重積分(教師用)

1、個人收集整理_僅供參考學(xué)習(xí)請九章重積分一74頁第一節(jié)重積分的概念與性質(zhì) 74頁(中值定理)設(shè)、重積分的概念與性質(zhì)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，二為D的面積，那么在D上至少存在一點(,),使 I I f x,y d；二 f ',匸D補例確定積分11 arcs in x y d；的符號，其中DD:OEx 乞1，0 乞y El_x.解：由于 0 y <1，二 0 乞arcsin x - y ；因此 11 arcs in x y dD習(xí)題8-2二重積分概念與性質(zhì)64頁2根據(jù)二重積分的性質(zhì)，比擬以下積分的大?。?1) ln x yd二與 lnx yfd 二,D 是頂點分別為(1,0), (

2、1,1), (2,0)的三DD角形區(qū)域 解:在 D 上,1 _ x y _ 2, 0 込 In(x 亠 y)込1,故. ln(x y) I I ln(x - y)2DD(2) i iln x - y d；與 | | x y fd二,其中 D 是矩形區(qū)域：3 _x _5,0 _y _1.DD解:在 D 上,3 _ x y _ 6, In(x y) 1,故！ ln (x y)d；： l n(x - y)2dc5 求 lim 211 f x,y dxdy，其中r x2 -y.2DD解：t f(x,y)連續(xù)，由中值定理，在D內(nèi)至少存在一點(),使f x,y dd=f ,r：-2D解：D : x2 _4

3、x 0令y2 _2y| 蘭2x2 _2xy2 _2x * 蘭 2 卜2y2利用二重積分定義證明:(1) i|d；(其中；為D的面積)D證：令 f (x,y) =1，那么3: I勺|!2+9甲，其中D是園形閉域：x22蘭4解:令，在D上，m =f (0,0) =9, * f (x,y) =x2|_y2|_3y2 ±9 蘭3y電 13,M =f (0,2) =25,；-4二，故 36-： I 100二.4設(shè)I1(x2 y2)3dxdy,其中Di是 矩形閉 區(qū)域：-1乞x乞1,-2乞y乞2，I2 =D2D1(x2 y2)3dxdy，其中D2矩形閉區(qū)域：0x1,0y2 ；試用二重積分的幾何意

4、義說明1與I 2的關(guān)系。:由對稱性知：曲頂柱體的體積 11是曲頂柱體的體積I2的4倍，所以第三節(jié)二重積分的計算64頁利用直角坐標(biāo)計算二重積分下用幾何觀點來討論二重積分f x,y dxdy的計算，假設(shè)D為X型區(qū)域，即D可表為：i(x) _y _ 2(x)， a _x _b (特點：過D且平行于y軸的直線與D邊界相交不多于兩點)，文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)有:b $(x) f(x,y)=a»D1f (x,y)dydx上式右端的積分叫做先對y,后對x的二次積分，即先把 x看作常數(shù)，把f(x,y)只看作y,的函數(shù)，并對y,從1(x)到l(x)定積，然后把算得的結(jié)果(是b 申2(x)、x的

5、函數(shù))再對x計算在區(qū)間a,b上的積分，也記為：.dx.：()f (x,y)dy文 檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)因此有：.P 恐(x)b 恐(x )! f(x,y)d .：f (x,y)dydxdx .：f(x,y)dya 半(X)a屮 1(x)D11類似地，假設(shè) D 為 Y型：r(y) _y _ 2(y),c_y _d2 x2 y2 xi ixyd； xydydx = x 1 dx = D21= 18法2 :先x，后y,那么：恰當(dāng)?shù)剡x擇積分次序是化二重積分為二次積分的關(guān)鍵步驟在重積分的計算中也可利用對稱性，下面舉例說明補例計算I二yd匚，其中D :D2 2x2 y2 -2Rx E0解：法一極坐

6、標(biāo)得D :<0 <2I 20 _ r _2Rcos)y奇，故將二重積分化法二 直角坐標(biāo)：區(qū)域 D關(guān)于x軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于df x,y dx那么！ ！ f x, y dxdy = dyD假設(shè)D既是X型區(qū)域又是Y型區(qū)域，那么兩種積分順序都能計算二重積 分由此得到二次積分交換積分順序的公式：文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)(4)特別，假設(shè) f x,y = fi x f2 y ，D為矩形區(qū)域：a乞x乞b, c乞y乞d,貝U補充例計算 xyd二，其中D由直線Dy =1,x =2，及y =x所圍閉區(qū)域。法1:畫D，先y，后x，那么:為二次積分且先對 y積分時，將是奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分，/

