新湘教版八年級數(shù)學(xué)下冊212多邊形的外角和

1、第第2章章 四邊形四邊形2.1 多邊形多邊形第第2課時課時 多邊形的外角和多邊形的外角和湘教版八年級數(shù)學(xué)下冊湘教版八年級數(shù)學(xué)下冊說一說說一說n邊形的內(nèi)角和等于邊形的內(nèi)角和等于( (n- -2) ) 180多邊形的內(nèi)角和定理多邊形的內(nèi)角和定理: :正正n邊形的每一個內(nèi)角邊形的每一個內(nèi)角=( (n- -2) ) 180n 如圖如圖2-6，EDF是五邊形是五邊形ABCDE的一個的一個外角外角.在多邊形的每個頂點處取一個外角，它在多邊形的每個頂點處取一個外角，它們的和叫作這個多邊形的們的和叫作這個多邊形的外角和外角和. 多邊形的內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延多邊形的內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角

2、叫作這個多邊形的一個長線所組成的角叫作這個多邊形的一個外角外角.圖圖2-6ABCDE 如圖如圖2-7，在四邊形，在四邊形ABCD的每一個頂點處取一個外的每一個頂點處取一個外角，如角，如1，2，3，4. 1 +2 +3 +4 = 4 180 - 360 = 360. 1 +DAB = 180，2 +ABC = 180， 3 +BCD = 180， 4 +ADC = 180，又又 DAB +ABC +BCD +ADC = 360， 四邊形的外角和為四邊形的外角和為360.圖圖2-7動腦筋動腦筋 我們已經(jīng)知道三角形的外角我們已經(jīng)知道三角形的外角和為和為360，那么四邊形的外角，那么四邊形的外角和為多

3、少度呢？和為多少度呢？探究探究 三角形的外角和是三角形的外角和是360，四邊形，四邊形的外角和是的外角和是360，n邊形（邊形（n為不小于為不小于3的任意整數(shù)）的外角和都是的任意整數(shù)）的外角和都是360嗎？嗎？n邊形的外角和與邊數(shù)有關(guān)系嗎？邊形的外角和與邊數(shù)有關(guān)系嗎？ 類似于求四邊形外角和的思路，在類似于求四邊形外角和的思路，在n邊形的每一個頂邊形的每一個頂點處取一個外角，其中每一個外角與它相鄰的內(nèi)角之和為點處取一個外角，其中每一個外角與它相鄰的內(nèi)角之和為180. 因此，這因此，這n個外角與跟它相鄰的內(nèi)角之和加起來是個外角與跟它相鄰的內(nèi)角之和加起來是n 180，將這個總和減去，將這個總和減去n

4、邊形的內(nèi)角和（邊形的內(nèi)角和（n-2 )180所得的差即為所得的差即為n邊形的外角和邊形的外角和. 分析：分析： n 180-（n-2 )180 =n-（n-2 ) 180 = 2180 = 360 .A1A2A3A4A5An注意：注意： n 邊形的外角和與邊數(shù)沒有關(guān)系邊形的外角和與邊數(shù)沒有關(guān)系.任意多邊形的外角和等于任意多邊形的外角和等于360.由此得出：由此得出：結(jié)論結(jié)論多邊形的外角和定理多邊形的外角和定理注意：多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)。注意：多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)。正正n邊形的每一個外角邊形的每一個外角= 360n例例2 一個多邊形的內(nèi)角和等于它外角和的一個多邊形的內(nèi)角和等于它外角和的5

5、倍，它是幾邊形？倍，它是幾邊形？解：解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則它的內(nèi)角和等于則它的內(nèi)角和等于(n-2) 180.由題意得：由題意得：(n-2) 180=5360，解得解得 n=12.因此這個多邊形是十二邊形因此這個多邊形是十二邊形.舉舉例例觀察觀察 三角形具有穩(wěn)定性三角形具有穩(wěn)定性， 那么四邊形呢？用那么四邊形呢？用4 根根木條釘成如圖木條釘成如圖2-8 的木框，隨意扭轉(zhuǎn)四邊形的邊，的木框，隨意扭轉(zhuǎn)四邊形的邊，它的形狀會發(fā)生變化嗎？它的形狀會發(fā)生變化嗎？圖圖2-8 我們發(fā)現(xiàn)，四邊形的邊長不變，但它的形狀我們發(fā)現(xiàn)，四邊形的邊長不變，但它的形狀改變了，這說明改變了，這說明四邊形具有

