,2,iAis 均為可逆方陣均為可逆方陣. .若若1,sAAA 1;nnnsAAA 則則1 1）、定義）、定義 下面三種變換稱為矩陣的下面三種變換稱為矩陣的初等行變換初等行變換. .jirr （1 1）互換兩行：）互換兩行：（2 2）數(shù)乘某行：）數(shù)乘某行：kri （3 3）倍加某行：）倍加某行：jikrr 同理，把同理，把 換成換成 可定義矩陣的可定義矩陣的初等列變換初等列變換. .rc定義定義 矩陣的初等列變換與初等行變換

14、統(tǒng)稱為矩陣矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為矩陣的的初等變換初等變換定義定義經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣 ，如果矩陣如果矩陣ABAB與與等等價價就稱矩陣就稱矩陣，記作，記作AB等價關(guān)系的性質(zhì)：等價關(guān)系的性質(zhì)：反身性、對稱性、傳遞性反身性、對稱性、傳遞性.2 2）、初等矩陣的概念）、初等矩陣的概念,ETEP一一次次相應(yīng)的，三種初等變換對應(yīng)著三種初等方陣相應(yīng)的，三種初等變換對應(yīng)著三種初等方陣. .定義定義就稱為就稱為初等矩陣初等矩陣. .P( , )E i j 1011011111k E i k ( ）( ）1111k , ( )E i j k ,m nin Aif 0 ;

15、rD10 .rD （1 1）（2 2）則則 稱為矩陣稱為矩陣 的的最高階非零子式最高階非零子式. .rDA)(Ar)(AR記為記為 或或 . .最高階非零子式最高階非零子式的階數(shù)稱為的階數(shù)稱為矩陣的矩陣的秩秩 . if ABR AR B定定理理，則稱，則稱 An階方陣階方陣 ，0( )ifAR An,m nin A A為為滿秩陣滿秩陣. .( )if R Am A，則稱，則稱 為為行滿秩陣行滿秩陣；()ifR An A，則稱，則稱 為為列滿秩陣列滿秩陣；0( )ifAR AnA，則稱，則稱 為為降秩陣降秩陣. .所有與所有與等價的矩陣的集合稱為一個等價的矩陣的集合稱為一個等價類等價類. . A

16、EERT 1EA AE1EA ECT1 1）、求逆）、求逆 ABERT EXABEXECT2 2）、求方程）、求方程XAB 1XBA AXB 1XA B 矩陣方程矩陣方程解解BAX1 BAX1 BCAX11 BAX BXA CAXB 為階方陣，為階方陣，為數(shù)，為數(shù)， 為維非零向量，為維非零向量，A 若若則則稱為稱為的的特征值特征值， 稱為稱為的的特征向量特征向量（）（）并不一定唯一；并不一定唯一；, 階方陣階方陣的特征值，就是使齊次線性方程組的特征值，就是使齊次線性方程組特征向量特征向量 ，特征值問題只針對于方陣；，特征值問題只針對于方陣；0 0EA x 有非零解的有非零解的值，即滿足值，即滿

17、足的的都是都是方陣方陣的特征值的特征值0EA 0EA 稱以稱以為未知數(shù)的一元次方程為未知數(shù)的一元次方程為為的的特征方程特征方程 fEA稱以稱以為變量的一元次多項式為變量的一元次多項式為為的的特征多項式特征多項式121122(2);nnnaaa 12(1);nA 設(shè)階方陣的特征值為設(shè)階方陣的特征值為 ijAa 12,n 則則的特征值與特征向量的求法的特征值與特征向量的求法(1)由特征方程由特征方程0EA 求出矩陣求出矩陣的全部特征值的全部特征值 1, 2, , n，其中，其中r重根對應(yīng)重根對應(yīng)的的r個數(shù)值相同的特征根。個數(shù)值相同的特征根。(2) 把特征值代入把特征值代入( I-)X=0，求其特征

