美式期權(quán)定價

1、美式期權(quán)定價由于美式期權(quán)提前執(zhí)行的可能，使得解決最優(yōu)執(zhí)行決策成為美式期權(quán)定價和套期保值的關(guān)鍵。由第三章的內(nèi)容我們知道，如果標(biāo)的股票在期權(quán)的到期日之前不分紅，則美式看漲期權(quán)不會提前執(zhí)行，因?yàn)樵诘狡谌罩皥?zhí)行將損失執(zhí)行價格的利息。但是，如果標(biāo)的股票在期權(quán)到期日以前支付紅利，則提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)可能是最優(yōu)的。提前執(zhí)行可以獲得股票支付的紅利，而紅利的收入超過利息損失。事實(shí)上，我們將證明，投資者總是在股票分紅前執(zhí)行美式看漲期權(quán)。對于美式看跌期權(quán)而言，問題變的更復(fù)雜。看跌期權(quán)的支付以執(zhí)行價格為上界，這限制了等待的價值，所以對于美式看跌期權(quán)而言，即使標(biāo)的股票不支付紅利，也可能提前執(zhí)行。提前執(zhí)行可以獲得執(zhí)行

2、價格的利息收入。許多金融證券都暗含著美式期權(quán)的特性，例如可回購債券（called bond），可轉(zhuǎn)換債券（convertible bond），假設(shè)：1 市場無摩擦2 無違約風(fēng)險3 競爭的市場4 無套利機(jī)會1帶息價格和除息價格每股股票在時間支付紅利元。當(dāng)股票支付紅利后，我們假設(shè)股價將下降，下降的規(guī)模為紅利的大小。可以證明，當(dāng)市場無套利且在資本收益和紅利收入之間沒有稅收差別時，這個假設(shè)是成立的。這里表示股票在時間的帶息價格，表示股票在時間的除息價格。這個假設(shè)的證明是非常直接的。如果上述關(guān)系不成立，即，則存在套利機(jī)會。首先，如果，則以帶息價格賣出股票，在股票分紅后馬上以除息價格買回股票。因?yàn)槲覀冑u空

3、股票，所以紅利由賣空者支付，從而這個策略的利潤為。因?yàn)榧t利是確定知道的，所以只要=0，則利潤是沒有風(fēng)險的。其次，如果，則以帶息價格買入股票，獲得紅利后以除息價格賣出，獲得利潤為。2美式看漲期權(quán)在這一節(jié)，我們將證明，如果標(biāo)的股票在美式期權(quán)到期日之前分紅，則美式期權(quán)有可能提前執(zhí)行，而且，如果美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行，則提前執(zhí)行只發(fā)生在分紅前瞬間。研究美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行的關(guān)鍵是看漲期權(quán)的時間價值（time value）的概念。下面我們引入時間價值的概念并分析時間價值的性質(zhì)。符號：美式期權(quán)在時間0的價格：歐式期權(quán)在時間0的價格：標(biāo)的股票在時間0的價格 ：美式期權(quán)的到期日 ：美式期權(quán)的執(zhí)行價格：面值為1的

4、債券在時間0的價格：括號內(nèi)現(xiàn)金流在時間0的現(xiàn)值考慮美式看漲期權(quán)這樣的執(zhí)行策略：在到期日，不管股票價格是否大于執(zhí)行價格，我們都執(zhí)行期權(quán)。(如果股票價格在到期日是虛值時，這個策略顯然不是最優(yōu)的，但在這個策略下美式看漲期權(quán)的現(xiàn)值是容易計(jì)算的) 在這樣一個執(zhí)行策略下，美式期權(quán)等價于執(zhí)行價格為的遠(yuǎn)期合約，所以為美式看漲期權(quán)的目前值為=下面引入時間價值的概念。定義：以不支付紅利的股票為標(biāo)的物的美式看漲期權(quán)的時間價值為（1）直觀上來說，時間價值是由于等待以決定執(zhí)行期權(quán)而給期權(quán)合約帶來的價值增加值。因?yàn)樵诘狡谌?，期?quán)是虛值時可以不執(zhí)行，所以時間價值是非負(fù)的。因?yàn)椋?）所以（1）時間價值大于美歐式期權(quán)價格之差；

5、（2）時間價值是非負(fù)的。下圖說明了看漲期權(quán)的時間價值作為股票價格的函數(shù)的性質(zhì)。下面我們我們考慮紅利的影響。為簡單起見，假設(shè)紅利的大小和支付時間都是已知的。我們先研究在期權(quán)的有效期之內(nèi)，提前執(zhí)行可能發(fā)生的時間。性質(zhì)：給定正的利率，在兩次分紅之間或者到期日之前執(zhí)行美式看漲期權(quán)不是最優(yōu)的。證明：考慮下圖 0 Today Ex-Dividend Date Maturity of Option首先證明在時間之前不會執(zhí)行。考慮兩種交易策略：策略1：馬上執(zhí)行期權(quán)。這個策略價值為策略2：等到分紅前瞬間執(zhí)行，即使期權(quán)是虛值的。這個策略在時間的價值為，從而該策略在時間0的價值為策略2的價值大于策略1的價值，所以應(yīng)

