專升本第五章_多元函數(shù)微積分學(xué)

1、l第一節(jié) 空間解析幾何簡介l第二節(jié) 多元函數(shù)的概念l第三節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分l第四節(jié) 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法l第五節(jié) 多元函數(shù)的極值l第六節(jié) 二重積分的概念性質(zhì)及計(jì)算第六章 多元函數(shù)微分學(xué)基礎(chǔ) 在上學(xué)期我們討論了一元函數(shù)的微積分.但在自然科學(xué)和工程技術(shù)中，很多問題都與多種因素有關(guān)，反映到數(shù)學(xué)上就是多元函數(shù)的問題.本篇將在一元函數(shù)的基礎(chǔ)上討論多元函數(shù)的微積及其應(yīng)用，而本章主要介紹空間解析幾何的基本知識和多元函數(shù)的微分及一些簡單的應(yīng)用.,.,.,(1)OOxyzxyzzxyz 過空間一定點(diǎn)作三條兩兩互相垂直的數(shù)軸(一般取它們的單位長度相同),就構(gòu)成了一個(gè)間標(biāo)點(diǎn) 叫坐標(biāo)原點(diǎn),這三條數(shù)軸統(tǒng)稱為標(biāo)軸,分別

2、叫作 軸軸和 軸通常 軸軸在水平平面上軸是鉛垂直線它們的正身般符合右手法則,即以右手握 軸 當(dāng)四指從 軸的正向以不大于90的角度轉(zhuǎn)到 軸的正向時(shí) 伸直的大拇指的指向就是軸的正向 見圖6空直角坐系.坐Oxyz一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系,.xyyzzxxOyyOzzOx 三條坐標(biāo)嶄中任兩條可確定一個(gè)平面,稱為坐標(biāo)面,其三個(gè).由 軸和 軸軸和 軸軸和 軸所確定的坐標(biāo)面分別叫作面面和面 建立了空間直角坐標(biāo)系后，就可以討論間的與三個(gè)有序數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系. .,(), , ., , ., , ,.PPxAyBzCxyzx y zPx y zx y zxxAyyBzzCP 設(shè) 空間一點(diǎn) 過點(diǎn) 分別

3、作與三條坐標(biāo)軸垂直的平面,它們分別交 軸于 點(diǎn) 交 軸于 點(diǎn) 交 軸于 點(diǎn) 見圖 這三點(diǎn)在軸軸 軸上人坐標(biāo)依次為這樣 空間的點(diǎn) 就惟一地確定了一個(gè)有序組反之 給定有序數(shù)組在 軸上取坐標(biāo)為 的點(diǎn)在 軸上取坐標(biāo)為 的點(diǎn)在 軸上取坐標(biāo)為 的點(diǎn)再過這三點(diǎn)分別作垂直于三條坐標(biāo)軸的平面,則這三個(gè)平面必然交于點(diǎn) 這, ,., ,.( , , ),Px y zx y zPP x y z樣建立空間的點(diǎn) 和有序數(shù)組之間的一一對應(yīng)關(guān)系有序數(shù)組稱為點(diǎn) 的坐標(biāo)記作它們分別稱為橫坐標(biāo) 縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo).6-2,(0,0,0),( , ,0),(0, , ),0,xOyx yyOzy z zOxxz 顯然 原點(diǎn)坐標(biāo)為面上的坐

4、標(biāo)為面上上的坐標(biāo)為面上點(diǎn)的坐標(biāo)為(). 三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成了八部分，每部分叫做一個(gè)卦限（見圖6-3）.這八個(gè)卦限次序規(guī)定如下:圖6-2 點(diǎn)P位置xAyBpCO:( , , )|0,0,0;x y zxyz第一卦限:( , , )|0,0,0;x y zxyz第二卦限:( , , )|0,0,0;x y zxyz第三卦限:( , , )|0,0,0;x y zxyz第四卦限:( , , )|0,0,0;x y zxyz第五卦限:( , , )|0,0,0;x y zxyz第六卦限:( , , )|0,0,0;x y zxyz第七卦限:( , , )|0,0,0;x y zxyz第八卦限下面將平

5、面上兩點(diǎn)間的距離公式推廣到空間（證明從略）1111222212(,)(,),Mx y zMxyzMM設(shè)和為空間兩點(diǎn) 則點(diǎn)與間的距離為22212212121()()()(6-1)M Mxxyyzz 圖6-3 八卦限示意圖OxyzVVVV,( 3,2, 2)3.xPA 在 軸上求一點(diǎn)使它到點(diǎn)的距離為例1解,( ,0,0)3,(61)xP xPA 因?yàn)樗蟮狞c(diǎn)在 軸上 故可設(shè)它為由題意得由式得222(3)(02)(02)3x122,4xx 解得,(2,0,0)(4,0,0)因此 所求點(diǎn)為或.1.曲面方程的概念( , , )., ,( , , )0.,( , , )0,( , , )0()().Mx

6、y zx y zF x y zFx y zF x y z 建立曲面方程的方法與平面解析幾何中建立平面曲線方程的方法相似.在空間直角坐標(biāo)系中,把曲面看成空間一動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡根據(jù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以得到一個(gè)含的三元方程這樣 在曲面上的點(diǎn),其坐標(biāo)滿足這個(gè)方程,并且坐標(biāo)滿足這個(gè)方程的點(diǎn)都有在曲面上.因此,稱此方程為曲面方程 稱該曲面為方程的圖形或軌跡 見圖 這樣,就把曲面圖形與三元方程一一對應(yīng)起來.6-4二、曲面及其方程二、曲面及其方程 一般地，把由三元一次方程表示的曲面叫做一次曲面，也和為平面；由三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面.下面簡單介紹平面和一些常見的二次曲面方程.圖6-4 曲面示意xyzO( ,

7、, )M x y z2.平面方程111122,22( , , )( , ,),(,),.M x y zM a b cMa b cM 一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離相等該動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)平面下建立該平面方程由兩點(diǎn)距離公式知2221111()()()M Mxaybzc2222222()()()M Mxaybzc12222222111222,()()()()()()M MM Mxaybzcxaybzc又因?yàn)楣手?222221212122221112()2()2()0aa xbb ycc zabcabc兩邊平方整理得1212122222222221112 (),2 (),2 (),AaaBbbCccDabca

