線性代數(shù)：5-7 正定二次型

1、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的,但是標(biāo)準(zhǔn)形中所但是標(biāo)準(zhǔn)形中所含非零項(xiàng)數(shù)是唯一確定的含非零項(xiàng)數(shù)是唯一確定的,等于等于二次型的矩陣的秩二次型的矩陣的秩。對(duì)于對(duì)于實(shí)實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二次型的標(biāo)準(zhǔn)形,不僅如此不僅如此,其中正系數(shù)其中正系數(shù)的項(xiàng)數(shù)也是的項(xiàng)數(shù)也是不變的不變的(從而負(fù)系數(shù)的項(xiàng)數(shù)也不變從而負(fù)系數(shù)的項(xiàng)數(shù)也不變),也就也就是有以下是有以下慣性定理慣性定理。 證明略證明略實(shí)實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中正系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為二二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中正系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為二次型的次型的，負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為，負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為科學(xué)技術(shù)上用得較多的二次型是正慣性指科學(xué)技術(shù)上用得較多的二次型是正慣性指實(shí)二次型的正實(shí)二次型的正

2、(負(fù)負(fù))慣性指數(shù)唯一確定慣性指數(shù)唯一確定.若若 n 元元實(shí)實(shí)二次型二次型 f 的正慣性指數(shù)為的正慣性指數(shù)為 p，f 的的秩為秩為 r, 則則 f 的的為為f = y12 + + yp2 yp+12 yr2 . 數(shù)為數(shù)為 n 的的 n 元實(shí)二次型，即元實(shí)二次型，即.以下從以下從函數(shù)函數(shù)的角度研究的角度研究實(shí)實(shí)二次型。二次型。211112121313112222232322222222nnnnnnnaaaaaaaaxx xx xx xxx xx xx12(,)nn元實(shí)二次型f x xxTT（其中）x AxAA多項(xiàng)式形式多項(xiàng)式形式矩陣乘積形式矩陣乘積形式112212,(nnncccc ccRxxx(

3、1)令實(shí)數(shù)域)，則21211 112 1 213 1 311222223 2 3222( ,)22222nnnnnnnnc cca ca c ca c ca c ca ca c ca c ca cf12nncccRx(2)令，則121212( ,)( ,)nnnccc ccc cccfA如：如：(0,0,0)0f11(1,0,0)af111222(1,1,0)2aaaf兩種寫(xiě)法兩種寫(xiě)法:思考：下列命題正確嗎？思考：下列命題正確嗎？22212312113223331.( ,)2,3,xcxcxf x xcxxxxR設(shè)恒有123( ,0)f c c c111312322233222313.( ,)

4、,20,xcxxcf x x xxccxccR設(shè)，且恒有22211123123223332132.( ,)23, 0 xcxcxccccf x x xxxxR 且設(shè)恒有123( ,0)f c c c123( ,)0f c c c, ;半正定半負(fù)定負(fù)定正定二次型正定二次型221212(,)3 f x xxx負(fù)定二次型負(fù)定二次型例如例如2212123(,)3f x xxxx221212(,)3f x xxx221212(,)3f x xxx2212123(,)3 f x xxxx不定不定半正定二次型半正定二次型半負(fù)定二次型半負(fù)定二次型 22211220,1,2,ninnddddin元實(shí)標(biāo)準(zhǔn)形正定y

5、yy,n若均為階正定矩陣 則也是正定矩陣。A BAB,首先，因?yàn)榫鶠閷?shí)對(duì)稱矩陣 所以也是A BAB,實(shí)對(duì)稱矩陣。其次，由于為正定矩陣任意，所以A B()0TTTx AxxxxBxAB0,0,0,TnTR有給從而定x Axx Bxxx故是正定矩陣.ABk 、也是正定矩陣嗎ABAAB n它的標(biāo)準(zhǔn)形的它的標(biāo)準(zhǔn)形的 n 個(gè)個(gè)系數(shù)系數(shù)全為正全為正 設(shè)設(shè)實(shí)實(shí) 0 A思考：思考： +1 A E1*、A AA正正定定也也正正定定+22nAE正慣性指數(shù)正慣性指數(shù)= 實(shí)實(shí);00011112221121111nnnnaaaa,aaaa,a實(shí)實(shí)111110,1.kkk ki ii iki ii iaaiinaa思考：

6、思考：TA A正正定定也也正正定定 0(1) AA正正定定0,1,2,ijn niiaain(2)A正正定定 32312123222132148455,xxxxxxxxxxxxf 解解 的的矩矩陣陣為為321,xxxf,524212425 , 05 5210,21 52421210,425 1224121243010122111221212122112211214（都不是正定的）（都不是正定的）1111( 1)0 (1 2)rrrrraar, ,naa AA定定正正定定負(fù) xzxyzyxf44465222 解解 的矩陣為的矩陣為, 0511 a, 026622522211211 aaaa, 080