18、向量。，求其特征向量。1 1） 定義定義 設(shè)設(shè)、都是階矩陣，若有可逆矩陣都是階矩陣，若有可逆矩陣，使得使得1,PAPB 則稱則稱是是的的相似矩陣相似矩陣，或者說矩陣，或者說矩陣與與相似相似稱為對稱為對進行進行相似變換相似變換，1,PAP 對對進行運算進行運算可逆矩陣可逆矩陣稱為把稱為把變成變成的的相似變換矩陣相似變換矩陣記作：記作：2 2） 矩陣相似對角化矩陣相似對角化若能尋得相似變換矩陣使若能尋得相似變換矩陣使1PAP 對階方陣對階方陣，稱之為稱之為把方陣把方陣對角化對角化的主對角線上的元素就是的主對角線上的元素就是的的全部特征值全部特征值；12,nppp是是的個的個線性無關(guān)的特征向量線性無

19、關(guān)的特征向量。）、定義）、定義 個數(shù)組成的有序數(shù)組個數(shù)組成的有序數(shù)組12,na aa 12naaa 稱為一個稱為一個維向量維向量，其中稱為第個，其中稱為第個分量分量（坐標(biāo)坐標(biāo)）. .iai.,TT記作記作維向量寫成一行稱為維向量寫成一行稱為行向量行向量，記作記作., 維向量寫成一列稱為維向量寫成一列稱為列向量列向量，）、幾種特殊向量）、幾種特殊向量實向量，復(fù)向量，零向量，單位向量，向量同型，實向量，復(fù)向量，零向量，單位向量，向量同型，向量相等向量相等. .注意什么是向量的個數(shù)、什么是向量的維數(shù)，二注意什么是向量的個數(shù)、什么是向量的維數(shù)，二者必須分清者必須分清.）、矩陣與向量的關(guān)系）、矩陣與向量

20、的關(guān)系、維向量、維向量 若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做所組成的集合叫做向量組向量組）、向量組）、向量組,;ifVVV ）、向量空間）、向量空間設(shè)設(shè)為維非空向量組，且滿足為維非空向量組，且滿足對加法封閉對加法封閉對數(shù)乘封閉對數(shù)乘封閉那么就稱集合那么就稱集合為為向量空間向量空間. .,.ifVRV ）、向量的運算）、向量的運算向量的運算采用與矩陣相同的運算規(guī)律向量的運算采用與矩陣相同的運算規(guī)律. .1 1）、基本概念）、基本概念12:,rA 定義定義給定向量組給定向量組，對于任何一組數(shù)，對于任何一組數(shù)12,rkkk， ，稱向量，稱向

21、量1122rrkkk為向量組的為向量組的一個一個線性組合線性組合. . 12,rkkk， ，為組合的為組合的組合系數(shù)組合系數(shù)12:,rA 定義定義設(shè)向量組設(shè)向量組及向量及向量有關(guān)系有關(guān)系1122rrkkk 則則稱為向量組的一個稱為向量組的一個線性組合線性組合，或稱，或稱可由向量組可由向量組線性表示線性表示12,rkkk， ，稱為稱為在該線在該線性組合下的組合系數(shù)性組合下的組合系數(shù). .定義定義設(shè)兩向量組設(shè)兩向量組1212:,:,.rsAB ，若向量組若向量組中每一個向量皆可由向量組中每一個向量皆可由向量組線性表示，線性表示，則稱則稱向量組向量組可以由向量組可以由向量組線性表示線性表示. .若兩

22、個向量組可以互相線性表示，則稱這若兩個向量組可以互相線性表示，則稱這兩向量組等價兩向量組等價. .向量組之間的等價關(guān)系具有反身性、對稱性、傳遞性向量組之間的等價關(guān)系具有反身性、對稱性、傳遞性. .12:,rA 定義定義設(shè)維向量組設(shè)維向量組為零的數(shù)為零的數(shù)12,rkkk， ，使得，使得1122rrkkk 0 0, ,則稱向量組則稱向量組，如果存在不全，如果存在不全12:,rA 線性相關(guān)線性相關(guān)反之，若當(dāng)且僅當(dāng)反之，若當(dāng)且僅當(dāng)120rkkk = = =，才有，才有1122rrkkk 0 0, ,則稱向量組則稱向量組12:,rA 線性無關(guān)線性無關(guān)即存在矩陣即存在矩陣,.s rrss rKAB K )

