選修2-1-第三章-空間向量及其運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)

1、3.13.1空間向量及其運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)空間向量及其運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)1 1 空間向量的有關(guān)概念空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量：在空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量(2)單位向量：模為 1 的向量稱為單位向量(3)相等向量：方向相同且模相等的向量(4)共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量(5)共面向量：平行于同一個(gè)平面的向量2.空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算向量的加減法滿足平行四邊形法則和三角形法則向量加法的多邊形法則：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量向量加法的多邊形法則：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量

2、的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量112231nnnOAOAA AA AAAuuur uuu r uuuu r uuuu ruuuuu r.運(yùn)算律：加法交換律：abba加法結(jié)合律：(ab)ca(bc)數(shù)乘分配律：(ab)ab.3 3共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理(1)共線向量定理共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量對(duì)空間任意兩個(gè)向量 a，b(b0)，ab 的充要條件是存在實(shí)數(shù)的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得，使得 ab.推論：點(diǎn)點(diǎn) P 在在直線直線 AB 上的充要條件上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)存在實(shí)數(shù)，使得，使得APABuuu ruuu r或?qū)臻g任意一點(diǎn)或?qū)?/p>

3、間任意一點(diǎn) O,有有OPOAABuuu ruuruuu r或?qū)臻g任意一點(diǎn)或?qū)臻g任意一點(diǎn) O，有，有OPxOAyOBuuu ruuruuu r其中其中 xy1【推論推導(dǎo)過(guò)程：()(1)OPOAABOAAOOBOAOBuuu ruuruuu ruuruuu ruuu ruuruuu r】(2)共面向量定理共面向量定理如果兩個(gè)向量如果兩個(gè)向量 a，b 不共線不共線，那么，那么 p 與與 a，b 共面的充要條件是存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)共面的充要條件是存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）使使 pxayb推論：空間一點(diǎn)空間一點(diǎn) P 位于平面位于平面 ABC 內(nèi)的充要條件內(nèi)的充要條件是存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)存在唯一有序

4、實(shí)數(shù)對(duì)（x,y）使）使APxAByACuuu ruuu ruuu r，或?qū)臻g任意一點(diǎn)或?qū)臻g任意一點(diǎn) O，有，有OPOAxAByACuuu ruuruuu ruuu r或?qū)臻g任意一點(diǎn)或?qū)臻g任意一點(diǎn) O，有，有OPxOAyOBzOCuuu ruuruuu ruuu r，其中其中 xyz1【推論推導(dǎo)過(guò)程：(1)OPOAxAByACxy OAxOByOCuuu ruuruuu ruuu ruuruuu ruuu r】(3)空間向量基本定理空間向量基本定理如果三個(gè)向量 a，b，c 不共面，那么對(duì)空間任一向量 p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得 pxaybzc基底：把a(bǔ)，b，c叫做空間的一個(gè)基底，

5、空間任何三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底4 4 空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念兩向量的夾角兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量 a，b，在空間任取一點(diǎn) O，作OAa，OBb，則AOB 叫做向量 a 與 b 的夾角，記作a，b ，其范圍是 0a，b，若a，b2，則稱 a 與 b 互相垂直，記作 ab.兩向量的數(shù)量積兩向量的數(shù)量積：已知空間兩個(gè)非零向量 a，b，向量 a，b 的數(shù)量積記作 ab，且 ab|a|b|cosa，b (2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律： 結(jié)合律：(a)b(ab)； 交換律：abba； 分配律：a(bc)abac.5 5 空間向量的坐標(biāo)表

6、示及應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用設(shè) a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)(1)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：aba1b1a2b2a3b3.(2)共線與垂直的坐標(biāo)表示：ababa1b1，a2b2，a3b3(R)，abab0a1b1a2b2a3b30(a，b 均為非零向量)(3)模、夾角和距離公式：|a| aa a21a22a23，cosa，bab|a|b|a1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23.設(shè) A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則 dAB|AB| a2a12b2b12c2c12.6. 用空間向量解決幾何問(wèn)題的一般步驟：(1)適當(dāng)?shù)倪x取基底a，b，c；(2)

