全等三角形問題中常見的8種輔助線的作法(有答案)

1、下載可編輯全等三角形問題中常見的輔助線的作法總論：全等三角形問題最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，構(gòu)造二個角 之間的相等1.等腰三角形“三線合一”法：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線 合一”的性質(zhì)解題2倍長中線：倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形3. 角平分線在三種添輔助線4. 垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端5. 用“截長法”或“補短法”：遇到有二條線段長之和等于第三條線段的長，6. 圖形補全法：有一個角為 60 度或 120 度的把該角添線后構(gòu)成等邊三角形7. 角度數(shù)為 30、60 度的作垂線法：遇到三角形中的一個角為 30 度或 60 度，可以從角一邊上一點

2、向角的另一邊作垂線，目的是構(gòu)成30-60-90 的特殊直角三角形，然后計算邊的長度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個角。從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。8. 計算數(shù)值法：遇到等腰直角三角形，正方形時，或30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形，常計算邊的長度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二 條邊或二個角，從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，二 個角之間的相等。1） 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變

3、換中的“對折”法 構(gòu)造全等三角形2） 遇到三角形的中線， 倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的下載可編輯思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”法構(gòu)造全等三角形3） 遇到角平分線在三種添輔助線的方法，（1）可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理.（2）可以在角平分線上的一點作該角平分線的垂線與角的兩邊相 交，形成一對全等三角形。（3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點相等長度的位置 上截取二點，然后從這兩點再向角平分線上的某點作邊線，構(gòu)造一對全等三角形。4） 過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全

4、等三角形，利用的思維模式是全等變換中的 “平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5） 截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明.這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.6） 已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點向該線段的兩個端點作連線，出一對全等三角形。特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答.一、倍長中線（線段）造全等例 1、（“希望杯”試題）已知，如圖 ABC 中，AB=5 AC=3 則中線 AD 的取值范圍是 _

5、 .例 2、如圖， ABC 中，E、F 分別在 AB AC 上, DEL DF, D 是中點，試比較 BE+CF 與 EF 的大小.下載可編輯例 3、如圖， ABC 中，BD=DC=A, E 是 DC 的中點，求證： AD 平分/ BAE.F下載可編輯應(yīng)用:1、( 09 崇文二模)以ABC的兩邊AB AC為腰分別向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BAD CAE 90 ,連接DE M N分別是BC DE勺中點.探究：AM與DE勺位 置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(1)_如圖當(dāng)ABC為直角三角形時，AM與DE勺位置關(guān)系是 _,線段AM與DE勺數(shù)量關(guān)系是_;(2)將圖中的等腰 RtABD繞點 A 沿逆時針方

6、向旋轉(zhuǎn)(0 AC, / 1 = / 2, P 為 AD 上任意下載可編輯一點，求證；AB-AC PB-PC應(yīng)用:如圏，在四邊JgAltCD申點丘毘皿1二一牛炳點.若=6(r,朋二R 處叭判斷和皿T M的關(guān)系幷汕明你的結(jié)論、平移變換例 1 ADABC 的角平分線，直線 MNLAD 于 A.E 為 MN 上一點， ABC 周長記為 PA,下載可編輯EBC 周長記為PB.求證PBPA.下載可編輯例 2 如圖，在 ABC 的邊上取兩點 D E,且 BD=CE 求證：AB+AOAD+AE.四、借助角平分線造全等1 如圖，已知在厶 ABC 中，/ B=60,AABC 的角平分線 AD,CE 相交于點 0,

7、求證：0E=0D(1)說明 BE=CF 的理由；(2)如果 AB=a, AC=b，求 AE、BE 的長.2、如圖， ABC 中，AD 平分/ BACDGL BC 且平分 BC, DEIAB 于 E, DF 丄 AC 于F.下載可編輯F下載可編輯應(yīng)用：1、如圖，0P是/M0的平分線，請你利用該圖形畫一對以0P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：(1)如圖，在ABC中，/ACB是直角，/B=60,AD CE分別是/BAG/BCA的 平分線，AD CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，在ABC中，如果/ACB不是直角，而 中的其它