8、bc令則 上 式 變 成0(6-2)AxByCzD , , , ,;.A B C Dx y zD稱上式為平面的一般方程,式中,分別為變量的系數(shù)為常數(shù)項(xiàng)123( ,0,0),(0, ,0),(0,0, )(, ,0)(65)P aPbPca b c 求過點(diǎn)的平面方程 其中見圖例2圖6-5 例2示意圖xyzcab3p2p1p(62)0,(0)AxByCzDD 由設(shè)所求平面方程為 123,.P P P因?yàn)辄c(diǎn)在所求平面上 所以它們的坐標(biāo)都滿足所設(shè)方程于是有000AaDBbDCcD,DDDABCabc 解此方程組得0DDDxyzDabc將其代入所設(shè)方程中,有1Dybzabc消去 并整理得, ,a b c

9、xyz 稱上式為平面的截距式方程,式中,分別為平面在軸, 軸軸上的截距(見圖6-5)解 求三個(gè)坐標(biāo)平面的方程.例3,00.,0.xOyxyzzxOyxOyz 顯然在平面上所有點(diǎn)的坐標(biāo)無論 和 取何值 總是而滿足的點(diǎn)必然在平面上所以平面方程為,0,0.yOzxzOxy同理平面方程為平面方程為解11().zz z 作為常數(shù) 的圖形例4111,.,zzxyzzxyzzxOy 觀察發(fā)現(xiàn)在方程中無變量 和這表明表示的圖形上點(diǎn)的坐標(biāo),無論 和 取何值 總有因此 該圖形是一個(gè)與平面平行的平面(見圖6-6).解3.球面方程00,.MMRMR空間一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為一定值該動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡叫作球面,定點(diǎn)叫球心,定

10、值 叫作球面半徑下面建立該球面方程(見圖6-7)圖6-7 球面示意圖Oxzy0M圖6-6 例4示意圖xyz1zO0000(,)( , , ).Mxy zM x y z設(shè)球心坐標(biāo)為在球面上任取一點(diǎn)由兩點(diǎn)距離公式知2220000()()()M Mxxyyzz2222000()()()xxyyzzR故得0., ,.MRx y z上式就是以為球心以 為半徑的球面方程它是關(guān)于變量的三元二次方程2222,RxyzR顯然 球心在原點(diǎn)半徑為 的球面方程為解4.柱面方程lclc 動(dòng)直線 沿給定曲線 平行移動(dòng)形成的曲面叫做柱面.其中動(dòng)直線 叫柱面的母線,動(dòng)曲線 叫柱面的準(zhǔn)線.在這里只討論母線平行于坐標(biāo)軸的柱面.(

11、6-8)xOyz 下面建立以平面上的曲線為準(zhǔn)線,以平行于 軸的直線為母線的柱面方程 見圖x圖6-8 柱面示意圖yzMMOl( , , ),( , ,0),( ,0),( , )0,.( , )0,( , , )( , )0;,M x y zMzllxOyMx yMxyccf x yMcf x yzM x y zf x yzxOy 在柱面上任取一點(diǎn)過點(diǎn)作平行于 軸的直線該直線 與平面交于一點(diǎn)由柱面定義可知一定在準(zhǔn)線 上 準(zhǔn)線 的方程已知 設(shè)為則一定滿足準(zhǔn)線 的方程因?yàn)椴缓兞?所以柱面上的點(diǎn)的坐標(biāo)也滿足方程而不在柱面上的點(diǎn) 過該點(diǎn)平行于 軸的直線時(shí) 該直線與平面的交點(diǎn),( , )0,( , )0

12、.( , )0.,( , )0.cf x yf x yMf x yf x yxOycz一定不在準(zhǔn)線上 所以該點(diǎn)坐標(biāo)不滿足方程即不在柱面上的點(diǎn)坐標(biāo)一定不滿足方程由柱面上點(diǎn)的任意性可知,柱面上任意點(diǎn)都滿足方程因此 方程在空間表示以平面上曲線 為準(zhǔn)線以平行于 軸的直線為母線的柱面222.xyR 指出在空間直角坐標(biāo)系下是什么圖形例5222222,.xyRzxyRxOyz 因?yàn)橹胁缓兞?所以表示一個(gè)以平面上圓為準(zhǔn)線以平行于 軸的直線為母線的柱面.解稱這樣的柱面為圓柱面（見圖6-9）22222,1,.yxabypx 類似 稱為橢圓為拋等柱面物柱面,( , )0,. ( , )0.f y zyOzxf x

13、 zzOxy 同理在空間表示以平面上的曲線為準(zhǔn)線以平行于軸的直線為母線的柱面表示以平面上的曲線為準(zhǔn)線,以平行于 軸的直線為母線的柱面圖6-9 例5示意圖OxzRy1.空間曲線及其方程( , , )0( , , )0,F x y zG x y z 任何一條空間曲線都可以看成是兩個(gè)曲面的交線.設(shè)和是兩個(gè)曲面方程 它們交線上的每一點(diǎn)的坐標(biāo)都同時(shí)滿足上述兩個(gè)曲面方程;反過來,曲時(shí)滿足上述兩個(gè)曲面方程的點(diǎn)都在這條交線上.因此,聯(lián)立方程組( , , )0( , , )0F x y zG x y z(6 10)L 叫做空間曲線 的一般方程見圖x610L圖 空間直線OyzL( , , )0F x y z (

14、, , )0G x y z 三、空間曲線及方程三、空間曲線及方程 下列方程表示什么曲線:例622225(1);4xyzz0(2);0 xy0(3).0 xyxy222(1)2554.xyzzxOy 方程表示以原點(diǎn)為球心,以 為半徑的球面,方程表示平行平面的一個(gè)平面222224259zxyzxy將代入得222425.(0,0,4)3;zxyzz這說明平面與球面相交它們的交線是在平面 =4上以為圓心以 為半徑的圓(2)00.,;xyOzyzOxyOzzOxz 為平面,為平面平面與平面相交 它們的交線顯然就是 軸(3)00.xyxy和均表示平面000,.(2),000 xyxxyzxyyxy解方程組

