圓錐曲線必背法知識(shí)講解

1、圓錐曲線必背口訣（紅字為口訣）-橢圓一、橢圓定義橢圓三定義，簡(jiǎn)稱和比積.1、定義1:（和）到兩定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定值為長軸.（定值=2a）2、定義2:（比）到定點(diǎn)和到定直線的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線，定值為離心率.（定值=e）3、定義3:（積）到兩定點(diǎn)連線的斜率之積為定值的點(diǎn)的軌跡是橢圓.定點(diǎn)為短軸頂點(diǎn)，定值為負(fù)值.（定值ke21）二、橢圓的性質(zhì)定理長軸短軸與焦距，形似勾股弦定理準(zhǔn)線方程準(zhǔn)焦距，a a 方、b方除以 C C通徑等于2ep,ep,切線方程用代替焦三角形計(jì)面積，半角正切連乘b注解：i、k軸短軸與焦距，形似勾股弦定理

2、長軸2a,短軸2b,焦距2c,則：a2b2c22、1 準(zhǔn)線方程準(zhǔn)焦距，a a 方、b方除以 c c2a準(zhǔn)線方程：x展（a方除以C）一一 b2_準(zhǔn)焦距 P P：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離：P一（b方除以C）c3、顯徑等于2ep,ep,切線方程用代替橢圓的通徑d:過焦點(diǎn)垂直于長軸的直線與橢圓的兩交點(diǎn)之間的距.一一 cb122b2離稱為橢圓的通徑.（通徑 d2ep2）aca過橢圓上（xo,yo）點(diǎn)的切線方程，用（xo,yo）等效代替橢圓方程得至h4,.、xxyyd等效代替后的是m是：下F14、焦三角形計(jì)面積，半角正切連乘b焦三角形：以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)FI,F2為頂點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)P在橢圓上的三角形稱為焦三角形.半

3、角是指F1PF2的一半.2,則焦三角形的面積為：Sbtan-|證明|：設(shè)PFi|m,PF2n，則mn2a.由余弦定理：222mn2mncos4c4a24b2(mn)24b2222mn4b,即：2b(1cos)mn.222cos2-2即：2mncossin又：1cos2sin-cos2,所以：橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積為SFIPF2btan2.三、橢圓的相關(guān)公式切線平分焦周角，稱為弦切角定理切點(diǎn)連線求方程，極線定理須牢記弦與中線斜率積，準(zhǔn)線去除準(zhǔn)焦距細(xì)看中點(diǎn)弦方程，恰似弦中點(diǎn)軌跡注解：1、I 切線平分焦周角，稱為弦切角定理弦切角定理：切線平分橢圓焦周角的外角，平分雙曲線的焦周角.焦周角是焦點(diǎn)三角形中

4、，焦距所對(duì)應(yīng)的角.弦切角是指橢圓的弦與其切線相交于橢圓上時(shí)它們的夾角， 當(dāng)弦為焦點(diǎn)弦時(shí)(過焦點(diǎn)的弦)，那么切線是兩個(gè)焦點(diǎn)弦的角平分線.2、|切點(diǎn)連線求方程，極線定理須牢記22若為(x0,y0)在橢圓三1外，則過歷作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)為a2b2”2,則點(diǎn)Po和切點(diǎn)弦Pi，P2分別稱為橢圓的極點(diǎn)和極線.切點(diǎn)弦P1P2的直線方程即極線方程是爭(zhēng)巖1(稱為極線定理)3、弦與中線斜率積，準(zhǔn)線去除準(zhǔn)焦距mn|PFI|PF2|2b21cos故：SAF1PF2mnsin212b2-sin21cos;sinb1costan一2弦指橢圓內(nèi)的一弦AB.中線指弦AB的中點(diǎn)M與原點(diǎn)O的連線，即20AB得中線.這兩條直線