7、I =0文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)一般地，設(shè)區(qū)域D對稱于x軸，其在x軸上方的局部為D1，假設(shè)被積函數(shù)f x, y關(guān)于變量y為奇函數(shù)，即f x, -y - -f x,y，那么.1.1 f x, y d；- 0 ;假設(shè)被D函數(shù)f x,y關(guān)于變量y為偶函數(shù)，即f x,-y二f x, y，那么文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個 人學(xué)習(xí)iif x,y d；：- =2h f x, y d二.DD1同理，設(shè)區(qū)域D對稱于y軸，其在y軸右方的局部為 Di，假設(shè)f x,y關(guān)于變量x奇，即 f (x,y Af (x, y )，那么 JJ f(x, yd=0 : 假設(shè) f (x, y )關(guān)于變量 xD為偶，即 f _x,y

8、 = f x,y，貝V f x, y d c2文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)補例：以下等式是否成立，并說明理由其中D: x2 y2乞1 ；2 2Di : x - y 乞 1,x _0, y _0, I ixln x y d；:=0D解：成立因為積分區(qū)域 D對稱于y軸，被積函數(shù)對 x是奇函數(shù)，故積分 值為0. ！! 1 _x2 _y2 d;- 4 I I J _x2 -yd 二DD1解：成立.因D對稱于x和y軸，被積函數(shù)對x和y都是偶，故可用D1上的 四倍表示. xydxdy =4xydxdyDD1解：不成立.D雖然對稱于x和y軸，但被積函數(shù)對 x和y均為奇，所以,原式=0.補例：計算 I ：

9、m xzdv!為 z=h , h .0，Qz =x2 y2所圍區(qū)域.解：】關(guān)于xoz平面和yoz平面對稱，被積函數(shù)關(guān)于x奇函數(shù)，關(guān)于y是奇函數(shù)，貝U I ： h i xdv亠h i ydv亠h i zdvQ Q Q 補例 計算I二X y d匚，其中D是拋物線Dy =x2 , y =4x2及直線y =1所圍成的區(qū)域.，其中D是:解：D對稱于y軸，被積函數(shù)關(guān)于x和y 奇，因此，先x后y積分時有：習(xí)題8-3利用直角坐標(biāo)計算二重積分73頁1.化二重積分I二f x, y de為二次積分D分別列出對兩個變量先后次序不同的二次積分2 2 2由x軸及x y二r y _0所圍；o oo or 宅 r _xr r

10、 _y解：網(wǎng) =廳0©ydypdyJ Mxy dxD-(3) 由直線y =x及拋物線y (2)計算I = ey亠cos(1 xfldxdy,其中D是由x=°, y=x,y=1所圍成的區(qū)域。 =4x所圍閉區(qū)域;y4y2 f x，ydx= 0dx2 xf x,y dxx2畫出積分區(qū)域，并計算二重積分: ex y，其中 D是由Dx - y _1所確定的閉區(qū)域解:D1=( x, y) -x-1乞y込x4一1空x 乞0,D2=(x,y) |x-1乞y 遼1 -x, 0 遼x 乞011 lx2 ：-y2 x dx， D是由y=2， y=x及y =2x所圍成的閉區(qū)域D2y2322 ,解:

11、22x2x、y.,24 3 3 2、丄13原式= dy (x y x)dx(y x) y dy = ( yy )dy -032 y- 19860 y202補充.xy2d；,其中D是由圓周x2今2=4及y所圍成的右半閉區(qū)域。D解:2 2,.xy d一/Dy2dy "J0122264n(4-y)dy=65-sin13 ( 1) 計算I = sinx dxdy ， D是由直線y =x及拋物線y =x2所圍區(qū)域;x xD解：因 沁dX不能用有限形式表示出其結(jié)果,x故先y后x積分.1 sin x x 14.變 以下 二 次的 積分秩序0dx (2dy = (1 -x Sinxdx = 11 .