15、得由第小題可知仍表示 軸.解:(18-5) 注 空間曲線方程可以用與它等價(jià)的任何兩個(gè)方程聯(lián)立的方程組代替,即空間曲線表示的方法不惟一.,空間曲線除用兩個(gè)曲面方程聯(lián)立表示外 還可以用參數(shù)方程的形式.( )( ),()(6-6)( )xx tyy ttzz t為參數(shù) ,(66)表示空間曲線 稱方程為空間曲線的參數(shù)方程.2.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影( , , )0( , , )0lF x y zG x y z設(shè)空間曲線 的方程為(67)( ,)0.zx yz 由方程組消去 后得到方程上式表示母線平行于 軸的柱面(68)(67)( , )0,( , )0.zlx yx yl 因?yàn)槭怯墒较?后得到,所

16、以,空間曲線 上的點(diǎn)一定在柱面上 或者說 柱面包含曲線,(68),()lxOyxOylxOy 因此 稱為曲線 關(guān)于平面的投影柱面 投影柱面與平面的交線叫作空間曲線 在平面上的投影曲線 簡稱投影( , )0(6-8)0 x yz記作 2221:.12xyzlxOyz 求曲線在平面上的投影例72221,12xyzzz將方程組中的變量 消去 得投影柱面2222334,40 xyxylxOyz于是曲線 在平面上的投影為解思考題1.空間直角坐標(biāo)系是如何形成的,并且具有何特點(diǎn)?答案答案2.平面上與空間中兩點(diǎn)間的距離公式分別是什么?答案答案3.點(diǎn) 1,-2,3 關(guān)于各坐標(biāo)面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別是什么?答案答案

17、課堂練習(xí)題1.求點(diǎn)3,4,5 到 軸的距離.MZ答案答案224?2.說明表示什么圖形xy答案答案 在第十四章中，討論了含有一個(gè)自變時(shí)的函數(shù)，即一元函數(shù)，但在實(shí)際問題中，還會遇到含有兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量的函數(shù)，這就是本節(jié)所要討論的多元函數(shù).在這里重點(diǎn)介紹二元函數(shù).一、二元函數(shù)的定義先看下面的例子.2VrhVr h 圓柱體的體積和它的底面積半徑 及高 之間的關(guān)系為例1,.,(0,0)( , ),.Vr hr hrhr hV這里,是隨著的變化而變化的當(dāng)在一定范圍內(nèi)內(nèi)取定一對數(shù)值時(shí)的對應(yīng)值就隨之確定(6-11) 三角形面積 見圖例21sin2SbcA,.Sb cA其面積 依賴于三角形的兩條邊及其夾角圖

18、6-11 例2示意圖ABCcba一般地，二元函數(shù)的定義如下.,( , )x y zx yzzx yzf x y義 設(shè)有變量 , ,如果當(dāng)變量 , ,在一定范圍內(nèi)任意取定一對數(shù)值時(shí),變量 按照一定法則 總有惟一確定的數(shù)值與之對應(yīng) 則稱 是的二元函數(shù),記作定1,;,x yzx y式中,叫作自變量 叫作因變量.的變化范圍叫作函數(shù)的定義域.( , , )Wf x y z類似,可定義三元函數(shù)及三元以上的函數(shù).二元及二元以上的函數(shù)稱為多元函數(shù).( ),( , )( , ),( , )( ),()yf xPxzf x yxOyP x yxyzf x yzf PzP 類似一元函數(shù)用數(shù)軸上點(diǎn) 來表示數(shù)值 而二元

19、函數(shù)也可以用平面上的點(diǎn)來表示一對有序?qū)崝?shù)于時(shí)函數(shù)可簡記為這時(shí) 也可稱為點(diǎn) 的函數(shù).三元函數(shù)是否也可以看作點(diǎn)的函數(shù)00( , )(,)zf x yx y二元函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值記為000000(,)(,),x xy yf xyz xyz或22( 2,3)23,.zxxyyz 設(shè)求例332( 2,3)( 2)2 ( 2) 33 331.z 解 對于一元函數(shù)，一般假定在某個(gè)區(qū)間上有定義進(jìn)行討論.對于二元函數(shù)，類似地假定它在某平面區(qū)域內(nèi)有定義進(jìn)行討論. 所謂區(qū)域（平面的）是指一條或幾條曲線圍成具有連通性的平面一部分（見圖6-35），所謂的連通性是指如果一塊部分平面內(nèi)任意兩點(diǎn)可用完全屬于此部分平面的折線連

20、結(jié)起來.圖6-12 區(qū)域示意 若區(qū)域能延伸到無限遠(yuǎn)處，就稱這區(qū)域是無界的，如圖6-12(c)所示，否則，它總可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)O為中心，而半徑適當(dāng)大的圓內(nèi)，這樣的區(qū)域稱為有界的，如圖6-12(a)、(b)所示，圍成區(qū)域的曲線叫區(qū)域的邊界. .1D1D( )a 有界區(qū)域2D( )b 有界區(qū)域3D( )c 有界區(qū)域閉區(qū)域：連同邊界在內(nèi)的區(qū)域的曲線叫區(qū)域的邊界.開區(qū)域：不包括邊界內(nèi)的區(qū)域叫開區(qū)域.D一般沒有必要區(qū)分開或閉時(shí),通稱區(qū)域,用字母 表示22,0(613)1(614)xyxy 例如 由所確定的區(qū)域是無界開區(qū)域 見圖而由所確定的區(qū)域是有界閉區(qū)域 見圖226141xy圖 所確定區(qū)域1111x

21、yO6130 xy圖 所確定區(qū)域Oxy0 xy000(,)(0)Pxy 某點(diǎn)的鄰域是指以該點(diǎn)為中心的一個(gè)圓形開區(qū)域.如點(diǎn)的一個(gè)鄰域是指2200( , )|() +()x yxxyy00(, ),()U PU P記作在不需要強(qiáng)調(diào)鄰域的半徑 的時(shí) 也可簡記為 為方便使用，將開區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)稱為內(nèi)點(diǎn)，將區(qū)域邊界上的點(diǎn)稱為邊界點(diǎn).ln().zxy 求函數(shù)的定義域例4,0,ln()(636)xyzxy 為使函數(shù)有意義 只需即函數(shù)的定義域是平面點(diǎn)集 見圖解22arcsin().zxy 求函數(shù)的定義域例52222,1,arcsin()(637)x yxyzxy 根據(jù)反正弦函數(shù)定義只需要滿足即函數(shù)的定義域?yàn)槠矫纥c(diǎn)