5、的斜率的乘積，等于準(zhǔn)線距離xc巳去除準(zhǔn)2Pb2焦距p一,其結(jié)果ZE：kABkOM2cxca4、細(xì)看中點(diǎn)弦方程，恰似弦中點(diǎn)軌跡中點(diǎn)弦AB的方程：在橢圓中，若弦AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),弦 AB 稱22一x0 xy0yx0v。為中點(diǎn)弦，則中點(diǎn)弦的方程就是丁丁丁正,是直線方程.弦中點(diǎn)M的軌跡方程：在橢圓中，過橢圓內(nèi)點(diǎn)P0（x0,y0）的弦AB,其22xoxy0yxy中點(diǎn)M的方程就是丁丁了正，仍為橢圓.a0ab這兩個(gè)方程有些相似，要擦亮眼睛，千萬不要搞混了.圓錐曲線必背口訣（紅字為口訣）-雙曲線一、雙曲線定義雙曲線有四定義，差比交線反比例1、定義1：（差）平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之差的絕

6、對(duì)值為定值2a（小于這兩個(gè)定點(diǎn)間的距離,F2|）的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線。 定點(diǎn)FI,F2叫雙曲線的限點(diǎn)即：|PFiPF2I2a2、定義2:（比）平面內(nèi)，到給定一點(diǎn)及一直線的距離之比為定值e1的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線。定點(diǎn)叫雙曲線的叵口，定直線叫雙曲線的屜3、定義3:（交線）一平面截一圓錐面，當(dāng)截面與圓錐面的母線不平行，且與圓錐面的兩個(gè)圓錐都相交時(shí)，交線稱為|雙曲線。4、定義4：（反比例）在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y一的圖x象稱為雙曲線證明：反比例函數(shù)圖象是雙曲線軌跡經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得至h22xy,證明：因?yàn)閤yk的對(duì)稱軸是yx,yx,而二:21的對(duì)稱軸是abx軸，y軸，所以應(yīng)該旋轉(zhuǎn) 45.設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為

7、（0,順時(shí)針）（為雙曲線漸進(jìn)線的傾斜角）貝U有：Xxcosysin,Yxsinycos取45,則:oo2XYxcos45ysin451222Xyxy2xy22而xyk,所以，XY2xy2k由此證得，反比例函數(shù)其實(shí)就是雙曲線的一種形式，只不過是雙曲線在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的另一種擺放形式.、雙曲線的性質(zhì)定理基本同橢圓，有所區(qū)別：長軸短軸與焦距，形似勾股弦定理準(zhǔn)線方程準(zhǔn)焦距，a a 方、b b 方除以 c c通徑等于2ep,ep,切線方程用代替焦三角形計(jì)面積，半角余切連乘 b b注解：1、k k 軸短軸與焦距：形似勾股弦定理222長軸 2a2a, ,短軸2b,焦距2c,則：abcabc實(shí)際上，雙曲線是

8、實(shí)軸、虛軸、與焦距，但為了方便記憶，也不至于造成混亂，我們還是按橢圓的口訣記憶.2、準(zhǔn)準(zhǔn)線方程準(zhǔn)焦距，a a 方、b b 方除以 c c2a準(zhǔn)線方程：x xT T（a a 方除以 c c）cb22xsin45ycos45022XY2k2k1(k0)或22YX(2k)(2k)1(k0)準(zhǔn)焦距 P P：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離：P P- -（b b 方除以 c c）點(diǎn)任意一點(diǎn)F1PF2，則雙曲線的焦點(diǎn)三角形滿足：PF1PF22b21cos2,其面積為；SF1PF2bcot2.h明|：設(shè)PFIm,PF2在F1PF2中，由余弦定理得:2PF1PF2cosn22mncosn22mncosF1F2224c24a2

