2013年中考數(shù)學(xué)一元二次方程與二次函數(shù)復(fù)習(xí)沖刺題

1、2013年中考數(shù)學(xué)一元二次方程與二次函數(shù)復(fù)習(xí)沖刺題2013中考總結(jié)復(fù)習(xí)沖刺練：一元二次方程與二次函數(shù)【前言】前三講，筆者主要是和大家探討中考中的幾何綜合問題，在這一類問 題當(dāng)中，尤以第三講涉及的動(dòng)態(tài)幾何問題最為艱難。幾何問題的難點(diǎn) 在于想象，構(gòu)造，往往有時(shí)候一條輔助線沒有想到，整個(gè)一道題就卡 殼了。相比幾何綜合題來說，代數(shù)綜合題倒不需要太多巧妙的方法， 但是對(duì)考生的計(jì)算能力以及代數(shù)功底有了比較高的要求。中考數(shù)學(xué)當(dāng) 中，代數(shù)問題往往是以一元二次方程與二次函數(shù)為主體，多種其他知 識(shí)點(diǎn)輔助的形式出現(xiàn)的。所以在接下來的專題當(dāng)中，我們將對(duì)代數(shù)綜 合問題進(jìn)行仔細(xì)的探討和分析。一元二次方程與二次函數(shù)問題當(dāng)中

2、，純粹的一元二次方程解法通常會(huì) 以簡單解答題的方式考察。但是在后面的中難檔大題當(dāng)中，通常會(huì)和 根的判別式，整數(shù)根和拋物線等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，所以我們繼續(xù)通過真題 來看看此類問題的一般解法。第一部分真題精講【例1】2012，西城，一模已知：關(guān)于的方程求證：取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；若二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱 求二次函數(shù)的解析式； 已知一次函數(shù)，證明：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于的同一個(gè)值，這兩個(gè)函 數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均成立；在條件下，若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于的 同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，均成立，求二次函數(shù)的解析 式【思路分析】本題是一道典型的從方程轉(zhuǎn)函數(shù)的問題，這是比較常見 的關(guān)

3、于一元二次方程與二次函數(shù)的考查方式。由于并未說明該方程是 否是一元二次方程，所以需要討論M=0和 砒0兩種情況，然后利用根 的判別式去判斷。第二問的第一小問考關(guān)于Y軸對(duì)稱的二次函數(shù)的性 質(zhì)，即一次項(xiàng)系數(shù)為0，然后求得解析式。第二問加入了一個(gè)一次函數(shù)， 證明因變量的大小關(guān)系，直接相減即可。事實(shí)上這個(gè)一次函數(shù)恰好是 拋物線的一條切線，只有一個(gè)公共點(diǎn)（1，0）。根據(jù)這個(gè)信息，第三問 的函數(shù)如果要取不等式等號(hào)，也必須過該點(diǎn)。于是通過代點(diǎn)，將用只 含a的表達(dá)式表示出來，再利用，構(gòu)建兩個(gè)不等式，最終分析出a為何值時(shí) 不等式取等號(hào),于是可以得出結(jié)果.【解析】 解：（1）分兩種情況： 當(dāng)時(shí)，原方程化為，解得，

4、 （不要遺漏） 二當(dāng)，原方程有實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí)，原方程為關(guān)于的一元二次方程，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（如果上面的方程不是完全平方式該怎樣辦？ 再來一次根的判定，讓判別式小于0就可以了，不過中考如果不是壓 軸題基本判別式都會(huì)是完全平方式，大家注意就是了） 綜上所述，取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根.（2） T關(guān)于的二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，（關(guān)于丫軸對(duì)稱的二次函數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)一定為0）二拋物線的解析式為.v,（判斷大小直接做差）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）.（3） 由知，當(dāng)時(shí)，.、的圖象都經(jīng)過.（很重要，要對(duì)那個(gè)等號(hào)有敏銳的感覺）v對(duì)于的同一個(gè)值，二的圖象必經(jīng)過.又v經(jīng)過，（巧妙的將表達(dá)式化成兩點(diǎn)式，避免繁瑣計(jì)算

5、）設(shè).V對(duì)于的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均成立，* 又根據(jù)、的圖象可得，a0時(shí),頂點(diǎn)縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最小值）而.只有，解得.拋物線的解析式為.【例2】2012，門頭溝，一模關(guān)于的一元二次方程.（1）當(dāng)為何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，是否存 在與拋物線只交于點(diǎn)的直線，若存在，請(qǐng)求出直線的解析式；若不存 在，請(qǐng)說明理由.【思路分析】第一問判別式依然要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一條件。 第二問給點(diǎn)求解析式，比較簡單。值得關(guān)注的是第三問，要注意如果 有一次函數(shù)和二次函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)， 則需要設(shè)直線

