數(shù)的整除性講解一

1、第 4 講 數(shù)的整除性（一）我們?cè)谌昙?jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被2， 3， 5 整除的數(shù)的特征，這一講我們將討論整除的性質(zhì)，并講解能被4， 8， 9 整除的數(shù)的特征。數(shù)的整除具有如下性質(zhì)：性質(zhì) 1 如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除 。例如， 48能被 16整除， 16 能被 8 整除，那么48 一定能被8整除。性質(zhì) 2 如果兩個(gè)數(shù)都能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差也一定能被這個(gè)自然數(shù)整除。例如， 21 與 15 都能被 3 整除，那么21 15 及21-15 都能被 3 整除。性質(zhì) 3 如果一個(gè)數(shù)能分別被兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)一定能被這兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)的

2、乘積整除。例如， 126 能被 9 整除，又能被7 整除，且9與7互質(zhì)，那么126能被9X7 = 63整除。利用上面關(guān)于整除的性質(zhì)，我們可以解決許多與整除有關(guān)的問(wèn)題。為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)的整除性，我們把學(xué)過(guò)的和將要學(xué)習(xí)的一些整除的數(shù)字特征列出來(lái)：（ 1）一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是0， 2， 4， 6， 8 中的一個(gè)，那么這個(gè)數(shù)就能被2 整除。（ 2）一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是0 或 5，那么這個(gè)數(shù)就能被5 整除。（ 3）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被3 整除，那么這個(gè)數(shù)就能被 3 整除。（ 4）一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4（或25）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被 4（或25）整除。（ 5）一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)如果能

3、被8（或125）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被 8（或125）整除。（ 6）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被9 整除，那么這個(gè)數(shù)就能被 9 整除。其中（1）（2）（3）是三年級(jí)學(xué)過(guò)的內(nèi)容，（4）（5）（6）是本講要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。因?yàn)?100 能被4（或25）整除，所以由整除的性質(zhì)1 知，整百的數(shù)都能被4（或25） 整除。 因?yàn)槿魏巫匀粩?shù)都能分成一個(gè)整百的數(shù)與這個(gè)數(shù)的后兩位數(shù)之和，所以由整除的性質(zhì)2 知， 只要這個(gè)數(shù)的后兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除。這就證明了（4）。類似地可以證明（5）。（ 6）的正確性，我們用一個(gè)具體的數(shù)來(lái)說(shuō)明一般性的證明方法。837= 800+ 30+7

4、= 8X100+ 3X10+7=8X （99+1） +3X （9+1） +7= 8X99+ 8+3X9+3+7=（8X99+3X9） + （8+3+ 7）。因?yàn)?9和 9都能被 9整除， 所以根據(jù)整除的性質(zhì)1 和性質(zhì) 2知， （ 8x99+ 3x9）能被9整除。再根據(jù)整除的性質(zhì)2,由（8 + 3+7）能被9整除，就能判斷837 能被 9 整除。利用（4）（5）（6）還可以求出一個(gè)數(shù)除以4， 8， 9 的余數(shù)：（ 4）一個(gè)數(shù)除以4 的余數(shù)，與它的末兩位除以4 的余數(shù)相同。（ 5）一個(gè)數(shù)除以8 的余數(shù)，與它的末三位除以8 的余數(shù)相同。（ 6）一個(gè)數(shù)除以9 的余數(shù)，與它的各位數(shù)字之和除以9 的余數(shù)相

5、同。例 1 在下面的數(shù)中，哪些能被4 整除？哪些能被8 整除？哪些能被9 整除？234， 789， 7756， 8865， 3728， 8064。解 ：能被4 整除的數(shù)有7756，3728， 8064；能被8 整除的數(shù)有3728，8064；能被9 整除的數(shù)有234，8865， 8064。例2在四位數(shù)56口2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時(shí)，這個(gè)四位數(shù)分別能被9， 8， 4 整除？解：如果56口2能被9整除，那么5 + 6+D+ 2=13+口應(yīng)能被 9 整除，所以當(dāng)十位數(shù)是5，即四位數(shù)是5652 時(shí)能被 9 整除；如果56口2能被8整除，那么6口2應(yīng)能被8整除，所以當(dāng)十位數(shù)是3 或 7，即四位數(shù)是