12、 1 _y2f(X, y)dx ；-y22x21嚴(yán)2f x，ydy°dy 2補充1:補充2:補充3:ln x1 edx0f “dy-.ody.eyf x,ydx1 y ody.o1 1f (x,y dx= RdxJ f(x,y)dyo x2 2y4x0 dy y2 f X,y dx = 0dx r f x,y dy25平面薄片所占區(qū)域D由x y =2 , y =x和x軸所圍，密度： :ix, y =x2 y2 ,求質(zhì)量.12 _y1解:M =(x2 y2)d；-二 dy (x2 - y2)dx 二(_8 y3 4y24y -)d-333D0 y07 證明：°dy o em(

13、a " f (x)dx = o(ax)em(a "f (x)dx.證明：0 _x _yx _y _aD:(0<y<a-(0<x<a，所以:補例計算以下二次積分：3dxey2dy ；2解：因ey dy不易積分，改變積分次序爲(wèi)臭2作出D的草圖原式ey dyy 1dx =° yey dy 冷 e412(2)因ey dy不易積分,改變積分次序由爛：；2：作出D的草圖，原式_y2y1.：y21)e dy 丄dx 石 ° dy =壬補例 計算I =d -,其中D為y =2x , y =x , x = 2 , x =4所圍成的平面xD區(qū)域解：作

14、D的草圖法一直角坐標(biāo)系，先y后x積分把D投影在x軸上，那么4 1 2x2 - dxx ydy .dx3 4亠=9先x后y積分，把D投影在y軸上，那么：Di:4 <<8D2：4 y 184 148I ydy j -dx 亠 i ydy y dx y ln y -ln 2 dy 亠 i y 3ln2 -In y dy -22 x 4' x 242=8ln2 _3 亠12-8ln2 =9練習(xí)冊1改變積分次序:解：如圖(2) IDxdy, D ： x -1,0xcos(x y) dxdyjdx °xcos(x y)dy = ,sin(x y) 0dx解：記： 0乞yx2,

15、|x 1； D2 : x2題圖3.化二重積分1 -為二次積分分別列出D對兩個變量先后次序不冋的二次積分，其中D是：1由 y =x , x =2 及 y =-(x >0)所圍；x4:計算由四個平面x =0, y =0,x =1, y =1所圍成的柱體被1題圖極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為：D :, ri 日崔r(nóng)蘭2日，a蘭日蘭P;x =r cosO=r si nO，面積元素d；- rdrd v那么 f x,yd珂；Df (rcosr sin ) rdr在極坐標(biāo)系下將二重積分化為二次積分，主要以極點O的位置來劃分.一般情況下積分順序為先 r后r.個人收集整s _僅供參考學(xué)習(xí)補例：計算 I = JJ

16、 x2+y2 _4 dcr , D：x2+y2 蘭9 D解：作D的草圖x2亠y2 =9，令x2亠y2 _4=0 ,園把D分為兩局部D1: ： x2 y2乞4 D2： 4 x2 y2乞9I =4 x2 y2 d；x2 y2 _4 d二(極坐標(biāo))DD 2補充： 求由曲面z =x2亠2y2及z=62x2y2所圍成的立體的體積解：投影區(qū)域 Dxy ：0乞x2 - y2乞2, D : 0乞r乞.2, 0：宀：2二z2 二 2 2 2 二 2 V =3 d'：(2 r )rdr =3 (r 0 -0-06d2f OX1744習(xí)題8-4利用極坐標(biāo)計算二重積分79頁1畫出積分區(qū)域，將積分I = f x

17、,yd；二化為極坐標(biāo)下的2 2 2 次積分,X其中y 是>y補充：D二(x,y) x2 y2 豈2x)解：D :0-r _2cos v,，故：I =2 22a cos日df(rcosv,rs in v)rdr2補充:=( x, y) a2 _x2 y2 _b2,其中 0 :：: a :b;)“"2 兀b解：I = f x,y ddf(rcosv,rsin v)rdrD2a 唁 2ax2 222計算以下積分(1) 0 dx 0x2 y2 dy ；JI2 2acos 4解：原式二 drr3dr = 2 I；acos£0400 0i.iarctg -d，D 是由圓周 x2

