課件_2.3 全微分

1、 第八章 *二、全微分在數值計算中的應用二、全微分在數值計算中的應用 應用 第三節(jié)一元函數 y = f (x) 的微分)( xoxAyxxfy)(d近似計算估計誤差機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 本節(jié)內容本節(jié)內容:一、全微分的定義、全微分的定義 全微分一、全微分的定義、全微分的定義 定義定義: 如果函數 z = f ( x, y )在定義域 D 的內點( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關，稱為函數),(yxf在點 (x, y) 的全微分全微分, 記作yBxAfz dd若函數在域 D 內各

2、點都可微,22)()(yx則稱函數 f ( x, y ) 在點( x, y) 可微可微，機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 處全增量則稱此函數在在D 內可微內可微.yBxA(2) 偏導數連續(xù)),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面兩個定理給出了可微與偏導數的關系:(1) 函數可微函數 z = f (x, y) 在點 (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx由微分定義 :得zyx00lim0),(yxf函數在該點連續(xù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 偏導數存在 函數可微 即定理定理1 1(必要條件)若函數 z = f (x, y) 在點(x, y) 可微可微 ,則該

3、函數在該點偏導數yzxz,yyzxxzzd), (), (yfyfzxxz同樣可證,Byzyyzxxzzd證證: 由全增量公式, )(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到對 x 的偏增量xxx因此有 xzxx0limA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 反例反例: 函數),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx因此,函數在點 (0,0) 不可微 .)(o注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏導數存在函數 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx機

4、動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),(yyxxf定理定理2 (充分條件)yzxz,證證：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx),( yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),( yxf),(yyxfyyxfy),(若函數),(yxfz 的偏導數,),(連續(xù)在點yx則函數在該點可微分.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0lim00yx,0lim00yxzyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函數),(yxfz ),(yxyx在點可微.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0lim00yx,0lim00yx注意到, 故有)(

5、oxxu推廣推廣: 類似可討論三元及三元以上函數的可微性問題.例如, 三元函數),(zyxfu ud習慣上把自變量的增量用微分表示,ud記作uxd故有下述疊加原理uuuuzyxdddd稱為偏微分偏微分.yyudzzudxxuduyduzd的全微分為yyuzzu于是機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 uuuzyxd,d,d例例1. 計算函數在點 (2,1) 處的全微分. yxez 解解:xz222) 1 , 2(,) 1 , 2(eyzexzyexezd2dd22) 1 , 2(例例2. 計算函數的全微分. zyeyxu2sin解解: udxd1yyd) cos(221zeyzydyz,yxey

6、yxex)d2d(2yxezyez機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 可知當*二、全微分在數值計算中的應用二、全微分在數值計算中的應用1. 近似計算近似計算由全微分定義xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(較小時,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (可用于近似計算; 誤差分析) (可用于近似計算) 半徑由 20cm 增大解解: 已知,2hrVV,100,20hr) 1(2005. 01002022V即受壓后圓柱體體積減少了 .cm2003例例3. 有一圓柱體受壓后發(fā)生形變

7、,到 20.05cm , 則 rrh2hr 21,05. 0hr)cm(2003高度由100cm 減少到 99cm ,體積的近似改變量. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 求此圓柱體例例4.4.計算的近似值. 02. 204. 1解解: 設yxyxf),(,則),(yxfx取, 2, 1yx則)02. 2,04. 1(04. 102. 2fyfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (08. 102. 0004. 021),(yxfy,1yxyxxyln02. 0,04. 0yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 分別表示 x , y , z 的絕對誤差界,2. 誤差估計誤差估計利

8、用yyxfxyxfzyx),(),(zyx,令z 的絕對誤差界約為yyxxzyxfyxf),(),(z 的相對誤差界約為yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則特別注意特別注意時，yxz ) 1 (yxzyxz,)2(時xyz yxyx類似可以推廣到三元及三元以上的情形.xzz )(2xyyxy x1yx乘除后的結果相對誤差變大很小的數不能做除數機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. 利用公式CbaSsin211 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12Cba求計算面積時的絕對誤差與相對誤差.解：解：aSaSaCbs

9、in211800,01. 0,30,3 . 8, 5 .12CbaCba13. 0S故絕對誤差約為又CbaSsin21所以 S 的相對誤差約為SS30sin3 . 85 .1221bCasin21CCabcos2194.2594.2513. 0%5 . 0計算三角形面積.現測得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 bbSccS例例6 6.在直流電路中, 測得電壓 U = 24 伏 ,解解: 由歐姆定律可知4624IUR( 歐)所以 R 的相對誤差約為IURIUR0.3 + 0.5 R 的絕對誤差約為 RR0.8 0.3;定律計算電阻 R 時產生的相對誤差和絕對誤差 .相對誤差為 測得電流 I =

10、 6安, 相對誤差為 0.5 ,= 0.032 ( 歐 )= 0.8 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 求用歐姆內容小結內容小結1. 微分定義:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要關系:)( o函數可導函數可導函數可微函數可微偏導數連續(xù)偏導數連續(xù)函數連續(xù)函數連續(xù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 微分應用 近似計算 估計誤差zyyxfxyxfyx),(),(),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(絕對誤差相對誤差),(yxfyyxxzyxfyxf),(),(yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(

11、),(),(),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習1. P72 題 1 (總習題八)函數),(yxfz 在),(00yx可微的充分條件是( );),(),()(00連續(xù)在yxyxfA),(),(, ),()(00yxyxfyxfByx在的某鄰域內存在 ;yyxfxyxfzCyx),(),()(0)()(22yx當時是無窮小量 ;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx當時是無窮小量 .2. 選擇題D機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 ,

12、0 , 0(4. 設,coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,(0cos3)0 , 0 , 0(xxxfx41利用輪換對稱性 , 可得41)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(zyff)dd(d41zyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ( L. P245 例2 )注意注意: x , y , z 具有 輪換對稱性輪換對稱性 .d,arctanzyxyxz求答案答案: 22dddyxyxxyz作業(yè)作業(yè) P24 1 (3) , (4) ; 3 ; 5 ;8 ; 10 5. 已知第四節(jié) 目錄

13、上頁 下頁 返回 結束 在點 (0,0) 可微 .備用題備用題在點 (0,0) 連續(xù)且偏導數存在,續(xù),),(yxf而),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxyx)0 , 0(),(, 0yx證證: 1) 因221sinyxxy0),(lim00yxfyx)0 , 0(f故函數在點 (0, 0) 連續(xù) ; 但偏導數在點 (0,0) 不連 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證明函數xy222yx 所以),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxxy)0 , 0(),(, 0yx),(yxfx,)0 , 0(),(時當yx,)0 , 0(),(時趨于沿射線當點xyyxP,0)0 ,(xf;0)0 , 0(xf. 0)0 , 0(yf同理y221sinyx 3222)(yxyx221cosyx ),(lim)0 , 0(),(yxfxxx極限不存在 ,),(yxfx在點(0,0)不連續(xù) ;同理 ,),(yxfy在點(0,0)也不連續(xù).xx(lim0|21sinx