全等三角形難題(含答案)

1、全等三角形難題（含答案）1.已知：AB=4, AC=2 D 是 BC 中點(diǎn)，AD 是整數(shù)，求 AD解：延長(zhǎng) AD 至 U E,使 AD=DE/ D 是 BC 中點(diǎn) BD=DC在厶 ACDn BDE 中AD=DE/ BDE=Z ADCBD=DC ACDABDEAC=BE=2在 ABE 中AB-BEVAE AB+BE/ AB=4即 4-2V2AD 4+21VADV3AD=212.已知：D 是 AB 中點(diǎn)，/ ACB=90，求證：CD - AB2A延長(zhǎng) CD 與 P,使 D 為 CP 中點(diǎn)。連接 AP,BP/ DP=DC,DA=DB ACBP 為平行四邊形又/ ACB=90平行四邊形 ACBP 為矩

2、形 AB=CP=1/2AB3.已知：BC=DE / B=ZE,ZC=ZD, F 是 CD 中點(diǎn)，求證:證明：連接 BF 和 EF/ BC=ED,CF=DF,/BCF=/ EDF三角形 BCF 全等于三角形 EDF（邊角邊）BF=EF, / CBF=/ DEF連接 BE在三角形 BEF 中,BF=EF/ EBF=/ BEF/ / ABC/ AED/ ABE=/ AEB-AB=AEo在三角形 ABF 和三角形 AEF 中AB=AE,BF=EF,/ ABF=/ ABE+/ EBF=/ AEB+/ BEF=/ AEF三角形 ABF 和三角形 AEF 全等。/ BAF=/ EAF （ / 1 = / 2

3、）。4.已知：/ 仁/ 2, CD=DE EF/AB，求證：EF=AC過(guò) C 作 CG/ EF 交 AD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) GOG/ EF,可得，/ EFD= CGDDE= DC仁/ 2/ FDE=/ GDC（對(duì)頂角）EF= CG/CGD=ZEFD又，EF/ ABEFD=/1/仁Z2/CGD=/2 AGC 為等腰三角形,AC= CG又 EF = CGEF= AC5.已知：AD 平分/ BAC AC=AB+BD 求證：/ B=2/ C證明：延長(zhǎng) AB 取點(diǎn) E,使 AE= AC,連接 DE/ AD 平分/ BAC/EAD=ZCAD/ AE= AC, AD= AD AEDAACD(SAS/E=ZC/

4、AC= AB+BDAE= AB+BD/ AE= AB+BEBD= BE/BDE=ZE/ABC=ZE+ZBDE/ABC= 2ZE ZABC= 2ZC6.已知：AC 平分/ BAD CE 丄 AB,/ B+ZD=180，求證：AE=AD+BEc證明：在 AE 上取 F,使 EF= EB,連接 CFCE 丄 ABZCEB=ZCEF=90/ EB=EF,CE=CE,CEBACEF ZB=ZCFE/B+Z 180 ,ZCFE+ZCFA= 180 ZZ CFA/ AC 平分ZBAD ZDAC=ZFAC/ AC=AC ADCAAFC( SASAD=AFAE=AF+FE=AD+BE12. 如圖， 四邊形 AB

5、CD中, AB/ DC BE、 CE分別平分ZABCZBCD且點(diǎn) E在 AD上。 求 證： BC=AB+DC在 BC 上截取 BF=AB 連接 EF/ BE 平分/ ABC/ABE=ZFBE又 BE=BE/ ABE FBE ( SAS/A=ZBFE/ AB/CD/A+ZD=180o/BFE+ZCFE=18G0 ZD=ZCFE又TZDCEZFCECE 平分ZBCDCE=CE/ DCE FCE( AASCD=CFBC=BF+CF=AB+CD13.已知：AB/ED,ZEAB=ZBDE AF=CD EF=BC 求證：ZF=ZCAB/ ED,得：ZEAB+Z AED=ZBDE+Z ABD=180 度,T

6、ZEAB=ZBDE ZAED=ZABD四邊形 ABDE 是平行四邊形。得：AE=BDTAF=CD,EF=BC三角形 AEF 全等于三角形 DBC ZF=ZCo14.已知：AB=CDZA=ZD,求證：ZB=ZC證明：設(shè)線段 AB,CD 所在的直線交于 E,（當(dāng) ADBC 時(shí)，E點(diǎn)是射線 AB,DC 的交點(diǎn)）。則： AED 是等腰三角形。 AE=DE而 AB=CD BE=CE （等量加等量，或等量減等量）BEC 是等腰三角形/ B=Z C.15. P 是/ BAC 平分線 AD 上一點(diǎn)，ACAB 求證:在 AC 上取點(diǎn) E,使 AE= AB/ AE=ABAP=AP/EAP=ZBAE EAPBAPP

