微積分下冊總復(fù)習(xí)

1、總總 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)1 1、多元函數(shù)的定義、極限及連續(xù)性、多元函數(shù)的定義、極限及連續(xù)性確定極限確定極限不存在不存在的方法的方法(1)(1)此時即可斷言極限不存在。此時即可斷言極限不存在。找兩種不同趨近方式找兩種不同趨近方式, ,但兩者不相等但兩者不相等, ,),(lim00yxfyyxx使使存在存在, ,第七章第七章 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)2 2、偏導(dǎo)數(shù)與、偏導(dǎo)數(shù)與全微分全微分 )(0,0yxxzxyxfyxxfx ),(),(lim00000),(yxfz 0000),(),(lim0 xxyxfyxfxx ),0()( oyBxAz),(),(0000yxfyyxxfz zd22)()(

2、yx 0dPzdyyxfdxyxfyx),(),(0000 yyzxxzPP 00處處在點在點),(),(000yxPyxfz 可可 微微 連連 續(xù)續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)存在偏導(dǎo)存在處可微的步驟：處可微的步驟：在在判定判定),(),(00yxyxfz 是是否否存存在在，、判判定定),(),()1(0000yxfyxfyx若不存在，則不可微，若不存在，則不可微， 否則轉(zhuǎn)下一步；否則轉(zhuǎn)下一步；，是是否否為為判判定定0),(),(lim)2(00000 yyxfxyxfzyx 若為若為0 0，則可微，則可微， 否則不可微否則不可微。3 3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法),(vufz 則復(fù)合函數(shù)

3、則復(fù)合函數(shù)),(),(yxyxfz uvxzy xzuz xu vz xv yzuz yu vz yv ),(),(yxvyxu 及及(1) 一個方程情形一個方程情形(二元方程、三元方程二元方程、三元方程)4 4、隱函數(shù)的求導(dǎo)法隱函數(shù)的求導(dǎo)法隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理1 1),(yxF),(00yxP設(shè)設(shè)的某一鄰域內(nèi)滿足的某一鄰域內(nèi)滿足: :在點在點, 0),()3(00 yxFy則方程則方程; 0),()2(00 yxF),(xyy ),(00 xyy 的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)并有并有),(),(ddyxFyxFxyyx (1) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);0),( yxF),(00yx

4、P它它滿足滿足條件條件在點在點恒能恒能唯一唯一確定一個確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的函數(shù)(2) 方程組情形方程組情形隱函數(shù)的個數(shù)隱函數(shù)的個數(shù)=方程的個數(shù)方程的個數(shù)隱函數(shù)的自變量個數(shù)隱函數(shù)的自變量個數(shù)=總自變量個數(shù)總自變量個數(shù) 方程的個數(shù)方程的個數(shù)5. 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用(1) 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面(三種情形三種情形)(2) 空間曲面的切平面與法線空間曲面的切平面與法線(三種情形三種情形)6. 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度00000(P)(P )lim.PPPPPP Plfffl與 同向方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)梯度梯度., ad

5、rg00PyxPfff.|)(00llgradflfPPcos)( cos)( 00PfPfyx*方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系函數(shù)沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大函數(shù)沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大(即增長最即增長最快快)，且方向?qū)?shù)的最大值為梯度的模。，且方向?qū)?shù)的最大值為梯度的模。7. 多元函數(shù)的極值與最值多元函數(shù)的極值與最值(1) 極值的必要條件極值的必要條件極值的充分條件極值的充分條件(2) 求條件極值的方法求條件極值的方法代入法，代入法，Lagrange乘數(shù)法乘數(shù)法, 0),(00 yxfx. 0),(00 yxfy),(),(),(yxyxfyxL *(3) 求最值的方法求最值的方法1

6、. 求求D內(nèi)所有的駐點和不可導(dǎo)點；內(nèi)所有的駐點和不可導(dǎo)點；2. 用求條件極值的方法用求條件極值的方法(Lagrange乘數(shù)法或乘數(shù)法或代入法代入法)求求D的邊界上的條件極值點；的邊界上的條件極值點；3. 求求D的邊界的邊界點；的邊界的邊界點；4. 計算上面三步求出的所有點的函數(shù)值，最計算上面三步求出的所有點的函數(shù)值，最大者即為大者即為D上的最大值，最小者即為最小值。上的最大值，最小者即為最小值。 1. 理解二重積分、三重積分的概念理解二重積分、三重積分的概念,第八章第八章 重積分重積分2. 掌握二重積分的計算法掌握二重積分的計算法(直角坐標、極直角坐標、極 3. 會用重積分求一些幾何量與物理量

