二次函數(shù)的應(yīng)用實際問題

1、全國中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編專題23:二次函數(shù)的應(yīng)用（實際問題）一、選擇題1. （2012四川資陽3分）如圖是二次函數(shù) y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是【】A.1<x<5 B . x>5 C. x< 1 且 x>5D.1<x或x>5【答案】D。【考點(diǎn)】 二次函數(shù)與不等式（組），二次函數(shù)的性質(zhì)?！痉治觥坷枚魏瘮?shù)的對稱性，可得出圖象與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象可得出ax2+bx+c<0的解集：由圖象得：對稱軸是 x=2,其中一個點(diǎn)的坐標(biāo)為（5, 0）,圖象與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（一 1, 0

2、）。由圖象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集， .x< - 1 或 x>5。故選 D。二、填空題1. （2012浙江紹興5分）教練對小明推鉛球的錄像進(jìn)行技術(shù)分析，發(fā)現(xiàn)鉛球行進(jìn)高度y （m）與水平距，、 、一,，、，一、，12離x（m）N間的關(guān)系為 y （x 4） 3,由此可知鉛球推出的距離是 口12【答案】10。【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用。12【分析】 在函數(shù)式y(tǒng)（x 4）2 3中，令y 0,得121 .，、2一（x 4） 3 0,解得 x1 10, x22 （舍去），12.鉛球推出的距離是 10nl2. （2012湖北襄陽3分）某一型號飛機(jī)著陸后滑行的距離y

3、 （單位：的 與滑行時間x （單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式是 y=60x 1.5x 2,該型號飛機(jī)著陸后滑行m才能停下來.【答案】600 o【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的應(yīng)用。1028458【分析】根據(jù)飛機(jī)從滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函數(shù)的最大值。- 1.5 <0, .函數(shù)有最大值。0 602福大值 600 ,即飛機(jī)著陸后滑行 600米才能停止。41.5y=ax2+bx .小3. （2012山東濟(jì)南3分）如圖，濟(jì)南建邦大橋有一段拋物線型的拱梁，拋物線的表達(dá)式為強(qiáng)騎自行車從拱梁一端 。沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面OC當(dāng)小強(qiáng)騎自行車行駛10秒時和26秒時拱梁的高度相同，則小強(qiáng)騎自行車通過

4、拱梁部分的橋面OC共需 秒.【答案】36 o【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】 設(shè)在10秒時到達(dá)A點(diǎn)，在26秒時到達(dá)B,10秒時和26秒時拱梁的高度相同，. .A, B關(guān)于對稱軸對稱。則從A到B需要16秒，從A到D需要8秒。.從。到D需要10+8=18秒。.從。到C需要2X18=36秒。三、解答題1.（2012重慶市10分）企業(yè)的污水處理有兩種方式，一種是輸送到污水廠進(jìn)行集中處理，另一種是通過企業(yè)的自身設(shè)備進(jìn)行處理.某企業(yè)去年每月的污水量均為12000噸，由于污水廠處于調(diào)試階段，污水處理能力有限，該企業(yè)投資自建設(shè)備處理污水，兩種處理方式同時進(jìn)行.1至6月，該企業(yè)向污水廠輸送的污水量y1 （噸）與月

5、份 x （1<x<6,且x取整數(shù)）之間滿足的函數(shù)關(guān)系如下表：7至12月，該企業(yè)自身處理的污水量y2 （噸）與月份x （7<x<12,且x取整數(shù)）之間滿足二次函數(shù)關(guān)系式為y2=ax2+c（a *0）.其圖象如圖所示. 1至6月，污水廠處理每噸污水的費(fèi)用：Z1 （元）與月份x1 N間滿足函數(shù)關(guān)系式：Z1 x,該企業(yè)自身處理每噸污水的費(fèi)用：z2 （元）與月份 x之間滿足函數(shù)關(guān)2312系式：z2=- x - x ; 7至12月，污水廠處理每噸污水的費(fèi)用均為2元，該企業(yè)自身處理每噸污水412的費(fèi)用均為1.5元.（1）請觀察題中的表格和圖象，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)