22、集 見圖,22( , )|1Dx yxy二、二元函數(shù)的幾何意義,( ),;( , ),.,yf xzf x y已經(jīng)知道 一元函數(shù)的圖形 是平面上的一條曲線對于二元函數(shù)的圖形 則為空間的一個(gè)曲面在前面講過的平面和曲面 都可以為二元函數(shù)圖形的例子.222,(6 15.)zRxyRxOy 函數(shù)的圖形是以原點(diǎn)為中心為半徑,在平面上的半個(gè)球面 見圖例6圖6-15 例6示意圖yxzRO三、二元函數(shù)的極限和連續(xù)性1.二元函數(shù)的極限 函數(shù)的極限是研究當(dāng)自變量變化時(shí)，函數(shù)的變化趨勢，但是二元函數(shù)的自變量有兩個(gè)，所以自變量的變化過程比一元函數(shù)要復(fù)雜得多.00000000( , )( ,)( , )( ,)(,)(

23、, )(,)x yx yzf x yP xyP x yP xyP x y現(xiàn)在把一元函數(shù)的極限概念推廣到二元函數(shù)上.考慮當(dāng)點(diǎn)趨近于點(diǎn)時(shí)函數(shù)的變化趨勢.雖然點(diǎn)趨近于點(diǎn)的方式是多種多樣的,如果用 表示點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離2200()()xxyy000,000( , )(,),0( , )(,).,x yx yxx yyx yx y那么的過程不論多么復(fù)雜 總可以用或來表示自變量的變化過程這樣 可以提出二元函數(shù)極限的定義如下.00000000000( , )(,)(,).( , )(,),( , ),( , ),zf x yP x yP x yP x yP x yf x yAAf x yxxyy義 設(shè)在點(diǎn)附

24、近有定義 在點(diǎn)可以沒有定義 如果當(dāng)趨向點(diǎn)時(shí) 對應(yīng)的函數(shù)值總是趨向于一個(gè)確定的常數(shù)則稱 為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限 記作定2000lim( , )lim( , )xxyyf x yAf x yA或 二元函數(shù)的極限是一元函數(shù)極限的推廣，有關(guān)一元函數(shù)極限的運(yùn)算法則和定理,都可以推廣二元函數(shù)的極限，下面舉例說明.222200lim.1 1xyxyxy 極限例7 解 方法一2222222200()1 1lim(1 1)(1 1)xyxyxyxyxy 原式2200lim(1 1)1 12;xyxy 方法二221 1,xyu 令則2221,xyu0,0,1.xyu且當(dāng)時(shí)于是2111limlim(1)21uuuuu原式

25、 這說明，二元函數(shù)的極限問題有時(shí)可以先轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限問題，再求解.2200lim?xyxyxy 討論極限是否存在例80220000,( , )(0,0),lim,;( , )(0,0),(0,0).xyP x yPxyxyP x yPP 由極限定義知 當(dāng)以任何方式趨于時(shí) 如果極限存在 其極限應(yīng)該是惟一的 反之,如果選擇沿兩條特殊的路徑讓趨于時(shí) 只要有一個(gè)極限不存在或兩個(gè)極限值不同,就可斷定函數(shù)的極限不存在0,( , )(0,0),P x yykxP 現(xiàn)在取兩條特殊的路徑來考察上述極限 例如,令沿直線趨于點(diǎn)時(shí)2222220000limlim(1)1xxyy kxxykxkxyxkk2222

26、0010,0;1,.211lim.xykkkkkkxyxy如果取時(shí) 則如果取時(shí) 則所以不存在解2.二元函數(shù)的連續(xù)性000( , )(,), ( , ),f x yP x yP x y義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義是鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn) 如果定30000lim( , )(,)xxyyf x yf x y0000( , )(,).( , )f x yP xyf x yP則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)在點(diǎn)是否一定有定義?( ,),( ,)f x yDf x yD如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)連續(xù) 則稱在區(qū)域上連續(xù).函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn).1,()zyxyx 函數(shù)在直線上無定義 所以此直線上的點(diǎn)都是函數(shù)的間斷點(diǎn).說明二

27、元函數(shù)的間斷點(diǎn)可以形成一條曲線例9() 和一元函數(shù)類似,連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算所得的函數(shù)仍然是連續(xù)的,連續(xù)函數(shù)經(jīng)過復(fù)合運(yùn)算所得的函數(shù)也是連續(xù)的.由此得到:二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域 包含在定義域內(nèi)的區(qū)域內(nèi) 是連續(xù)的與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相類似,在界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù),有以下定理. 在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)在該區(qū)域上一定能取到最大值和最小值.定理1 在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)必能取得介于它的兩個(gè)不同函數(shù)值之間的任何值至少一次.定理2思考題1.定義區(qū)域就是定義域嗎?為什么?答案答案00,?2.二元函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)與可微的關(guān)系是什么Z = fx,yxy答案答案0003.,?判定在二重極限不

28、存在 有哪些常用的方法fx yPxy答案答案課堂練習(xí)題21.ln21.求二元函數(shù)的定義域Zyx答案答案220112.lim.求極限xyxyxy答案答案223.?在何處是間斷的yxZyx答案答案一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及求法0( ,),( ,).zf x yyxzxzf x yxzx 對于二元函數(shù)若固定只讓 變化 則 就成為的一元函數(shù) 比如說這樣的一元函數(shù)對 的導(dǎo)數(shù)就稱為二元函數(shù) 對 的偏導(dǎo)數(shù).0000000000( , )(,)(,)(,),lim,( , )(,),xzf x yx yf xx yf x yyyxzf x yx yx 義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義.固定如果極限存在 則稱此極限值

29、為函數(shù)在點(diǎn)處對 的偏導(dǎo)數(shù) 記作定10000(,)(,)0000,( ,)( ,)x yx yxxfzz x yf x yxx或等00( , )( , )zf x yx yy同樣,函數(shù)在點(diǎn)處對 的偏導(dǎo)數(shù)定義為00000(,)( ,)limxf yy yf x yy 0000(,)(,)0000,( ,)( ,).x yx yyyfzz x yf x yyx記作或等( , )( , ),( , )zf x yDx yxx yzf x yx如果函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)每一點(diǎn)處對 的偏導(dǎo)數(shù)都有存在,那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是的函數(shù),稱為函數(shù)對自變量 的偏導(dǎo)函數(shù).記作,( , )xxfzzfx yxx,或,( , )zf

