模型與數(shù)學(xué)建模

1、模型與數(shù)學(xué)建模模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班報告模型與數(shù)學(xué)建模模型與數(shù)學(xué)建模一、模型抽象度與科學(xué)序關(guān)系一、模型抽象度與科學(xué)序關(guān)系二、模型與結(jié)構(gòu)二、模型與結(jié)構(gòu)三、數(shù)學(xué)模型與建模方法三、數(shù)學(xué)模型與建模方法四、一個建模例子四、一個建模例子模型抽象度與科學(xué)序關(guān)系模型抽象度與科學(xué)序關(guān)系1、科學(xué)的依賴序關(guān)系、科學(xué)的依賴序關(guān)系數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 物理物理 化學(xué)化學(xué) 生物生物 社會科學(xué)社會科學(xué)抽象度降低這種單調(diào)的依賴關(guān)系單調(diào)的依賴關(guān)系由科學(xué)領(lǐng)域的物質(zhì)組成決定2、科學(xué)序與世界的形成、科學(xué)序與世界的形成科學(xué)的依存關(guān)系：社會科學(xué)由生命體組成生命科學(xué)生命由細(xì)胞、蛋白質(zhì)組成化學(xué)科學(xué)分子、大分子、原子團(tuán)簇物理科學(xué)基于基本粒子組成的各

2、種物質(zhì)形態(tài)數(shù)學(xué)物質(zhì)的起源霍金：如果廣義相對論成立，則任何合理的宇宙模型都起始于一個奇點(diǎn)（數(shù)學(xué)點(diǎn)?。┠壳白詈玫挠钪嬲?！擴(kuò)展的科學(xué)與技術(shù)的抽象遞減順序：擴(kuò)展的科學(xué)與技術(shù)的抽象遞減順序：數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)物理物理化學(xué)化學(xué)生物生物工程技術(shù)工程技術(shù)社會科學(xué)社會科學(xué)3、模型的抽象度依科學(xué)序關(guān)系遞、模型的抽象度依科學(xué)序關(guān)系遞減減1）社會科學(xué)模型）社會科學(xué)模型經(jīng)濟(jì)與管理科學(xué)模型、軍事模型、政治模型、社會學(xué)模型等等。例例 管理科學(xué)中的甘特圖模型 反映了在項(xiàng)目管理中各個過程的受控運(yùn)行狀態(tài)，是項(xiàng)目各部分關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的動態(tài)表示。 ISO9000系列實(shí)質(zhì)上是管理過程的標(biāo)準(zhǔn)。例例 選舉模型選舉模型多數(shù)選舉法、累計選舉法等等，是特種社會

3、活動的模型。這些模型共同特點(diǎn)是，其表達(dá)易于理解，抽象度低。用專業(yè)理論抽象出的結(jié)構(gòu)，并用專業(yè)語言表示的模型5）物理模型）物理模型基本粒子、原子模型、晶體模型 、光學(xué)的衍射等等。4）化學(xué)模型）化學(xué)模型苯環(huán) 、化學(xué)健理論、反應(yīng)平衡等等；建筑模型 ，交通模型，電路模型，服裝模型 等等。表達(dá)：建筑設(shè)計圖、交通網(wǎng)絡(luò)、電路圖、服裝模版等。2）工程技術(shù)模型）工程技術(shù)模型3）生命科學(xué)模型）生命科學(xué)模型新陳代謝模型、光合作用模型、血液循環(huán)模型、DNA雙螺旋模型 、蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)模型等等。1、什么是模型？、什么是模型？模型：以特定目的對事物原型抽象出結(jié)構(gòu)并適當(dāng)表示。模型：以特定目的對事物原型抽象出結(jié)構(gòu)并適當(dāng)表示。抽象出