7、會用重積分求一些幾何量與物理量.了解了解重積分的性質(zhì)重積分的性質(zhì).了解三重積分的計算法（了解三重積分的計算法（直角坐標、直角坐標、坐標坐標)，柱面坐標、球面坐標柱面坐標、球面坐標).其中其中 iiniiDfyxfI ),(limd),(10二重積分二重積分是各小閉區(qū)域的直徑中的最大值是各小閉區(qū)域的直徑中的最大值.幾何意義幾何意義二重積分二重積分I表示以表示以D為底為底,柱體的體積柱體的體積.z =f (x, y)為曲頂為曲頂, 側(cè)面是側(cè)面是定義定義1.平面上有界閉區(qū)域平面上有界閉區(qū)域D上二元有界函數(shù)上二元有界函數(shù)z = f (x, y)的二重積分的二重積分2.當(dāng)連續(xù)函數(shù)當(dāng)連續(xù)函數(shù),0),(時時

8、 yxfz以以D的邊界為準線的邊界為準線,母線平行于母線平行于z軸的柱面的軸的柱面的曲頂曲頂一般情形一般情形, Dyxf d),(xOy平面上方的曲頂柱體體積平面上方的曲頂柱體體積減減xOy平面下方的曲頂柱體體積平面下方的曲頂柱體體積.物理意義物理意義3.若平面薄片占有平面內(nèi)有界閉區(qū)域若平面薄片占有平面內(nèi)有界閉區(qū)域D,),(yx 則它的質(zhì)量則它的質(zhì)量M為為:它的面它的面密度為連續(xù)函數(shù)密度為連續(xù)函數(shù).d),( DyxM 性質(zhì)性質(zhì)1(線性運算性質(zhì)線性運算性質(zhì))為常數(shù)為常數(shù), 則則(重積分與定積分有類似的性質(zhì)重積分與定積分有類似的性質(zhì)) Dyxgyxf d),(),( 、設(shè)設(shè) DDyxgyxf d)

9、,(d),(4 4、二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)2 將區(qū)域?qū)^(qū)域D分為兩個子域分為兩個子域 Dyxf d),()(21DDD 對積分區(qū)域的可加性質(zhì)對積分區(qū)域的可加性質(zhì). 1d),(Dyxf 2d),(Dyxf ,21DD以以1為高的為高的 性質(zhì)性質(zhì)3(幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用) 若若 為為D的面積的面積 注注 D d既可看成是以既可看成是以D為底為底,柱體體積柱體體積. D d1 D d又可看成是又可看成是D的面積的面積. Dyxf d),(特殊地特殊地性質(zhì)性質(zhì)4(4(比較性質(zhì)比較性質(zhì)) ),(),(yxgyxf 設(shè)設(shè),),(Dyx 則則 Dyxg d),( Dyxf d),( Dyxf d)

10、,( ( (保序性保序性) ) DMyxfm d),(性質(zhì)性質(zhì)5(5(估值性質(zhì)估值性質(zhì)) ),),(Myxfm 設(shè)設(shè)為為D的面積的面積, 則則性質(zhì)性質(zhì)6(6(二重積分中值定理二重積分中值定理) ),( Dyxf d),(體體積等于以體體積等于以D為底為底),( f以以幾何意義幾何意義域域D上連續(xù)上連續(xù),為為D的面積的面積, 則在則在D上至少存在一點上至少存在一點使得使得 ),(f,),( , 0),(Dyxyxf 設(shè)設(shè)則曲頂柱則曲頂柱 為高的平頂柱體體積為高的平頂柱體體積.設(shè)設(shè)f (x, y)在閉區(qū)在閉區(qū)(1)設(shè)設(shè)f (x, y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上連續(xù)上連續(xù). Dyxyxfdd),(

11、若若D關(guān)于關(guān)于,dd),(21yxyxfD 則則x軸對稱軸對稱, f (x, y)對對y為奇函數(shù)為奇函數(shù), 即即, 0,),(),(),(Dyxyxfyxf f (x, y)對對y為偶函數(shù)為偶函數(shù), 即即,),(),(),(Dyxyxfyxf 則則 Dyxyxfdd),(其中其中;01 yDD5 5、對稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)、對稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)(2)設(shè)設(shè)f (x, y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上連續(xù)上連續(xù). Dyxyxfdd),(若若D關(guān)于關(guān)于,dd),(21yxyxfD 則則 y軸對稱軸對稱, f (x, y)對對x為奇函數(shù)為奇函數(shù), 即即, 0,),(),(),(Dyxyx