7、用 a，b，c 表示相關(guān)向量；(3)通過(guò)運(yùn)算完成證明或計(jì)算問(wèn)題題型一題型一空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算用已知向量來(lái)表示未知向量，應(yīng)結(jié)合圖形，將已知向量和未知向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中，表示為其他向量的和與差的形式，進(jìn)而尋找這些向量與基向量的關(guān)系例例 1 1：三棱錐三棱錐 OABC 中中，M，N 分別是分別是 OA，BC 的中點(diǎn)的中點(diǎn)，G 是是ABC 的重心的重心，用基向量用基向量OA， OB，OC表示表示MG，OG.解析：MGMAAG12OA23AN12OA23(ONOA)12OA2312(OBOC)OA16OA13OB13OC.OGOMMG12OA16OA13OB13OC13OA

8、13OB13OC.例例 2 2： 如圖所示如圖所示， ABCDA1B1C1D1中中， ABCD 是平行四邊形是平行四邊形 若若AE12EC， A1F2FD， 且且1=x+y+zEFABADAAuuu ruuu ruuu ruuu r, ,試求試求 x、y、z 的值的值.解連接 AF，EFEAAF.EA13AC13（ABAD）AFADDFADFDAD13A1DAD13（A1AAD） 12133ADA Auuu ruuu rEFEAAF1111333ADAAABuuu ruuu ruuu r題型二題型二共線定理應(yīng)用共線定理應(yīng)用向量共線問(wèn)題：向量共線問(wèn)題：充分利用空間向量運(yùn)算法則，用空間中的向量表示

9、 a 與 b，化簡(jiǎn)得出 ab，從而得出 ab，即a 與 b 共線點(diǎn)共線問(wèn)題點(diǎn)共線問(wèn)題：證明點(diǎn)共線問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明向量共線問(wèn)題，如證明 A、B、C 三點(diǎn)共線，即證明AB與AC共線例例 3 3：如圖所示如圖所示，四邊形四邊形 ABCD，ABEF 都是平行四邊形且不共面都是平行四邊形且不共面，M，N 分別是分別是 AC，BF 的中點(diǎn)的中點(diǎn)，判斷判斷CE與與MN是否共線？是否共線？111111()()222222CECBBEMNMCCBBNACCBBABEACBACBBECBBEuuruuruuruuuruuu ruuruuu ruuu ruuruuruuruuu ruuruuruuruuruurCE

10、2MN，CEMN，即CE與MN共線例例 4 4：如圖所示如圖所示，在正方體在正方體 ABCDA1B1C1D1中中，E 在在 A1D1上上，且且A1E2ED1，F(xiàn) 在對(duì)角線在對(duì)角線 A1C 上上，且且A1F23FC.求證：求證：E，F(xiàn)，B 三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線證明：設(shè)ABa，ADb，AA1c.A1E2ED1=23AD23b，A1F23FC25A1C=25(ACAA1)25(ABADAA1)25a25b25cEFA1FA1E25a415b25c25a23bc， EBEA1A1AAB23bcaa23bc，EF25EB.所以 E，F(xiàn)，B 三點(diǎn)共線題型題型三三共共面面定理應(yīng)用定理應(yīng)用點(diǎn)共面問(wèn)題點(diǎn)共面問(wèn)題：證

11、明點(diǎn)共面問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問(wèn)題，如要證明 P、A、B、C 四點(diǎn)共面，只要能證明PAxPByPC，或?qū)臻g任一點(diǎn) O，有OPOAxPBy PC或OPxOAyOBzOC(xyz1)即可例例 5 5：已知已知 A、B、C 三點(diǎn)不共線三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面對(duì)于平面 ABC 外一點(diǎn)外一點(diǎn) O，若若OP25OA15OB25OC，則點(diǎn)則點(diǎn) P 是否與是否與 A、B、C一定共面？試說(shuō)明理由一定共面？試說(shuō)明理由解析：解析：212212212 (+)(+)(+)=+553553553OPOAOBOCOP PAOP PBOP PCOPPAPBPCuuu ruuruuu ruuu ruuu r uuruuu r