6、5632 或 5672 時(shí)能被 8 整除；如果56口2能被4整除，那么 2應(yīng)能被4整除，所以當(dāng)十位數(shù)是1, 3，5，7，9，即四位數(shù)是5612，5632，5652，5672，5692時(shí)能被4整除。到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)能被2， 3， 5， 4， 8， 9 整除的數(shù)的特征。根據(jù)整除的性質(zhì)3，我們可以把判斷整除的范圍進(jìn)一步擴(kuò)大。例如，判斷一個(gè)數(shù)能否被6整除，因?yàn)? = 2X3, 2與3互質(zhì)，所以如果這個(gè)數(shù)既能被 2 整除又能被3 整除，那么根據(jù)整除的性質(zhì)3，可判定這個(gè)數(shù)能被6 整除。同理，判斷一個(gè)數(shù)能否被12 整除，只需判斷這個(gè)數(shù)能否同時(shí)被3 和4 整除；判斷一個(gè)數(shù)能否被72 整除，只需判斷這個(gè)

7、數(shù)能否同時(shí)被8 和 9整除；如此等等。例 3 從 0， 2， 5， 7 四個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)，組成能同時(shí)被2， 5， 3 整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進(jìn)行排列。解 ：因?yàn)榻M成的三位數(shù)能同時(shí)被2， 5 整除，所以個(gè)位數(shù)字為0。根據(jù)三位數(shù)能被3 整除的特征，數(shù)字和2 7 0 與 5 7 0 都能被 3 整除， 因此所求的這些數(shù)為270， 570， 720， 750。能被72整除，問(wèn)：例 4 五位數(shù)A與B各代表什么數(shù)字?能被 72 整除。分析與解 ：已知因?yàn)?2=8X9, 8和9是互質(zhì)數(shù)，所以既能被 8 整除，又能被9 整除。根據(jù)能被8 整除的數(shù)的特征，要求能被8整除，由此可確定B= 6再根據(jù)能被9

8、整除的數(shù)的特征，的各位數(shù)字之和為A+ 3 + 2 + 9+B= A+ 3 f 2 + 9+6= A+ 20,因?yàn)?&AW 9,所以21<A+ 20&29。在這個(gè)范圍內(nèi)只有27能被9 整除，所以A= 7。解答例4的關(guān)鍵是把72分解成8X9,再分別根據(jù)能被8和9整除的 數(shù)的特征去討論B和A所代表的數(shù)字。在解題順序上，應(yīng)先確定B所代表 的數(shù)字，因?yàn)锽代表的數(shù)字不受A的取值大小的影響，一旦B代表的數(shù)字 確定下來(lái)，A所代表的數(shù)字就容易確定了。例 5 六位數(shù)是 6 的倍數(shù)，這樣的六位數(shù)有多少個(gè)？分析與解：因?yàn)?=2X3,且2與3互質(zhì),所以這個(gè)整數(shù)既能被2整除又 能被3整除。由六位數(shù)能

9、被2整除，推知A可取0, 2, 4, 6, 8這五個(gè)值。再由六位數(shù)能被3 整除，推知3 + A+ B+ A+ B+ A= 3+ 3A+ 2B能被3整除，故2B能被3整除。B可取0, 3, 6, 9這4個(gè)值。由于 B可以取4個(gè)值，A可以取5個(gè)值，題目沒(méi)有要求A* B,所以符合條件的 六位數(shù)共有5X4 = 20 （個(gè)）。能被 36 整除，例 6 要使六位數(shù)而且所得的商最小，問(wèn)A, B, C各代表什么數(shù)字?分析與解：因?yàn)?6 = 4X9,且4與9互質(zhì)，所以這個(gè)六位數(shù)應(yīng)既能被 4 整除又能被9 整除。 六位數(shù)能被 4 整除，能被 4 整除，就要因止匕C可取1, 3, 5, 7, 9要使所得的商最小，就要使這個(gè)六位數(shù)盡可能小。因此首先是 A盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小。先試取A=0b六位數(shù)的各位數(shù)字之和為12+B