23、 )、極大線性無關(guān)組、極大線性無關(guān)組線性相關(guān)線性相關(guān). . 121,iiirjs 若滿足：若滿足：設(shè)設(shè)是一個向量組，它的某一個部分組是一個向量組，它的某一個部分組12,s 012:,iiirA ) )、向量組的秩、向量組的秩向量組的極大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為向量組的極大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為向量組的秩向量組的秩記作：記作：( () )或或 12sR 線性無關(guān)；線性無關(guān)；012:,iiirA 則稱為則稱為的一個的一個極大線性無關(guān)組極大線性無關(guān)組. .012:,iiirA 定義定義矩陣矩陣111212122211,nnmmmnaaaaaaAaaa 的列向量組的秩稱為列秩，記為：的列向量組的秩稱為列

24、秩，記為：的行向量組的秩稱為的行向量組的秩稱為行行秩，記為：秩，記為： .r A .c A定理定理 11TTm nnmR Acr 結(jié)論結(jié)論m nin A ，則所在行（列）向量組線性無關(guān)，則所在行（列）向量組線性無關(guān). .rD0rD，則則的任的任行（列）向量組線性相關(guān)行（列）向量組線性相關(guān). .0rD ，且含有的，則且含有的，則. .0rDrD10rD R Ar 定理定理有相同的有相同的線性關(guān)系線性關(guān)系. .相同的相同的線性關(guān)系線性關(guān)系是指：是指：已知維列向量組已知維列向量組12,s 12,sn sA 若對若對施行初等行變換把施行初等行變換把化為化為 12,sn sB 則則向量組向量組1212,

25、ppiiiiii 與與 121piiis 1212,.ppiiiiiiRR 12,piii 線性表示，且表達式的系數(shù)對應(yīng)相同線性表示，且表達式的系數(shù)對應(yīng)相同. .12,piiii 可可以以由由線性表示，對應(yīng)的線性表示，對應(yīng)的i 可可以以由由1212,ss 與與極大無關(guān)組相對應(yīng)極大無關(guān)組相對應(yīng). .線性相關(guān)線性相關(guān). .12,jjiV 若滿足：若滿足：設(shè)設(shè)是一個向量空間，它的某個向量是一個向量空間，它的某個向量12,r 中的任一向量均可以表示成中的任一向量均可以表示成基向量基向量的線性組合，的線性組合，記作：記作：dimdim. .線性無關(guān)；線性無關(guān)；12,r 則稱為則稱為的一個的一個基基. .

26、稱為稱為的的維數(shù)維數(shù). .12,r 且表達式唯一，其組合系數(shù)且表達式唯一，其組合系數(shù)稱為稱為向量在該基下的坐標(biāo)向量在該基下的坐標(biāo). .設(shè)為向量空間設(shè)為向量空間的一個基，則任取的一個基，則任取 ， 可可唯一地表示為唯一地表示為12,r =x1 1+x2 2+xr r= 1, 2, , rx1 x2 xr .則則X=x1, x2, , xrT稱為稱為 關(guān)于基關(guān)于基 1, 2, , r的的坐標(biāo)向量坐標(biāo)向量簡稱簡稱坐標(biāo)坐標(biāo)。3） 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換 1 2 rX =對任意向量對任意向量 V，設(shè)，設(shè) 在兩組基下坐標(biāo)分別為在兩組基下坐標(biāo)分別為X和和Y，即，即 = 1 2 rY則則= 1 2 rCY = 1

27、2 rYX=CY定理定理3.9設(shè)向量空間設(shè)向量空間V的一組基的一組基 1, 2, , r到另一組基到另一組基 1, 2, , r的過渡矩陣為的過渡矩陣為C。且。且V中一個向量在兩組中一個向量在兩組基下的坐標(biāo)分別為基下的坐標(biāo)分別為X和和Y，則，則X=CY坐標(biāo)變換公示坐標(biāo)變換公示Rn設(shè)維實向量設(shè)維實向量稱實數(shù)稱實數(shù)1122,nnababab ,. 1 122nna ba ba b 為向量為向量與與的的內(nèi)積內(nèi)積，記作，記作 22212,naaa 令令為維向量為維向量的的長度長度（模?；蚧蚍稊?shù)范數(shù)）. .設(shè)設(shè) 與與 為維空間的兩個非零向量，為維空間的兩個非零向量， 與與 的夾的夾角的余弦為角的余弦為

