天體運動中的相遇急追及問題

1、天體運動中的相遇急追及問題地面上的物體常常出現(xiàn)追及相遇問題，關鍵是找出它們的位移、速度和時間等關系，運動路線應該在同一軌道上。天體運動中也有追及相遇問題，它與地面上的追及相遇問題在思維有上相似之處，即也是找出一些物理量的關系，但它也不同之處，MmvUr二用一n U二萬有引力提供向心力，即 對應的圓周軌道會發(fā)生相應的變化，所以天體不可能能在同一軌道上追及或相遇。分析天體運動的追及相遇重點是角度、角速度和時間等關系的判斷。？1 1 .追及問題例 1 1 如圖 1 1 所示，有A B兩顆行星繞同一顆恒星M做圓周運動， 旋轉方向相同，A行星的周期為T1,B行星的周期為T2,在某一時刻 兩行星相距最近，

2、則經過多長時間，兩行星再次相距最近經過多 長時間，兩行星第一次相距最遠分析與解答：A、B兩顆行星做勻速圓周運動，由萬有引力提供向r =7 =I-,因此TIT2。可見當A運動完一周時，B還沒有達到一周，但是要它們的相距最近，只有A、B行星和恒星M的連線再次在一條直線上，且A B在同側，從角度看，在相同時間內，A比B多轉了 2 2n;如果A、B在異側，則它們相距最遠，從角度看，在相同時間內，A比B多轉了n。所以再次相距最近的時間tl，由1一-；第一次相距最遠的時間t2,由2=殲與耳=i。如果在問題中把“再次”或“第一次”這樣的詞去 掉，那么結果如何2 2.相遇問題例 2 2 設地球質量為M繞太陽做

3、勻速圓周運動，有一 質量為m的飛船由靜止開始從P點沿PD方向做加速度為a的勻加速直線運動，1 1年后在D點飛船掠過地球上空，再過 3 3 個月又在Q處掠過地球上空，如圖 2 2 所示（圖中“S”表 示太陽）。根據以上條件，求地球與太陽之間的萬有引力大 小。分析與解答：飛船開始與地球相當于在D點相遇，經過e =x因此在這段時間內，地球與太陽的連線轉過的角度- 期為T,飛船由靜止開始做加速度為a的勻加速直線運動，則DQ= PQ-PD=a =返理=也&丁地球的公轉半徑為？-3 3 個月后，它們又在Q點相遇,360 = 90。設地球的公轉周，所以當天體速度增加或減少時,GMQ例 3 3 閱讀下

4、列信息，并結合該信息解題：(1 1)開普勒從 16091609 年16191619 年發(fā)表了著名的開普勒行星運動三定律，其中第一定律 為：所有的行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽運動，太陽在這個橢圓的一個焦點上。第三定律：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的平方的比值都相等。實踐證明，開普勒三定律也適用于其他中心天體的衛(wèi)星運動。(2 2)從地球表面向火星發(fā)射火星探測器，設地球和火星都在同一平面上繞太陽做圓周運動，火星軌道半徑 RnRn 為地球軌道半徑R的 1 1 . 500500 倍，簡單而又比較節(jié)省能量的發(fā)射過程可分為 兩步進行：第一步，在地球表面用火箭對探測器進行加速，使之獲

5、得足夠動能，從而脫離地 球引力作用成為一個沿地球軌道運動的人造衛(wèi)星；第二步是在適當時刻點燃與探測器連在一起的火箭發(fā)動機，在短時間內對探測器沿原方向加速，使其速度數(shù)值增加到適當值，從而使得探測器沿著一個與地球軌道及火星軌道分別在長軸兩端相切的半個橢圓軌道正好射到火 星上。當探測器脫離地球并沿地球公轉軌道穩(wěn)定運行后，在某年 3 3 月 1 1 日零時測得探測器與火星之間的角距離為 6060,如圖 3 3 所示，問應在何年何月何日點燃探測器上的火箭發(fā)動機 方能使探測器恰好落在火星表面(時間計算僅需精確到日)，已知地球半徑為：&二&4x12胸.J(1.5嚴二1.840.(1.25/ =

6、1.400 ; ;分析與解答：為使探測器落到火星上， 必須選擇適當時機點燃探測器上的發(fā)動機，使探測器沿橢圓軌道到達火星軌道的相切點， 同時，火星也恰好運行到該點與探測器相遇， 為此 必須首先確定點燃時刻兩者的相對位置。如圖4 4 所示。因探測器在地球公轉軌道運行周期Td與地球公轉周期Te相等，即Td= =Te=365=365 天由開普勒第三定律 得探測器在橢圓軌道上運行周期天 = = = = 2%2%天因此探測器從點火到達火星所需時間二火星公轉周期 天火星繞太陽轉動的角速度-由于探測器運行至火星需 255255 天，在此期間火星繞太陽運行的角度q二 =0 5377/天心乃天二1ST所以 地球與太陽之間的萬有引力大小為探測器在點火前繞太陽轉動角速度- =09砧/天365探測器沿橢圓軌道的半長軸即探測器在橢圓軌道近日點點火時，火星在遠日點的切點之前137137，亦即點燃火箭發(fā)動機時，探測器與火星角距離應為e e2=180=180 e e1=43=43故點燃發(fā)動機時刻應為當年3 3 月 1 1 日后 3838 天，即 4 4 月 7 7 日。已知某年 3 3 月 1 1 日零時，探測器與火星角距離為6060（火星在前，探測器在后），為使其角距離