6、y=kx+b以后聯(lián)立， 新得到的一元二次方程的根的判別式是否為零，但是這樣還不夠，因?yàn)閥=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x軸的直線，恰恰這種直 線也是和拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn),所以需要分情況討論,不要遺漏任何一 種可能.解析】：（1）由題意得解得解得 當(dāng)且時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（2）由題意得 解得（舍）（始終牢記二次項(xiàng)系數(shù)不為0）（3）拋物線的對(duì)稱軸是由題意得（關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的性質(zhì)要掌握）與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)（這種情況考試中容易遺漏）另設(shè)過點(diǎn)的直線（）把代入，得，整理得 有且只有一個(gè)交點(diǎn)， 解得綜上，與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的解析式有， 【例3】已知P（）和Q（1,

7、是拋物線上的兩點(diǎn).（1）求的值；（2）判斷關(guān)于的一元二次方程=0是否有實(shí)數(shù)根， 若有，求出它的實(shí)數(shù) 根；若沒有，請(qǐng)說明理由；（3）將拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個(gè)單位，使平移后的圖象與軸無交點(diǎn)，求的最小值【思路分析】拿到題目，很多同學(xué)不假思索就直接開始代點(diǎn)，然后建 立二元方程組，十分麻煩，計(jì)算量大，浪費(fèi)時(shí)間并且可能出錯(cuò)。但是仔細(xì)看題，發(fā)現(xiàn)P,Q縱坐標(biāo)是一樣的，說明他們關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱。而拋物線只 有一個(gè)未知系數(shù)，所以輕松寫出對(duì)稱軸求出b。第二問依然是判別式問 題，比較簡單。第三問考平移，也是這類問題的一個(gè)熱點(diǎn)，在其他區(qū) 縣的模擬題中也有類似的考察?？忌欢ㄒ盐掌揭坪蠼馕鍪桨l(fā)生的 變

8、化，即左加右減（單獨(dú)的x）,上加下減（表達(dá)式整體）然后求出結(jié)果。 【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P、Q在拋物線上且縱坐標(biāo)相同，所以P、Q關(guān)于拋物線對(duì)稱 軸對(duì)稱并且到對(duì)稱軸距離相等所以，拋物線對(duì)稱軸，所以， （2）由（1）可知，關(guān)于的一元二次方程為=0因?yàn)椋?168=80所以，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，分別是（3）由（1）可知，拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個(gè)單位后的 解析式為若使拋物線的圖象與軸無交點(diǎn)，只需無實(shí)數(shù)解即可 由=又是正整數(shù)，所以得最小值為2【例4】2012，昌平，一模 已知拋物線，其中是常數(shù)（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若，且拋物線與軸交于整數(shù)點(diǎn)（坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)） ，求此拋物線 的解析式【

9、思路分析】本題第一問較為簡單，用直接求頂點(diǎn)的公式也可以算，但是如果巧妙的將a提出來，里面就是一個(gè)關(guān)于X的完全平方式，從而得 到拋物線的頂點(diǎn)式，節(jié)省了時(shí)間.第二問則需要把握拋物線與X軸交于整 數(shù)點(diǎn)的判別式性質(zhì).這和一元二次方程有整數(shù)根是一樣的.尤其注意利 用題中所給,合理變換以后代入判別式,求得整點(diǎn)的可能取值.（1）依題意，得，二拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2）v拋物線與軸交于整數(shù)點(diǎn)，二的根是整數(shù).是整數(shù).是整數(shù)是整數(shù)的完全平方數(shù)（很多考生想不到這種變化而導(dǎo)致后面無從下手）取1,4,當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，的值為2或拋物線的解析式為或【例5】2012,平谷,一模 已知：關(guān)于的一元二次方程（為實(shí)數(shù)） （1）若方程有

10、兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求的取值范圍；（2）在（1）的條件下,求證：無論取何值,拋物線總過軸上的一個(gè) 固定點(diǎn)；（3）若是整數(shù),且關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根,把拋 物線向右平移個(gè)單位長度,求平移后的解析式【思路分析】本題第一問比較簡單，直接判別式就可以了，依然不能遺漏的是m1工0第二問則是比較常見的題型一般來說求固定點(diǎn)既 是求一個(gè)和未知系數(shù)無關(guān)的X,Y的取值對(duì)于本題來說，直接將拋物線中 的m提出對(duì)其進(jìn)行因式分解得到y(tǒng)=（mxx1）（x+1就可以看出當(dāng)x=1時(shí)，丫=Q而這一點(diǎn)恰是拋物線橫過的X軸上固定點(diǎn).如果想不到因式 分解,由于本題固定點(diǎn)的特殊性（在X軸上）,也可以直接用求根公式求出 兩

11、個(gè)根,標(biāo)準(zhǔn)答案既是如此,但是有些麻煩,不如直接因式分解來得快.至 于第三問,又是整數(shù)根問題+平移問題,因?yàn)榈诙栔幸亚蟪隽硪桓?所以 直接令其為整數(shù)即可,比較簡單.解：（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的取值范圍是且.（2）證明：令得.（這樣做是因?yàn)橐呀?jīng)知道判別式是,計(jì)算量比較小,如果根號(hào)內(nèi)不是完 全平方就需要注意了）拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,無論取何值，拋物線總過定點(diǎn)（3）v是整數(shù)只需是整數(shù).T是整數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，拋物線為 把它的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的拋物線解析式為【總結(jié)】中考中一元二次方程與二次函數(shù)幾乎也是必考內(nèi)容，但是考 點(diǎn)無非也就是因式分解，判別式，對(duì)稱軸，兩根范圍，平移以及直線 與拋