6、的有關(guān)知識，分別直接寫出y% y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）請你求出該企業(yè)去年哪個月用于污水處理的費(fèi)用W （元）最多，并求出這個最多費(fèi)用；（3）今年以來，由于自建污水處理設(shè)備的全面運(yùn)行，該企業(yè)決定擴(kuò)大產(chǎn)能并將所有污水全部自身處a%同時每噸污水處理的費(fèi)用將理，估計擴(kuò)大產(chǎn)能后今年每月的污水量都將在去年每月的基礎(chǔ)上增加在去年12月份的基礎(chǔ)上增加(a 30) %,為鼓勵節(jié)能降耗，減輕企業(yè)負(fù)擔(dān)，財政對企業(yè)處理污水的費(fèi)用進(jìn)行50%勺補(bǔ)助.若該企業(yè)每月的污水處理費(fèi)用為18000元，請計算出a的整數(shù)值.（參考數(shù)據(jù)： J 231弋15.2 , g 4 V0.5 ,寸布而心28.4）解：(1)根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可以

7、得出xy=定值,則yi與x之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù)關(guān)系:yi將（1, 12000）代入得：k=1X 12000=12000,12000一-y1 （1 < x < 6,且x取整數(shù)）。x根據(jù)圖象可以得出：圖象過(7, 10049),12,10144）點(diǎn)，代入 y2=ax2+c 得:49a+c=10049 “口 a=1,斛佝：。144a+c=10144c=10000.y 2=x2+10000 （7<x<12,且 x 取整數(shù)）。(2)當(dāng)1<x<6,且x取整數(shù)時:=1000x2+10000x 3000= 1000 （x 5） 2+22000. a= 1000<

8、0, 1<x<6, .當(dāng) x=5 時，W大=22000 （元）。當(dāng)7<x<12時，且x取整數(shù)時：W=2< （ 12000 y。+1.5y 2=2X （ 12000 x2 10000）+1.5 （x2+10000） = - x2+19002,. a= 1 <0,對稱軸為x=0,當(dāng)7<x<12時，W隨x的增大而減小，2當(dāng) x=7 時，W大=18975.5 （元）。. 22000> 18975.5 ,去年5月用于污水處理的費(fèi)用最多，最多費(fèi)用是22000元。（3）由題意得：12000 （ 1+a%） X 1.5 XX （ 150% =18000,設(shè)

9、 t=a%,整理得：10t2+17t 13=0,解得：t=17-J809。20 J809 弋28.4 ,10.57, 12弋 2.27 （舍去）。a57o答：a整數(shù)值是57?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，解一元二次 方程。【分析】(1)利用表格中數(shù)據(jù)可以得出xy=定值，則yi與x之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù)關(guān)系，求出即可。再利用函數(shù)圖象得出：圖象過(7, 10049) , ( 12, 10144)點(diǎn)，求出二次函數(shù)解析式即可。(2)利用當(dāng)1<x<6時，以及當(dāng)7<x<12時，分別求出處理污水的費(fèi)用，即可得出答案。(3)利用今年

10、每月的污水量都將在去年每月的基礎(chǔ)上增加a%同時每噸污水處理的費(fèi)用將在去年12月份的基礎(chǔ)上增加(a 30) % 得出等式 12000 ( 1+a%) X 1.5 x X ( 1-50%) =18000,進(jìn)而求出 即可。2.(2012安徽省14分)如圖，排球運(yùn)動員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球，將球從 。點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點(diǎn)，其運(yùn)行的高度y ( mj)與運(yùn)行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式y(tǒng)=a(x-6) 2+h.已知球網(wǎng)與。點(diǎn)的水平距離為9m,高度為2.43m,球場的邊界距。點(diǎn)的水平距離為 18ms(1)當(dāng)h=2.6時，求y與x的關(guān)系式(不要求寫出自變量 x的取值范圍)(2)當(dāng)h=2.6時，球能否

11、越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由；(3)若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求 h的取值范圍。2 一2160【答案】 解：(1)把 x=0, y=,及 h=2.6 代入到 y=a(x-6) +h,即 2=a(0 6) +2.6 , a當(dāng)h=2.6時，y與x的關(guān)系式為y= (x -6) 2+2.660(2)當(dāng) h=2.6 時，y= (x - 6) 2+2.660當(dāng) x=9 時，y= (9 - 6) 2+2.6=2.45 >2.43 ,球能越過網(wǎng)。60:當(dāng) y=0 時，即 (18 -x) 2+2.6=0 ,解得 x= 6+156 >18, 球會過界。602 -2 h(3)把 x=0,y=

12、2,代入到 y=a(x-6) +h 得 a 。3636x=9 時，y=-h (9 - 6) 2+h 23h > 2.43 2(18 -6) +h=8 3h <0 2 hx=18 時，y=368由解得h> 83 8若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界,h的取值范圍為h> 一3【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用?！痉治觥?1)利用h=2.6，將(0, 2)點(diǎn)，代入解析式求出即可。60(2)利用h=2.6 ,當(dāng)x=9時，y= (9 -6)2+2.6=2.45與球網(wǎng)高度比較；當(dāng) y=0時，解出x值與球場的邊界距離比較，即可得出結(jié)論。（3）根據(jù)球經(jīng)過點(diǎn)（0, 2）點(diǎn)，得到a與h的關(guān)系式。由x