12、fyxf f (x, y)對對x為偶函數(shù)為偶函數(shù), 即即,),(),(),(Dyxyxfyxf 則則 Dyxyxfdd),(其中其中;01 xDD),()(,),( 21xyxbxayxD 其中函數(shù)其中函數(shù) 、)(1x )(2x b)(2xy )(1xy aD在區(qū)間在區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù).(1) 直角坐標系直角坐標系xOy Dyxf d),( baxxyyxfx)()(21d),(d 先對先對y 后對后對x的二次積分的二次積分6、二重積分計算、二重積分計算),()(,),( 21yxydycyxD 其中函數(shù)其中函數(shù) 、)(1y )(2y 在區(qū)間在區(qū)間c, d上連續(xù)上連續(xù). Dyxf d),

13、( dcyyxyxfy)()(21d),(d 先對先對x 后對后對y的二次積分的二次積分.xOyD)(2yx cd)(1yx 交換積分次序的步驟交換積分次序的步驟 (1) 利用已給的二次積分的積分限得出利用已給的二次積分的積分限得出相應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域相應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域,(2) 按相反順序?qū)懗鱿鄳?yīng)的二次積分按相反順序?qū)懗鱿鄳?yīng)的二次積分.并畫出草圖并畫出草圖; Dyxf d),( ddrr極坐標系中的面積元素極坐標系中的面積元素 Drrrrf dd)sin,cos(2) 極坐標系極坐標系 )(1 r)(2 rOAD)()(,),( 21 ryxD其中函數(shù)其中函數(shù).,)()(21上連續(xù)上

14、連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間、 d )(2)(1;d)sin,cos( rrrrfD;d)sin,cos(d)(0 rrrrf Dyxf d),(AO )( r)(0 ,),( ryxD其中函數(shù)其中函數(shù).,)(上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間 )(020d)sin,cos(d rrrrf極坐標系極坐標系下區(qū)域的下區(qū)域的面積面積.dd Drr DoA)( r)(0 ,20),( ryxD Dyxf d),(其中函數(shù)其中函數(shù).,)(上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間 2、三重積分的幾何意義、三重積分的幾何意義表示空間區(qū)域的體積表示空間區(qū)域的體積時時當(dāng)當(dāng) Vdvzyxf,1),(3 3、三重積分的性質(zhì)、三重積分的性質(zhì)類似于二重積

15、分的性質(zhì)類似于二重積分的性質(zhì)1 1、三重積分的定義、三重積分的定義三重積分三重積分三重積分三重積分vzyxfd),(0為為f的的偶偶函函數(shù)數(shù)z對稱性質(zhì)對稱性質(zhì)),(),(zyxfzyxf 則稱則稱f關(guān)于變量關(guān)于變量z的的奇奇 函數(shù)函數(shù). vzyxfd),(則則 ,坐標面對稱坐標面對稱xOy關(guān)于關(guān)于的的奇奇函函數(shù)數(shù)z為為f21 若域若域xOy在在為為其中其中 1坐標面的上半部區(qū)域坐標面的上半部區(qū)域.),(),(zyxfzyxf (偶偶)vzyxfd),(0為為f的偶函數(shù)x vzyxfd),(則則 ,坐標面對稱yOz關(guān)于關(guān)于的奇函數(shù)x為為f21 若域若域yOz在為其中1坐標面的前半部區(qū)域坐標面的前

16、半部區(qū)域.三重積分三重積分vzyxfd),(0為為f的偶函數(shù)y vzyxfd),(則則 ,坐標面對稱zOx關(guān)于關(guān)于的奇函數(shù)y為為f21 若域若域zOx在為其中1坐標面的右半部區(qū)域坐標面的右半部區(qū)域.三重積分三重積分4 4、三重積分的計算、三重積分的計算.);()();,(),(:2121bxaxyyxyyxzzyxz .),(),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf.,),( ),(21czcDyxzyxz .),(),(21 zDccdxdyzyxfdzdvzyxf() 直角坐標直角坐標 .,sin,coszzryrx () 柱面坐標柱面坐