7、E=PBoPCXEC+PEPCX(AC- AE) +PBPC- PB AC AB。在 AC上取一點(diǎn) D,使得角 DBC角 C / ABC=%C/ ABDMABC-/DBC=Z C-/C=2Z C;/ADBMC+ZDBC=ZC; AB=AD AC AB =AC-AD=CD=BDPC-PB ABC 的中線。A證明：/ BE/ CF/E=ZCFM/EBMMFCM/ BE=CF BEMACFMBM=CM人皿是厶 ABC 的中線.27、（10 分）如圖：在厶 ABC 中，BA=BC D 是 AC 的中點(diǎn)。求證: ABD/ BCD/ ADB 玄 CD/ ADB 玄 CDB=90BD 丄 AC 28、（10

8、 分）AB=AC DB=DC F 是 AD 的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)。求證：BF=CFBD 丄AG/ ABD 和 BCD 的三條邊都相等A在厶 ABD 與 ACD 中AB=ACBD=DCAD=ADABDA ACD/ ADB=/ ADC/ BDF=/ FDC 在厶 BDF 與厶 FDC 中 BD=DC/ BDF=/ FDCDF=DFFBDA FCD BF=FC29、（12 分）如圖：AB=CD AE=DF CE=FB 求證:/ AB=DCAE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FBABE=A CDF/ DCB/ ABFCAF=DEAB=DC BF=CEABF=ACDE AF=DE30.公園里有一條“

9、Z”字形道路ABCD如圖所示，其中AB/ CD在AB CD BC三段路旁各 有一只小石凳E, F，M且BE=CF, M在BC的中點(diǎn)，試說(shuō)明三只石凳E, F,M恰好在一條 直線上.A E證明：連接 EF/ AB/ CDB=ZC是 BC 中點(diǎn)BM=CM在厶 BEM 和厶 CFM 中BE=CF/B=ZCBM=CM BEMACFM( SASCF=BE31.已知：點(diǎn) A、F、E、C 在同一條直線上， AF = CE BE/ DF, BE= DF.求證：ABE CDFDCC 第 2 題】/ AF=CE,FE=EF.AE=CF./ DF/BE,/ AEB=/ CFD(兩直線平行，錯(cuò)角相等)/ BE=DFAB

10、E CDF( SAS32.已知：如圖所示， AB= AD BC= DC E、F 分別是 DC BC 的中點(diǎn)，求證： AE = AF。連接 BD/ AB=AD BC=D / ADB 玄 ABD / CDBMABD;兩角相加， / ADCMABC/ BC=DC EF 是中點(diǎn)DE=BF/ AB=AD DE=BF/ ADC 玄 ABCAE=AF。33.如圖，在四邊形ABC中,E是AC上的一點(diǎn)，/仁/ 2,/ 3=/4,求證：/ 5=/ 6.證明：在厶 ADC ABC 中 AC=AC/ BAC/ DAC / BCA=Z DCA ADC ABC （兩角加一邊）/ AB=AD BC=CD在厶 DEC 與 B

11、EC 中/ BCA/ DCA CE=CE BC=CD DECABEC（兩邊夾一角）/ DEC/ BEC34.已知AB/DE BC/EF D C在AF上 ,且AD=CF求證：ABOADEF/ AD=DFDEAFCB AC=DF/ AB/DE/A=ZEDF又 BC/EF/F=ZBCA ABGADEF( ASA35.已知：如圖，ABAC BD AC CE AB垂足分別為D E, BD CE相交于點(diǎn)F,求證:BE=CDE證明：/ BD 丄 AC/ BDC=90CE 丄 AB/ BEC=90/ BDC=z BEC=90/ AB=AC/ DCB=/ EBCBC=BCRt BDC Rt BEC (AAS)

12、BE=CD36、如圖，在ABC中,AD為/BAC的平分線，DEL AB于E,DF丄AC于F。求證：DE=DF.證明：/ AD 是/ BAC 的平分線/ EAD 玄 FADDE 丄 AB, DF 丄 AC/ BFD=Z CFD=90/ AED 與/ AFD=90 在厶 AED 與 AFD 中/ EADh FADAD=AD/ AEDh AFDAEDA AFD( AAS AE=AF在厶 AFO 中/ EAO=/ FAOAO=AOAE=AFAEOA AFO( SAS/ AOE=/ AOF=90 AD 丄 EF37.已知：如圖，AC BC于C,DE AC于E,AD AB于A,BC=AE若AB= 5 ,求