28、,cos, 因此因此 與與 的的夾角夾角為為 ,arccos,0. 當(dāng)當(dāng)，稱，稱與與正交正交. . ,0 向量空間的基向量空間的基標(biāo)準(zhǔn)正交化標(biāo)準(zhǔn)正交化. .12,r 設(shè)設(shè)為維向量組，下面命題等價為維向量組，下面命題等價12,r 線性無關(guān)線性無關(guān). .11220rrkkk 滿足滿足的數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)全為零的數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)全為零. .22212112200.rrrkkkkkk 都都有有(1)iir 都不可由其余向量線性表示都不可由其余向量線性表示. . 12,.rRr 12,r 向量組向量組的極大線性無關(guān)組是其本身的極大線性無關(guān)組是其本身. .設(shè)設(shè) 12,rA 則矩陣則矩陣的秩為的秩為. .向量方程向量方程

29、只有零解只有零解. .11220rrxxx設(shè)設(shè) 12,rA 則方程則方程只有零解只有零解. .12,r 不線性相關(guān)不線性相關(guān). .12,r 設(shè)設(shè)為維向量組，下面命題等價為維向量組，下面命題等價12,r 線性相關(guān)線性相關(guān). .11220rrkkk 滿足滿足的數(shù)至少有組不為零的數(shù)至少有組不為零. .22212112200.rrrkkkkkk 使使得得(1)iir 可由其余向量線性表示可由其余向量線性表示. . 12,.rRr 12,r 向量組向量組的極大線性無關(guān)組是真子集的極大線性無關(guān)組是真子集. .設(shè)設(shè) 12,rA 矩陣矩陣的秩小于的秩小于. .向量方程向量方程有非零解有非零解. .11220r

30、rxxx設(shè)設(shè) 12,rA 則方程則方程有非零解有非零解. .12,r 不線性無關(guān)不線性無關(guān). .12,r 設(shè)設(shè)為維向量組，下面命題等價為維向量組，下面命題等價12,r 可可由由線性表示線性表示. .非奇次線性方程非奇次線性方程有解有解. . 1212,.rrRR 12,r 向量組向量組的極大線性無關(guān)組也是的極大線性無關(guān)組也是向量方程向量方程有解有解. .1122rrxxx12,r 的極大線性無關(guān)組的極大線性無關(guān)組. .向量組向量組可由可由線性表示，則線性表示，則若，則若，則線性相關(guān)線性相關(guān). .線性無關(guān)，線性無關(guān)，則則. .( () ) ( () ) . .等價向量組必有同秩（反之則不然）等價

31、向量組必有同秩（反之則不然）存在矩陣存在矩陣,.s rrss rKAB K 定理定理 如果向量組如果向量組線性相關(guān)，則線性相關(guān)，則可由可由唯一線性表示唯一線性表示. .12,rA 12,r 線性無關(guān)，而向量組線性無關(guān)，而向量組定理定理 設(shè)向量組設(shè)向量組12,rA ：121 :,rrB 若若線性相關(guān)線性相關(guān), ,則向量組則向量組也線性相關(guān)；反之，若也線性相關(guān)；反之，若向量組向量組線性無關(guān)，則向量組線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān)也線性無關(guān). . 121,Tiiimimiaaaa 定理定理 設(shè)向量組設(shè)向量組(1,2, )in 12Tiiimiaaa 若若線性無關(guān)，則向量組線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān)；

32、反之，若也線性無關(guān)；反之，若向量組向量組線性相關(guān)，則向量組線性相關(guān)，則向量組也線性相關(guān)也線性相關(guān). .12,nA ：12,.nB ：其中其中(1,2, )in 設(shè)元線性方程組的系數(shù)矩陣為設(shè)元線性方程組的系數(shù)矩陣為，增廣，增廣 R AR Bn ）線性方程組）線性方程組 有唯一解有唯一解bAx 矩陣矩陣為為，則，則 R AR Bn ）線性方程組）線性方程組 有無窮解有無窮解bAx R AR B ）線性方程組）線性方程組 無解無解bAx 定義定義4.2 對線性方程組施行的下列三種變換對線性方程組施行的下列三種變換(1) 交換兩個方程的位置交換兩個方程的位置(2) 用一個非零數(shù)乘某一個方程用一個非零數(shù)

