函數(shù)的連續(xù)性在高等代數(shù)中的應(yīng)用

1、函數(shù)的連續(xù)性在高等代數(shù)中的應(yīng)用 摘要：數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)非常重要的基礎(chǔ)課程，這兩門課程的一些問題如果只是從學(xué)科內(nèi)部出發(fā)很難解決，而運(yùn)用另一門學(xué)科的知識(shí)解決，問題就變得簡單易行.關(guān)鍵詞:連續(xù)函數(shù)；行列式；矩陣；二次型Applications of Continuity of Function in Advanced Algebra Zhou Yuxia (College of Mathematics and the Information Science, NorthwestNormalUniversity, Lanzhou 730000)Abstract: The mathema

2、tical analysis and advanced algebra are very important foundation courses of university mathematics special eld,some of the problems of both courses within the discipline, ifonly from the start are dif-cult to resolve but used of the knowledge of other disciplines to solve,the problem becomes very e

3、asy.Key words:continuous function; matrix; determinant; quadratic form 本文記號(hào)說明：const: 常數(shù)；AT : 矩陣A的轉(zhuǎn)置；A*:矩陣A的伴隨矩陣；f(x)C（a,b）:f(x)在（a,b）上連續(xù).一引言數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)都是高等教育中非常重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，無論是數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生還是其他理工科專業(yè)的學(xué)生，都要學(xué)好這兩門基礎(chǔ)課. 稍微有點(diǎn)區(qū)別就是非數(shù)學(xué)專業(yè)開設(shè)的是等數(shù)學(xué)或者微積分和線性代數(shù)，但這只是課程名稱的變化，具體學(xué)習(xí)內(nèi)容都是一樣的. 因此，學(xué)好這兩門課程是學(xué)好大學(xué)數(shù)學(xué)課程的關(guān)鍵. 學(xué)生應(yīng)該掌握數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)之間深刻

4、的聯(lián)系，以便更容易了解、學(xué)習(xí)、掌握這兩門基礎(chǔ)課，為以后更深入的學(xué)習(xí)深造打好扎實(shí)基礎(chǔ).本文只探究數(shù)學(xué)分析在高等代數(shù)中的應(yīng)用，包括利用數(shù)學(xué)分析中的函數(shù)連續(xù)性解決某些行列式、矩陣、二次型問題.至于高等代數(shù)在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用本文暫不探究.二函數(shù)連續(xù)性的應(yīng)用 函數(shù)的連續(xù)性不僅在數(shù)學(xué)分析學(xué)科內(nèi)部有很重要的地位，在跨學(xué)科比如高等代數(shù)中也有很重要的作用.以下簡要說明一下數(shù)學(xué)分析中函數(shù)連續(xù)性在高等代數(shù)中多個(gè)方面的應(yīng)用.1 函數(shù)連續(xù)性在解決行列式問題中的應(yīng)用行列式是學(xué)生剛接觸到大學(xué)數(shù)學(xué)課程后，在高等代數(shù)方面遇到的第一個(gè)新概念，運(yùn)用已有知識(shí)學(xué)習(xí)新概念，能使學(xué)生更容易理解和掌握. 以下說明函數(shù)的連續(xù)性在解決行列式問題

5、中的部分應(yīng)用. 例1設(shè)A, B, C, D都是n階矩陣, AC = CA.若|A|0, 則這個(gè)命題是 8的P203的補(bǔ)充題6，該命題是正確的2,5,6,7，但這個(gè)條件是可以去掉的，此時(shí)結(jié)論依然成立. 現(xiàn)證明如下：當(dāng)|A|=0時(shí)，=const>0，對(duì)(0, )，矩 陣=A + E可逆，即.AC = AC + C = CA + C = CA. 從而 顯而上式等號(hào)兩端都是關(guān)于之連續(xù)函數(shù)，故可在兩端同時(shí)令0+，即得到故結(jié)論成立. 命 題 (1),其中F是一個(gè)數(shù)域，對(duì)任何方陣A=A + E，除有限個(gè)值外均為非奇異矩陣. (2)=const>0，對(duì)(0, )，A=A + E均為可逆矩陣.證(1

6、)A奇異|A|=|A + E|=|E (A)|=0為A的特征根. 而矩陣A最多有n個(gè)不同的特征根，可見除了有限個(gè)為A的特征根外，A為非奇異陣.(2)因?yàn)锳其至多有有限個(gè)特征根，記其為1, 2, ···, n，不妨 設(shè)1=0，今設(shè)是A的非0特征根的絕對(duì)值(或模)之 最小值，則對(duì)(0, )，A= A + E為非奇異陣.例2證 明 ：(A*)*=|A|n-2A， 其 中A是n × n矩 陣(n>2) .證當(dāng)A為非奇異矩陣時(shí)，由A*= |A|A-1知(A*)*=|A*|(A*)-1=|A|A|(|A|A)當(dāng)A為 奇異 矩 陣時(shí) ， 對(duì)一 切 充分 小 的&