12、uuruuu r uuu ruuuruuruuruuu rAP15AB25AC，故A、B、C、P四點(diǎn)共面.例例 6 6：如圖所示如圖所示，已知已知 P 是平行四邊形是平行四邊形 ABCD 所在平面外一點(diǎn)所在平面外一點(diǎn)，連結(jié)連結(jié) PA、PB、PC、PD，點(diǎn)點(diǎn) E、F、G、H 分別為分別為PAB、PBC、PCD、PDA 的重心，應(yīng)用向量共面定理證明：的重心，應(yīng)用向量共面定理證明：E、F、G、H 四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面證明：分別延長(zhǎng) PE、PF、PG、PH 交對(duì)邊于 M、N、Q、R. E、F、G、H 分別是所在三角形的重心，M、N、Q、R 為所在邊的中點(diǎn)順次連結(jié) M、N、Q、R，所得四邊形為平行四邊形，且

13、有PE23PM，PF23PN，PG23PQ，PH23PR.EGPGPE23PQ23PM23MQ23(MNMR)23(PNPM)23(PRPM)23(32PF32PE)23(32PH32PE)EFEH.由共面向量定理得 E、F、G、H 四點(diǎn)共面.例例 7 7：正方體正方體 ABCDA1B1C1D1中，中，E，F(xiàn) 分別是分別是 BB1和和 A1D1的中點(diǎn)，求證向量的中點(diǎn)，求證向量A1B， B1C，EF是共面向量是共面向量證明：如圖所示，EFEBBA1A1F12B1BA1B12A1D112(B1BBC)A1B12B1CA1B.由向量共面的充要條件知A1B， B1C，EF是共面向量題型題型四四空間向量

14、數(shù)量積的應(yīng)用空間向量數(shù)量積的應(yīng)用例例 8 8：如圖所示，平行六面體如圖所示，平行六面體 ABCDA1B1C1D1中，以頂點(diǎn)中，以頂點(diǎn) A 為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為 1，且兩兩夾角為，且兩兩夾角為 60.(1)求求 AC1的長(zhǎng)；的長(zhǎng)；(2)求求 BD1與與 AC 夾角的余弦值夾角的余弦值解析解析：(1)記ABa，ADb，AA1c，則|a|b|c|1， a，bb，cc，a60，abbcca12.|AC1|2(abc)2a2b2c22(abbcca)1112121212 6，|AC1| 6，即 AC1的長(zhǎng)為 6.(2)BD1bca，ACab，|BD1| 2，|AC| 3，BD1AC(

15、bca)(ab)b2a2acbc1.cosBD1， ACBD1AC|BD1|AC|66.AC 與 BD1夾角的余弦值為66.已知空間四邊形已知空間四邊形 ABCD 的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于 a， 點(diǎn)點(diǎn) E、 F 分別是分別是 BC、 AD 的中點(diǎn)的中點(diǎn)， 則則AEAF的值為的值為()Aa2B.12a2C.14a2D.34a2解析：解析：設(shè)ABa，ACb，ADc，則|a|b|c|a，且 a，b，c 三向量?jī)蓛蓨A角為 60.AE12(ab)，AF12c，AEAF12(ab)12c14(acbc)14(a2cos60a2cos60)14a2.題型題型五五空間向量坐標(biāo)運(yùn)算空

16、間向量坐標(biāo)運(yùn)算例例 9 9：如圖所示，如圖所示，PD 垂直于正方形垂直于正方形 ABCD 所在平面，所在平面，AB2，E 為為 PB 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，cosDP， AE33，若以，若以 DA，DC，DP 所在直線分別為所在直線分別為 x，y，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn) E 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 ()A(1,1,1)B.1，1，12C.1，1，32D(1,1,2)設(shè) PDa (a0)，則 A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E1，1，a2 ，DP(0,0，a)，AE1，1，a2 ，cosDP， AE33，a22a2a2433，a2.E 的坐標(biāo)為(1,1

17、,1)例例 10：已知 a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)若 a，b，c 三向量共面，則實(shí)數(shù)=_解析：由題意得 ctab(2t，t4，3t2)，72t，5t4，3t2.t337，177，657.例例 11：已知已知ABC 的頂點(diǎn)的頂點(diǎn) A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，試求，試求ABC 的面積的面積AB(1,1,1)，AC(2,1,3)，|AB| 3，|AC| 14，ABAC2136，cosAcosAB， AC63 14642.sinA1364217.SABC12|AB|AC|sinA12 3 141762.例例 12：已知 a(1,0,2)，b(6,21,