4、結(jié)構(gòu)抽象出結(jié)構(gòu)：不是一般概念的抽象，而是結(jié) 構(gòu)的抽象；適當(dāng)?shù)谋硎具m當(dāng)?shù)谋硎荆菏褂貌煌R與方法，需要不同 的語言表示。特定目的特定目的：目的不同，關(guān)注的結(jié)構(gòu)（事物的內(nèi)部 聯(lián)系）不同；模型與結(jié)構(gòu)模型與結(jié)構(gòu)原型原型 抽象抽象 模型模型例子例子. 飛機(jī)模型飛機(jī)模型目的目的：空氣動力學(xué)研究抽象結(jié)構(gòu)抽象結(jié)構(gòu)：外型結(jié)構(gòu)，除去內(nèi)部構(gòu)造；目的目的：機(jī)艙設(shè)計抽象結(jié)構(gòu)抽象結(jié)構(gòu)：內(nèi)部空間結(jié)構(gòu)，除去外部結(jié)構(gòu)；不同目的關(guān)注的內(nèi)容不同，抽象的結(jié)構(gòu)不同。表示表示：專業(yè)圖形和航空語言表示。例例. 地圖地圖概念抽象（不是模型！）概念抽象（不是模型?。簶侨骸⒕幼⌒^(qū)、公共場所與設(shè)施、商區(qū)、政府機(jī)關(guān)、河流、湖泊、公交線路、各級公

5、路、快速路、高速路、立交橋等等。目的目的：城市交通研究抽象出結(jié)構(gòu)抽象出結(jié)構(gòu)：小區(qū)、商區(qū)、立交橋、道路、交叉路口等概念的關(guān)聯(lián)和區(qū)分忽略細(xì)部特征、概念的部分內(nèi)涵、人口結(jié)構(gòu)等等。模型表示模型表示：城市交通地圖2、核心是結(jié)構(gòu)、核心是結(jié)構(gòu)理解原型的結(jié)構(gòu)，抽象并表示結(jié)構(gòu)是核心問題。什么是結(jié)構(gòu)？集合的結(jié)構(gòu)是集合的子集族。集合的結(jié)構(gòu)是集合的子集族。例例 圖書館圖書館字符集：中文字、英文字母、數(shù)字等等各種字符的全體。書、文章、多媒體文本等形成子集族集合的文本結(jié)構(gòu)。文本按知識類型分類，形成不同層次的子集族國際圖書分類法圖書館的藏書結(jié)構(gòu)專業(yè)模型。結(jié)構(gòu)是核心：結(jié)構(gòu)是核心：同一個集合，不同結(jié)構(gòu)，原型的意義不同。同一個集

6、合，不同結(jié)構(gòu)，原型的意義不同。例例 語言語言 下雨天，留客天，留我不留？下雨天留客，天留我不留！例例. .文學(xué)體裁的不同結(jié)構(gòu)是不同涵義的原型文學(xué)體裁的不同結(jié)構(gòu)是不同涵義的原型 唐詩唐詩清明時節(jié)雨紛紛，清明時節(jié)雨紛紛，路上行人欲斷魂。路上行人欲斷魂。借問酒家何處有？借問酒家何處有？牧童遙指杏花村。牧童遙指杏花村。 宋詞宋詞清明時節(jié)雨，清明時節(jié)雨，紛紛路上行人，紛紛路上行人，欲斷魂。欲斷魂。借問酒家何處，借問酒家何處，有牧童，有牧童，遙指杏花村。遙指杏花村。 劇本劇本( (元曲元曲) ) 清明時節(jié)清明時節(jié)雨紛紛雨紛紛 路上路上 行人（欲斷魂）：行人（欲斷魂）：借問酒家何處有？借問酒家何處有？牧童（

7、遙指）牧童（遙指）: :杏花村。杏花村。抽象出結(jié)構(gòu)抽象出結(jié)構(gòu): 七言唐詩 比較規(guī)整,適于言志 宋詞 錯落有序,用語活躍,適于抒情元曲時間、地點(diǎn)、情景、人物、動作、言語等。用語白話，易懂。百姓故事專業(yè)模型 數(shù)學(xué)模型？ 喬姆斯基的形式語言？數(shù)學(xué)模型與建模方法數(shù)學(xué)模型與建模方法結(jié)構(gòu)主義學(xué)派（結(jié)構(gòu)主義學(xué)派（ Bourbaki ）：）：數(shù)學(xué)=集合+結(jié)構(gòu)原型=集合+結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型方法是普適的1、數(shù)學(xué)模型的普適性、數(shù)學(xué)模型的普適性 數(shù)學(xué)的普適性一直被數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家研究，笛卡兒、開普勒、牛頓、萊布尼茨等：大自然中隱藏著一種固有的和諧，反射到我們的心智中就呈現(xiàn)簡單數(shù)學(xué)定理的形式。2、數(shù)學(xué)模型化方法、數(shù)學(xué)模型化方法