8、條件不變，請問，你五、旋轉(zhuǎn)(1)當(dāng)MDN繞點 D 轉(zhuǎn)動時，求證 DE=DF(2)若 AB=2 求四邊形 DECF 的面積。例 1 正方形 ABCD 中, E 為 BC 上的一點,F為 CD 上的一點,BE+DF=EF 求/ EAF 的度數(shù).例 2 D 為等腰Rt ABC斜邊 AB 的中點,DML DN,DM,DN 分別交 BC,CA 于點 E,F。B下載可編輯例 3 如圖，ABC是邊長為 3 的等邊三角形,BDC是等腰三角形，且BDC 1200,以 D 為頂點做一個600角,使其兩邊分別交 AB 于點 M,交 AC 于點 N,連接 MN 則AMN的周長為應(yīng)用:1、已知四邊形ABCD中，AB A

9、D,BC CD,AB BC,ZABC120,ZMBN60,ZMBN繞B點旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AD,DC（或它們的延長線）于E,F.當(dāng)ZMBN當(dāng)ZMBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE CF時繞B點旋轉(zhuǎn)到AE CF時，在圖 立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE,你的猜想，不需證明.（如圖AE CF EF.1）,易證3 這兩種情況下，上述結(jié)論是否成EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出2 和圖CF,（圖3）（圖1）（圖2）下載可編輯2、(西城 09 年一模)已知：PA=2,PB=4,以 AB 為一邊作正方形 ABCD 使 P、D 兩點落在 直線AB 的兩側(cè).(1) 如圖,當(dāng)/ APB=45 時,求 AB 及 PD

10、的長；(2) 當(dāng)/ APB 變化,且其它條件不變時，求 PD 的最大值，及相應(yīng)/ APB 的大小.60,BDC 120,BD=DC.探究：當(dāng) M N 分別在直線 AB AC 上移動時，BMNC MN 之間的數(shù)量關(guān)系及AMN的周長 Q 與等邊ABC的周長 L 的關(guān)系.圖 1圖 2圖 3(I )如圖 1，當(dāng)點 M N 邊 AB AC 上，且 DM=DN 時，BM NG MN 之間的數(shù)量關(guān)系 是 ； 此時Q；L(II )如圖 2,點 M N 邊 AB AC 上，且當(dāng) DM DN 時，猜想(I )問的兩個結(jié)論還成立 嗎？寫出你的猜想并加以證明；(III ) 如圖 3,當(dāng) M N 分別在邊 AB CA

11、的延長線上時，若 AN=X，貝 U Q _ (用X、L 表示).3、在等邊ABC的兩邊 AB AC 所在直線上分別有兩點M N, D 為VABC外一點，且MDNa下載可編輯解：延長 AE 至 G 使 AG= 2AE,連 BG DG, 顯然 DG= AC/ GDCNACD由于 DC=AC 故 / ADC=Z DAC在 ADB 與 ADG 中,BD= AC=DG AD= AD/ ADB=Z ADC 丄 ACD=z ADC+ZGDC=ZADG故 ADBAADG 故有/ BADZDAG 即 AD 平分/ BAE、倍長中線（線段）造全等參考答案與提示例 1、（“希望杯”試題）已知，如圖 ABC 中，AB

12、=5 AC=3 則中線 AD 的取值范圍是 _解：延長 AD 至 E 使 AE= 2AD,連 BE,由三角形性質(zhì)知AB-BE 2ADAB+BE 故 AD 的取值范圍是 1AD4例 2、如圖， ABC 中，E、F 分別在 AB AC 上, DEL DF, D 是中點，試比較 BE+CF 與 EF 的大小.解：（倍長中線,等腰三角形“三線合一”法）延長 FD 至 G 使 FG= 2EF,連 BQ EGE顯然 BG= FC,在厶 EFG 中，注意到 DEI DF,由等腰三角形的三線合一知EG= EF在厶 BEG 中，由三角形性質(zhì)知EGBG+BE故：EFBE+FC例 3、如圖， ABC 中，BD=DC