18、- y2 =4，x2 - y2 =1 及直線 y =0, y = x所圍成 xD的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域42解：原式=d r ：rdr3640 14.求由平面y=0,y=Kx(k 0),0以及球心在原點、半徑為 R的上半球面所圍成的在第一卦限內(nèi)的立體體積補充:a a2 _y2-*(x2n cy2 dx ;解：原式=。彳d v oa r2rdrad2y2Xe D(其中 D : x2 y2 乞 4 )2兀2 r 21解：I 心 0 rer dr ：r2亠1°d v -二(e4 一1).補充:2與卄，其中D是由直線x =2, y = x及及曲線xy =1所圍成的閉區(qū)域 y解：原式=2 x x

19、237dx 1 2 d = (x3 _x)dxy.4x1補充：求xoy面上的圓周x2 y2 =ax(a .0)圍成的閉區(qū)域為底，而以曲面2 2z=x2 - y2為頂?shù)那斨w的體積.解 投影到 xoy 面得x2 y2 二 ax(a . 0)內(nèi) 部0 _r _a cos t1故 V =(x2 y2)dxdyD練習(xí)冊5把積分fflf (x, y)d x d表為極坐標(biāo)形式的二次積分，其中DD是：0蘭y蘭x2,0蘭x <1.y =x2化為極坐標(biāo) ：rsin v - r2 cos2 t1, : r =tan vsecv.x =1化為極坐標(biāo):rcos j -1, : r =secn皿 f(x,y)d

20、Ddrs26 (1) msin#x岡y dxdy, D 是:2i JD2 2 2y _4二.-0_(sinr)rdr = ( _r cosr+sin 竹岸屈-二 _6二2(2)，其中D是由直線x=2, y二x及曲線xy =1所圍成的閉區(qū)域厶入x解：原式2xx22 21ly = jx2(T2；dx = j(x3x)dx =9.x 14DD :sin v,32(R2 -r2)2|Rsid.=3R3)d vR3 二=2r3332 (1 -cos2 v)d cos-71r2 _x2 y2dxdy,D 由圓周 x2 yRx 所圍.7求心形線r =2(1 ("co輕|與圓r =2所圍圖形的(在園

21、外局部)的面積。&由螺線r =越與直線El=圍成一平面薄片D，密度"x, y =x2y2，求質(zhì)第五節(jié)三重積分 80 頁直角坐標(biāo)下 假設(shè)'J :zi x, y空z乞Z2 x, y , yi x豈y空y2 x , a空x空b小Z2 fx, y 貝V f x, y,z dv 11 dxdyf x, y,z dzzi x,yQDxy' jby2 xz2 x,ydx dyf x, y, z dz其中Dxy為門在xoy平面上的投影.ayi xzi x,y補充例：計算三重積分：i .i .ixdxdydz,l】為三個坐標(biāo)面及平面x2yz=1所圍Q閉區(qū)域。1 _ x解：將門投

22、影到xoy面上，得投影區(qū)域Dxy =( x, y) 0乞y空二一,0空x乞1,該直線過z =0穿入I】內(nèi),在Dxy內(nèi)任取一點(x, y),過此點作平行于z軸的直線,然后過平面z =1-X _2y穿出I】外，于是:in xdxdydzQ1= “dx,20o1 _x1 _x _2 y1dyxdz 二-0 - 01_xI(1 X2y) dy1_2y -zxdx)1 1 2 3 1G(x-2x x)dx2 ；(或先 X，二，0dz02 dy 0有時，我們計算一個三重積分也可以化為先計算一個二重積分，再計算個定積分，假設(shè)1 =( x, y, z) (x,y) Dz,c _z _d,即 I 】介于平面 z

23、 = c 與 z = d 之間，過 z軸上區(qū)間C,d 1內(nèi)任一點z作垂直于z軸的平面截門得平面區(qū)域Dz (圖4-8 )d貝Vf x, y, z dxdydz dz f x, y, z dxdy-c -QDzDz通常與z有關(guān).此法也稱為“先二后一法或“截面法。習(xí)題8-5 利用直角坐標(biāo)計算三重積分86頁 1.化三重積分I = JJJ f (x,y,z dxdydz為三次積分，其中 。分別是(1)由z=x2+y2與z=1所圍成的閉區(qū)域。1Ji _x21解：原式=.dx jxzdy x2 y2 f x,y,zdz(3)化I ： m f x, y, z dxdydz為三次積分，門為由曲面Qz =x2 -