18、2)，若 ab，則與的值可以是()A2，12B13，12C3,2D2,2解析由題意知：1622，210，解得2，12或3，12.例例 13：已知空間中三點(diǎn)已知空間中三點(diǎn) A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，設(shè)，設(shè) aAB，bAC.，若若 kab 與與 ka2b 互相垂直，互相垂直，求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù) k 的值的值方法一kab(k1，k,2)ka2b(k2，k，4)，且 kab 與 ka2b 互相垂直，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280，k2 或52，方法二由(2)知|a| 2，|b| 5，ab1，(kab)(ka2b)k2a2kab2b22k2k100，得 k

19、2 或52.例例 14：已知空間三點(diǎn)已知空間三點(diǎn) A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以AB，AC為邊的平行四邊形的面積；(2)若|a| 3，且 a 分別與AB，AC垂直，求向量 a 的坐標(biāo)解(1)cosAB， ACABAC|AB|AC|23614 1471412.sinAB， AC32，以AB，AC為邊的平行四邊形的面積為 S212|AB|AC|sinAB， AC14327 3.（2）設(shè) a(x，y，z)，由題意得x2y2z232xy3z0 x3y2z0，解得x1y1z1或x1y1z1，例例 15：如圖所示如圖所示，在正方體在正方體 ABCDA1B1C1D1中中，E、

20、F 分別在分別在 A1D、AC 上上，且且 A1E23A1D，AF13AC，則則 ()AEF 至多與至多與 A1D、AC 之一垂直之一垂直BEF 與與 A1D、AC 都垂直都垂直CEF 與與 BD1相交相交DEF 與與 BD1異面異面解析：設(shè) AB1，以 D 為原點(diǎn)，DA 所在直線為 x 軸，DC 所在直線為 y 軸，DD1所在直線為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E13，0，13 ，F(xiàn)23，13，0，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A1D(1,0，1)，AC(1,1,0)， EF13，13，13 ， BD1(1，

21、 1， 1)， EF13BD1， A1DEFACEF0， 從而 EFBD1， EFA1D，EFAC.例例 16：已知已知 O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，點(diǎn)，點(diǎn) Q 在直線在直線 OP 上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)QAQB取最小值時(shí)，點(diǎn)取最小值時(shí)，點(diǎn) Q 的坐標(biāo)的坐標(biāo)是是_解析：解析：設(shè)OQOP(，2)，則QA(1，2，32)，QB(2，1，22)QAQB(1)(2)(2)(1)(32)(22)6216106(43)223.當(dāng)43時(shí)，QAQB取最小值為23.此時(shí)，OQ(43，43，83)，綜合練習(xí)一、選擇題1、下列命題：其中不正確的所有命題的序號(hào)為_(kāi)若 A、B、

22、C、D 是空間任意四點(diǎn)，則有ABBCCDDA0；|a|b|ab|是 a、b 共線的充要條件；若 a、b 共線，則 a 與 b 所在直線平行；對(duì)空間任意一點(diǎn) O 與不共線的三點(diǎn) A、B、C，若OPxOAyOBzOC(x、y、zR)，則 P、A、B、C 四點(diǎn)共面設(shè)命題 p：a，b，c 是三個(gè)非零向量；命題 q：a，b，c為空間的一個(gè)基底，則命題 p 是命題 q 的充要條件解析：選，中四點(diǎn)恰好圍成一封閉圖形，正確；中當(dāng)a a、b b同向時(shí)，應(yīng)有|a a|b b|a ab b|；中a a、b b所在直線可能重合；中需滿足xyz1，才有P、A、B、C四點(diǎn)共面；只有不共面的三個(gè)非零向量才能作為空間的一個(gè)基