6、不穩(wěn)定性四邊形具有不穩(wěn)定性. . 在實際生活中，我們經(jīng)常利用在實際生活中，我們經(jīng)常利用四邊形的不穩(wěn)定性四邊形的不穩(wěn)定性，例，例如圖如圖2-9 （a）中的電動伸縮門、圖）中的電動伸縮門、圖2-9 （b）中的升降器）中的升降器.有時又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，例如在圖有時又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，例如在圖2-9 （c）中的）中的柵欄兩橫梁之間加釘斜木條，構(gòu)成三角形，這是為了利用柵欄兩橫梁之間加釘斜木條，構(gòu)成三角形，這是為了利用三角形的穩(wěn)定性三角形的穩(wěn)定性.圖圖2-9（a）（c）（b）1. 一個多邊形的每一個外角都等于一個多邊形的每一個外角都等于45， 這個多邊形是幾邊形？它的每一個內(nèi)角這個多邊形是幾

7、邊形？它的每一個內(nèi)角 是多少度？是多少度？解：設(shè)這個多邊形是解：設(shè)這個多邊形是n邊形，則：邊形，則： 45n=3600， n=8， 即這個多邊形是八邊形。即這個多邊形是八邊形。 因此，每個內(nèi)角的度數(shù)為因此，每個內(nèi)角的度數(shù)為135.練習(xí)練習(xí)2. 如圖，求圖中如圖，求圖中x的值的值.解：由多邊形的外角和定理得：解：由多邊形的外角和定理得： 3x+900+900 =360， x=60. 3. 舉出日常生活中利用四邊形不穩(wěn)定性的一些例子舉出日常生活中利用四邊形不穩(wěn)定性的一些例子.如左上圖：伸縮衣架是根如左上圖：伸縮衣架是根據(jù)平行四邊形的不穩(wěn)定性據(jù)平行四邊形的不穩(wěn)定性，用同樣，用同樣 長的木條構(gòu)成的長的

8、木條構(gòu)成的幾個相連的菱形，每個頂幾個相連的菱形，每個頂點處都有一個掛鉤，不僅點處都有一個掛鉤，不僅美觀，而且實用。美觀，而且實用。如右上圖：液晶電視的雙臂旋如右上圖：液晶電視的雙臂旋轉(zhuǎn)伸縮可懸掛支架也用到了四轉(zhuǎn)伸縮可懸掛支架也用到了四邊形的不穩(wěn)定性，調(diào)節(jié)幅度大邊形的不穩(wěn)定性，調(diào)節(jié)幅度大，可上下左右及前后多方向調(diào)，可上下左右及前后多方向調(diào)節(jié)滿足客戶觀看需要。節(jié)滿足客戶觀看需要。1.若一個正多邊形的一個外角是若一個正多邊形的一個外角是40，則這個正多邊形的，則這個正多邊形的邊數(shù)是邊數(shù)是 （ ） A. 10 B.9 C.8 D.6解析解析 根據(jù)任意多邊形的外角和均為根據(jù)任意多邊形的外角和均為360及

9、正多邊形各外角度及正多邊形各外角度 數(shù)都相等知數(shù)都相等知360 40= 9. 故選故選B. B 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)2.某多邊形的內(nèi)角和是其外角和的某多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則此多邊形的倍，則此多邊形的邊數(shù)是（邊數(shù)是（ ） A. 5 B.6 C.7 D.8D 設(shè)邊數(shù)為設(shè)邊數(shù)為n，則則 (n-2) 180= 3360， n=8， 故選故選D.解析解析3.當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加1時，它的內(nèi)角和與外角和（時，它的內(nèi)角和與外角和（ ）都不變都不變. B. 內(nèi)角和增加內(nèi)角和增加180，外角和不變，外角和不變 C. 內(nèi)角和增加內(nèi)角和增加180，外角和減少，外角和減少180. D. 都增加都增加180.解析解析 多邊形的外角和為多邊形的外角和為360與邊數(shù)無關(guān)，由內(nèi)角和公與邊數(shù)無關(guān)，由內(nèi)角和公式式(n-2)180得得n增