24、 y2,y =x2,y =1及z =0 所圍。解軍：；-1：0 乞zx 亠y ,x 乞y 乞1,-1 乞x：S1 ,11x2 護故：1異x/y.of(x,y,z)dz3 計算 i n zdxdydz，由Qh .一x2 y2 與 z=h(R 0,h 0)所圍. R(放到習(xí)題86為妥)RV' R2 _x2原式=dx dy* _R22R,x2 -y2hzdz -RR2上dx止 t：R 2 n21-(h22h2 2R2xH y2dyR223R 2 h3 zrdr(h2r r3)2dr =*0Rx2 2y22 -x2f x, y, z dz計算dxdydz，其中I】為由，x = 0, y = 0

25、, z =0及x y z =1所圍成2兀R h法2 :(柱坐標(biāo))原式二 dr dr h 0*0_rR=-R2h法 3:過 z - (0, h)作 xoy 面的截面：Dz ： x2 y2 乞(R z)2老練習(xí)冊19頁習(xí)題8-5利用直角坐標(biāo)計算三重積分86頁1.化三重積分I釧f卜y, zRxdydz為三次積分，其中團分別是:由z =X2 +2y2與z =2 x2所圍閉區(qū)域。3球心在原點，半徑為 R的球，在其上任意一點的密度的大小與這點到球心的距離成正比，求這球體的質(zhì)量。應(yīng)放到下一節(jié)：柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)計算關(guān)x, y, z =k JxyJz2 =kr24.計算恤xzdxdydz，其中曆為由z=0,z =

26、 y,y=1及拋物柱面y =x所圍成的 d閉區(qū)域。11 y1 y3xzdxdydz xdx x2 dy o zdz= / x ；1 161 2 dxxdx=°x266法2:被積函數(shù)關(guān)于x奇，所以：i11 xzdxdydz = 0'.O.第六節(jié)利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計算三重積分87頁一柱坐標(biāo)x =r cos 日，柱坐標(biāo)：y =rsinB,體積元素 dv=rdrd6dz ,貝V 111 f x, y, z dv = F r, v,z rdrd :dz ,其中 F r, v, z = f rcosv,rsin v, z。在柱QQ面坐標(biāo)系下通常采用的積分順序為先z后r再h.當(dāng)門是園柱

27、體，柱的一局部，或錐體，或由旋轉(zhuǎn)拋物面，錐面等所圍成的；被積函數(shù)的形式為f x2 y2,z或f d,z時，用柱坐標(biāo)計算三重積分簡便文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)補充例：計算1=zdv/ 1為z=4,z=x2，y2所圍區(qū)域.3利用球面坐標(biāo)下計算三重積分x =r s i 蚯 oTs球坐標(biāo)：y=rsi%i6h， 體積元素z = r c o:s2hi f x,y,z dv 二 F r, ：r sin drd -dQQ其中 F r, ,v - f rsin cosjrsin sinv,rcosdv = r2 sin drd d n當(dāng)門是球體或球體的一局部；被積函數(shù)的形式為f x2 y2 z2時，通常采用

28、球面坐標(biāo)計算三重積分補例.計算 I = zdv ,其中 I : x2 y2 z2 _1, z 亠0.解：法一直角坐標(biāo)系，先z后y再x積分，那么121 2邛"y3曲213 dx =4 1 -x2 2dx 令 x=sint3 _3 0方法二先二后一法；平行于yoz面的平面截】，Dz : x2 - y2 _1z2,0 _z _1，所以:法三：柱坐標(biāo)由x = r cosy = r si nd 得】： lz = z0豈二豈2二<r <10 蘭 z 蘭¥1 -r2法四球坐標(biāo)x =r cossin ®y =r sin日sin申得。 Z =r cos®0 乞