30、 x yy同樣 函數(shù)對自變量 的偏導(dǎo)函數(shù)記作,( , )yyfzzfx yyy,或偏導(dǎo)函數(shù)也簡稱為偏導(dǎo)數(shù).32432(1,2)zxx yy 求函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù).例1因?yàn)?2336,34zzxxyxyxy所以2(1,2)3 161215zx 23(1,2)3 14235zy解sin(),.zzzxxyxy 設(shè)求例2sin()cos(),cos()zzxyxxyxxyxy解,()1PVRTRPVTVTP 已知理想氣體的狀態(tài)方程為為常數(shù)證例32,RTPRTPVVV將原方程變形為則,RTVRVPTP同理 對于有11,TTPVVRPR對于有21PVTRTRVRTVTPPRPVV 于是證222ux

31、yy zz x 求三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).例422,(,)uxyzy zx將看成常數(shù)22,uyzxy22.uzxyz解二、高階偏導(dǎo)數(shù)( , ),.,( , ).zzzf x yxyx yx yzf x y 對于函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)而言,一般說來仍是的函數(shù)如果這兩個(gè)函數(shù)關(guān)于 , 的偏導(dǎo)數(shù)也存在 則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)依照變量不同的求導(dǎo)次序其二階偏導(dǎo)數(shù)分別為22( , )xxxxzzfx yzxxx22( , )yyyyzzfx yzxyy2( , )xyxyzzfx yzyxx y 2( , )yxyxzzfx yzxyy x ( , ),( , )xyyxfx yfx y 式中和稱為階導(dǎo)數(shù)類

32、似可給出更高階偏導(dǎo)數(shù)的概念和記號.二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)二混合偏.高偏.ln()zxxy 求的所有二階偏導(dǎo)數(shù).例5因?yàn)閘n()ln() 1,yyzzxxyxxyxxxyyxyy所以222221ln() 1,yzzxxxyxxyxyyxyy 2211ln() 1,yzzxxyx yyxyxy xzyy 解22,zzx yy x 在本例中這不是偶然的,一般地,有以下定理.( , )( , )( , )()xyyxzf x yDDfx yfx y 如果函數(shù)的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域 內(nèi)連續(xù)則在該區(qū)域 上有證明從略定理1三、全微分1.全微分的定義00000( ),()()()()( ).yf x

33、xxyyfxxoxoxxdyfxxyf xx 一元函數(shù)在點(diǎn) 處的微分是指 如果函數(shù)在 處的增量可以表示成式中,是高階的無窮小,則為函數(shù)在點(diǎn) 處的微分,類似地 二元函數(shù)全微分的定義如下.000000( ,)(,)(,)(,)zf x yxyzf xyyf xy 義 如果二元函數(shù)在點(diǎn)處的全增量定20000(,)(,)( )xyxyzzzxyoxy 可以表示成22,()()xy 式中則稱000000(,)(,)00(,)( , )(,)xyxyxyzzxyzf x yxyxyz 為函數(shù)在點(diǎn)處的全微分,記為d即000000(,)(,)(,)00( , )(,).x yx yx yzzzxyzf x y

34、xyx y d這時(shí)也稱函數(shù)在點(diǎn)處可微( , ).zf x yDD如果函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)每一點(diǎn)都可微,則稱它在區(qū)域可微( , ),( , )zf x yDDx y設(shè)在區(qū)域 可微 則在 內(nèi)任一點(diǎn)處的全微分為zzdzxyxy 0000( , )(,),(,).zf x yxyxy 如果函數(shù)在點(diǎn)處可微 則它在點(diǎn)處連續(xù)定理200( , )(,)zf x yxy證 由函數(shù)在點(diǎn)處可微得0000(,)(,)( )x yx yzzzxyoxy 00lim0 xyz 所以00000000lim(,)(,),( , )(,).xyf xx yyf x yzf x yx y 即因此 函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)( , )( , )( ,

35、 )().zf x yx yzf x y 如果函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處存在且連續(xù),則函數(shù)在該點(diǎn)可微 證明從略 定理3,(637)xydxdy 常見的二元函數(shù)一般滿足定理3的條件,從而它們都是可微函數(shù).和一元函數(shù)類似,習(xí)慣上將自變量的增量和分別記作和則式又可寫為zzdzdxdyxy22(2, 1)0.02,0.01zx yxy 求函數(shù)在點(diǎn)處當(dāng)時(shí)的全微分.例6因?yàn)?(2, 1)(2, 1)24zxyx 22(2, 1)(2, 1)312zx yy(2, 1)4124 0.02 12 ( 0.01)0.2dzxy 所以全微分解2sin.xzey 求函數(shù)的全微分例7222sin ,cosxxzzeyey

36、xy因?yàn)?222sincos(2sincos).xxxdzeydxeydyeydxydy所以,應(yīng)該指出二元函數(shù)全微分的概念可以推廣到三元函數(shù)及更多元的函數(shù).解.yzux 求函數(shù)的全微分例8因?yàn)?,ln ,lnyzyzyzuuuyzxx zxx yxxyz所以1lnlnyzyzyzdzyzxdxx zxdyx yxdz解2.全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用00,( , )(,)zf x yxyxy由全微分的定義知 函數(shù)在點(diǎn)的全增量與全微分之差是一個(gè)比 高階的無窮小,因此當(dāng)與都很小,全增量可以近似地用全微分代替,即zdz ,.在應(yīng)用上式時(shí) 常換成以下形式00000000(,)(,)(,)(,)xyf xx

37、 yyf xyfxyxfxyy 及00000000(,)(,)(,)(,)xyf xx yyf xyfxyxfxyy 2.02(1.04). 計(jì)算的近似值例900( , ),1,0.04,2,0.02,yf x yxxxyy 設(shè)取則2(1,2)11f1(1,2)(1,2)2yxfyx(1,2)(1,2)ln0yyfxx(640)所以由式得2.02(1.04)(1,2)(1,2)(1,2)xyffxfy 120.0400.021.08 解思考題1.,1?因?yàn)閷?dǎo)數(shù)就是微商 所以此命題是否正確xyzyzx答案答案2.是否只有可微函數(shù)才有極值點(diǎn)?請舉例說明.答案答案3.試說明二元函數(shù)在某點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在