12、物線的交點(diǎn)問題?？傮w來說這類題目不難，但是需要計(jì)算認(rèn)真， 尤其是求根公式的應(yīng)用一定要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性。這種題目大多包涵 多個(gè)小問。第一問往往是考驗(yàn)判別式大于0，不要忘記二次項(xiàng)系數(shù)為0或者不為0的情況。第2,3問基于函數(shù)或者方程對(duì)其他知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考察， 考生需要熟記對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)等多個(gè)公式的直接應(yīng)用。至于根與系 數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）近年來中考已經(jīng)盡量避免提及，雖不提倡但是 應(yīng)用了也不會(huì)扣分，考生還是盡量掌握為好，在實(shí)際應(yīng)用中能節(jié)省大 量的時(shí)間。第二部分發(fā)散思考【思考1】.2012，北京中考 已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，為正整數(shù).（1）求的值；（2）當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于的二次函

13、數(shù)的圖象向下 平移8個(gè)單位，求平移后的圖象的解析式；（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在軸下方的部分 沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象.請(qǐng)你結(jié)合這 個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍.【思路分析】 去年中考原題,相信有些同學(xué)已經(jīng)做過了.第一問自不必說， 判別式大于0加上k為正整數(shù)的條件求k很簡單.第二問要分情況討論 當(dāng)k取何值時(shí)方程有整數(shù)根,一個(gè)個(gè)代進(jìn)去看就是了,平移倒是不難,向 下平移就是整個(gè)表達(dá)式減去8.但是注意第三問,函數(shù)關(guān)于對(duì)稱軸的翻折 旋轉(zhuǎn)問題也是比較容易在中考中出現(xiàn)的問題,一定要熟練掌握關(guān)于對(duì)稱 軸翻折之后函數(shù)哪些地方發(fā)生了變化

14、,哪些地方?jīng)]有變.然后利用畫圖 解決問題.【思考2】2012，東城，一模已知：關(guān)于的一元二次方程(1) 若求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若12vmv40的整數(shù)，且方程有兩個(gè)整數(shù)根，求的值.【思路分析】本題也是整根問題，但是不像上題，就三個(gè)值一個(gè)個(gè)試 就可以試出來結(jié)果。本題給定一個(gè)比較大的區(qū)間,所以就需要直接用求 根公式來計(jì)算.利用已知區(qū)間去求根的判別式的區(qū)間,也對(duì)解不等式做 出了考察.【思考3】2012，海淀，一模已知:關(guān)于x的一元一次方程kx=x+2的根為正實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y=ax2bx+kc(CM)的圖象與x軸一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.(1) 若方程的根為正整數(shù)，求整數(shù)k的值；(2) 求

15、代數(shù)式的值；(3) 求證:關(guān)于x的一元二次方程ax2 bx+c=0必有兩個(gè)不相等的實(shí) 數(shù)根.【思路分析】本題有一定難度，屬于拉分題目。第一問還好，分類討論K的取值即可。第二問則需要將k用a,b表示出來，然后代入代數(shù)式 進(jìn)行轉(zhuǎn)化.第三問則比較繁瑣,需要利用題中一次方程的根為正實(shí)數(shù)這 一條件所帶來的不等式,去證明二次方程根的判別式大于0.但是實(shí)際的 考試過程中,考生在化簡判別式的過程中想不到利用已知條件去套未知 條件,從而無從下手導(dǎo)致失分.【思考4】2012，順義,一模.已知：關(guān)于的一元二次方程（1）求證：不論取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足，求的值【思路分析】這

16、一題第二問有些同學(xué)想到直接平方來去絕對(duì)值,然后用 韋達(dá)定理進(jìn)行求解,但是這樣的話計(jì)算量就會(huì)非常大,所以此題繞過韋 達(dá)定理,直接用根的判別式寫出,發(fā)現(xiàn)都是關(guān)于m的一次表達(dá)式,做差之后會(huì)得到一個(gè)定值.于是問題輕 松求解.這個(gè)題目告訴我們高級(jí)方法不一定簡單,有的時(shí)候最笨的辦法 也是最好的辦法.第三部分思考題解析【思考1解析】解：（1）由題意得， 為正整數(shù)， （2）當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根為零； 當(dāng)時(shí)，方程無整數(shù)根； 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根 綜上所述，和不合題意，舍去；符合題意當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)為，把它的圖象向下平移8個(gè)單位得到的圖象的解析 式為（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，則， 依題意翻折后的圖象如圖所示當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，可得；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，可得 由圖象可知，符合題意的的取值范圍為【思考2解析】證明：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（2）方程有兩個(gè)整數(shù)根，必須使且m為整數(shù).又/12mv40,50此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(ii)證法一若ac0由(2)知ab+kc=0故b=a+kc.=b4ac=(a+kc)2 4ac=a2+2kac+(kc)2- 4ac=a22kac+(kc)2+4kac4ac=(akc)2+4ac(k-1).T方程kx=x+2的根為正實(shí)數(shù)，方程(