8、利用數(shù)學(xué)理論分析、計算、推演，求得問題的解或產(chǎn)生新的結(jié)構(gòu) 揭示新的專業(yè)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)語言表示的結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型專業(yè)語言描述結(jié)構(gòu)專業(yè)模型抽象出原型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言表示的模型。一般方法：有些問題專業(yè)模型難，有些問題數(shù)學(xué)模型難。對原型確定目的對原型確定目的解數(shù)學(xué)模型解數(shù)學(xué)模型分析原型的結(jié)構(gòu)分析原型的結(jié)構(gòu)建立專業(yè)模型建立專業(yè)模型建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型 2008年北京奧運(yùn)會地區(qū)臨時超市點(diǎn)網(wǎng)設(shè)計年北京奧運(yùn)會地區(qū)臨時超市點(diǎn)網(wǎng)設(shè)計 （2004年全國大學(xué)生建模比賽年全國大學(xué)生建模比賽A題）題）3、數(shù)學(xué)模型例子（、數(shù)學(xué)模型例子（1）比賽題目：比賽題目：2008年北京奧運(yùn)會主館場周邊臨時商亭網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計年北京奧運(yùn)會主

9、館場周邊臨時商亭網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計 為了了解觀眾的購物需求和人流量的規(guī)律，假設(shè)我們在已經(jīng)建設(shè)好的某運(yùn)動場，舉辦了三次運(yùn)動會，對觀眾發(fā)放問卷調(diào)查，采集相關(guān)數(shù)據(jù)，供解題者使用。 2008年北京奧運(yùn)會的建設(shè)工作已經(jīng)進(jìn)入全面設(shè)計和實(shí)施階段。奧運(yùn)會期間，在比賽場館的周邊地區(qū)必須建設(shè)一個由小型商亭構(gòu)建的臨時商業(yè)網(wǎng)點(diǎn)。我們稱之為迷你超市（MS）網(wǎng)，主要滿足運(yùn)動員，觀眾，游客，工作人員在奧運(yùn)會期間購物需求，經(jīng)營食品、旅游用品、奧運(yùn)紀(jì)念品、文體用品和小日用品等等。在比賽場館周邊地區(qū)設(shè)置這種MS，在地點(diǎn)、大小類型和總量方面，必須滿足三個基本要求：滿足奧運(yùn)會期間的購物需求滿足奧運(yùn)會期間的購物需求、分布基本均衡分布基本均衡和商

10、商業(yè)上贏利業(yè)上贏利。顯然，這是一個必須用科學(xué)的方法解決的問題。 在本題卷中給出了奧運(yùn)會主要比賽場館的規(guī)劃圖，是解決上述問題的地理平臺。作為真實(shí)地圖的簡化，在本頁結(jié)構(gòu)圖中僅保留了與上述問題有關(guān)的地區(qū)，以及相關(guān)內(nèi)容：道路、公交車站、出租車站、自駕車停車場、地鐵、餐飲部門等。并在答卷論文中明確回答以下必答問題： 1. 假定每位觀眾出行平均兩次，一次為進(jìn)出場館，一次為餐飲。并且出行均采取最短路徑。請你依據(jù)附錄中給出的問卷調(diào)查數(shù)據(jù)所反映的規(guī)律，測算圖中20個商區(qū)內(nèi)人流量分布（用百分比）。 2. 請你設(shè)計MS類型（可以分兩種大小不同規(guī)模）， 在20個商區(qū)內(nèi)的分布（每個商區(qū)內(nèi)不同類型MS的個數(shù)），以滿足“題

