第6章結(jié)構(gòu)動力問題的有限元法(2學(xué)時)

1、有限元基礎(chǔ)第六章 結(jié)構(gòu)動力問題的有限元法劉艷芳Email: Add: 工程訓(xùn)練中心西配樓406Tel： 8233 8121劉艷芳，交通運輸工程系， 第六章 結(jié)構(gòu)動力問題的有限元法章節(jié)內(nèi)容 介紹如何應(yīng)用有限元法求解結(jié)構(gòu)的動力問題？動力學(xué)基本方程、質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣；結(jié)構(gòu)的自由振動和結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)問題；動力學(xué)問題的解法。章節(jié)目錄6.1 概述6.2 結(jié)構(gòu)動力方程6.3 結(jié)構(gòu)的自由振動劉艷芳，交通運輸工程系， 6.1 概述n靜力分析假設(shè)載荷和結(jié)構(gòu)的響應(yīng)隨時間的變化非常緩慢。結(jié)構(gòu)的響應(yīng)：位移、應(yīng)變、應(yīng)力和力，與時間無關(guān)。靜力分析用于計算固定不變的載荷對結(jié)構(gòu)或部件的影響。n動力分析考慮載荷和結(jié)構(gòu)的響應(yīng)隨時

2、間的變化而變化。結(jié)構(gòu)的響應(yīng)：位移、應(yīng)變、應(yīng)力和力是時間的函數(shù)；除此之外，還有速度、加速度。動力分析用于求解隨時間變化的載荷對結(jié)構(gòu)或部件的影響。劉艷芳，交通運輸工程系， 6.1 概述n工程意義結(jié)構(gòu)振動是研究機械設(shè)備運動和力學(xué)問題的重要基礎(chǔ)。振動問題引起的機械故障率高達(dá)6070，特別是運動機械。機械系統(tǒng)向高參數(shù)化發(fā)展，振動和噪聲問題日益突出。事故典型：n1940年，美國的Tacoma Narrows吊橋在中速風(fēng)載下，橋身發(fā)生嚴(yán)重的扭轉(zhuǎn)振動和垂直振動而導(dǎo)致崩塌。n1972年，日本海南電廠的一臺66萬KW汽輪發(fā)電機組，在試車中因為發(fā)生異常振動而全機毀壞，長達(dá)51m的主軸斷裂飛射，聯(lián)軸節(jié)及汽輪機葉片竟然

3、穿透廠房飛落到百米之外。振動分析和振動設(shè)計成為產(chǎn)品設(shè)計中的一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)。劉艷芳，交通運輸工程系， 6.1 概述n動力問題的類型瞬態(tài)分析：用于分析結(jié)構(gòu)在隨時間變化的載荷作用下的動力響應(yīng)模態(tài)分析：用于分析結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)（振型）諧響應(yīng)分析：用于分析結(jié)構(gòu)在隨時間正弦變化的載荷作用下的響應(yīng)響應(yīng)譜分析：用于求解結(jié)構(gòu)在沖擊載荷下的響應(yīng)隨機振動分析：用于分析結(jié)構(gòu)對隨機激勵的響應(yīng)顯式動力分析：用于計算高度非線性動力學(xué)和復(fù)雜的接觸問題劉艷芳，交通運輸工程系， 6.2 結(jié)構(gòu)動力方程n單自由度振動系統(tǒng) 設(shè)物體的質(zhì)量為m，阻尼系數(shù)為c，彈簧剛度為k，受到隨時間變化的激振力F(t)作用。 則其動力方程為：)(tFk

4、zzczm 加速度速度位移劉艷芳，交通運輸工程系， 6.2 結(jié)構(gòu)動力方程舉例：單質(zhì)量彈簧阻尼振動器zkzk劉艷芳，交通運輸工程系， 6.2 結(jié)構(gòu)動力方程舉例：單質(zhì)量彈簧阻尼振動器解析解：劉艷芳，交通運輸工程系， 6.2 結(jié)構(gòu)動力方程n有限元動力分析基本步驟單元離散（網(wǎng)格劃分）單元特性分析n單元位移模式n單元節(jié)點載荷n單元動力平衡方程1.整體分析劉艷芳，交通運輸工程系， 6.2 結(jié)構(gòu)動力方程n單元位移模式假定位移模式為：單元形函數(shù)矩陣N僅是點的坐標(biāo)的函數(shù)，與時間無關(guān)；單元節(jié)點位移e既是點的坐標(biāo)的函數(shù)，又是時間的函數(shù)；單元內(nèi)任一點的位移f既是點的坐標(biāo)的函數(shù)，又是時間的函數(shù)。單元的速度：單元的加速度