6、該等待。其次證明在分紅后和到期日之前的任何時間也不會執(zhí)行?？紤]兩種交易策略：策略1：在分紅后馬上執(zhí)行期權(quán)。這個策略在時間的價值為，策略2：等到到期日執(zhí)行，即使期權(quán)是虛值的。這個策略在時間的價值為，從而該策略在時間的價值為策略2的價值大于策略1的價值，所以應(yīng)該等待。如果期權(quán)的執(zhí)行不是發(fā)生在分紅前的瞬間，則會損失利息但不會有任何收入。提前執(zhí)行的唯一收入是獲取紅利，所以美式期權(quán)除了在分紅前的瞬間和到期日外，其余時間不會執(zhí)行。下面討論在什么條件下會在分紅前瞬間提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)。我們通過比較分紅前瞬間執(zhí)行與不執(zhí)行美式看漲期權(quán)所獲得的收入來說明提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)的條件。如果在分紅前的瞬間提前執(zhí)行，則

7、期權(quán)的價值為如果不提前執(zhí)行，則期權(quán)的價值為。這個值是以股票的除息價為基礎(chǔ)的。這里是在到期日不管股票價格如何都執(zhí)行的期權(quán)這樣一個策略在時間的價值，是利用除息價來確定的。在分紅前瞬間執(zhí)行期權(quán)當(dāng)且僅當(dāng)執(zhí)行的價值大于不執(zhí)行的價值，即>即>（3）條件（3）說明，在時間執(zhí)行期權(quán)當(dāng)且僅當(dāng)紅利大于執(zhí)行價格的利息損失與以除息價為基礎(chǔ)的時間價值之和。由條件（3）（1） 如果股票不分紅，則美式期權(quán)不會提前執(zhí)行。（2） 美式期權(quán)提前執(zhí)行是最優(yōu)的當(dāng)且僅當(dāng)紅利充分大，以足以抵消執(zhí)行價格的利息損失和期權(quán)的時間價值。如果紅利很小，而離到期的時間很長，則不會提前執(zhí)行。3美式看跌期權(quán)美式看跌期權(quán)的提前執(zhí)行問題與美式看

8、漲期權(quán)的提前執(zhí)行有很大區(qū)別。區(qū)別的原因在于，美式看跌期權(quán)的支付以執(zhí)行價格為上界，這限制了等待帶來的收益。相反，美式看漲期權(quán)的支付沒有上界。即使標(biāo)的股票不支付紅利，美式看跌期權(quán)的有界支付使得提前執(zhí)行變成最優(yōu)的（當(dāng)股票價格變的非常低時）。提前執(zhí)行美式看跌期權(quán)的收益是獲得支付的利息，而成本是放棄任何可能的額外收益。當(dāng)這種額外收益非常小時，提前執(zhí)行的收益超過放棄的成本。我們先定義美式看跌期權(quán)的時間價值。定義：以不支付紅利的股票為標(biāo)的物的美式看跌期權(quán)的時間價值為（4）這里是美式看跌期權(quán)在時間0的價值，不是在到期日不管股票價格為多少都執(zhí)行期權(quán)這樣策略在時間0的價值。直觀上來說，時間價值是由于等待以決定執(zhí)行

9、期權(quán)而給期權(quán)合約帶來的價值增加值。因?yàn)樵诘狡谌?，期?quán)是虛值時可以不執(zhí)行，所以時間價值是非負(fù)的。因?yàn)椋?）這里是執(zhí)行價格、到期日均與美式期權(quán)相同的歐式看跌期權(quán)的價值，所以（1）時間價值大于美歐式期權(quán)價格之差；（2）時間價值是非負(fù)的。下圖說明了看跌期權(quán)的時間價值作為股票價格的函數(shù)的性質(zhì)。下面我們討論紅利對看跌期權(quán)提前執(zhí)行的影響。和前面一樣，我們假設(shè)在期權(quán)的有效期內(nèi)，每股股票在時間支付已知紅利。我們先拓展看跌期權(quán)時間價值的定義。在期權(quán)到期日不管股票價格如何都執(zhí)行期權(quán)這樣一個策略在時間0的價值為它表示執(zhí)行價格的現(xiàn)值減去股票除息價格的現(xiàn)值。和無紅利股票期權(quán)比較起來，由于分紅導(dǎo)致的股價下降使得該策略增值。