11、目描述”中的三個基本要求。 3闡明你的方法的科學(xué)性和結(jié)果是貼近實(shí)際的。 問題：問題： 對結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)明的比賽場館周邊地區(qū)規(guī)定的商區(qū)（地圖上標(biāo)有A、B、C及編號的黃色填充的區(qū)域）內(nèi)設(shè)計網(wǎng)點(diǎn)。原型的目的：原型的目的：在奧運(yùn)館場優(yōu)化設(shè)計臨時小超市（MS）分析結(jié)構(gòu)并抽象出專業(yè)模型：分析結(jié)構(gòu)并抽象出專業(yè)模型：1）對于設(shè)計環(huán)境抽象出與目的有關(guān)的館場結(jié)構(gòu)圖。2）抽取影響設(shè)計MS的主要因素：人流量，因此在以上館場結(jié)構(gòu)圖中，應(yīng)該存在一個人流分布結(jié)構(gòu)。3）理解設(shè)計的三條原則：滿足購物需求、商業(yè)上贏利、分布均衡。實(shí)質(zhì)上是在以上兩種結(jié)構(gòu)之上加上限制性結(jié)構(gòu)約束。用自然語言表述了原型及目的涉及的結(jié)構(gòu)以及結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，這種

12、專業(yè)模型實(shí)際上在題目中已經(jīng)給出，只要理解并再清楚地表述。建立數(shù)學(xué)模型：建立數(shù)學(xué)模型：總體模型和每個部分的具體模型總體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型：總體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型：調(diào)查數(shù)據(jù) 人流動的一般規(guī)律（數(shù)據(jù)模型）規(guī)律發(fā)現(xiàn)+館場平面結(jié)構(gòu)人流量在館場結(jié)構(gòu)圖中的分布 （網(wǎng)絡(luò)流模型）三條原則的數(shù)學(xué)模型（約束條件）+有約束的整數(shù)規(guī)劃問題各個部分的數(shù)學(xué)模型各個部分的數(shù)學(xué)模型1）人流動的一般規(guī)律的數(shù)據(jù)模型：用數(shù)據(jù)挖掘方法，可以找出全部二維和三維關(guān)聯(lián)規(guī)則，得到數(shù)據(jù)模型。2）將館場平面結(jié)構(gòu)圖和數(shù)據(jù)模型可以建立由連通道路組成的網(wǎng)絡(luò)流模型，進(jìn)而計算出每個商區(qū)的人流量分布。3）建立三項(xiàng)原則的數(shù)學(xué)模型：滿足需求和商業(yè)贏利都容易用數(shù)學(xué)表示。均

13、衡性是十分靈活的特別體現(xiàn)“淺無邊，深無底”的命題指導(dǎo)思想。4）最后給出整數(shù)規(guī)劃問題。本問題的解決過程基本上劃分為三個部分： A出行規(guī)律的數(shù)據(jù)模型的建立出行規(guī)律的數(shù)據(jù)模型的建立 這一部分的目的是通過對三次問卷調(diào)查給出的一萬條記錄的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、匯總計算，給出出行與不同類型人流的分布關(guān)系，將這些關(guān)系數(shù)據(jù)組成盡可能全面反應(yīng)相關(guān)規(guī)律的數(shù)據(jù)系統(tǒng)。對三次調(diào)查的規(guī)律一致性給予充分關(guān)注，認(rèn)為一致性規(guī)律才是一般性規(guī)律，這是很重要的一步分析。 在分析不同的出行與不同類型的人流相關(guān)聯(lián)時，最簡單的是采用直觀選擇可能的相關(guān)性使用統(tǒng)計相關(guān)分析進(jìn)行計算。主要的關(guān)系都能計算出，但往往不夠完整，其中性別與年齡段對出行方式的考慮

14、不足，由于性別對與出行方式中存在著相關(guān)性（例如女性乘出租與私車比例較高），這一條比較容易忽略的規(guī)則對計算結(jié)果是有影響的。因?yàn)橐话愕慕y(tǒng)計方法需要確定相關(guān)性的對象，依賴直觀的相關(guān)屬性的選擇，是造成不夠完善的一個原因。使用系統(tǒng)的數(shù)據(jù)挖掘方法，挖掘出所有二維屬性相關(guān)值，計算出支持度與置性度，才給出完整的數(shù)據(jù)模型。 共10600條記錄，分三次獲得。第一次為3500條；第二次為3200條；第三次為3900條。與人流量相關(guān)的規(guī)則，其平均比率如下：1、性別男：5549條 （52.3） 女：5051 條（47.7）2、年齡：（男女比例基本上為1：1）20以下：1174人（11.1),2030：6150人（58%

