雙曲線簡單幾何性質(zhì)

1、雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 方正一中 馬云成 教學(xué)目標：使學(xué)生掌握雙曲線的范圍、對稱性、頂點、漸近線等幾何性質(zhì)。用雙曲線的方程去研究其幾何性質(zhì)，進一步反應(yīng)了解析幾何的特點，并用圖像幫助理解雙曲線的幾何性質(zhì)，解決一些相關(guān)問題。能力目標：通過類比橢圓的簡單幾何性質(zhì)的方法來研究雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，在老師引導(dǎo)下讓學(xué)生積極討論、歸納，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、研究能力，增強他們的自信心。情感目標：培養(yǎng)學(xué)生對待知識的科學(xué)態(tài)度和探索精神，而且能夠運用運動的、變化的觀點分析理解事物。教學(xué)重點：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)。教學(xué)難點：漸近線的求法及理解。教學(xué)流程：(一)創(chuàng)設(shè)情境我們知道，橢圓和雙曲線同屬于一類-都為圓錐曲線，那么研究

2、的方法方式應(yīng)該是大同小異的。類比橢圓，我們今天一起來研究一下雙曲線的簡單幾何性質(zhì)。 T:為了能夠?qū)﹄p曲線的簡單幾何性質(zhì)有一個更為全面的認識，首先來復(fù)習(xí)一下前面所學(xué)的只是和內(nèi)容。T:雙曲線有幾個標準方程？T:分焦點在軸和焦點在軸上兩種情況。T:當(dāng)點在軸上時，雙曲線的大致圖像呈現(xiàn)為這樣一種趨勢吧！ T:再來回想一下，橢圓我們研究了它的哪些焦點幾何性質(zhì)??？(T, S)研究了范圍，對稱性，頂點以及離心率四個方面的性質(zhì)。T:類比橢圓，你認為應(yīng)該研究雙曲線的哪些性質(zhì)？應(yīng)如何研究這些性質(zhì)？（二）新課講解T:在沒有辦法畫出雙曲線較為精確的圖像之前，我們只能夠利用雙曲線的標準方程及這個草圖來研究雙曲線的幾何性質(zhì)

3、T:不妨以焦點坐標在軸上的標準方程為例，。1范圍：T:由標準方程可得，即，所以或，不難發(fā)現(xiàn)：|Y|隨|x|的增大而增大。這說明雙曲線應(yīng)始終分居在直線x=a和x=-a的外側(cè)并無限伸展。而在（-a， a）之間沒有圖象，這與橢圓是封閉曲線有很大的差別。2.對稱性：T:請同學(xué)們觀察一下這個草圖，它具不具有對稱性啊 ？給我們直觀上的感覺它應(yīng)該是一個關(guān)于對稱軸和原點對稱的吧？T:那該怎樣來驗證它呢T:要證明它關(guān)于對稱軸和原點對稱，只需要考察雙曲線上任意一點（x ，y）關(guān)于對稱軸和原點對稱對稱的點是否在標準方程上即可。T:因此，只需考察點（x，-y）（-x，y）（-x，-y）。T:請同學(xué)們自己驗證這些點滿步

4、滿足標準方程？T:不難發(fā)現(xiàn)，它們都是滿足標準方程的，在根據(jù)點（x ，y）的任意性，進而說明，雙曲線關(guān)于對稱軸和原點對稱。T:其中坐標軸（軸、軸）是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心.雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心.3頂點T:觀察圖形，雙曲線和對稱軸x軸有 交點吧？設(shè)為A1 ,A2。.在橢圓里，我們把橢圓與對稱軸的交點叫橢圓的頂點。在這里我們?nèi)匀话央p曲線與對稱軸x軸的交點A1 ,A2.叫做雙曲線的兩個頂點。T:那么坐標應(yīng)為多少？T:只需將標準方程中，令得 即可，故它與軸有兩個交點的坐標分別為，我們把雙曲線的兩個頂點間的線段叫做雙曲線的實軸，把實軸在長度叫做雙曲線的實軸長，因此，實軸長是2.

5、而把實軸長的一半.叫做實半軸長。T:對于方程而言，令得，這個方程沒有實數(shù)根，說明雙曲線和軸沒有交點。但我們?nèi)匀话严旅鎯蓚€特殊點做在y軸上，由于這兩個點并不是雙曲線與對稱軸y軸的交點，因此，我們不能把這兩個點叫做雙曲線的頂點。但這兩個點在雙曲線中也有非常重要的作用 把線段叫做雙曲線的虛軸，虛軸長是，把虛軸長的一半b叫做雙曲線的虛半軸長。T:在這里值得注意的是，應(yīng)該與橢圓完全區(qū)分開來。雙曲線只有兩個頂點，而橢圓有4個頂點，更不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆 T:以上三個性質(zhì)，橢圓和雙曲線都是具有的。對于橢圓來說，學(xué)了這三個性質(zhì)之后就可以畫出任意標準方程的草圖了，但雙曲線僅靠這三個性質(zhì)是不能夠較為

6、簡單，快捷的畫出他的草圖的。這是為什么呢？在性質(zhì)1里說了，|Y|隨|x|的增大而增大，這種變化趨勢有多快？有沒有個限制的條件？是|x|變化較大時，|y|才很大；還是|x|變化較小時，|y|就很大？知不知道??？為了尋求這個條件，我們一起來看一下雙曲線具有而橢圓不具有的一個幾何性質(zhì).漸近線4漸近線T:過雙曲線的兩頂點，作軸的平行線，經(jīng)過作軸的平行線，四條直線圍成一個矩形 矩形的兩條對角線所在直線方程是。T:下面我們就要來說明一個事實，那就是板書：隨著|x|的無限增大，雙曲線無限接近直線T:也就是要證明隨著雙曲線各支向外無限伸展，雙曲線逐漸接近直線。T:為了證明的方便。我們只證明第一象限的情況，其它

7、象限可以利用其對稱性加以說明。T:首先畫出第一象限的圖像T:對于第一象限而言“無限接近”包含了兩個方面的含義：第一，雙曲線始終在直線的下方；第二，在無窮遠處，雙曲線上的點到直線的距離無限的接近于0.因此，證明也要從這么兩個方面入手。證明過程（首先來做一下交點的理論分析。在x軸的無窮遠處任做一條直線平行于y軸T:這也意味著在第一象限雙曲線圖像永遠在的圖像的下方隨著的增大而無限靠近，其它象限可以利用其對稱性加以說明。我們把這兩條直線稱為雙曲線的漸近線，這是圓錐曲線中雙曲線所特有的幾何性質(zhì).：漸近線的求法： T:或：等軸雙曲線：T:當(dāng)時 漸近線為：。實軸和虛軸等長，我們把這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線

8、（結(jié)合圖形說明：時，雙曲線方程變成(或，它的實軸和虛軸都等于2a(2b)，這時直線圍成正方形，漸近線方程為 它們互相垂直且平分雙曲線的實軸和虛軸所成的角)：漸近線的作用： T:（1）可以幫助我們掌握雙曲線的變化趨勢。（2）幫助我們做草圖（補充說明做法）。（三）例題講解：例1：求雙曲線的頂點，實半軸長，虛半軸長漸近線并作簡圖。（分析：此方程不是雙曲線的標準方程，應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化成標準形式） 解：雙曲線方程為，所以a=4，b=3：頂點坐標為（3，0），（-3，0），實軸長為2a=8，虛軸長為2b=6，漸近線方程為。 (四)小結(jié)：1.本堂課的主要內(nèi)容為：當(dāng)雙曲線的焦點在x軸時的范圍、對稱性、頂點、漸近線方程、漸近