2019年高考圓錐曲線部分大題解析

1、(2(2)由(1 1)可知力y2=2y, , % % 丫2=8x- - y y21.1.【20182018 浙江 2121】如圖，已知點(diǎn) P P 是 y y 軸左側(cè)(不含 y y 軸)一點(diǎn)，拋物線C：y2= 4x上存在不同的兩點(diǎn)A, B滿足PA,PB的中點(diǎn)均在C上(1(1) 設(shè) ABAB 中點(diǎn)為 M M，證明：PMPM 垂直于 y y 軸;(2) 若 P P 是半橢圓x211(x：0)上的動點(diǎn)，求- PABPAB 面積的取值范圍。4解析：(1)設(shè)卩他亦內(nèi)+八/涉丫/小)44AP中點(diǎn)滿足：(TKyoy2)2BP中點(diǎn)滿足：BP：(22X0二4(2y2汙)所以, y2是方程C*)22y4)即y2-2

2、yy2 *二y0，故13/2-因此，SPAB=：|PM | I yi-y2 H-(yo2-4xo)2匕242因?yàn)閄。2互=1(x0：0)，所以y024x0= 4X02-4x04 4,54因此， PAB 面積的取值范圍是6、2,色041.1.距離型問題2 22.2. 【20182018 全國 3 3 理 2020】已知斜率為k的直線丨與橢圓C:1交于代B兩點(diǎn)，線段 ABAB4-的中點(diǎn)為M(1,m)(m0)(1(1)證明：k k ： - -1 1；2(2(2)設(shè) F F 為C的右焦點(diǎn)，P P 為C上一點(diǎn)且FPMTU，證明：7P,7A,FB為等差數(shù)列,并求出該數(shù)列的公差所以| PM 1(y/8yJ-

3、xoH4-3xo, ,| yi - y卜2、2(y2 4x)31又因?yàn)辄c(diǎn) M M 在橢圓內(nèi)，故0 . m，故k :-22(2)由題意知FAFB=2FM,F = -2FM，故P(1,-2m)33因?yàn)辄c(diǎn)p在橢圓上代入可得心汁即|FP|=根據(jù)第二定義可知，|FA|=2-丄論,| FB|=2x22 2| |FB| = 4一如X2)聯(lián)立2 2x y 143= 7x2-14x一= 0=捲x2二2, x-|X27428y = _x _4| |FB|=4一如X2)=3T T T TTT故滿足2| FP円FA | FB |，所以FP, FA, FB為等差數(shù)列設(shè)其公差為d，因?yàn)锳, B的位置不確定，則有2d |F

4、AH FB|戶一|xX2|=-4x1x2代入得2d3、2一-_ 14,d2 23.3.【20182018 全國 3 3 文 2020】已知斜率為k的直線丨與橢圓C: 1交于A,B兩點(diǎn)，線段43ABAB的中點(diǎn)為M(1,m)(m0)(1(1)證明：k k ： 一一 ；2(2(2)設(shè) F F 為C的右焦點(diǎn)P P 為C上一點(diǎn)且FP FA FB =0，證明2| FP鬥FA | | FB |解析：2 2 2 2( 設(shè)心),心2)，則x4y3“x4y3/，因?yàn)閂2_；1兩式相減可得：勺空 /y2k =043又因?yàn)槠虍a(chǎn)，七產(chǎn)二m即x,2, y,2m代入上式得331k，又因?yàn)辄c(diǎn) M M 在橢圓內(nèi)，故0：m，故k

5、 :-4m22F(1,0)，設(shè)P(x3, ya)，T T T 寸FP FA FB =0=化-小)仕-仃)&2-12)=0即3怡=3=3 - -(捲x2) = 1, y3- -(y1y2 -2m因?yàn)辄c(diǎn) P P 在橢圓上，代入得 m m ，所43 T 3以P(1,),1 FP |=-2 2因?yàn)閨農(nóng)冠二1廠yj =2-號，同理得|FB| = 2-省FA| |FB|=4-2(X1 *2)=注意：文理科題目相同，但是給出的解題思路是不同的2 24.4.【20182018 天津理 1919】設(shè)橢圓冷-y2a2b2點(diǎn) A A 的坐標(biāo)為(b,0)，且|FB| |AB62(1(1)求橢圓的方程;(2)(

6、2)所以2| FP|=| FA|FB |=1的左焦點(diǎn)為 F F，上頂點(diǎn)為 B B . .已知橢圓的離心率為28聯(lián)立yly=kx2k一x 2匚“rkky二kx6k%分別代入上式得4 + 9k2_30k_4 9k218k1 k1，解得k石或k11（2 2）設(shè)直線I : y二kx（k 0）與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為 P P，且丨與直線 ABAB 交于點(diǎn)Q，若2C2a2b25e22，解得2a=3b，又因?yàn)閨 FB a,| AB -；2ba a 9由| FB| |AB| = 6、2知ab =6，解得a =3,b=2故橢圓方程為（2）設(shè)住畀）,2旳，則廳葉皿葉云（得到一個等量關(guān)系，然后用k分別表示出yny2