17、標.),sin,cos(),( dzrdrdzrrfdvzyxf ,dzrdrddv 21(, )(, )( cos , sin , ) dzzf rrz r z 21( )( )drrr d 注注通常是通常是先積先積再積再積后積后積r、z. .cos,sinsin,cossin rzryrx,sin2 ddrdrdv dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf() 球面坐標球面坐標通常是通常是注注、先先積積r、再再積積 . 后積后積5 5、二重積分的應(yīng)用、二重積分的應(yīng)用(1) 體積體積的體積為的體積為之間直柱體之間直柱體與區(qū)域與區(qū)域在曲面

18、在曲面Dyxfz),( DdxdyyxfV.),(設(shè)設(shè)S曲面的方程為：曲面的方程為：).,(yxfz 曲面曲面S的面積為的面積為 ;122dxdyAxyDyzxz (2) 曲面面積曲面面積當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點點),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的重重心心為為(3) 重心重心薄片對于薄

19、片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量薄片對于薄片對于y軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點點),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片對對于于x軸軸和和y軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量為為(4) 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量薄片對薄片對軸上單位質(zhì)點的引力軸上單位質(zhì)點的引力z 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點點),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連

20、續(xù)續(xù)，計計算算該該平平面面薄薄片片對對位位于于z 軸軸上上的的點點), 0 , 0(0aM處處的的單單位位質(zhì)質(zhì)點點的的引引力力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 為引力常數(shù)為引力常數(shù)f(5) 引力引力6 6、三重積分的應(yīng)用、三重積分的應(yīng)用. dvM 其中其中,1 dvxMx 設(shè)設(shè)物物體體占占有有空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域 ，在在點點),(zyx處處的的密密度度為為),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上連連續(xù)續(xù)，則則該該物物體體的的重重心心為為() 重心重心

21、,1 dvyMy .1 dvzMz ,2 dvzIxy ( () ) 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 設(shè)設(shè)物物體體占占有有空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域 ，在在點點),(zyx處處的的密密度度為為),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上連連續(xù)續(xù)，則則該該物物體體對對坐坐標標面面,坐坐標標軸軸及及原原點點的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量為為,2 dvxIyz ,2 dvyIzx ,)(22 dvzyIx ,)(22 dvxzIy ,)(22 dvyxIz .)(222 dvzyxIo 第九章第九章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系.2. 會計算兩類曲線

22、積分會計算兩類曲線積分.曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑無關(guān)的條件.1. 理解兩類曲線積分的概念理解兩類曲線積分的概念,了解兩類了解兩類3. 掌握格林掌握格林(Green)公式公式, 會使用平面會使用平面(Gauss) 、5.了解散度、旋度的概念及其計算了解散度、旋度的概念及其計算6. 會用曲線積分、會用曲線積分、4. 了解兩類曲面積分的概念及高斯了解兩類曲面積分的概念及高斯并會并會計算兩類曲面積分計算兩類曲面積分.斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式,方法方法.曲面積分求一些曲面積分求一些幾何量與物理量幾何量與物理量. 曲曲 線線 積積 分分第一類曲線積分第一類曲線積分第二類曲線積

23、分第二類曲線積分定定義義 niiiiLsfdsyxf10),(lim),( LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 聯(lián)聯(lián)系系dsQPQdyPdxLL)coscos( 計計算算 dtfdsyxfL22,),(三代一定三代一定)( dtQPQdyPdxL),(),(二代一定二代一定 (與方向有關(guān)與方向有關(guān))格林公式格林公式與路徑無關(guān)的四個等價命題與路徑無關(guān)的四個等價命題條條件件在在單單連連通通開開區(qū)區(qū)域域D上上),(),(yxQyxP具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則以以下下四四個個命命題題成成立立. . LQdyPdxD與路徑無關(guān)與路徑無

24、關(guān)內(nèi)內(nèi)在在)1( CDCQdyPdx閉曲線閉曲線, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使內(nèi)存在內(nèi)存在在在),()3(xQyPD ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價價命命題題思路思路 LyQxPIddxQyP xQyP 0dd LyQxPI ),(),(00ddyxyxyQxPI閉合閉合非閉非閉閉合閉合非閉非閉補充曲線或用公式補充曲線或用公式第二類曲線積分第二類曲線積分的計算法的計算法 LyyxQxyxPd),(d),( DyxyPxQIdd)( 如果曲面方程為以下三種：如果曲面方程為以下三種：第一類曲面積分 曲面積分曲面積分;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:)