13、=9時球一定能越過球網(wǎng)得到 y>2.43 ;由x=18時球不出邊界得到 y<0o分別得出 h的取值范圍，即可得出答案。3. （2012浙江嘉興、舟山12分）某汽車租賃公司擁有 20輛汽車.據(jù)統(tǒng)計，當(dāng)每輛車的日租金為400元時，可全部租出；當(dāng)每輛車的日租金每增加50元，未租出的車將增加 1輛；公司平均每日的各項支出共4800元.設(shè)公司每日租出工輛車時，日收益為 y元.（日收益二日租金收入一平均每日各項支出）（1）公司每日租出 x輛車時，每輛車的日租金為 元（用含x的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)每日租出多少輛時，租賃公司日收益最大？最大是多少元？（3）當(dāng)每日租出多少輛時，租賃公司的日收益不盈

14、也不虧？【答案】解：門）1400- 50xh）根據(jù)題意得：（ - 50x4-1400） - 4800=- 50A1400-4300=-5014）當(dāng)為14時.在范圍內(nèi) y有最大值5 W CL當(dāng)日租出14輛時，租賃公司日收益最大，最大值為5。皿元. 要使租賃公司日收益不盈也不虧.眼y-u，眼50 （K- K） 2+5000-0解得見=24，遮=4,融不合題意.臺去H，當(dāng)日租出4班時，租賃公司日收益不盈也不虧.【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用,二次函數(shù)的最值,解一元二次方程.【分析】（1）某汽車租費(fèi)公司擁有20輛汽車.據(jù)統(tǒng)計，當(dāng)每輛車的日租金為4加元時，可全部租出,當(dāng)每輛車的日租金每瘠加5。元，未租出的車將增

15、加1輛，當(dāng)全部未租出時，每輛租金為；400+20乂5014皿元，公司每日租出虱輛車時，珞輛車的日租金為；！40口-5。褊2）根據(jù)已知得到的二次函數(shù)關(guān)系應(yīng)用二次函數(shù)的最值求得日收益的最大值即可.（3）要使租賃公司日收昔不盈也不虧，即：尸5口 Q-14） 5口00=口，求出耳即可口4. （2012浙江臺州12分）某汽車在剎車后行駛的距離s （單位：米）與時間 t （單位：秒）之間的關(guān)系得部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：時間t（秒）00.20.40.60.81.01.2“駛距離s （米）02.85.27.28.81010.8（1）根據(jù)這些數(shù)據(jù)在給出的坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的點(diǎn);(2)選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示 s與t之間的關(guān)系，

16、求出相應(yīng)的函數(shù)解析式;(3)剎車后汽車行駛了多長距離才停止？當(dāng)t分別為ti, t2 (ti<t2)時，對應(yīng)s的值分別為si, S2,請比較 包與s2的大小，并解釋比較結(jié)果 t1t2的實際意義.【答案】解：(1)描點(diǎn)圖所示：(2)由散點(diǎn)圖可知該函數(shù)為二次函數(shù)。設(shè)二次函數(shù)的解析式為：s=at 2+bt +c,;拋物線經(jīng)過點(diǎn)(0, 0) ,“=0。又由點(diǎn)(0.2 , 2.8 ) , ( 1 , 10)可得：0.04a+0.2b=2.8./口 a= 5,解傳：。a+b=10b=15經(jīng)檢驗，其余各點(diǎn)均在s= 5t2+15t上。二次函數(shù)的解析式為：s5t2 15t。(3)汽車剎車后到停止時的距離即汽

17、車滑行的最大距離。2, s5t2 15t= 5 t - 一，：當(dāng)t= 9時，滑行距離最大，為 竺。2424 45 .,一因此，剎車后汽車行駛了竺米才停止。4s 5t2 15t,.s15t12 15tbs25t22 15t2。&5t12 15tls25t22 15t23=-11= 5t1 15,-2 = -22= 5t2 15。t1t1t2t211 < 12, = 5t1 15 5t 2 15 =5 t2 t1>00.> -2。t1 t2t1t2其實際意義是剎車后到t 2時間內(nèi)的平均速到 t 1時間內(nèi)的度小于剎車后平均速度?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的