7、）他二應(yīng)sn AOQ|PQ| 4=5y筆（。為原點(diǎn)），求k的值解析：（1 1）由題意知:15.5.【20182018 江蘇 1818】如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xoyxoy 中，橢圓C過點(diǎn)(.(.3,-)，焦點(diǎn)2FI(3,0), F2(.3,0)，圓O的直徑為FF。(1)求橢圓C及圓O的方程;(2(2)設(shè)直線丨與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn) P P(i(i)設(shè)直線丨與橢圓 C C 有且只有一個公共點(diǎn)，求點(diǎn) P P 的坐標(biāo);(ii(ii)直線丨與橢圓C交于代B兩點(diǎn) 若OAB的面積為 紅6，求直線丨的方程。解析：2 21設(shè)橢圓方程為a2 2，其中-3，又因?yàn)辄c(diǎn) 2/在橢圓上故2所以橢圓C的方程為y2二1

8、4又因?yàn)閳AO的直徑為F1F2，故圓的方程為x2y3(2(2)( i i)本題有兩種解法：法一：橢圓和圓有公切線時求點(diǎn) P P 的坐標(biāo)，可先設(shè)公切線方程為y =kx b然后根據(jù)直線分別與圓和橢圓相切求出k,b的值，再求出點(diǎn) P P 的坐標(biāo)，這個方法很容易想到，但是需要兩次計算相切時的條件。法二：題目中讓求點(diǎn) P P 的坐標(biāo)，不如一開始就設(shè)出點(diǎn) P P 的坐標(biāo)，利用點(diǎn) P P 的坐標(biāo)表示 出切線方程，然后直線與橢圓聯(lián)立，掄= =0 0 即可求出點(diǎn) P P 的坐標(biāo)。這里我們選用 第二種方法：設(shè)直線與圓的切點(diǎn)P(x0, y0)，貝V滿足x02y03，故直線丨的方程為:(1)(1)xo丄3y-xyoy-

9、7/=1因?yàn)橹本€丨與橢圓有且只有一個交點(diǎn)，故厶=0,即 : =(-24)2-4(4怡2y2)(36 -4y。2) = 48丫02他2- 2) = 0因?yàn)辄c(diǎn) P P 位于第一象限，即x00, y00，故x = 2,1所以點(diǎn) P P 的坐標(biāo)為C2,1）（iiii）分析：第二問由于OAB的高即為圓的半徑，故由面積可以得出弦長ABAB 的值，根據(jù)弦長再求出直線方程，最容易想到的就是設(shè)出直線方程y二kx b，根據(jù)直線與圓相切可得b3k23，然后直線與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理寫出弦長公式，將k或b轉(zhuǎn)化成一個，求出即可，但是計算過程很麻煩，下面給出同一個方法的兩種不同解法：y _ y_(x _xo)即yoyo

10、yo聯(lián)立2 2 2 2(4x0y0)x -24榔36-4y0= 0解析:(1)(1)設(shè)直線方程為y =kx b，A*, yj, Bg, y?），根據(jù)直線與圓相切得b 3k23y二kx b=1=(1 4k2)x28kbx 4b2- 4=0 xx2=8kb21 4k4b 421 4k| AB |= 1 k2 (為x2)2-4x2 =1 k216b2-164.21 4k2一78kb)21 4k2)16(3k23)-16 _ 4 21 4k2=1注意此處，根據(jù)韋達(dá)定理得出的兩根和與積的形式本來很復(fù)雜，如果利用上式還需要進(jìn)行 平方，再將b轉(zhuǎn)化為k的形式計算起來相當(dāng)復(fù)雜，因此我們要想辦法避開平方，因此不如

11、直接根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程解出兩根，再利用弦長公式，就可以避開平方的出現(xiàn)，解 法也會簡單一些。(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0二x1,24j4k2+1b24jk2-2| X1- X2|24k214k21| AB卜.1 k2* -X2卜、.1 k2-身2二竺解得k2=5,b2=184k +17所以k = =5,b =3.2，直線方程為y = - 5x 3.25.5. 定值問題2w6.6. 【20182018 全國 1 1 理】設(shè)橢圓C:y2=1的右焦點(diǎn)為 F F，過 F F 的直線丨與C交于A, B兩點(diǎn),2點(diǎn) M M 的坐標(biāo)為(2,0)(1(1)當(dāng)I與x軸垂直時，求直線 AMAM

12、的方程;分析：第二問兩角度相等如何證明？解析幾何中常出現(xiàn)的量無非是距離長度，斜率，面積，周長，如果你想到了證明兩個角余弦值相等，那么恭喜你，你想到了長度，但是長度不容易求得，將b2=3k23代入得J k264k2(3k23)(1 4k2)2-8kb_、4k21-b2-2(1 + 4k2)(2)(2)本題目 M M 點(diǎn)在x軸上且角度均從O點(diǎn)出發(fā)，A, B兩點(diǎn)一個在x軸上方一個在下方，因此可以考慮兩條直線關(guān)于x軸對稱，而 對稱又反應(yīng)了斜率互為相反數(shù) 的關(guān)系，因此本題目雖 是證明題的形式出現(xiàn)，但本質(zhì)上是求定值問題，即K k2 =0(x-2)(2)設(shè)直線AM , BM的斜率分別為ki,k2當(dāng)直線丨斜率