9、(mn)22a4b24b22mn222mncos4b,即：2bmn2b21cos,即：(mn)24b2mn(12b21coscos雙曲線的通徑 d:過焦點(diǎn)垂直于長軸的直線與雙曲線的兩交點(diǎn)之間cb22b2的距離稱為雙曲線的通徑.（通徑 d2ep2）aca過雙曲線上P0（xo,y0）點(diǎn)的切線方程，用P0（xo,y0）等效代替雙曲線方程,4 山一xxyy得到，等效代替后的是皿 O1 是：7丁14、焦三角形計(jì)面積，半角余切連乘b焦三角形：以雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)已下2為頂點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)P在橢圓上的三角形稱為焦三角形.半角是指F1PF2的一半.22xy_雙曲線；T表1的左右焦點(diǎn)分別為FI，F(xiàn)2,點(diǎn)P為雙曲線上

10、異于頂ab3、 通徑等于2ep,切線方程用代替2.雙曲線的焦點(diǎn)三角形的面積為：SF1PF2bcot.三、雙曲線的相關(guān)公式切線平分焦周角， 稱為弦切角定理切點(diǎn)連線求方程， 極線定理須牢記弦與中線斜率積，準(zhǔn)線去除準(zhǔn)焦距細(xì)看中點(diǎn)弦方程，恰似弦中點(diǎn)軌跡注解：1、切線平分焦周角，稱為弦切角定理弦切角定理：切線平分橢圓焦周角的外角，平分雙曲線的焦周角.焦周角是焦點(diǎn)三角形中，焦距所對(duì)應(yīng)的角.弦切角是指雙曲線的弦與其切線相交于雙曲線上時(shí)它們的夾角，當(dāng)弦為焦點(diǎn)弦時(shí)（過焦點(diǎn)的弦），那么切線是兩個(gè)焦點(diǎn)弦的角平分線.那么，焦點(diǎn)三角形的面積為:SFiPF2112b2.mnsin-sin221cosb2sin1cos2s

11、incos-b222b2cot-2sin222,故：SF1PF2bcot2同時(shí)：SF1PF22滬1巳yp|cyp,故：ypcot-2PF如圖，F(xiàn)1PF2是焦點(diǎn)三角形，F(xiàn)1PF2為焦周角，PT為雙曲線的切線.則PT平分F1PF2.2、|切點(diǎn)連線求方程，極線定理須牢記22若P0(x0,y0)在雙曲線今1外，以包含焦點(diǎn)的區(qū)域?yàn)閮?nèi)，不包含a2b2焦點(diǎn)的區(qū)域?yàn)橥?，則過Po作雙曲選的兩條切線，切點(diǎn)為Pi、P2,則點(diǎn)Po和切點(diǎn)弦PiP2分別稱為雙曲線的極點(diǎn)和極線，切點(diǎn)弦(稱為極線定理)3、1與中線斜率積，準(zhǔn)線去除準(zhǔn)焦距弦指雙曲線內(nèi)的一弦AB.中線指弦AB的中點(diǎn)M與原點(diǎn)O的連線，即OAB得中線.這兩條直線的斜

12、率的乘積，等于準(zhǔn)線距離a2,八八.b2xc去除準(zhǔn)焦距p-,其結(jié)果ZE：cckAB4、中點(diǎn)弦AB的方程：在雙曲線中，若弦AB的中點(diǎn)為M(xo,y),稱弦AB為中點(diǎn)弦，則中點(diǎn)弦的方程就是：駕駕駕”,它是直線方程.2222abab弦中點(diǎn)M的軌跡方程：在雙曲線中，過雙曲線外一點(diǎn)Po(x0,yo)的弦22x0 xy0yxy.一一一AB,其AB中點(diǎn)M的萬程就是=百二T”，仍為雙曲線.ababPlP2的直線方程即極線方程是爸翠1a2b2kPbOM2xcac細(xì)看中點(diǎn)弦方程，恰似弦中點(diǎn)軌跡這兩個(gè)方程有些相似，要擦亮眼睛，千萬不要搞混了.圓錐曲線必背口訣(紅字為口訣)-拋物線一、拋物線定義拋物線，有定義，定點(diǎn)定線