18、坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，不等式的應(yīng)用?！痉治觥?1)描點(diǎn)作圖即可。(2)首先判斷函數(shù)為二次函數(shù)。用待定系數(shù)法，由所給的任意三點(diǎn)即可求出函數(shù)解析式。(3)將函數(shù)解析式表示成頂點(diǎn)式(或用公式求)，即可求得答案。（4）求出s1與s2,用差值法比較大小。t1t25. （2012江蘇常州7分）某商場購進(jìn)一批 L型服裝（數(shù)量足夠多），進(jìn)價為40元/件，以60元/件銷售，每天銷售20件。根據(jù)市場調(diào)研，若每件每降1元，則每天銷售數(shù)量比原來多3件?，F(xiàn)商場決定對 L型服裝開展降價促銷活動，每件降價x元（x為正整數(shù)）。在促銷期間，商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件降價多少元？每天最大銷售毛利潤為多少

19、？（注：每件服裝銷售毛利潤指每件服裝的銷售價與進(jìn)貨價的差）【答案】 解：根據(jù)題意，商場每天的銷售毛利潤Z= （60-40-x） （ 20+ 3x） =-3x2+40x+400.當(dāng)*= = 絲=62時，函數(shù)Z取得最大值。2a 33,X為正整數(shù)，且7 62< 62 6, 33當(dāng)x=7時，商場每天的銷售毛利潤最大，最大銷售毛利潤為 3 - 7 2 + 40 7+400=533 答：商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件降價 7元，每天最大銷售毛利潤為 533元?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值?！痉治觥壳蟪龆魏瘮?shù)的最值，找出x最接近最值點(diǎn)的整數(shù)值即可。6. （2012江蘇無錫8分）如圖，在

20、邊長為 24cm的正方形紙片 ABCDk,剪去圖中陰影部分的四個全等 的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個長方體形狀的包裝盒（A. B. C. D四個頂點(diǎn)正好重合于上底面上一點(diǎn)）.已知E、F在AB邊上，是被剪去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點(diǎn)，設(shè)AE=BF=x （cm）.11）若折成的包裝盒恰好是個正方體，試求這個包裝盒的體積V;（2）某廣告商要求包裝盒的表面（不含下底面）面積 S最大，試問x應(yīng)取何值？【答案】 解：（1）根據(jù)題意，知這個正方體的底面邊長a=2x, EF=J2 a=2x,x+2x+x=24,解彳導(dǎo): x=6。則 a=6。2 ,V=a3= （6 22 ） 3=432

21、>/2 （cm3）；24 2x 一（2）設(shè)包裝盒的底面邊長為 acm,圖為hcm,則a=、2 x , h 1一 J2 12 x ,.S=4ah+a2=442x J2 12 x V2x 6x2 96x= 6 x 8 2 238。,0< x< 12, .當(dāng) x=8 時，S取得最大值 384cm2【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用。【分析】(1)根據(jù)已知得出這個正方體的底面邊長a=、：2x, EF=J2 a=2x,再利用AB=24cn求出x即可得出這個包裝盒的體積V。(2)利用已知表示出包裝盒的表面，從而利用函數(shù)最值求出即可。7. (2012江蘇鹽城12分)a o一知識遷移：當(dāng)a 0且x 0時

22、，因為(Jx工)2>0,所以x 2n xx a > 2 va (當(dāng)x JI時取等號).記函數(shù)y x a(a 0,x 0),由上述結(jié)論可知：當(dāng) x JW時，該函數(shù)有最小值 x為 2 . a .1 . 一直接應(yīng)用：已知函數(shù)y1x(x 0)與函數(shù)y2 (x 0),則當(dāng)x 時，y1 y2取得x最小值為.變形應(yīng)用：已知函數(shù)y1x 1(x1)與函數(shù)y2 (x 1)2 4( x 1),求"y2的最小值，并指y1出取得該 最小值時相應(yīng)的x的值.實際應(yīng)用：已知某汽車的一次運(yùn)輸成本包含以下三個部分：一是固定費(fèi)用 ，共360元；二是燃油費(fèi)千米為1.6元；三是折舊費(fèi)，它與路程的平方成正比，比例系

