平面幾何基礎(chǔ)知識

1、平面幾何基礎(chǔ)知識(基本定理、基本性質(zhì))中線定理三線定理*垂線定理角平分線定理I重心:垂心.三角形四心彳內(nèi)心:外心:三角形的三條中三角形的三條高三角形的角平分三角形的三條中線的交點線的交點線的交點=內(nèi)接圓線的交點二外接圓三角定理'正弦定理.余弦定理1中線定理：設(shè)厶ABC的邊BC的中點為P,則有：AB2AC22ap2bp2，中線長：2222b2ea22.垂線定理：AB1CD=AC2一AD2=BC2一BD2,be.I高線長：sinA=esinB=bsinCa角平分線定理：三角形的一個角的平分線對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例。3. 重心性質(zhì)：設(shè)G為AABC的重心,(1) 連結(jié)AG,

2、并延長交BC于D,則AG:GB=2:1(2)SAABG=SABCG=SACG=；abc3222222（3）BC3GB二CA3GB二AB3GC1GAGBGCpABBCCA2222222/c*PAPBPC二GAGBGC3PG（P為BC內(nèi)任意一點）（4）三角形內(nèi)到三頂點距離的平方和最小的點是重心，即GAGB2GC2最?。?）三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點是重心。4. 垂心性質(zhì)：（1）三角形任一頂點的距離等于外心到對邊距離的兩倍（2）垂心關(guān)于厶ABC的三邊的對稱點均在ABC的外接圓上。（3）ABC的垂心為H,則ABC,ABH,佯CH,ACH的外接圓是等圓。5. 內(nèi)心的性質(zhì)：設(shè)I為ABC的內(nèi)心，貝卩：（

3、1）I到ABC三邊的距離相等（2）ZBIC=90°丄ZA,ZAIC=90+1ZB,ZAIB=90°丄JC222（3）ZA平分線交BC于D,交ABC外接圓于點K,則Al_AK_IK=_cIDKIKDa外心性質(zhì)：（1）外心到三角形各頂點距離相等（2）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外切圓半徑之和6. 梅涅勞斯定理定理：一條直線與ABC的三邊AB、BC、CA所在直線分別交于點D、E、F,且D、E、F均不是ABC的頂點，則有ADBECF,1DBECFA梅涅勞斯定理的逆定理定理：在ABC的邊AB、BC上各有一點D、E,在邊AC的延ADBECF長線上有一點F，若DBECF

4、A，那么，D、E、F三點共線.7. 塞瓦定理的三條直線分別交ABC三邊AB、BC、CA的三條直線分別交ABC三邊AB、BC、CA定理：在厶ABC內(nèi)一點P,該點與ABC的三個頂點相連所在于點D、E、F,且D、E、F三點均不是ABC的頂點，則有ADBECF1DBECFA.塞瓦定理的逆定理定理：在ABC三邊AB、BC、CA上各有一點D、E、F,且D、E、F均不是ABC的頂點，若APE_C£DBECfA那么直線BF三線共點.CD、AE、8. 托勒密定理定理：凸四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形，則有ABCD+BCAD=ACBD.托勒密定理的逆定理定理：如果凸四邊形ABCD滿足ABMCD+BCXAD=ACXBD，那么A、B、C、D四點共圓.托勒密定理的推廣定理：如果凸四邊形ABCD的四個頂點不在同一個圓上，那么就有ABXCD+BCXAD>ACXBD9. 西姆松定理定理：從厶ABC外接圓上任意一點P向BC、CA、AB或其延長線引垂線，垂足分別為D、E、F，則D、E、F三點共線.10. 歐拉定理定理：設(shè)AABC的重心、外心、垂心分別用字母G、0、H表示.則有G、0、H三點共線（歐拉線），且滿足0H二3OG.11. 蝴蝶定理定理：如圖，過圓中弦AB的中點M任引兩弦CD和EF，連接CF和ED，分別交AB于P、Q,