25、1yxzz 若若曲曲面面則則;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(則則),(:)2zxyy 若曲面若曲面.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),()3zyxx ：若曲面若曲面則則第二類曲面積分),(:)1yxzz 若曲面若曲面yxRQdzdxPdydzddPdxdyQ)(yz)(xzR其中符號當(dāng)其中符號當(dāng)取上側(cè)時為正，下側(cè)時為負。取上側(cè)時為正，下側(cè)時為負。xyD),(:)2zxyy 若曲面若曲面yxRQdzdxPdydzddP)(xyQdzdxR)(zy其中符號當(dāng)其中符號當(dāng)取右側(cè)時為正，左側(cè)時為負。取右側(cè)時為正，左側(cè)時為負。zx

26、D),()3zyxx ：若曲面若曲面yxRQdzdxPdydzdd)(yxPdydzQR)(zxyzD其中符號當(dāng)其中符號當(dāng)取前側(cè)時為正，后側(cè)時為負。取前側(cè)時為正，后側(cè)時為負。注意注意: :對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分, ,必須注意曲面所取的側(cè)必須注意曲面所取的側(cè). .yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos兩類關(guān)系0(cos, cos, cos )n高斯公式高斯公式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或設(shè)向量場設(shè)向量場P, Q, R, 在域在域G內(nèi)有一階內(nèi)有一階 連續(xù)連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù), 則則 向量場通過有向曲面向量場通過有向曲面 的通量為的通量為 )

27、,(RQPA SnAd2. 通量與散度通量與散度 G 內(nèi)任意點處的內(nèi)任意點處的散度散度為為 zRyQxPAdiv斯托克斯斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式斯托克斯公式斯托克斯公式y(tǒng)ozx斯托克斯斯托克斯( Stokes ) 公式公式 nRQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd SRQPzyxdcoscoscos2. 2. 旋度旋度. )(ArotRQPzyxkji為向量場的旋度為向量場的旋度稱向量稱向量 .)()()(kyPxQjxRzPizQyR 第二類曲面積分的計算法第二類曲面積分的計算法1. 利用利用Gauss公式公式)1(vzRyQxPd)( yxRxzQz

28、yPdddddd 閉曲面閉曲面具有具有則則取取其中其中 外側(cè)外側(cè). .在在若若RQP,中中所圍成的空間域所圍成的空間域 一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,)2(,比較復(fù)雜比較復(fù)雜非閉而非閉而若若RQP 在在RQP,后后加面加面 )(為閉為閉 中中所構(gòu)成的空間域所構(gòu)成的空間域 具有具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,則則 I 2. yxRxzQzyPIdddddd面面投投影影在在將將xOy ),(yxfz 的方程為的方程為設(shè)曲面設(shè)曲面 xyD yxRzQzPyxdd)()(上側(cè)為正，下側(cè)為負。上側(cè)為正，下側(cè)為負。常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)交錯級 數(shù) 正正項項級級數(shù)數(shù)冪級數(shù)冪級數(shù)三

29、角級數(shù)三角級數(shù)收收斂斂半半徑徑R R泰勒展開式泰勒展開式數(shù)或函數(shù)數(shù)或函數(shù)函函 數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)任任意意項項級級數(shù)數(shù)傅氏展開式傅氏展開式傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)0)(xR為常數(shù)為常數(shù)nu)(xuunn為函數(shù)為函數(shù)滿足狄滿足狄 氏條件氏條件0 xx 取取在收斂在收斂 級數(shù)與數(shù)級數(shù)與數(shù)條件下條件下 相互轉(zhuǎn)化相互轉(zhuǎn)化 第十章第十章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)定義定義0,1 nnnuu.有界有界部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列正項級數(shù)收斂正項級數(shù)收斂ns1 1、正項級數(shù)及其審斂法、正項級數(shù)及其審斂法審斂法審斂法(1) (1) 比較審斂法比較審斂法若若 1nnu收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散) )且且)(nnnnvuuv

30、, ,則則 1nnv收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) ). .(2) (2) 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式設(shè)設(shè) 1nnu與與 1nnv都是正項級數(shù)都是正項級數(shù),如果如果lvunnn lim,則則(1) 當(dāng)當(dāng) l0時時,二級數(shù)有相同的斂散性二級數(shù)有相同的斂散性; (2) 當(dāng)當(dāng)0 l時，若時，若 1nnv收斂收斂,則則 1nnu收斂收斂; (3) 當(dāng)當(dāng) l時時, 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散,則則 1nnu發(fā)散發(fā)散;設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項項級級數(shù)數(shù),如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu則則1 時級數(shù)收斂時級數(shù)收斂;1 時級數(shù)發(fā)散時級數(shù)發(fā)散; 1 時失效時失效.設(shè)設(shè) 1nnu是正項級數(shù)是正項級數(shù)