23、數(shù)為0.001.設(shè)該汽車一次運(yùn)輸?shù)穆烦虨閤千米, 求當(dāng)x為多少時，該汽車平均每千米的運(yùn)輸成本 最低？最低是多少元?【分析】直接運(yùn)用：可以直接套用題意所給的結(jié)論，即可得出結(jié)果:a.函數(shù)y x (a 0,x 0),由上述結(jié)論可知：當(dāng)x Ja時，該函數(shù)有最小值x為 2 ja,1:函數(shù)y1x(x 0)與函數(shù)y2 (x 0),則當(dāng)x <1 1時，y1 y2取得x最小彳t為2*1 2。變形運(yùn)用：先得出 22的表達(dá)式，然后將 x 1看做一個整體，再運(yùn)用所給結(jié)論即可。 yi實際運(yùn)用：設(shè)該汽車平均每千米的運(yùn)輸成本為y元，則可表示出平均每千米的運(yùn)輸成本，利用所給的結(jié)論即可得出答案。8. (2012江蘇揚(yáng)州1

24、2分)已知拋物線 y=ax2+bx + c經(jīng)過A( 1, 0)、B(3 , 0)、C(0 , 3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對稱軸.(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個動點(diǎn)，當(dāng) PAC的周長最小時，求點(diǎn) P的坐標(biāo);(3)在直線l上是否存在點(diǎn) M,使 MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.【答案】 解：(1) ,A( 1, 0)、B(3 , 0)經(jīng)過拋物線 y = ax2+bx+c,可設(shè)拋物線為 y=a(x+1) (x 3)。又(0, 3)經(jīng)過拋物線，代入，得 3= a (0+1) (0 3),即a=- 1 :拋物線的解析式為y =

25、- (x+1) (x3),即y = x2+2x + 3。(2)連接BC,直線BC與直線l的交點(diǎn)為P則此時的點(diǎn)P,使APAC的周長最小。設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,將 B(3 , 0) , C(0, 3)代入,得：k= 1b=33k+b=0 b=3直線BC的函數(shù)關(guān)系式 y=- x + 3o當(dāng)x- 1時，y = 2,即P的坐標(biāo)(1 , 2)(3)存在。點(diǎn) M的坐標(biāo)為(1 , J6) , (1 , J6) , (1 , 1) , (1 , 0)【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，線段中垂線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)?！痉治觥?1)可設(shè)交點(diǎn)式，用待定系數(shù)

26、法求出待定系數(shù)即可。(2)由圖知：A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，那么根據(jù)拋物線的對稱性以及兩點(diǎn)之間線段最短可知：若連接 BC,那么BC與直線l的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn)。(3)由于 MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論： MA=ACMA= MCAOMC可先設(shè)出 M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用 M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示 MAC的三邊長，再按上面的三種情況列式求解：;拋物線的對稱軸為： x=1，:設(shè)M(1, m)。A( 1, 0)、C(0, 3), MA2=n2+4, MC= m26m+ 10, AC=10。若 MA= MC 則 MA= MC,得：n2+4 = m6m+ 10,得：m= 1。若 MA= AC,

27、則 MA= AC2,得：n2+4=10,得：m= ± 展。若 MC= AC,則 MC= AC2,得：n2-6m+ 10=10,得：m= 0, m= 6,當(dāng)m= 6時，M A、C三點(diǎn)共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去。綜上可知，符合條件的 M點(diǎn)，且坐標(biāo)為(1 , J6), (1 , 76) , (1 , 1) , (1 , 0)。9. (2012福建莆田8分)如圖，某種新型導(dǎo)彈從地面發(fā)射點(diǎn)L處發(fā)射，在初始豎直加速飛行階段，導(dǎo)121彈上升的高度y(km)與飛行時間x(s)之間的關(guān)系式為 y x2 x (0 x 10).發(fā)射3 s后，導(dǎo)彈186到達(dá)A點(diǎn)，此時位于與 L同一水平面的 R處雷

28、達(dá)立測得 AR的距離是2 km,再過3s后，導(dǎo)彈到達(dá)B點(diǎn).(1)(4分)求發(fā)射點(diǎn)L與雷達(dá)站R之間的距離；(4分)當(dāng)導(dǎo)彈到達(dá)B點(diǎn)時，求雷達(dá)站測得的仰角 (即/ BRL)的正切值.1 21【答案】 斛：(1)把x= 3代入y x - x ,得y = 1,即AL = 1。186在 RtAARL 中，AR=2, LR = VAR2 AL2 =22 12=、3。1 2 1,口口一(2)把 x=3+3=6 代入 y x -x ,得 y=3,即 BL =3。186BL 3 八 .tan/BRL= = v 3 °LR 3答：發(fā)射點(diǎn)L與雷達(dá)站R之間的距離為 43 km,雷達(dá)站測得的仰角的正切值3【考點(diǎn)