23、底，應(yīng)改為必要不充分條件2、有下列命題：其中真命題的個(gè)數(shù)是()若 pxayb，則 p 與 a，b 共面；若 p 與 a，b 共面，則 pxayb；若MPxMAyMB，則 P，M，A、B 共面；若 P，M，A，B 共面，則MPxMAyMB.A1B2C3D4解析其中為真命題中，若 a，b共線，則共線，則pxayb；3、已知 A(1,0,0)，B(0，1,1)，OAOB與OB的夾角為 120，則的值為()A66B.66C66D 6解析：OAOB(1，)，cos120122 212，得66.經(jīng)檢驗(yàn)66不合題意，舍去，66.4、 如圖所示，已知 PA平面 ABC，ABC120，PAABBC6，則 PC

24、等于()A6 2B6C12D144解析 PC2(PAABBC)2=PA2AB2BC22ABBC363636236cos 60144|PC|12證明設(shè)ABa，ACb，ADc，則BGBAAGBA34AMa14(abc)34a14b14c，BNBAANBA13(ACAD)a13b13c43BG.BNBG，即 B、G、N 三點(diǎn)共線5、正方體 ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為 a，點(diǎn) M 在 AC1上且AM12MC1，N 為 B1B 的中點(diǎn)，則|MN|為 ()A.216aB.66aC.156aD.153a解析以 D 為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 Dxyz，則 A(a,0,0)，C1(0，a，a)，

25、Na，a，a2 .設(shè) M(x，y，z)點(diǎn) M 在 AC1上且AM12MC1，(xa，y，z)12(x，ay，az)x23a，ya3，za3.M2a3，a3，a3 ，|MN|a23a2aa32a2a32216a.6、如圖所示，已知空間四邊形 OABC，OBOC，且AOBAOC3，則 cosOA， BC的值為 ()A0B.12C.32D.22解析設(shè)OAa，OBb，OCc，由已知條件a，ba，c3，且|b|c|，OABCa(cb)acab12|a|c|12|a|b|0，cosOA， BC0.7、如圖所示，在平行六面體 ABCDA1B1C1D1中，M 為 A1C1與 B1D1的交點(diǎn)若ABa，ADb，A

26、A1c，則下列向量中與BM相等的向量是 ()A12a12bcB.12a12bcC12a12bcD.12a12bc解析BMBB1B1MAA112(ADAB)c12(ba)12a12bc.8、8、平行六面體 ABCDA1B1C1D1中，向量AB， AD，AA1兩兩的夾角均為 60，且|AB|1，|AD|2，|AA1|3，則|AC1|等于()A5B6C4D8設(shè)ABa，ADb，AA1c，則AC1abc，AC12a2b2c22ab2bc2ca25，|AC1|5.9、在下列條件中，使 M 與 A、B、C 一定共面的是()A.OM3OA2OBOCBOMOAOBOC0C MAMBMC0DOM14OBOA12O

27、C解析：C 中MAMBMC.故 M、A、B、C 四點(diǎn)共面二、填空題10、同時(shí)垂直于 a(2,2,1)和 b(4,5,3)的單位向量是_解析設(shè)與 a(2,2,1)和 b(4,5,3)同時(shí)垂直 b 單位向量是 c(p，q，r)，則p2q2r21，2p2qr0，4p5q3r0，解得p13，q23，r23，或p13，q23，r23，所求向量為13，23，23 或13，23，23 .11 若向量 a(1，2)，b(2，1,2)且 a 與 b 的夾角的余弦值為89，則_.解析由已知得89ab|a|b|2452 9，8 523(6)，解得2 或255.12 在空間直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn) A(4,1,9)、B(10，1,6)、C(x,4,3)為頂點(diǎn)的ABC 是以 BC 為斜邊的等腰直角三角形，則實(shí)數(shù) x 的值為_(kāi)解析由題意知ABAC0，|AB|AC|，可解得 x2.13 已知 a3b 與 7a5b 垂直，且 a4b 與 7a2b 垂直，則a，b_.解析由條件知(a3b)(7a5b)7|a|216ab15|b|20，及(a4b)(7a2b)7|a|28|b|230ab0.兩式相減，得 46ab23|b|2，ab12|b|2.代入上面兩個(gè)式子中的任意一個(gè)，即可得到|a|b|.cosa，bab|a|b|1