31、, ,如果如果 nnnulim)( 為數(shù)或為數(shù)或 , ,則則1 時級數(shù)收斂時級數(shù)收斂; ; 1 時級數(shù)發(fā)散時級數(shù)發(fā)散; ;1 時失效時失效. .定義定義 正正 、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù). . nnnnnnuu 111)1()1(或或萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯級數(shù)滿足條件如果交錯級數(shù)滿足條件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, ,則則級數(shù)收斂級數(shù)收斂, , 且其和且其和1us , , 其余 項其余 項nr的絕對值的絕對值1 nnur. .)0( nu其中其中2 2、交錯級數(shù)及其審斂法、交錯級數(shù)及其審斂法定

32、義定義 正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù)正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).定定理理 若若 1nnu收收斂斂,則則 1nnu收收斂斂.定義定義: :若若 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 0nnu為絕對收斂為絕對收斂; ;若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .3 3、任意項級數(shù)及其審斂法、任意項級數(shù)及其審斂法4 4、函數(shù)項級數(shù)、函數(shù)項級數(shù)(1) (1) 定義定義設(shè)設(shè)),(,),(),(21xuxuxun是是定定義義在在RI 上上的的函函數(shù)數(shù), ,則則 )()()(211xuxuxunn稱稱為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間I上上的

33、的( (函函數(shù)數(shù)項項) )無無窮窮級級數(shù)數(shù). .(2) (2) 收斂點與收斂域收斂點與收斂域如如果果Ix 0,數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù) 10)(nnxu收收斂斂,則稱則稱0 x為級數(shù)為級數(shù))(1xunn 的的收斂點收斂點, ,否否則則稱稱為為發(fā)發(fā)散散點點. .所有發(fā)散點的全體稱為所有發(fā)散點的全體稱為發(fā)散域發(fā)散域. .函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù))(1xunn 的所有收斂點的全體稱為的所有收斂點的全體稱為收斂域收斂域, ,(3) (3) 和函數(shù)和函數(shù)在收斂域上在收斂域上, ,函數(shù)項級數(shù)的和是函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)的函數(shù))(xs, ,稱稱)(xs為函數(shù)項級數(shù)的為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)和函數(shù). .(1) (1) 定義

34、定義形如形如nnnxxa)(00 的級數(shù)稱為的級數(shù)稱為冪級數(shù)冪級數(shù).,00時時當(dāng)當(dāng) x其其中中na為為冪冪級級數(shù)數(shù)系系數(shù)數(shù).5 5、冪級數(shù)、冪級數(shù)nnnxa 0如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在0 xx 處處發(fā)發(fā)散散, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處發(fā)發(fā)散散. .定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) )如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(00 xxx處處收收斂斂, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處絕絕對對收收斂斂; ;(2) (2) 收斂性收斂性如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點點收收斂

35、斂, ,也也不不是是在在整整個個數(shù)數(shù)軸軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個個完完全全確確定定的的正正數(shù)數(shù)R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性質(zhì)質(zhì): :當(dāng)當(dāng)Rx 時時, ,冪冪級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂; ;當(dāng)當(dāng)Rx 時時,冪級數(shù)發(fā)散冪級數(shù)發(fā)散;當(dāng)當(dāng)RxRx 與與時時, ,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. .推論推論定義定義: : 正數(shù)正數(shù)R稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的收斂半徑收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間.定定理理 2 2 如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的所所有有系系數(shù)數(shù)0 na,設(shè)設(shè) nnnaa1lim (或或 nn

36、nalim)(1) 則則當(dāng)當(dāng)0 時時, 1R;(3) 當(dāng)當(dāng) 時時,0 R.(2) 當(dāng)當(dāng)0 時時, R;a.a.代數(shù)運算性質(zhì)代數(shù)運算性質(zhì): : 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設(shè)設(shè) (3)(3)冪級數(shù)的運算冪級數(shù)的運算乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收斂域內(nèi)收斂域內(nèi)b.b.和函數(shù)的分析運算性質(zhì)和函數(shù)