29、】 二次函數(shù)的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用(仰角俯角問題)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥?1)在解析式中，把 x=3代入函數(shù)解析式，即可求得 AL的長，在直角 ALR中，利用勾股定 理即可求得LR的長。(2)在解析式中，把 x=6代入函數(shù)解析式，即可求得AL的長，在直角 BLR中，根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解。10. (2012湖北武漢10分)如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊 AE, ED, DB組成，已知河底 ED是水平的，ED= 16m, AE= 8m,拋物線的頂點(diǎn) C到ED的距離是11m,以ED所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為 y軸建立平

30、面直角坐標(biāo)系.(1)求拋物線的解析式；(2)已知從某時刻開始的 40h內(nèi)，水面與河底 ED的距離h(單位：m)隨時間t(單位：h)的變化滿足 函數(shù) 12關(guān)系h二 一(t 19)2+8(0 t 40)且當(dāng)水面到頂點(diǎn) C的距離不大于5m時，需禁止船只通行，請通過128計算說明：在這一時段內(nèi)，需多少小時禁止船只通行？23【答案】 解：(1)設(shè)拋物線的為 y=ax+11,由題意得B (8, 8) ,64a+11=8,解得 a 一。64.拋物線的解析式 y=3x2+11。6412(2)畫出 h= (t 19) +8(0 t 40)的圖象：128水面到頂點(diǎn) C的距離不大于 5米時，即水面與河底 ED的距離

31、h>6,當(dāng) h=6 時，6= (t 19)2+8,解得 11=35, 12=3。128.35 3=32 (小時)。答：需32小時禁止船只通行?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥?1)根據(jù)拋物線特點(diǎn)設(shè)出二次函數(shù)解析式，把B坐標(biāo)代入即可求解。(2)水面到頂點(diǎn) C的距離不大于 5米時，即水面與河底 ED的距離h至多為6,把6代人所給二次函數(shù)關(guān)系式，求得 t的值，相減即可得到禁止船只通行的時間。11. (2012湖北黃岡12分)某科技開發(fā)公司研制出一種新型產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為2400元，銷售單價定為3000元.在該產(chǎn)品的試銷期間，為了促銷，鼓勵商家購買該新

32、型產(chǎn)品，公司決定商家一次購買這新型產(chǎn)品不超過10件時，每件按3000元銷售；若一次購買該種產(chǎn)品超過10件時，每多購買一件，所購買的全部產(chǎn)品的銷售單價均降低10元，但銷售單價均不低于 2600元.(1)商家一次購買這種產(chǎn)品多少件時，銷售單價恰好為2600元？(2)設(shè)商家一次購買這種產(chǎn)品 x件，開發(fā)公司所獲的利潤為y元，求y(元)與x(件)之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.(3)該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當(dāng)商家一次購買產(chǎn)品的件數(shù)超過某一數(shù)量時，會出現(xiàn)隨著一次購買的數(shù)量的增多，公司所獲的利潤反而減少這一情況.為使商家一次購買的數(shù)量越多，公司所獲的利潤越大，公司應(yīng)將最低銷售單價調(diào)整為多少元?(其

33、它銷售條件不變)【答案】 解：(1)設(shè)件數(shù)為x,依題意，得3000 10 (x 10) =2600,解得x=50。答：商家一次購買這種產(chǎn)品50件時，銷售單價恰好為 2600元。(2)當(dāng) 0<x<10 時，y= (3000 2400) x=600x ;當(dāng) 10 cx<50時，y=x ,即 y= 10x2+700x ;當(dāng)x>50時，y= (2600-2400) x=200x。600x(0 x 10,且x為整數(shù))y10x2 700x(10 < x 50,且x為整數(shù))。200x(x > 50,且x為整數(shù))2700(3)由y= 10x +700x可知拋物線開口向下，當(dāng)

34、 x 10 35時，利潤y有最大值，此時，銷售單價為 3000- 10 (x 10) =2750元，答：公司應(yīng)將最低銷售單價調(diào)整為2750元?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用。【分析】(1)設(shè)件數(shù)為x,則銷售單價為 3000-10 (x-10 )元，根據(jù)銷售單價恰好為2600元，列方程求解。(2)由利潤丫=銷售單價X件數(shù)，及銷售單價均不低于2600元，按0Vx<10, 10Vx<50, x>50三種情況列出函數(shù)關(guān)系式。(3)由(2)的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求利潤的最大值，并求出最大值時x的值，確定銷售單價。12. (2012湖南岳陽10分)我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經(jīng)