7、gt;0， 矩 陣A=A + E為非奇異矩陣，由上述已證結(jié)論有，.上式矩陣中的每個(gè)元素均為之連續(xù)函數(shù)，所以令得例3 設(shè) Ajk 是 ajk的代數(shù)余子式 ，求證證 （1）先證detA0. 2函數(shù)連續(xù)性在解決普通矩陣問題中的應(yīng)用 對(duì)于某些純矩陣問題，用代數(shù)方法解決很復(fù)雜，但利用數(shù)學(xué)分析中連續(xù)函數(shù)的思想和方法，則顯得容易許多.B *A例5*.若A與B為同階矩陣,A*為A的伴隨矩陣，則(AB) 2,5*=證當(dāng)A與B 均為非奇異陣時(shí)，則結(jié)論顯然成立 .以下證明當(dāng)至少有一個(gè)為奇異陣時(shí)，上述結(jié)論依然成立.由 命 題1 可 知 ，=const>0, (0,), A =A+ E,B= B + E 為非奇異

8、矩陣，故由上述結(jié)論可知 由 上 述 等 式 兩 邊 均 為之 連 續(xù) 函 數(shù) ， 故 可 對(duì) 上 式 兩 邊 同 時(shí)令0，即得到(AB)*= B *A *.故命題得證. 3函數(shù)連續(xù)性在解決特征多項(xiàng)式問題中的應(yīng)用函數(shù)的連續(xù)性在求解矩陣的特征多項(xiàng)式的過程中也有簡化計(jì)算過程等的長處. 例6若A, B均為同階方陣，則AB 與B A特征多項(xiàng)式相同. 證當(dāng)A為非奇異矩陣時(shí)，AB BA，故其特征多項(xiàng)式相同2,5,8. 當(dāng)A為奇 異陣時(shí)， 根據(jù)命題 1 知=const>0, s.t.(0, )，矩陣A= A + E 為非奇異陣，從而由上述結(jié)論可知|E AB| = |E B A|. 由 于上式 等號(hào) 兩邊

9、均 為之連續(xù) 函數(shù)， 故可對(duì) 上式兩 邊同 時(shí)令0，即得到 |E AB| = |E B A| 故命題得證. 本例結(jié)果實(shí)際上還可以推廣到“若A, B 分別是n×m和m×nm n矩陣，0，則|En AB|=|Em BA|2,5,8 ”.此處暫不探究. 4函數(shù)連續(xù)型在解決二次型問題中的應(yīng)用 二次型的判定和計(jì)算是大學(xué)期間數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，很多的問題光用代數(shù)方法解決是很難解決的，但反過來用數(shù)學(xué)分析的知識(shí)和觀點(diǎn)解決之，能使學(xué)生更容易理解和掌握.故命題得證.例8 若A為m階半正定矩陣，則A的伴隨矩陣A也半正定.三 結(jié)束語由以上討論可知高等代數(shù)與數(shù)學(xué)分析雖然是數(shù)學(xué)的不同分支，但是二者之

10、間在解決問題上往往相互滲透，彼此相通.用數(shù)學(xué)分析的思想方法解決某些高等代數(shù)問題，解決得非常巧妙簡潔明了.高等代數(shù)的思想方法在用于解決數(shù)學(xué)分析問題的時(shí)候，同樣能得到類似的效果，此處不再一一敘述. 故在學(xué)習(xí)過程中把握好高等代數(shù)與數(shù)學(xué)分析之間的聯(lián)系，留心不同分支之間的交融性，有助于培養(yǎng)融合知識(shí)的能力，進(jìn)而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的效果.參考文獻(xiàn)1王蓮花, 鞠紅梅, 李戰(zhàn)國. 數(shù)學(xué)分析在高等代數(shù)中的某些應(yīng)用J. 河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2008, 17(3):15-182唐亞楠. 高等代數(shù)同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解M. 徐州:中國礦業(yè)大學(xué)出版社, 20063姚云飛, 姚磊. 關(guān)于數(shù)學(xué)分析在線性代數(shù)中某些應(yīng)用的札記J. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2005, 21(6):108-1124劉敏, 儲(chǔ)亞偉. 分析與代數(shù)內(nèi)通性的幾個(gè)簡單應(yīng)用J. 阜陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2005, 22(1):77-795徐仲, 陸全, 張凱院, 呂全義, 陳芳, 袁志杰. 高等代數(shù)(北大·第三版)導(dǎo)教·導(dǎo)學(xué)·導(dǎo)考M. 西安:西北工業(yè)大