13、等距離1、到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線距離相等得點(diǎn)的軌跡稱為旭物線.2、二次函數(shù)的圖象是拋物線.二、拋物線性質(zhì)焦點(diǎn)準(zhǔn)線極點(diǎn)線，兩臂點(diǎn)乘積不變焦弦切線成直角，切點(diǎn)就是兩端點(diǎn)端點(diǎn)投影在準(zhǔn)線，連結(jié)焦點(diǎn)垂直線焦弦垂直極焦線，切線是角平分線直角梯形對(duì)角線，交點(diǎn)就是本原點(diǎn)焦弦三角計(jì)面積，半個(gè)p方除正弦注解：1、焦點(diǎn)準(zhǔn)線極點(diǎn)線拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線是一對(duì)極點(diǎn)和極線.拋物線方程：y22px,焦點(diǎn)F*,0),準(zhǔn)線xp2p2(拋物線的頂點(diǎn)0(0,0)到定點(diǎn)F(,0)和定直線xp:距離相等)焦弦：過焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)A和B,則AB稱為焦弦弦中點(diǎn)M(xM,yM),xMxA2xB,yMyA2yB焦弦方程：yk(x9，k

14、為斜率.2、兩臂點(diǎn)乘積不變焦點(diǎn)三角形兩邊OA|和OB的點(diǎn)乘積為定值，且夾角是鈍角證明：焦弦AB滿足的條件2-y2pxyk（xp）22p2k2（x1）22pxk2x2（k22）px2由韋達(dá)定理得：XAXB一4yAyBJ2pxAJ2pxB2PJXAXB2p-pp2,p2即：xAxB7，YAYBp2uuurUULT且：OAOB（XA，YA）（XB，YB）XAXBYAYB324P故：焦點(diǎn)三角形兩邊之點(diǎn)乘積為定值3、焦弦切線成直角，切點(diǎn)就是兩端點(diǎn)即：焦弦兩端點(diǎn)的切線互相垂直.證明：如圖，由拋物線方程：y22px得到導(dǎo)數(shù)：yyp,即：y2y故：kAE衛(wèi)，kBE衛(wèi)YAYB2于是：kAEkBE衛(wèi)-YAYBYA

15、YB將式y(tǒng)AyBp2代入上式得：kAEkBEuuuruuir即：AEBE,故焦弦端點(diǎn)在準(zhǔn)線的投影點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形用向量方法可證.故：EDEFECuuuruur由向量法可證EFAB0即：焦弦AB|與極焦線EF|互相垂直.6、回線是角平分線一即：切線平分焦弦的傾角（或傾角的外角）如圖：因?yàn)锳DE和AFE都是直角三角形，且由定義知：|AF|AD|,AE|AE故ADE0AFE,則對(duì)應(yīng)角相等.由于M是AB的中點(diǎn),AEB為直角三角形，計(jì)算可得E是DC的中點(diǎn),4、十點(diǎn)投影在準(zhǔn)線，連結(jié)焦點(diǎn)垂直線即：焦弦端點(diǎn)在準(zhǔn)線的投影點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形證明:坐標(biāo)C(與yB),D(,YA)22rruuuruuur則：

16、CF(p,yB),DF(p,y)uuruLtr于是：CFDFp2VAVBcuuu將式Y(jié)AYBP2代入上式得：CFuuuuuur故：CFDF即：焦弦端點(diǎn)A,B在準(zhǔn)線的投影點(diǎn)uuurDF0uuiruuurCFDF,即：焦弦端點(diǎn)在準(zhǔn)線的投影點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形5、焦弦垂直極焦線若焦弦AB對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)E,則EF為極焦線，于是EFAB即：AE是DAF的角平分線8、焦弦三角計(jì)面積，半個(gè)p方除正弦即：焦弦三角形的面積為:SAOB2P2sin為焦弦的傾角)證明:AB如圖:則:于是:AFGFEMABBF2OFEFsin2P.2sinXAxBXAXB2(XM力2EM1sinGFsin_P.2sin同理，BE是CB