13、AD的 長(zhǎng)？/ ADL AB /BAC 玄 ADE又 ACLBC 于 C, DELAC 于 E根據(jù)三角形角度之和等于 180 度/ ABC 玄 DAE/ BC=AE ABC DAE( ASAAD=AB=538.如圖：AB=AC MEL AB, MFLAC,垂足分別為 E、F, ME=MF 求證：MB=MC證明：/ AB=AC /B=ZC / MEL AB, MFLAC /BEM2CFM=90在厶 BME CMF 中/B=ZC/BEMMCFM=90 ME=MF BMEACMF（ AASMB=MC39.如圖，給出五個(gè)等量關(guān)系：AD BCAC BDCE DED CDABCBA請(qǐng)你以其中兩個(gè)為條件，另

14、三個(gè)中的一個(gè)為結(jié)論，推出一個(gè)正確的結(jié)論（只需寫(xiě)出一種情況），并加以證明.已知： AD=BC / DABMCBA求證： DABACBA證明： AD=BC / DABMCBA又 AB=ABDAEACBA40在ABC中,ACB 90,AC BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD MN于D,BE MN于E.(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖 1 的位置時(shí)，求證：ADC也CEB;DE AD BE;當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖 若不成立，說(shuō)明理由(1)/ ADC2ACB=/ BEC=90/ CAD/ACD=90,ZBCE+/CBE=90, /ACD+/BCE=90. /CAD/BCE / AC=BC ADCACEBADC

15、2CEBCE=AD CD=BEDE=CE+CD=AD+BE(2)T/ADC/CEB/ACB=90, /ACD/CBE又 AC=BC ACDACBECE=AD CD=BEDE=CE- CD=AD- BE 41.如圖所示，已知 AE AB, AF 丄 AC, AE=AB AF=AC 求證：(1) EC=BF(2) EC 丄 BFBC(1)TAEL AB, AF 丄 AC,請(qǐng)給出證明;圖1/BAE=ZCAF=90,/BAE+ZBAC 玄 CAF 亡 BAC即/ EAC=ZBAF,在厶 ABF 和厶 AEC 中，/ AE=ABZEAC=ZBAF, AF=AC ABFAAEC( SAS,EC=BF(2)

16、如圖，根據(jù)(1), ABFAAEC ZAEC=ZABF,/ AELAB, ZBAE=90, ZAEC+ZADE=90,ZADE=ZBDM(對(duì)頂角相等)， ZABF+ZBDM=90,在厶 BDM 中 ,ZBMD=180-ZABF-ZBDM=180-90 =90 ,ECLBF.42 .如圖：BELAC, CFLAB, BM=AC CN=AB 求證：(1) AM=AN ( 2) AMLAM證明：(1)/ BELAC, CFLAB/ ABM 丄 BAC=90 ,ZACN+ZBAC=90/ ABMZACN/ BM=AC CN=AB ABMANACAM=AN(2)/ABMANAC ZBAMZNvZN+ZB

17、AN=90Z BAM-ZBAN=90即ZMAN=90AM! AN43.如圖，已知ZA=ZD,AB=DE,AF=CD,BC=EF 求證:BC / EF在厶 ABF 和厶 CDE 中,AB=DEZA=ZDAF=CD ABFACDE（邊角邊）FB=CE在四邊形 BCEF 中FB=CEBC=EF四邊形 BCEF 是平行四邊形BC/ EF44. 如圖，已知 AC/ BD, EA EB 分別平分ZCAB 和ZDBA CD 過(guò)點(diǎn) E,貝 U AB 與 AC+BD 相等嗎? 請(qǐng)說(shuō)明理由證明：/ AD 是厶 ABC 的中線BD=CDDF=DE（已知）ZBDEZFDCBDEAFDC貝UZEBDZFCD BE/CF

18、（錯(cuò)角相等，兩直線平行）。46、（10 分）已知：如圖，AB= CD DEL AC BF丄AC E,F是垂足，DE求證：AB / CD .證明：在 AB 上取點(diǎn) N,使得 AN=AC/CAE 玄 EAN AE 為公共,:.CAEAEAN/ANEW ACE又 AC 平行 BD/ACE+ZBDE=180而/ ANE+ZENB=180 ZENB 玄 BDEZNBE=Z EBN BE 為公共邊 EBNAEBD BD=BN AB=AN+BN=AC+BD45、（ 10 分） 如圖,已知：AD 是 BC 上的中線,且 DF=DE 求證:BE / CF.BF.BDE 丄 AC, BF 丄 AC/CED=/AFB=90o又 AB=CD BF=DERt ABF Rt CDE（ HL）AF=CE/BAF=ZDCEAB/CD47、（10 分）如圖，已知/ 仁/2，/ 3=Z4,求證：AB=CD/ ,/3=74OB=OC在厶 AOB DOC 中7仁72OB=OC7AOB=/ DOCAOBADOCAO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB在厶 ACB 和厶 DBC 中AC=DB,73=7