29、 V <27：0<20乞r豈1補例計算I1x2 y2 z2 乞2z解：f x2 y2 z2型，區(qū)域是球體，球坐標(biāo)由x = r cossin y =r sinsin ® 得。： z- r cos ：。蘭日<2n0 <cp<2120 蘭r 蘭2cos®例 將I ： hi f x, y,z dv化為柱面坐標(biāo)的三次積分，I】由z2=x2y2 , z =1及Qz=4所圍成的區(qū)域.解：I】是由兩個平面和錐面所圍成的區(qū)域.由x=rcosv， y=rsinv， z=zb蘭日蘭2兀0蘭8蘭2兀2 2 2得z=x+y為z=rz：>0，分0為兩局部：01：竹蘭

30、r蘭1;02：1蘭蘭41蘭z蘭4J蘭z蘭4其中 Fr,n,z =frcosv,rsi nv,z在三重積分的計算中也可利用對稱性。一般地，設(shè)積分區(qū)域 門關(guān)于xoy平面對稱，其在xoy平面上方的局部為11,假設(shè)被積函數(shù)f x, y,z關(guān)于變量z為 奇函數(shù)，即 f x,y,_z 二 _f x,y,z，那么 111 f x,y,z dv =0 ; 假設(shè)被積函數(shù) f x, y,zQ關(guān)于變量z為偶函數(shù)，即f x,y,-zi=f x, y,z，那么文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)ill f x, y, z dv =2 in f x,y,z dv . 同理可得積分區(qū)域Q.關(guān)于yoz平面、xoz QQ平面對稱的結(jié)

31、論.補例：以下等式是否成立，并說明理由.其中I】:x2 y2 zR2 ；1 : x2y2z2 _R2， z _0 ;IS : x2 y2z2_ R2 , z _ 0, x _0, y _0 111 xdv=0， ii I zdv = 0QQ解：兩個等式均成立.因門對三個坐標(biāo)面均對稱，被積函數(shù)第一個是關(guān)于x的奇函數(shù)，第二個是關(guān)于z的奇函數(shù)，因此積分值為 0.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí) xdv =4 JJJ xdv，JjJ zdv=4 JJJ zdv12 T J個人收集整s _僅供參考學(xué)習(xí)解：在第一個等式中，1對稱于yoz平面，而被積函數(shù) x在上是關(guān)于x的奇函數(shù)，故 xdv=0.而IS是汕的第

32、一卦限局部，其上自變量全部取正值,故有mxdv 0，所以雖然"是2的四倍，但等式不成立第二個等式中，被 1積函數(shù)是關(guān)于x、y的偶函數(shù)，而積分區(qū)域又對稱于xoz平面和yoz平面，故等式成立文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí) f xydv = ff yzdv = jj zxdv =011 '.1解：等式成立因為1對稱于xoz平面和yoz平面，而被積函數(shù)或是關(guān)于x的奇函數(shù)xz，或是關(guān)于y的奇函數(shù)yz，或是關(guān)于x、y均為奇函數(shù)xy，故積分值均為0.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)計算三重積分95頁再看一下習(xí)題8-5的第3題：計算ill zdxdydz，Qz=h(R 0,h0)所圍R R2

33、_x2RR2 2h原式=dx dy zdz = dx企4R1 2 -(h2 一 2Jh2 2R2xh2 y2dyR2R 2 h2 3zrdr(h2rr3)2dr =*0R，一2兀R h法2 :柱坐標(biāo)原式d dr h、0*0一rR鼎 2 2-R2h2法 3:過 z- (0, h)作 /xoy 面的截面：Dz : x2- ( z)2補充：利用柱面坐標(biāo)計算以下三重積分(1) ii|Zdv，門由不等式Z=.2_x(2 + -y2及Z=x2y2所圍閉區(qū)域。Q解：丿z2z =x2 2 2 2解：柱坐標(biāo):=X2 y2dv，Q為曲面x2 y2=2z與平面z=2圍成的區(qū)域.2r22rdr r2 dz =2*.2

34、r32 r2 、2丿16dr =n3_x2 _y 匕 x2 +y2 =1, x =rcosdy =rsin<3,z =z貝V： -y ,2005r2r3(5 - 5 r)dr =8二.21利用球面坐標(biāo)或柱面坐標(biāo)計算以下三重積分(3)計算iiJx2 y2 dv ,門是由4z2 =25 x2 y2及平面z = 5所圍區(qū)域.Q5Q =d(r,az)|r 蘭z 蘭5,0 蘭r 蘭2,0 蘭日 <2n補充 1 ：111 (x2y2)dv , ;-1: 0 ： _ - x2 y2z2 _A,z _ 0.Qji2 二 5 A球坐標(biāo)：原式 = d h d? i r2sin2 r2 sin dr =