17、F的角平分線7、直角梯形對(duì)角線，交點(diǎn)就是本原點(diǎn)即：直角梯形ABCD對(duì)角線相交于原點(diǎn)即：A,O,C三點(diǎn)共線；B,O,D三點(diǎn)共線.用向量法證明:uuruuuuuruuurOA/CO,OB/DO2證明：坐標(biāo)A(32pf，YA)uur2向量：OA(詈,YA),2puumCOYB)各分量之比:uuu(OA)Xuuur(CO)X2YA2P_P22YA2Puuu(OA)uuur(CO)YAyB2YAYAYB將式Y(jié)AYBp2代入上式得:2YAYAYB2YA2Puuu故：3(CO)Xuur(OA)uur(CO)uuir囂，即:OA/COuur同理：OB/愣.直角梯形ABCD對(duì)角線相交于原點(diǎn)Y(CO)Y故：SAO

18、母|OF|ABsin1P2p.p22sin22sin2sin附：圓錐曲線必背-極坐標(biāo)一、極坐標(biāo)通式圓錐曲線的極坐標(biāo)以準(zhǔn)焦距p和離心率e來表示常量，以極徑和極角來表示變量0,0,3600)以焦點(diǎn)F（0,）為極點(diǎn)（原點(diǎn)O）,以橢圓長軸、拋物線對(duì)稱軸、雙曲線的實(shí)軸為極軸的建立極坐標(biāo)系.故準(zhǔn)線是到極點(diǎn)距離為準(zhǔn)焦距p、且垂直于極軸的直線L.極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的換算關(guān)系是：x2y2,arctanx或者：xcos,ysin特別注意：極坐標(biāo)系中，以焦點(diǎn)為極點(diǎn)（原點(diǎn)），而直角坐標(biāo)系中以對(duì)稱點(diǎn)為原點(diǎn)得到標(biāo)準(zhǔn)方程如圖，O為極點(diǎn)，L為準(zhǔn)線，則依據(jù)定義，到定點(diǎn)（極點(diǎn)）和到定直線（準(zhǔn)線）的距離之比為定值（定值e）的點(diǎn)的

19、軌跡為圓錐曲線.所以，對(duì)極坐標(biāo)系，請(qǐng)記住:極坐標(biāo)系的極點(diǎn)O是橢圓的左焦點(diǎn)、拋物線的焦點(diǎn)、雙曲線的右焦點(diǎn)曲線上的點(diǎn)P（,）到焦點(diǎn)F的距離是，到準(zhǔn)線的距離是pcos,這就是極坐標(biāo)下，圓錐曲線的通式對(duì)應(yīng)不同的e,呈現(xiàn)不同的曲線.對(duì)雙曲線，只是右邊的一支對(duì)拋物線，開口向右點(diǎn)、拋物線的焦點(diǎn)、雙曲線的左焦點(diǎn)；對(duì)應(yīng)不同的e,呈現(xiàn)不同的曲線.根據(jù)定義:pcos即:epecos，即：epecos,即:ep1ecos對(duì)雙曲線，只是左邊的一支；對(duì)拋物線，開口向左.三、極軸旋轉(zhuǎn)90將極軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o,即：900,則情況如圖.第極坐標(biāo)系的極點(diǎn)O是橢圓的右焦將極軸旋轉(zhuǎn)180,和分別對(duì)應(yīng)變、極軸旋轉(zhuǎn)180o圓錐曲線的方程為:此時(shí)的極坐標(biāo)系下:對(duì)應(yīng)于直角坐標(biāo)系下，焦點(diǎn)在y軸的情況，且極點(diǎn)O對(duì)應(yīng)于橢圓下方的焦點(diǎn)，雙曲線上方的焦點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)對(duì)雙曲線，只