38、與可微之間的關(guān)系.答案答案課堂練習(xí)題221,21.求 =在點(diǎn)處的全微分.Zxy答案答案22211.2.設(shè) =驗(yàn)證yzzzZxyxxyyy答案答案一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則由于多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問題比較復(fù)雜,因此下面分種情況進(jìn)行進(jìn)行討論.1.復(fù)合函數(shù)的中間變量均是二元函數(shù)的情形( , )( , ),( , )( , ) ( , ),( , )( , ),zf u vu vux yx yzfx yx yx y 如果函數(shù)在點(diǎn)可微 而函數(shù)在點(diǎn)都存在偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在 且有求導(dǎo)公式 定理zzuu vxuxvx zzuuvyuyvy ( , ),( , )zfx yx y上述公式也稱為

39、鏈鎖法則,初學(xué)者可用函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖來幫助記憶.如復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖為,(18-41).zu vxzuzuxux 從函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖看到,由 通過中間變量到達(dá) 的路徑有兩條而式中恰是兩項(xiàng)的和,而路徑表示zuvxy復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到自變量或中間變量多于兩個(gè)的情形.( , , ),( ),( , ),( , )zf u v wux vx y wx y例如式中yzzzvzwxu xv xwxyzzzvzwyu yv ywy sin(),.xyzzzexyxy 設(shè)求例1,sin ,(1841),(1842)uuxy vxyzev設(shè)則所以由式式得sincos( sincos )uuuzev yeveyv

40、vx sin()cos()xyeyxyxysincos( sincos )uuuzev xevexvvx sin()cos()xyexxyxy解2.復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形( , ),( ),( ), ( ),( )zf u vvt vtzfttt設(shè)而于是則是 的一元函數(shù).由函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖不難得出dzzuzvdtutvt dzdt稱為導(dǎo)數(shù)全.zuvt23,sin ,.xydzzext ytdt 設(shè)而求例2(1843)由公式得222cos23xyxyydzzuzetetdtutyt 322sin22(cos6 )(cos6 )xyttettett解sin ,cos ,.tdzzuvtu

41、e vtdt 設(shè)而求例3復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖為所以sincostdzz duz dvz dtveuttdtu dtv dtv dtcossincos(cossin )costttetettettt解zuvtt3.3.復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)的情形復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)的情形222( , , ),sin ,.xyzwwf x y zezyxx 設(shè)而求例4復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖為(,)x y所以 注意既是中間變量,也是自變量.()ffwxw vwxxxztxx 與含義不同.22222222222cos2(cos )xyzxyzxyzxezeyxexyx,( , , ),

42、.wwx yyxfxwf x y zy zxx應(yīng)該指出 實(shí)質(zhì)上 是兩個(gè)變量 , 的函數(shù) 這里的是將看作常數(shù)對 求導(dǎo) 而是把中的看作常數(shù)對的求導(dǎo)解wxyzxy4.復(fù)合函數(shù)是抽象函數(shù)的情形22(,),.xyzzzf xy efxy 設(shè)具有一階連續(xù)偏聽偏導(dǎo)數(shù),求例522,( , ),xyuxy vezf u v設(shè)則所以2xyffffzuvxyexuxv xuv 2xyffffzuvyxeyuyv yuv 21212,ffffffuvu v 為表達(dá)方便起見,引入以下記號.1212, ,2,2xyxyu vzzxfye fyfxe fxy以了以上記號,今后做這類題不設(shè)直接求出解( , ),.xf u v

43、zfxydzy 設(shè)可微求例6122121,zzxfyffxfxyyy 因?yàn)?122121xdzfyfdxfxfdyyy 所以 解二、全微分形式不變性利用一元函數(shù)微分形式不變性,可以給微分運(yùn)算帶來方便,多元函數(shù)的全微分形式,也有類似性質(zhì),下面以二元函數(shù)為例說明.( , ),zf u vu v設(shè)可微 其中是自變量 則有全微分zzdzdudvuv,( , ),( , ) ( , ),( , )u vx yux y vx yzfx yx y如果又分別是的函數(shù) 且為兩個(gè)可微函數(shù),則復(fù)合函數(shù)的全微分為zzzuzvzuzvdzdxdydxdyxyuxv xuyv y zuuzuuzzdxdydxdydudv

44、uxyvxyuv,u v這說明 無論是自變量還是中間變量 它的全微分形式是一樣的,這個(gè)性質(zhì)叫作變?nèi)⒎中问讲恍? 利用全微分形式不變性解本節(jié)例5.例722,xyuxy ve設(shè)則( , )ffdzdf u vdudvuv而22()22dud xyxdxydy()()()xyxyxyxyxydvd ee d xyeydxxdyye dxxe dy,du dv將代入并整理 得22xyxyffffdzxyedxyxedyuvuv即22xyxyffffzzdxdyxyedxyxedyxyuvuv,dx dyzzxy比較上式兩邊的系數(shù) 就同時(shí)得到兩個(gè)偏聽偏導(dǎo)數(shù)它們與例5的結(jié)果一樣.解三、隱函數(shù)的求導(dǎo)法(

45、, )( , , )0,0,.xyzzzf x yF x y zFF FF設(shè)是由方程惟一確定的隱函數(shù) 如果連續(xù) 且則不難得出隱函數(shù)的兩個(gè)求導(dǎo)公式xzFzxF yzFzyF 22224 ,.zzzxyzzxyx y 設(shè)求例8222( , , )4 ,2 ,2 ,2(2),xyzF x y zxyzzFx Fy Fz令則所以22,2(2)22(2)2yyzxxzxzzyzz 221(2)22(2)yyzxxxzx yyzzz 2232(2)(2)(2)xyxzxxyzzzz 解思考題1.,.對于在存在偏導(dǎo)且的一階偏導(dǎo)數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)連續(xù).請寫出復(fù)合函數(shù)對 的偏導(dǎo)數(shù)公式x yx yx yZfZ =fx y