35、2:0補充2 :計算解：球坐標(biāo):2-0=x2 y2 - z2 dv，其中 I (1 cos2)(-d cos)x2 y2z2 乞 1r2 r2 sin dr 二 2二！-cos0 -A5 a554 =jl5補充：ill xydv,其中閉區(qū)域 門為柱面Q所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域。2 2:x y 1,及平面 z =1, z = 0, x = 0, y =022 z2 12彳于 1 dv，其中門是由球面X2 y2 z2 =1所圍成的閉區(qū)域解：法用球坐標(biāo)，原式2,： 1dsincos d：；-100 032r ln( r T)2r 1dr =0.法二：由于被積函數(shù)關(guān)于 z是奇函數(shù)，門關(guān)于xoy面對

36、稱，故原式=0.3.利用三重積分計算以下由曲面所圍成立體的體積2 2 2 2 2 2(1) X y - z =2aza 0 及 x - y 二z (含有 z 軸的部份)；解：在球坐標(biāo)下,二(rj, )0 _r_2acos ：,02 -42 a cos故 V = dv = dv sin d： jr2dr =a3補充：z =6 -x2 -y2,及z = x2 亠y2 :解：柱坐2 2z =6 xy一 2 2=x y 4.2-26_r2v。 dn2rdz =2 二3r232=Ji3補充：求半徑為a的球面與半頂角為:-的內(nèi)接錐面所圍成立體的體積。解：設(shè)球面通過原點 O，球心在z軸上，又錐面的頂點在原點

37、 O。那么球面r = 2a cos，錐面=<曲-x2：2-x2-y2'y dx.Z dy. x2 y2 ：0 _r _2acos :,0 _ - :-,0乞2二，所以：補充：球心在原點，半徑為 R的球體，在其上任意一點的密度的大小與這點到球心的距離成正比，求這球體的質(zhì)量。練習(xí)冊習(xí)題8-6 利用極坐標(biāo)和球計算三重積分1填空：設(shè)展由球面z=*；2-x2-y2與錐面z =JxFy2 圍成，那么三重積分直角坐標(biāo)系下:f(,. x2y2 z2)dzf C. x2 y2 z2 )d xd y c在E三種坐標(biāo)系下分別可化為三次積分如下:0 -0'2f(r)r2sin -dr球面坐標(biāo)系下

38、：I =用樹4 d解:(3)y2 z2dv ,為： x2 亠 y2 亠z2二；2 -x -yx2 y2 =1, x = rcos n,y 二rsin 二z = z 貝V：z=x2 y2,V 2解：被積函數(shù)是nlB-yz2型積分區(qū)域是球體，球坐標(biāo),x =r costs in 由 y =r sin vs in得z =r cosu ii i zdv/ 1 由不等式：x2 y2 (za)2 _a2,x2 y2 _z2所確定。:球坐標(biāo)下,) 0 _r _2acos20 _ 蔦,0_2二2：42acos Czdv = d: cos's in d" ir3dr00 0x2 y2.3.利用三

39、重積分計算以下由曲面所圍成立體的體積x2yD22 2 z = x y 及 Z 二x y1rV=Urdr鼬z#0 0r2(2)由曲面:柱坐標(biāo),2 2z=、：fx yz = x y222X-x-y2 (A .a .0),z0所圍勻質(zhì)物體的重心。解:由對稱性顯見：x=0, y =0.M =dv|(A3 a3)(大半球體積減小半球體積)?？偭?xí)題八96頁一、填空題 2、選擇以下各題中給出的四個結(jié)論中正確的結(jié)論：2(1)設(shè)空間區(qū)域 J : x2 y2 z2 _R2,z _0.，門2 : x2 y2 z2 _ R2，x _0,y _0,z _0.，那么( C)(A) hi xdv = 4 111 xdv ；(B) III ydv =4 III ydv ；a q(C) i n zdv = 4 i l l zdv ；(D) -(2)設(shè)平面閉區(qū)域