35、過鍋心和蓋心的縱斷面是兩端拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”，鍋口直徑為6dm,鍋深3dm,鍋蓋高1dmt鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同)，建立直接坐標(biāo)系如圖所示，如果把鍋縱斷面的拋物線的記為G,把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C2.(1)求G和C2的解析式;(2)如圖，過點(diǎn) B作直線BE: y=lx 1交C于點(diǎn)E (- 2, - 5 ),連接 OE BC,在x軸上求一點(diǎn)33P,使以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的 PBC與ABOE相似，求出 P點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如果(2)中的直線BE保持不變，拋物線 Ci或C2上是否存在一點(diǎn) Q,使彳# EBQ的面積最大？若存 在，求出Q的坐標(biāo)和 EBQ面積的最大值；若不存

36、在，請說明理由.【答案】解：(1)二.拋物線 G、C2都過點(diǎn)A( - 3, 0)、B (3, 0),.設(shè)它們的解析式為：y=a (x3) (x+3)。1.拋物線 C1 還經(jīng)過 D (0, - 3) ,- 3=a (0 3) ( 0+3),解得 a=。3拋物線 C: y= 1 (x 3) (x+3),即 y=lx2 3 ( 3<x<3)。331;拋物線 C2還經(jīng)過 A (0, 1) ,1=a ( 0-3) (0+3) , a= -9拋物線 C2： y= 1 (x 3) (x+3),即 y= 1 x2+1 ( 3<x<3)。99(2) .直線 BE: y：1* 1 必過(0

37、,1) ,./CBONEBO (tan/CBO=tak EBO= 1)331_由E點(diǎn)坐標(biāo)可知：tan/AOm 上，即/AO序/ CBO3它們的補(bǔ)角/ EO印/CB%若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的 PBC與ABOE相似，只需考慮兩種情況: /CBP1=/EBQ 且 OB BE=BP: BC,由已知和勾股定理，得 OB=3 BE：510, BC=710 3.3： 呼=BP: <10,得：BR=9 , OP=OB BR=6 o /.P 1 ( 6 , 0)555/PzBCV EBQ 且 BC: BF2=OB: BE,即:<10 ： BF2=3: W10,得：BB=50, OP=BF2 OB=2

38、3.P 2綜上所述，符合條件的9P點(diǎn)有：P1 ( 6 , 0)、R5923 °、，0)9/23 c、(,0) 9(3)如圖，作直線l /直線BE,設(shè)直線l : y=1x+b3當(dāng)直線l與拋物線G只有一個交點(diǎn)時：1x+b=1x2 3,即：x2 x( 3b+9) =033由4= ( 1) 2 + 4(3b+9) =0。/目,37得b= 。121此時，x= , y=235O1235、)12過點(diǎn)Q作QF，BE于點(diǎn)F,則由設(shè) QF: y=3x+m。將q(2,BE: y=1x3351可用相似得 QF的斜率為3,一）代入，可得 m= 1217O12Q2F:17y= 3x 12聯(lián)立BE和QF,解得x=

39、18' y=2524一，125、 F ( 一 ,)824.Q2到直線BE : y=lx-1的距離3QF:35+25當(dāng)直線l與拋物線C2只有一個交點(diǎn)時:lx+b=312245 108.2,i3由=? +4 (9b9) =0。得 b=。4.該交點(diǎn)Q3 3、一，一 ）2 4同上方法可得Q到直線BE:y=1x 13的距離:.5 10 27 10= 25 10 27 10=104040符合條件的Q點(diǎn)為403 3一, 一)2 420.EBQ的最大面積:SmaxBE227 10401x2+1, 927 1040即:x2+3x+9b 9=0。0,5 10327 10 45408【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，

40、待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程根的判別式，點(diǎn)到直線的距離，平行線的性質(zhì)?！痉治觥浚?）已知A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定兩函數(shù)的解析式。13.（2012四川達(dá)州8分）問題背景若矩形的周長為1,則可求出該矩形面積的最大值.我們可以設(shè)矩形的一邊長為x,面積為s,則s與x的函數(shù)關(guān)系式為:21s x2 -x x > 0，利用函數(shù)的圖象或通過配方均可求得該函數(shù)的最大值 2提出新問題若矩形的面積為1,則該矩形的周長有無最大值或最小值？若有，最大（?。┲凳嵌嗌?分析問題1、y 2(x ) x> 0 ,問題就轉(zhuǎn)x借鑒我們已有的