37、的分析運算性質(zhì): : 冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的和和函函數(shù)數(shù))(xs在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間),(RR 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù),在在端端點點收收斂斂,則則在在端端點點單單側(cè)側(cè)連連續(xù)續(xù). 冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)可積內(nèi)可積,且對且對),(RRx 可逐項積分可逐項積分. 冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 并可逐項求導(dǎo)任意次并可逐項求導(dǎo)任意次. 如果如果)(xf在點在點0 x處任意階可導(dǎo)處任意階可導(dǎo),則冪級數(shù)則冪級數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)( 稱為稱為)(xf在點在點0 x的的

38、泰勒級數(shù)泰勒級數(shù).nnnxnf 0)(!)0(稱為稱為)(xf在點在點0 x的的麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù).(4) 冪級數(shù)展開式冪級數(shù)展開式定理定理 )(xf在點在點0 x的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù), ,在在)(0 xU 內(nèi)收內(nèi)收斂于斂于)(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)0)(lim xRnn. .充要條件充要條件唯一性唯一性定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)能能展開成展開成)(0 xx 的冪級數(shù)的冪級數(shù), , 即即 nnnxxaxf)()(00 , ,則其系數(shù)則其系數(shù) ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展開式是唯一的且展開式是唯一的. .展開方法展開方法a.

39、a.直接法直接法( (泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法) )步驟步驟:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或討論討論).(xf斂于斂于則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收b.b.間接法間接法 根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過通過變量代換變量代換, 四則運算四則運算, 恒等變形恒等變形, 逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo), 逐項積逐項積分分等方法等方法,求展開式求展開式.),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),(

40、 x常見函數(shù)展開式常見函數(shù)展開式)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x應(yīng)用應(yīng)用a.a.近似計算近似計算b.b.歐拉公式歐拉公式,sincosxixeix ,2cosititeet ,2sinieetitit (1) (1) 三角函數(shù)系三角函數(shù)系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,上的積分等于零上的積分等于零任意兩個不同函數(shù)在任意兩個不同函數(shù)在正交性正交性 , 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函數(shù)系三角函數(shù)系6 6、傅里葉級數(shù)、傅里葉級數(shù)),

41、2 , 1( n其中其中 nmnmnxdxmx, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中(2) (2) 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 10)sincos(2nnnnxbnxaa定義定義三角級數(shù)三角級數(shù)其中其中 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann稱為傅里葉級數(shù)稱為傅里葉級數(shù). 10)sincos(2nnnnxbnxaa(3) (3) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet(Dirichlet) )充分條件充分條件( (收斂定理收斂定理) ) 設(shè)設(shè))(xf是

42、是以以 2為為周周期期的的周周期期函函數(shù)數(shù).如如果果它它滿滿足足條條件件:在在一一個個周周期期內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)或或只只有有有有限限個個第第一一類類間間斷斷點點,并并且且至至多多只只有有有有限限個個極極值值點點,則則)(xf的的傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)收收斂斂,并并且且(1) 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的連續(xù)點時的連續(xù)點時,級數(shù)收斂于級數(shù)收斂于)(xf;(2) 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的間斷點時的間斷點時, 收斂于收斂于2)0()0( xfxf;(3) 當(dāng)當(dāng)x為端點為端點 x時時,收斂于收斂于2)0()0( ff. 如果如果)(xf為奇函數(shù)為奇函數(shù), 傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)nxbnnsin1 稱為稱為正弦級數(shù)正弦級數(shù).(4

43、) (4) 正弦級數(shù)與余弦級數(shù)正弦級數(shù)與余弦級數(shù) 當(dāng)當(dāng)周周期期為為 2的的奇奇函函數(shù)數(shù))(xf展展開開成成傅傅里里葉葉 級級數(shù)數(shù)時時,它它的的傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)為為 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann 當(dāng)周期為當(dāng)周期為 2的偶函數(shù)的偶函數(shù))(xf展開成傅里葉級數(shù)展開成傅里葉級數(shù)時時,它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann 如果如果)(xf為偶函數(shù)為偶函數(shù), 傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)nxaanncos210 稱為稱為余弦級數(shù)余弦級數(shù).奇延拓奇延拓: 0)(000)()(x