13、=AC E 是 DC 的中點，求證： AD 平分/ BAE.下載可編輯應(yīng)用:1、(09 崇文二模)以的兩邊AB AC為腰分別向外作等腰ABCRtABD和等腰RtACE，BAD CAE 90 ,連接DE M N分別是BG D啲中點.探究：AM與DE的位 置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(1)_如圖當(dāng)ABC為直角三角形時，AM與DE的位置關(guān)系是 _,線段AM與DE勺數(shù)量關(guān)系是_;(2)將圖中的等腰RtABD繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(0 90)后，如圖所示，(1) 問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由.二、截長補短1、如圖，ABC中，AB=2AC AD 平分BAC，且 AD=BD 求證：CDL AC 解：(截

14、長法)在 AB 上取中點 F,連 FD ADB 是等腰三角形，F(xiàn) 是底 AB 中點，由三線合一知DF 丄 AB,故/ AFD= 90下載可編輯ADFAADC( SAS/ ACD=ZAFD= 90。即：CDLAC解：（補短法，計算數(shù)值法） 在等腰 BPD 中，可得/ BDP= 40 從而/ BDP= 40=/ ACPADPAACP( ASA故 AD= AC又/ QBC= 40=/ QCB 故 BQ= QCBD= BP2、如圖，AD/ BC, EA,EB 分別平分/ DAB,/ CBA CD 過點 E,求證;AB = AD+BC解：（截長法）在 AB 上取點 F,使 AF= AD 連 FEADEA

15、AFE （ SAS/ ADE=/ AFE/ ADE+/ BCE= 180/ AFE+/ BFE= 180故/ ECB=/ EFBFBEACBE(AAS故有BF= BC 從而;AB =AD+BC3、如圖，已知在厶0BAC 60,C 40P, Q 分別在ABC的角平分線。求證:BQ+AQ=AB+BP延長 AB 至 D,使 BD= BP,連 DPABC 內(nèi),下載可編輯從而 BQ+AQ=AB+BP解：（補短法）延長 AC 至 F,使 AF= AB 連 PD ABP AFP （ SAS故 BP= PF由三角形性質(zhì)知PB- PC= PF PC CD, BD 平分ABC,求證：A C 1800解：（補短法）

16、延長 BA 至 F,使 BF= BC 連 FD BDF BDC（ SAS故/ DFB=ZDCB , FD= DC 又 AD= CD故在等腰厶 BFD 中/DFB=ZDAF故有/ BAD+/ BCD= 1805、如圖在 ABC 中，AB AC, / 1 =Z2, P 為 AD 上任意一點，求證;AB-AC PB-PCC下載可編輯下載可編輯、平移變換例 1 AD為厶ABC 的角平分線，直線 MNL AD 于 A.E 為 MN 上一點， ABC 周長記為PA, EBC 周長記為PB.求證PB PA.解：（鏡面反射法）延長 BA 至 F,使 AF= AC,連 FEABC 的角平分線，MN 丄 AD知/

17、 FAE=ZCAE故有FAEACAE( SAS故 EF= CE在厶 BEF 中有：BE+EFBF=BA+AF=BA+AC從而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+ACRBC=例 2 如圖，在 ABC 的邊上取兩點 D E,且 BD=CE 求證：AB+AOAD+AE.證明：取 BC 中點 M,連 AM 并延長至 N,使 MN=AMi BN,DN.A BD=CE, DM=EM,DMI EMA(SAS), DN=AE,同理 BN=CA.延長 ND 交 AB 于 P,貝 U BN+BPPN,DP+PAAD, 相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD,各減去 DP,得 BN+ABDN+AD,AB+AC