41、研究函數(shù)的經(jīng)驗，探索函數(shù)y 2(x-)x > 0 x的最大（小）值.（1）實踐操作：填寫下表，并用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y2(x的圖象:（2）觀察猜想:觀察該函數(shù)的圖象，猜想當(dāng)x=時,函數(shù)2(x1)x > 0有最 值x（填“大”或“小”），是（3）推理論證:問題背景中提到，通過配方可求二次函數(shù)x> 0的最大值，請你嘗試通過配方求函數(shù)15，5y 2（x ） x > 0的最大（?。┲担宰C明你的猜想 x提示：當(dāng)x> 0時,x (7x)2【答案】 解：（1）填表如下:1,小,4(3)證明：: y 2 ( x)2(x)2(x)2- 2(x)22(x1x)24,當(dāng) x 1x0時，y

42、的最小值是4,即x =1時，y的最小值是4。若設(shè)該矩形的一邊長為 x,周長為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為: 化為研究該函數(shù)的最大（?。┲盗?解決問題【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值，配方法的應(yīng)用。【分析】（1）分別把表中x的值代入所得函數(shù)關(guān)系式求出y的對應(yīng)值填入表中，并畫出函數(shù)圖象即可。2）根據(jù)（1 ）中函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)直接得出結(jié)論即可。（ 3）利用配方法把原式化為平方的形式，再求出其最值即可。14. （ 2012 四川巴中9 分） 某商品的進(jìn)價為每件50 元，售價為每件60 元，每個月可賣出200 件。如果每件商品的售價上漲1 元，則每個月少賣10 件（每件售價不能高于72 元）。設(shè)每件商品的售價上漲

43、x 元（x為整數(shù)），每個月的銷售利潤為y 元，（ 1 ）求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x 的取值范圍；（ 2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大月利潤是多少元？【答案】解：（1 ）設(shè)每件商品的售價上漲x 元（ x 為正整數(shù)），則每件商品的利潤為：（60 50 x）元，總銷量為：（200-10x ）件，商品利潤為：y=（6050x）（20010x）=10x 2100x 2000。.原售價為每件 60元，每件售價不能高于72元，0<x<12o（2） -. y=- 10x2+ 100x + 2000= 10 （x 5） 2+2250,當(dāng)x=5時，最大月利潤

44、y=2250。答：每件商品的售價定為5 元時，每個月可獲得最大利潤，最大月利潤是2250 元?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值。【分析】（ 1 ）根據(jù)題意，得出每件商品的利潤以及商品總的銷量，即可得出y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式。（ 2） 根據(jù)題意利用配方法得出二次函數(shù)的頂點(diǎn)形式（或用公式法），從而得出當(dāng)x=5 時得出 y的最大值。15. （ 2012 遼寧錦州10 分） 某商店經(jīng)營兒童益智玩具，已知成批購進(jìn)時的單價是20 元 . 調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價是30 元時，月銷售量是230 件，而銷售單價每上漲1 元，月銷售量就減少10 件，但每件玩具售 價不能高于40 元 . 設(shè)每件玩具的銷售單價上

45、漲了 x 元時（ x 為正整數(shù)），月銷售利潤為y 元 .（ 1）求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x 的取值范圍.（ 2）每件玩具的售價定為多少元時，月銷售利潤恰為2520 元？（ 3）每件玩具的售價定為多少元時可使月銷售利潤最大？最大的月利潤是多少？【答案】 解：（1 ）依題意得y （30 x 20）（230 10x）10x2 130x 2300自變量x的取值范圍是：0<x<10且x為正整數(shù)。（2）當(dāng) y=2520 時，得 10x2 130x 2300 2520,解得xi=2,x 2=11 （不合題意，舍去）。當(dāng) x=2 時，30+x=32。.每件玩具的售價定為32元時

46、，月銷售利潤恰為2520元。（3） y 10x2 130x 230010（x 6.5）2 2722.5,. a=-10 <0 .當(dāng) x=6.5 時，y 有最大值為 2722.5。0<x< 10且x為正整數(shù)，當(dāng) x=6 時，30+x=36,y=2720 , 當(dāng) x=7 時，30+x=37,y=2720。.每件玩具的售價定為36元或37元時，每個月可獲得最大利潤。最大的月利潤是 2720元?！究键c(diǎn)】 二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值，解一元二次方程?！痉治觥浚?）根據(jù)銷售利潤=銷售量X銷售單價即可得y與x的函數(shù)關(guān)系式。因為 x為正整數(shù)，所以x>0；因為每件玩具售價不能高于40元，所以x<40 30=10。故自變量x的取值范圍是：0<x<10且x為正整數(shù)。（2）求出函數(shù)值等于 2520時自變量x的值即可。（3）將函數(shù)式化為頂點(diǎn)式即可求。16. （2012河北省9分）某工廠生產(chǎn)一種合