5、：顯然，單元的速度和加速度：既是點的坐標(biāo)的函數(shù)，又是時間的函數(shù)。劉艷芳，交通運輸工程系， 6.2 結(jié)構(gòu)動力方程n單元節(jié)點載荷載荷：來自于外界的激振力、慣性力和阻尼力n激振力：無論是集中載荷還是分布載荷，都按照靜力分析的虛功等效原則移置到單元的節(jié)點上。n單位體積的慣性力： 為材料的密度為材料的密度n單位體積的阻尼力： 為材料的阻尼系數(shù)為材料的阻尼系數(shù)n單元質(zhì)量矩陣和單元阻尼矩陣都是對稱矩陣。單元質(zhì)量矩陣單元阻尼矩陣劉艷芳，交通運輸工程系， 6.2 結(jié)構(gòu)動力方程n單元平衡方程 或者寫成：動力分析與靜力分析的區(qū)別！單元剛度矩陣和靜力分析中的完全一樣。劉艷芳，交通運輸工程系， 6.2 結(jié)構(gòu)動力方程n整

6、體平衡方程整體質(zhì)量矩陣、整體阻尼矩陣和整體剛度矩陣都是對稱矩陣。節(jié)點載荷列陣節(jié)點位移列陣節(jié)點加速度列陣節(jié)點速度列陣整體剛度矩陣整體質(zhì)量矩陣整體阻尼矩陣劉艷芳，交通運輸工程系， 6.2 結(jié)構(gòu)動力方程n動力方程的簡化與靜力分析相比，結(jié)構(gòu)有限元動力分析的計算量非常大。簡化途徑：n單元質(zhì)量矩陣（一致質(zhì)量矩陣）n舉例：平面3節(jié)點三角形單元桿單元梁單元1.組裝后的整體質(zhì)量矩陣為帶狀對稱矩陣（稀疏矩陣）劉艷芳，交通運輸工程系， 6.2 結(jié)構(gòu)動力方程n動力方程的簡化與靜力分析相比，結(jié)構(gòu)有限元動力分析的計算量非常大。簡化途徑：n單元質(zhì)量矩陣（一致質(zhì)量矩陣）n簡化辦法：假設(shè)單元的質(zhì)量集中在各節(jié)點上。 因此，某一節(jié)

7、點的加速度不引起其它節(jié)點的慣性力。形成的單元質(zhì)量矩陣為對角矩陣，組裝后的整體質(zhì)量矩陣也是對角矩陣。1.簡化后的質(zhì)量矩陣稱為 集中質(zhì)量矩陣。劉艷芳，交通運輸工程系， 6.2 結(jié)構(gòu)動力方程n動力方程的簡化與靜力分析相比，結(jié)構(gòu)有限元動力分析的計算量非常大。簡化途徑：n阻尼矩陣2.當(dāng)密度和阻尼系數(shù)都為常數(shù)時，單元阻尼矩陣和單元質(zhì)量矩陣是成比例關(guān)系的。劉艷芳，交通運輸工程系， 6.2 結(jié)構(gòu)動力方程n動力方程的簡化與靜力分析相比，結(jié)構(gòu)有限元動力分析的計算量非常大。簡化途徑：n阻尼矩陣n簡化辦法(1) 用單元質(zhì)量矩陣m和單元剛度矩陣k的線性組合來表示單元阻尼矩陣。和與結(jié)構(gòu)的固有頻率和阻尼比有關(guān)。劉艷芳，交通

8、運輸工程系， 6.2 結(jié)構(gòu)動力方程n動力方程的簡化與靜力分析相比，結(jié)構(gòu)有限元動力分析的計算量非常大。簡化途徑：n阻尼矩陣n簡化辦法(2) 假設(shè)單元阻尼矩陣正比于單元剛度矩陣。劉艷芳，交通運輸工程系， 6.3 結(jié)構(gòu)的自由振動n彈性體振動的有限元法系統(tǒng)的振動特性：固有頻率和固有振型經(jīng)驗證明，阻尼對結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型影響很小，可以忽略。 因此，在沒有激振力的情況下，物體的動力平衡方程（無阻尼振動方程）為： 解析解：各節(jié)點的振幅向量（固有振型）固有頻率相位角劉艷芳，交通運輸工程系， 6.3 結(jié)構(gòu)的自由振動n無阻尼自由振動方程各節(jié)點的振幅不可能全為零。 因此，可得結(jié)構(gòu)固有頻率的方程：一般解劉艷芳，交通運輸工程系， 6.4 結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)n結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力響應(yīng)根據(jù)結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動的頻率和振型，可以求解結(jié)構(gòu)的振動方程，求出結(jié)構(gòu)各節(jié)點在強迫振動時的瞬態(tài)位移，并進(jìn)而求得各單元在振動時的瞬態(tài)應(yīng)力。n求解方法振型疊加法：適用于線性系統(tǒng)基本思想：將n階自由度系統(tǒng)的動力方程，經(jīng)振型模態(tài)矩陣變換，化為互不耦合的n個單自由度問題，進(jìn)行逐個求解后，再疊加得到動力響應(yīng)的結(jié)果。逐步積分法：適用于非線性問題的求解基本思想：把時間離散化，由初始狀態(tài)開始逐步求出每一個時間間隔上的狀態(tài)向量（位移、速度、加速度），最后求出的狀態(tài)向量就是結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動力響應(yīng)的解。 劉