《圓》知識(shí)點(diǎn)歸納及相關(guān)題型整理

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第五章 中心對(duì)稱圖形（二）知識(shí)點(diǎn)歸納以及相關(guān)題目總結(jié)一、和圓有關(guān)的基本概念1.圓：把線段OP的一個(gè)端點(diǎn)O固定，使線段OP繞著點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)1周，另一個(gè)端點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的圖形叫做圓。其中，定點(diǎn)O叫做圓心，線段OP叫做半徑。以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“O”，讀作“圓O”。圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。2.圓的內(nèi)部可以看作是到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合。3.圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合。4.弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段。5.直徑：經(jīng)過圓心的弦。6.?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分。優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧。 劣?。盒∮诎雸A的弧。 半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分

2、圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。7.同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓。8.等圓：能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。（圓心不同）9.等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的兩個(gè)圓中，不存在等弧。10.圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角。11.圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓相交的角。12.圓的切線長(zhǎng)：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)。13.正多邊形：定義：各邊相等、各角也相等的多邊形對(duì)稱性：都是軸對(duì)稱圖形；有偶數(shù)條邊的正多邊形既是軸對(duì)稱圖形有是中心對(duì)稱圖形。14.圓錐：母線：連接圓錐的頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段。：高：連接頂點(diǎn)與底面圓的圓心的線段。15.三角形的

3、外接圓：三角形三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。16.三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。二、和圓有關(guān)的重要定理1.圓是中心對(duì)稱圖形，圓心是它的對(duì)稱中心。2.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等。3.在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弦、兩條弧中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。4.圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等。5.圓

4、是軸對(duì)稱圖形，過圓心的任意一條直線都是它的對(duì)稱軸。6.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。垂徑定理的實(shí)質(zhì)可以理解為：一條直線，如果它具有兩個(gè)性質(zhì)：(1)經(jīng)過圓心；(2)垂直于弦，那么這條直線就一定具有另外三個(gè)性質(zhì)：(3)平分弦，(4)平分弦所對(duì)的劣弧，(5)平分弦所對(duì)的優(yōu)弧。推論：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。7.同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于該弧所對(duì)的圓心角的一半。8.直徑（或半圓）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。9.如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。10.確定圓的條件不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓經(jīng)過三角

5、形三個(gè)頂點(diǎn)可以畫一個(gè)圓，并且只能畫一個(gè)這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心。三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。11.三角形的外接圓的圓心是三邊的垂直平分線的交點(diǎn)12.圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。13.經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的是直線是圓的切線。14.從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，他們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。三、和圓有關(guān)的位置關(guān)系1.點(diǎn)和圓：如果O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，那么點(diǎn)P在圓內(nèi)點(diǎn)P在圓上點(diǎn)P在圓外d<rd=rd>r

6、2.直線和圓：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相交。直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相切。這條直線叫做圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相離。如果O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，那么直線l與O相交直線l與O相切直線l與O相離d<rd=rd>r3.圓和圓：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離。兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外切，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做這兩個(gè)圓相交。兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，一個(gè)

7、圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。（兩個(gè)圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為兩個(gè)圓相切。）兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含。（兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一種特例。）如果兩圓的半徑分別為R、r，圓心距為d，那么兩圓外離兩圓外切兩圓相交兩圓內(nèi)切兩圓內(nèi)含d>R+rd=R+rR-r<d<R+r(Rr)d=R-r(R>r)0d<R-r(R>r)四、和圓有關(guān)的計(jì)算1. 多邊形和圓每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)：每個(gè)外角的度數(shù)：（等于中心角）正多邊形和圓的關(guān)系定理：任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓，因此可以采

8、用作輔助圓的辦法，解決一些問題。對(duì)于一些特殊的正n邊形，如正四邊形、正八邊形、正六邊形、正三角形、正十二邊形還可以用尺規(guī)作圖。2. 扇形：面積公式： 或3. 弧長(zhǎng)：弧長(zhǎng)公式：4. 圓錐：（圓錐的側(cè)面展開圖，是一個(gè)扇形。）圓錐的側(cè)面積=S側(cè)×2r×ara（圓錐的側(cè)面積與底面積的和稱為圓錐的全面積。）五、和圓有關(guān)的作圖1.圓心做一個(gè)已知圓的圓心在圓上任意畫一條線，作垂直與這條線的直徑；再畫一條弦，繼續(xù)作垂直于這條弦的直徑；兩條直徑的交點(diǎn)就是圓心。2.三角形的外接圓：已知銳角三角形ABC，用直尺和圓規(guī)作ABC的外接圓。 分別作邊AB、AC的垂直平分線DE、FG，DE與FC相交于點(diǎn)

9、O 以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，O就是所求作的圓。3.用直尺和圓規(guī)做特殊的正多邊形：（1）正四邊形在O中作兩條互相垂直的直徑AC、BD依次連接A、B、C、D各點(diǎn)，四邊形ABCD就是所求做的正四邊形。（2）正六邊形在O中任意做一條直徑AD分別以A、D為圓心，O的半徑作半徑作弧，與O相交于B、F和C、E依次連接A、B、C、D、E、F各點(diǎn)，六邊形ABCDEF就是所求作的正六邊形。六、和圓有關(guān)的常作輔助線1.見弦作弦心距有關(guān)弦的問題，常作其弦心距（有時(shí)還需作出相應(yīng)的半徑），通過垂徑定理來溝通結(jié)論與題設(shè)間的關(guān)系。2.見直徑作圓周角在題目中若已知圓的直徑，一般是做直徑所對(duì)的圓周角，利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”這一特征來證明問題。3.見切線作半徑命題的條件中含有圓的切線，往往是連接過切點(diǎn)的半徑，利用“切線與半徑垂直”