46、x yy 答案答案 2., ,.?若那么dzZfxxxdy 答案答案003.0,.xxyyyF x yxyFF FyF 若 是方程F x,y確定的隱函數(shù),且,在某鄰域連續(xù)且存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則該命題是否正確?為什么?答案答案課堂練習(xí)題2,.1.設(shè)sin =求xdyy xyedx答案答案2.,.求函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)f x xy xyzx答案答案一、多元函數(shù)極值1.極值的定義及求法在一元函數(shù)中,可以用導(dǎo)數(shù)來求極值,現(xiàn)在以二元函數(shù)為例,討論如何利用偏導(dǎo)數(shù)來求多元函數(shù)的極值.000000000000000000( , )(,).( , ),( , )(,)( , )(,)(,),( , )(,)( , )(

47、,)(,).zf x yP x yPP x yf x yf x yzf x yP x yf x yf x yf x yzf x yP x yf x y義 設(shè)函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)有定義如果對于該鄰域內(nèi)異于 的任意點(diǎn)都有則稱函數(shù)在點(diǎn)處有極大值如果都有則稱函數(shù)在點(diǎn)處有極小值極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為點(diǎn)定極值.2234(0,0)(0,0)0,(0,0)(0,0)( , ),( , )0(0,0)zxyfx yf x yf 函數(shù)在點(diǎn)處有極小值因?yàn)閷τ邳c(diǎn)的任一鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)都有例1221(0,0)(0,0)1,(0,0)( , ),( , )1(0,0)zxyfx yf x yf 函數(shù)

48、在點(diǎn)處有極大值因?yàn)閷τ邳c(diǎn)附近的任意點(diǎn)都有例2000000()( , )(,)(,),zf x yP xyP xy極值存在的必要條件 如果函數(shù)點(diǎn)處取得極值,且處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在 則定理10000(,)0,(,)0 xyfx yfx y000000(,)0,(,)0(,)( , )xyfx yfx yx yf x y 同時(shí)成立點(diǎn)稱為的駐點(diǎn)但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).0000000()( , )(,),(,)0,(,)0.xyzf x yP x yfx yfx y 極值存在的充分條件 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù) 且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且定理2000000(,),(,),(,),xxxyyyAfxyB

49、fxyCfxy令則20000000(1)0,( , )(,),0,(,),0,(,);BACzf x yP xyAf xyAf xy當(dāng)時(shí) 函數(shù)在點(diǎn)處有極值 且當(dāng)時(shí)是極大值時(shí)是極小值200(2)0,(,);BACf xy當(dāng)時(shí)不是極值2000(3)0,( , )(,),BACzf x yP x y時(shí) 函數(shù)在點(diǎn)可能有極值 也可能沒有極值.,( , )zf x y由上面的討論結(jié)果 可得出具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的求極值方法如下.( , )0(1);( , )0 xyfx yfx y由求出一切駐點(diǎn)2(2);BAC由的符號判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)(3)求極值點(diǎn)的函數(shù)值.32242.zxxxyy 求函數(shù)的極值例

50、32( , )3820.(0,0)(2,2).( , )220 xyfx yxxyfx yxy由方程求得駐點(diǎn)為及( , )zf x y而的二階偏導(dǎo)數(shù)為(,)68,(,)2,(,)2(0, 0)xxxyyyfxyxfxyfxy 在處 有22,8,2,120,(0,0)0.BACBACf 所以為函數(shù)的極大值(2,2)在處有22,4,2,120,(2,2).BACBAC 所以點(diǎn)不是極值點(diǎn)解2.最大值和最小值( , )( , ).( , ),( , ),zf x yf x yDzf x yDDf x yDDf 由連續(xù)函數(shù)性質(zhì),如果函數(shù)在界閉區(qū)域上連續(xù),則在 上一定有最大值和最小值在此種情況下,欲求函數(shù)

51、在 內(nèi)所有駐點(diǎn)的函數(shù)及 的邊界上的最大值和最小值 取這些函數(shù)值中的最大值和最小值就是所求的最大值和最小值.在解決實(shí)際問題時(shí),如果根據(jù)問題的性質(zhì),知道函數(shù)在 內(nèi)一定有最大值(或最小值),而函數(shù)在 內(nèi)只一個(gè)駐點(diǎn) 則可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù) ( , )().x yD在 上的最大值 或最小值(),(639)Sxyz 設(shè)有斷面面積為常數(shù) 的等腰梯形渠道 當(dāng)兩岸傾角高底邊長 為多少時(shí) 才能使?jié)裰茏钚?見圖 例4, u 濕周就是渠道斷面與水接觸的周界的長度.如圖6-39,濕周記為uABBCCD解圖6-39 例4示意圖xBCzADy2sinyuzx即(cot ) ,cot ,(1846)SSzyx y

52、zyxy又解出代入式得2cos,(0,0)sin2Sxuyxyyx uxy可見濕周 是 和 的二元函數(shù).2212cos0sin2cos0sinuxyxxuSxyxy 令4,.33S解這方程組得惟一駐點(diǎn)4,.33Su根據(jù)實(shí)際問題的性質(zhì),濕周一定有最小值,因此在駐點(diǎn)處取最小值442,333 3SSxyz 所以 當(dāng)選擇傾斜角高底邊長時(shí) 就使?jié)裰茏钚?這樣能保證在流量一定條件下,所用材料最省. 解題時(shí),一定要確認(rèn)駐點(diǎn)是否惟一,實(shí)際問題中最小(大)值是否存在?若駐點(diǎn)不惟一,需另作判斷.二、條件極值,(cot ),.x ySzyx y在許多實(shí)際問題中 求極值時(shí) 其自變量常常受一些條件的限制如例4中,自變量

53、要受條件的約束 這類問題為條問題而對自變量在定義域內(nèi)未受任何限制的極值問題稱為無條問題.件極值件極值,(cot)2cot,sin2cos,sin.SSzyx yzyySyxuzuxyxyx 當(dāng)約束條件比較簡單時(shí) 條件極值可以化為無條件極值問題來處理,如例4,從約束條件中解出代入三元函數(shù)中 便化為二元函數(shù)的無條件極值問題 但是 將一般的條件極值問題直接轉(zhuǎn)化為無條件極值往往是比較困難的 下面介紹一種直接求條件極值的方法-數(shù)拉格朗日乘法.,( , )( , )0,zf x yx y為方便 僅就二元函數(shù)而言 求在約束條件下的極值 其步驟如下.(1)( , )( , )( , )F x yf x yx