33、乘某一個方程(3) 把某個方程的若干倍加到另外一個方程上。把某個方程的若干倍加到另外一個方程上。稱為線性方程組的初等變換。稱為線性方程組的初等變換。 用三種初等變換將一個線性方程組化成增廣矩陣是階梯型用三種初等變換將一個線性方程組化成增廣矩陣是階梯型的線性方程組的過程稱為的線性方程組的過程稱為Gauss消元法消元法。A|bC|d(行階梯型或行標(biāo)準(zhǔn)型行階梯型或行標(biāo)準(zhǔn)型)行初等變換行初等變換1 1）、基礎(chǔ)解系）、基礎(chǔ)解系12,s 基礎(chǔ)解系，基礎(chǔ)解系，則方程組的則方程組的通解通解可表示為：可表示為：0Ax 方程組的解空間中，它的某一個部分組方程組的解空間中，它的某一個部分組0Ax 線性相關(guān)線性相關(guān).

34、 .12,s 線性無關(guān)；線性無關(guān)；12,s 則稱為齊次線性方程組的一組則稱為齊次線性方程組的一組基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系. .12,s 滿足：滿足：如果為齊次線性方程組的如果為齊次線性方程組的12,s 0Ax 1 122,ssxkkk 其中為任意實數(shù)其中為任意實數(shù). .12,sk kk元齊次線性方程組的全體解所構(gòu)成的元齊次線性方程組的全體解所構(gòu)成的0m nAx 集合是一個向量空間，當(dāng)系數(shù)矩陣的秩為時，解空集合是一個向量空間，當(dāng)系數(shù)矩陣的秩為時，解空間間的維數(shù)為的維數(shù)為- -. .當(dāng)時，線性方程組必有含當(dāng)時，線性方程組必有含- -個向量的個向量的基基()R An 解系（此時解空間只含有零向量，稱為維向量

35、空間）解系（此時解空間只含有零向量，稱為維向量空間）當(dāng)時，線性方程組只有零解，故當(dāng)時，線性方程組只有零解，故沒有基礎(chǔ)沒有基礎(chǔ)()R An 礎(chǔ)礎(chǔ)解系，此時線性方程組的解可以表示為解系，此時線性方程組的解可以表示為12,n r 1 122n rn rkkk 其中其中為任意實數(shù)，解空間可以表示為為任意實數(shù)，解空間可以表示為12,n rk kk 1 12212,n rn rn rSxkkkxk kkR 000010011111rn ,rrrn ,bbbbA2 2）、基礎(chǔ)解系的求法）、基礎(chǔ)解系的求法、對系數(shù)矩陣、對系數(shù)矩陣進行初等變換，將其化為最簡形進行初等變換，將其化為最簡形 rAR 、得出，同時也可

36、知方程組的一個基礎(chǔ)解、得出，同時也可知方程組的一個基礎(chǔ)解系含有個線性無關(guān)的解向量系含有個線性無關(guān)的解向量,bbr 0011111 ,bbr 0102122 .bb,rn ,rrn ,rn 1001 故故為齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系為齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系. .1 122n rn rkkk 就為方程組的就為方程組的通解通解. .其中為其導(dǎo)出組的通解，其中為其導(dǎo)出組的通解，1122n rn rkkk 非齊次線性方程組的通解為非齊次線性方程組的通解為Axb 1 122.n rn rxkkk 為非齊次線性方程組的任意一個特解為非齊次線性方程組的任意一個特解. . 1212,nnRRb 線性方程

37、組線性方程組 有解，則以下命題等價：有解，則以下命題等價：bAx 12,n 向量向量可由向量組可由向量組線性表示線性表示. .12,n 向量組向量組等價等價. .與向量組與向量組12,nb 212111121211(,)22nnnf x xxa xa x xa x x 12,nx xx222223232222nna xa x xax x 2333332nna xax x 2nnnax 的二次齊次多項式的二次齊次多項式含有個變量含有個變量稱為稱為二次型二次型21211(,)2nniiiijijiij nf x xxa xa x x 或記為或記為212111121211(,)nnnf x xxa xa x xa x x 2212122222nna x xa xax x 21122nnnnnnna x xax xax 11111112122221212nnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax 2n 則則二次型二次型TfX AX 其中矩陣其中矩陣為為對稱矩陣對稱矩陣. .對稱對稱矩陣矩陣向量向量 X只含有平方項的二次型只含有平方項的二次型22212111222(,)nnn