10、定義：以支付紅利的股票為標(biāo)的物的美式看跌期權(quán)的時間價值為（6）（6）與（4）比較起來，差別在于紅利現(xiàn)值導(dǎo)致的調(diào)整。下面我們考慮美式看跌期權(quán)的提前執(zhí)行問題。和前面一樣，我們通過比較執(zhí)行與不執(zhí)行美式看漲期權(quán)所獲得的收入來說明提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)的條件。如果美式看跌期權(quán)在時間0執(zhí)行，它的值為如果不提前執(zhí)行，它的價值是。利用（6），我們可以寫成因此，在時間0提前執(zhí)行是最優(yōu)的當(dāng)且僅當(dāng)即（7）換句話說，提前執(zhí)行是最優(yōu)的當(dāng)且僅當(dāng)，在執(zhí)行價格上獲得的利息超過損失紅利的現(xiàn)值與看跌期權(quán)時間價值的和。從（7），我們得到性質(zhì)：即使標(biāo)的股票不分紅，美式看跌期權(quán)也可能提前執(zhí)行。這個性質(zhì)說明了美式看漲期權(quán)和美式看跌期權(quán)之間

11、的主要差別。給定標(biāo)的股票不分紅，美式看漲期權(quán)不提前執(zhí)行，而美式看跌期權(quán)有可能提前執(zhí)行。性質(zhì)：（1）紅利將推遲美式看跌期權(quán)的提前執(zhí)行。（2）美式看跌期權(quán)不會在分紅前瞬間提前執(zhí)行。證明：（1）當(dāng)紅利增加時，（7）左邊超過右邊的可能性減少。（2） 考慮下面兩個可能的執(zhí)行策略：策略1：在分紅前瞬間執(zhí)行看跌期權(quán)，期權(quán)的價值為策略2：在分紅后馬上執(zhí)行，期權(quán)的價值為期權(quán)在策略2下價值更高。（1）說明，紅利趨向于推遲美式看跌期權(quán)的提前執(zhí)行，因?yàn)閷淼募t利將導(dǎo)致股票價格在分紅日下降，等待這個下降將增加美式看跌期權(quán)價值。（2）說明進(jìn)一步說明這個性質(zhì)。它說明應(yīng)該在分紅后而不是分紅前提前執(zhí)行。4定價前面討論了美式期權(quán)

12、提前執(zhí)行的一般性質(zhì)。為了確定美式期權(quán)更明確的價格，我們應(yīng)該給出標(biāo)的股票價格運(yùn)動分布的進(jìn)一步假設(shè)。本節(jié)我們在二項(xiàng)樹模型中討論美式期權(quán)的定價。美式看漲期權(quán)標(biāo)的股票不分紅時，美式看漲期權(quán)的價格等于歐式看漲期權(quán)的價格。標(biāo)的股票分紅時，我們看下面的例子。例子：美式看漲期權(quán)定價考慮一個美式看漲期權(quán)，到期日為1年。標(biāo)的股票現(xiàn)在的價格為100元，股票在6個月時將支付紅利5元。支付紅利的時間和大小都是確定的。期權(quán)的執(zhí)行價格為90元。美式看跌期權(quán)我們在前面已經(jīng)證明，對于美式看跌期權(quán)而言，即使標(biāo)的股票不分紅，美式看跌期權(quán)也可能提前執(zhí)行。而分紅推遲提前執(zhí)行的時間。我們通過例子來說明。例子：美式看跌期權(quán)The fact

13、 that it may be optimal to prematurely exercise an American put option, even if the underlying stock pays no dividends, implies that at each node in the lattice we must check to see if the option should be exercised. This calculation increases the amount of computing time necessary to value the Amer

14、ica put option. 代數(shù)表示In the limit as tends to zero, an exact value for the American put is obtained. In practice, =30 usually gives reasonable results.5. 利用二項(xiàng)樹模型給指標(biāo)期權(quán)、外匯期權(quán)定價期權(quán)定價的二項(xiàng)樹模型可以拓展到標(biāo)的股票提供以為比率的連續(xù)紅利流的美、歐式看漲和看跌期權(quán)的定價。因?yàn)榧t利提供的回報率為，所以股票價格本身提供的回報率為。這時有等價鞅測度滿足所以因?yàn)槲覀兛梢园压善敝笜?biāo)、外匯視為支付連續(xù)紅利收益率的股票，所以上面二項(xiàng)樹模型可以以

15、來給指標(biāo)期權(quán)、外匯期權(quán)定價。這時，股票指標(biāo)的紅利率是組成指標(biāo)的證券組合的紅利率，外匯的紅利率是外國的利率。例子：股票指標(biāo)期權(quán)定價例子：外匯期權(quán)定價考慮一年到期的以英鎊為標(biāo)的物的美式看跌期權(quán)?，F(xiàn)在的匯率是1.6100美元，執(zhí)行價格是1.6000美元。每個國內(nèi)的利率是8%，而英國國內(nèi)利率是9%，匯率的波幅為12%。求該期權(quán)的價格。6計(jì)算的復(fù)雜性當(dāng)標(biāo)的股票支付紅利后，二項(xiàng)樹模型中股票的價格不再重合。這增加了價格分枝的數(shù)量，從而增加了計(jì)算的復(fù)雜性。This increase in the number of lattices causes computing time to increase exponentially as the number of dividends to be paid over the options life increases. For this reason, efficient computational procedures for computing American option values is an active area of current research.已知紅利收益率(dividend yield)假設(shè)只有一次紅利支付，紅利收