13、不存在時，此時直線AM ,BM的傾斜角互補(bǔ)，貝V OMA=/OMB當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)I: y =k(x -1),A(Xi, yj, B(X2, y2)2x2彳y 1 聯(lián)立2=y二k(x -1)4 k2x1 x2_2k2122k -2,x1x222k21k(x-1)k(X2 T)k2 X1X2-3(Xx?) 4 -f- X1 2X2 2(X12)(x22)(注意，此處為什么不需要整理分母部分，因?yàn)樽C明分式為零，只需要證明分子為零即 可)所以直線AM,BM的傾斜角互補(bǔ)，則OMA - OMB7.7.【20182018 全國 1 1 文 2020】設(shè)拋物線C：y2=2x，點(diǎn)A(2,0), B(-2

14、,0)，過點(diǎn) A A 的直線I與C交于M , N兩點(diǎn)(1(1)當(dāng)l與X軸垂直時，求直線 BMBM 的方程;(2)證明：ABM二ABN解析：1(1)當(dāng)l與x軸垂直時，l :x =2，此時B(2, -2)，直線 BMBM 的方程為y(x 2)(2(2)具體過程可以參考3232 題，在上題中是分情況討論直線斜率不存在與存在的情況,解析：(1 1)由題意知F(1,0)，當(dāng)丨與x軸垂直時,l :x =1，此時A(1,_-所以直線 AMAM 的2 2 2 2(2k1)x -4k x 2k -2=0所以& *k2二 亠為一2 X2 2所以k1k22 2煜：12T 算呵X -2)(X2-2)=0其實(shí)無

15、需討論斜率是否存在，可以直接將直線方程設(shè)為my 2設(shè)l : my 2，直線BM , BN的斜率分別為 匕出x=my+22聯(lián)立彳2n y 2my4 = 0二+ y2= 2m,%丫2=-4y =2x所以kik2=2myiy24(yiSX|+2 x2+2 (m% +4)(my2+4)所以直線AM , BM的傾斜角互補(bǔ)，則 OMA=/OMB8.8.【20182018 全國 3 3 理 1616】已知點(diǎn)和拋物線C:y2=4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與 拋物線交于 代B兩點(diǎn)，若NABM =90:則k=_. .解析：用到結(jié)論：在拋物線中以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切所以yN二yM=1，設(shè)N(X0,1)，根

16、據(jù)焦點(diǎn)弦斜率公式可得9.9.【20182018 北京 理 1919】已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，過點(diǎn)Q(0,1)的直線丨與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn) 代B，且直線 PAPA 交 y y 軸于 M M，直線 PBPB 交 y y 軸于N. .(1)求直線丨的斜率的取值范圍；-*T T T1 1(2)設(shè)O為原點(diǎn)，QM=工QO,QN =JQO，求證：為定值扎 卩解析：(1 1)因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過P(1,2)，則p=2，拋物線方程為y =4xX。X。由題意可知直線丨的斜率存在且不為0,設(shè)直線丨的方程為y =kx T(k = 0) y2二4x由：k2x2(2k 4)x 1 =0、y = kx

17、+1.：=(2k -4)2-4 k210解得k 0或0：k : 1又PA, PB與 y y 軸相交，故直線丨不過點(diǎn)(1,-2)，故k = -3【最容易遺漏的地方】出來然后在利用直線與拋物線聯(lián)立即可，實(shí)際運(yùn)算起來發(fā)現(xiàn)和M , N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)有關(guān)系，所以需要建立A,B和M , N坐標(biāo)的關(guān)系，此時就需要根據(jù)A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)大膽寫出PAPB的直線方程，求出M,N兩點(diǎn)坐標(biāo)即可，不要想什么便捷方法，怎么問怎么想就可 以。y2二4x 22設(shè)A(xi, yi), B(x2, y2)，由=k x (2k -4)x 1 = 0(y =kx+1X1X2=午半NX?二占kk直線 PAPA 的方程為y -2二空(x -1)，令x =0得點(diǎn) M M 的縱坐標(biāo)為X1yM二二也2zkx112，同理得N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為X 1X 1一kx亠1yN二2 12，由QM二QO,QN O得=1-丫皿=1 TNx2T所以11二11二為一1.X2-1- 1_yM1 -yN(k -1)X1(k -1)X2令 =(6m)2- 4 4(3m2-3)0，則m2：42=1(a b 0)的離心率為二6，焦距為2. 2，斜率b23為k的直線丨與橢圓 M M 有兩個不同的交點(diǎn) 代B(1(1)求