44、xfxxxfxF令令的傅氏正弦級數(shù)的傅氏正弦級數(shù))(xf.sin)(1 nnnxbxf)0( x(5) (5) 周期的延拓周期的延拓偶延拓偶延拓: 0)(0)()(xxfxxfxF令令的傅氏余弦級數(shù)的傅氏余弦級數(shù))(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( x式為式為則它的傅里葉級數(shù)展開則它的傅里葉級數(shù)展開的條件的條件滿足收斂定理滿足收斂定理的周期函數(shù)的周期函數(shù)設(shè)周期為設(shè)周期為,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 式式的周期函數(shù)的傅氏展開的周期函數(shù)的傅氏展開周期為周期為 l 2)6(), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln),

45、2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln第十一章第十一章 微分方程微分方程1. 一階微分方程一階微分方程 可分離變量方程可分離變量方程齊次方程齊次方程 (可化為齊次方程可化為齊次方程的方程的方程)一階線性微分方程一階線性微分方程2. 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程Bernoulli方程方程 全微分方程全微分方程).,(),(),()(yyfyyxfyxfyn 和和4. 常系數(shù)線性微分方程常系數(shù)線性微分方程 (齊次，非齊次齊次，非齊次)3.線性微分方程解的結(jié)構(gòu)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)1 1、基本概念、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

46、或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的階微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解式的函數(shù)稱為微分方程的解 通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程的通解特解特解確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，叫做微分方程的

47、特解叫做微分方程的特解初始條件初始條件用來確定任意常數(shù)的條件用來確定任意常數(shù)的條件.初值問題初值問題求微分方程滿足初始條件的解的問題，求微分方程滿足初始條件的解的問題，叫初值問題叫初值問題dxxfdyyg)()( 形如形如(1) 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程解法解法 dxxfdyyg)()(分離變量法分離變量法2 2、一階微分方程的解法、一階微分方程的解法)(xyfdxdy 形如形如(2) 齊次方程齊次方程解法解法xyu 作變量代換作變量代換)(111cybxacbyaxfdxdy 形如形如齊次方程齊次方程,01時時當(dāng)當(dāng) cc00,xuxyvy令，否則為非齊次方程否則為非齊次方程(

48、3) 可化為齊次的方程可化為齊次的方程解法解法化為齊次方程化為齊次方程是兩直線是兩直線00111cybxacbyax的交點的交點00(,)xy)()(xQyxPdxdy 形如形如(4) 一階線性微分方程一階線性微分方程, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上方程稱為齊次的上方程稱為齊次的上方程稱為非齊次的上方程稱為非齊次的., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey（使用分離變量法）（使用分離變量法）解法解法非齊次微分方程的通解為非齊次微分方程的通解為 dxxPdxxPeCdxexQy)()()(（使用常數(shù)變易法）（使用常數(shù)變易法）(5) 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方

49、程nyxQyxPdxdy)()( 形如形如)1 , 0( n方程為線性微分方程方程為線性微分方程.時時，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n 方程為非線性微分方程方程為非線性微分方程.時時，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n解法解法 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程,1 nyz 令令. )1)()()1()()1(1 cdxenxQezydxxPndxxPnnxQyP 全微分方程全微分方程解法解法應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān)應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān). yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy .),(cyxu 用直接湊用直接湊全微分的方法全

50、微分的方法.通解為通解為0),(),( dyyxQdxyxP其中其中dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 形如形如(6) 全微分方程全微分方程 用不定積分用不定積分的方法的方法.(7) 可化為全微分方程可化為全微分方程).(xQyP 非全微分方程非全微分方程0),(),( dyyxQdxyxP形如形如 若若0),( yx 連連續(xù)續(xù)可可微微函函數(shù)數(shù)，且且可可使使方方程程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx 成成為為全全微微分分方方程程.則則稱稱),(yx 為為方方程程的的積積分分因因子子.觀察法觀察法: :熟記常見函數(shù)的全微分表達式，通熟記常見函數(shù)的全微分表達式，通

51、過觀察直接找出積分因子過觀察直接找出積分因子常見的全微分表達式常見的全微分表達式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xyarctgdyxydxxdy22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122可選用積分因子可選用積分因子.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 3 3、可降階的高階微分方程的解法、可降階的高階微分方程的解法解法解法),(xPy 令令特點特點. y不顯含未知函數(shù)不顯含未知函數(shù)),()2(yxfy 型型)()1()(xfyn 接連積分接連積分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).(,(xPxfP ,Py ( ),yP y 令特點特點.x不不顯顯含含自自變變量量),()3(yyfy 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).,(PyfdydpP ,dydpPy 4 4、高階