54、y構(gòu)造輔助函數(shù),.式中為待定常數(shù)0(2)0( , )0 xyFFx y解方程( , )( , )0( , )( , )0( , )0 xxyyfx yx yfx yx yx y即解00(,),.xy求出可能的極值點(diǎn)在實(shí)際問題中往往就是所求的極值點(diǎn)2a 求表面積為 而體積為最大的長方體的體積.例5, , ,(0,0,0)Vx y zVxyz xyz設(shè)長方體的體積為三棱長分別為則問題就是求函數(shù)2( , , )222.x y zxyyzxza在約束條件下的最大值( , , )( , , ),F x y zxyzx y z構(gòu)造輔助函數(shù)解方程00,0( , , )0 xyzFFFx y z22 ()02

55、 ()02 ()02220yzyzxzxzxzyxxyyzxza即解,66xyzxyza因 此 解 得代 入 最 后 一 個(gè) 方 程 解 得23,6.,66.36aaVa這是惟一的駐點(diǎn)因?yàn)閱栴}本身有最大值 所以這一駐點(diǎn)就是本問題的解即表面積為 的長方體中以棱長為的正方體的體積為最大,且最大體積為思考題1.二元函數(shù)的極值存在的必要條件是什么?答案答案2.一般地,求條件極值中最常用的方法是什么?答案答案3.無條件極值與條件極值的區(qū)別在哪里?答案答案課堂練習(xí)題1.求在條件-1=0下的極大值.Z = xyx+ y答案答案2.通過從斜邊之長為l的一切直角三角形中,求有最大周長的直角三角形請構(gòu)造出解此題的

56、拉格朗日函數(shù).答案答案1.,xyzxoy,yoz,zox它是過空間中一定點(diǎn)0作三條互相垂直的數(shù)軸形成的軸軸軸分別稱為橫軸 縱軸 豎軸,形成三個(gè)坐標(biāo)平面,把空間分為八個(gè)卦限.返回返回00111,Mx yMx y02.設(shè)平面兩點(diǎn)為則其距離公式221010dyyxx0001111,MxyzMx y z0設(shè)空間兩點(diǎn)為則其距離公式222101010dxxyyzz返回返回 3.1, 2,3,1, 2,3 , 1,2,3 .xoy yoz zox點(diǎn)關(guān)于面的對稱點(diǎn)依次為 1,-2,-3返回返回1.解:2223040555.d 返回返回2.解:222244,.xyxoyxyz在直角坐標(biāo)系中表示平面上以原點(diǎn)為圓心

57、,半徑為2的圓.在空間直角坐標(biāo)系中表示以面上圓為準(zhǔn)線 母線平行于 軸的圓柱面返回返回1.不是.因?yàn)閰^(qū)域?yàn)檫B通的開集,定義域并非都是連通的開集,可以是一些孤立的點(diǎn),而定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域.返回返回00,.Z = f x,yxy2.二元函數(shù)在處可微必可導(dǎo)返回返回003.:,lim,;:,ppPPfx yPP0第一種是 選取的方式 并按此方式不存在 第二種是 可選擇兩種特殊的方式 當(dāng) 沿這兩種方式趨近 時(shí) 得到的極限值不相等.返回返回1.解:2,|21 .Dx yyx=返回返回2.解:220111 0lim1.0 1xyxyxy返回返回3.解:2.yx當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)此函數(shù)間斷返回返回 1.d

58、yyf xdxdydx錯(cuò)誤:一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以看作是函數(shù)微分與自變量的微分之商,但多元函數(shù)中偏導(dǎo)數(shù)記號是一個(gè)整體記號.返回返回220,0,.fx,yxyfx y2.不是.例如:在處偏導(dǎo)數(shù)不存在,從而不可微;但是在 0,0 處取得極小值返回返回3.偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)可微偏導(dǎo)數(shù)存在返回返回1.解:2222,xydzdxdyxyxy1,252 5.55dzdxdy則返回返回2.解:22222222222211y xyxyy xyxyxyxy左式22211zy xyy右式.返回返回1.zzzyyy返回返回2.dzz dz dz ddxdxdxdx返回返回3.不正確0.yF 因?yàn)槁┝艘粋€(gè)條件:返回返回1.

59、解:2,sin,xF x yxxye設(shè)22cosxdyFxeydxFyxyy 則返回返回2.解:1231231.dffyfyzfyfyzfdx返回返回0000000001.,0,0,.xyZfx yxyPfxyfxyxyfx y 在點(diǎn)處可微且在 處取得極值,則其中稱為的駐點(diǎn)返回返回2. 拉格朗日乘數(shù)法返回返回3.,;,0,.z = fx,yx yz = fx,yx yx y 無條件極值:函數(shù)中變量是相互獨(dú)立的條件極值:函數(shù)在條件下極值中不是互相獨(dú)立的返回返回1.解:21,yxZ = xyZ = x- x 將代入得111 11 20,;,222 2xZxxy 令駐點(diǎn)是唯一的.1 11.2 24Z

60、極大值返回返回2.解:222, ,0,x yxyxyxy設(shè)直角三角形兩直角邊長分別為則周長為約束條件為所以構(gòu)造的拉格朗日函數(shù)222,L x,y,xyxy 為拉氏常數(shù).返回返回第六節(jié)第六節(jié) 二重積分的概念及性質(zhì)與計(jì)算二重積分的概念及性質(zhì)與計(jì)算引例、定義、性質(zhì)引例、定義、性質(zhì) 一、引例解 分三步解決這個(gè)問題.引例1 質(zhì)量問題.已知平面薄板D的面密度(即單位面積的質(zhì)量) 隨點(diǎn)(x,y)的變化而連續(xù)變化,求D的質(zhì)量.),(yx分割 將D用兩組曲線任意分割成n個(gè)小塊:,21n其中任意兩小塊 和 除邊界外無公共點(diǎn).與一元函數(shù)的情況類似，我們用符號 既表示第i個(gè)小塊，也表示第i個(gè)小塊的面.(i=1,2,n)