18、AD+AEEH下載可編輯四、借助角平分線造全等1 如圖，已知在厶 ABC 中，/ B=60AABC 的角平分線 AD,CE 相交于點 0,求證：0E=0DADC+AE =ACi證明（角平分線在三種添輔助線，計算數(shù)值法）/ B=60則/ BACyBCA=120 度;AD,CE 均為角平分線，E0則/ oAcyOCA=6度=yAOEMCOD;yA0C=12 度.在 AC 上截取線段 AF=AE 連接 OF.又 AO=AOyOAEyOAF.則 / OAEAOAF(SAS),B -DC0E=0F;AE=AF;/AOFMA0E=6 度.則/ COFMA0C-ZA0F=60 度=ZC0D; 又 C0=C0

19、；0CDN0CF.故/0CDAOCF(SAS), OD=OF;CD=CF.0E=0DDC+AE=CF+AF=AC.2、如圖， ABC 中，AD 平分/ BAC DGL BC 且平分 BC, DEI AB 于 E,（1）說明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=a, AC=b，求 AE、BE 的長.解：（垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端）連接 BD, DCDG 垂直平分 BC,故 BD= DC由于 AD 平分/ BAC DE 丄 AB 于 E , DF 丄 AC 于 F,故有ED= DF故 RT DBE RT DFC ( HL)故有 BE= CFoAB+AC= 2AEAE=( a+b) /2BE=(a-

20、b)/2DF 丄 AC 于F.F下載可編輯應(yīng)用：1、 如圖，0P是/M0的平分線， 請你利用該圖形畫一對以0P所在直線為對稱軸的全等三(1)(2)五、旋轉(zhuǎn)例 1 正方形 ABCD 中, E 為 BC 上的一點，F(xiàn) 為 CD 上的一點,證明：將三角形 ADF 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 90 度，至三角形BE+DF=EF 求/ EAF 的度數(shù).(第 23 題圖),AD CE分別是/BAG/BCA的FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(1)中的其它條件不變，請問，你角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題:如圖，在ABC中，/ACB是直角，/B=60 平分線，AD CE相交于點F。 請你判斷并寫出 如圖

21、， 在ABC中，如果/ACE不是直角，而下載可編輯貝 U GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE AF=AG所以三角形 AEF 全等于 AEG所以/ EAF2 GAEMBAE+ZGABMBAE+ZDAF又/ EAF+ZBAE+ZDAF=90所以ZEAF=45 度例 2 D 為等腰Rt ABC斜邊 AB 的中點，DMLDN,DM,DN 分別交 BC,CA 于點 E,F。當(dāng)MDN繞點 D 轉(zhuǎn)動時，求證 DE=DF(2)若 AB=2,求四邊形 DECF 的面積。下載可編輯D 為等腰Rt ABC斜邊 AB 的中點，故有 CDL AB, CD= DACD 平分/ BCA= 90,/ ECD=Z

22、DCA= 45由于 DMLDN 有/ EDN= 90由于 CD 丄 AB,有/ CDA= 90從而/ CDE=/ FDA=故有 CDEAADF (ASA故有 DE=DF(2)SAABC=2,S四DEC=SAACEFI以 D 為頂點做一個600角，使其兩邊分別交 AB 于點 M,交 AC 于點 N,連接 MN 貝 UAMN的周長為_;解：（圖形補全法，“截長法”或“補短法”，計算數(shù)值法）AC 的延長線與 BD 的延長線交 于點 F,在線段 CF 上取點 E,使 CE BM/ ABC 為等邊三角形， BCD 為等腰三角形，且/ BDC=120 ,/ MBD/ MBC/ DBC=60 +30 =90,/ DCE=180 - / ACD=180 - / ABD=90 ,又 BM=CE BD=CDCDEABDM例 3 如圖，ABC是邊長為 3 的等邊三角形,BDC是等腰三角形，且BDC 1200,下載可編輯/ CDE/ BDM DE=DM下載可編輯/NDE 玄 NDC#CDE=/ NDC 丄 BDM2BDC-ZMDN=12-60=60,在 DMN DEN 中,DM=DE/MDNMEDN=60DN=DNDMN DEN MN=NE在 DM/和叱 DEF 中,DM=DE/ MDA=6 -/ MDB=6 -/ CDE=/ EDF （/ CDE=/ BDM）/DAMNDFE