15、）,3050：2139人（20.2%）50以上：1137人（10.7）3、交通數(shù)據(jù)公交：3602人（34）,公交（南北）：1774人； 公交（東西）：1828人 地鐵：4030人（38）, 地鐵（東）：2006人； 地鐵（西）：2024人 出租車：2010人（19）(男：女1：2) 私車：958人（9）(男：女1：2) 20歲以下（1174）2 0 3 0（6150）3 1 5 0（2139）5 0 歲 以 下（1137）中餐123人（10.5）992（16.2）807（37.7）460（40.5）西餐552人（47）3809（61.9）894（41.8）312（27.4）超 市 （ 購物）4

16、99人（42.5）1349（21.9）438（20.5）365（32.1）就餐數(shù)據(jù)： 購物欲：消費(fèi)額20歲以下（1174）2 0 3 0（6150）3 1 5 0（2139）5 0 歲 以 上（1137）0-50040（3.4%）69（1.1%）44（2.1%）53（4.7%）500-1000101（8.6%）222（3.6%）118（5.5%）551（48.5%）1000-1500478（40.6%）445（7.2%）119（5.6%）332（29.2%）1500-2000394（33.6%）372（6.1%）199（9.3%）139（12.2%）2000-2500131（11.2%）231

17、6（37.7%）1344（62.8%）42（3.7%）2500-300030（2.6%）2726（44.3%）315（14.7%）20（1.8%）性別與消費(fèi)額：消費(fèi)額男（5549）女（5051） 0-500105（1.9%）101（2%）500-1000734（13.2%）258（5.1%）1000-1500823（14.8%）551（10.9%）1500-2000726（13.1%）378（7.5%）2000-25003034（54.7%）799（15.8%）2500-3000127（2.3%）2964（58.7%）B、建立數(shù)學(xué)模型來確定人流量分布數(shù)據(jù)模型數(shù)學(xué)建模中概念的清楚的定義是很重要的

18、，是否注意到人流量是與購物量是不同的概念，可以通過購物欲的數(shù)據(jù)，把人流量轉(zhuǎn)變?yōu)橘徫锪俊５恰叭肆鳌北旧硪矐?yīng)該有明確的定義，因?yàn)樾詣e不同和年齡段不同造成出行方式的差別和購物欲的差別。因此，將男女性別的人不加區(qū)分地統(tǒng)稱為“人”的理解造成計算上的誤差。在計算人流分布（或購物量分布）的方法上，可以構(gòu)造許多創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)模型。例如畫出路徑的網(wǎng)絡(luò)圖，確定最短路徑是最普遍使用的方法；對路口節(jié)點(diǎn)的分析是很貼近人們出行與購物習(xí)慣的；利用了矩陣表示商區(qū)節(jié)點(diǎn)與出行目標(biāo)之間關(guān)系數(shù)據(jù)，從而使計算變得簡便等等。特別是構(gòu)造電路模型或水流模型，用于計算人流分布，這種方法實(shí)際上就是網(wǎng)絡(luò)流模型的一些變形和形象化，也可以取得很好的效

19、果。還可以特色地引入購物心理學(xué)，適當(dāng)?shù)匦拚齼H用商圈概念的簡單模型，得到一些求人流量的公式，對于更廣泛的應(yīng)用是有意義的。人流分布概率的方法也是普遍有用的，應(yīng)當(dāng)說是取得好效果的重要方法。使用直觀的圖形與表格進(jìn)行分析也是很重要的方法等等。項(xiàng)目地區(qū)12345678910合計A區(qū)（男）6%3.33.74.35.5135.54.33.73.352.6A區(qū)（女）6.33.33.53.94.610.54.63.93.53.347.4B區(qū)（男）7.35.68.66.37.317.3 52.4B區(qū)（女）6.45.4966.414.4 47.6C區(qū)（男）9.199.325.1 52.5C區(qū)（女）8.49.68.62

20、0.9 47.5 假設(shè)不考慮年齡段的因素，簡化地只考慮性別、飲食習(xí)慣、出行方式三維關(guān)聯(lián)規(guī)則，從而確定各商區(qū)的人流分布百分比如下： 這一部分的目標(biāo)很明確，根據(jù)人流量分布，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)規(guī)劃模型，解出商店的最優(yōu)分布。但是，建模的方法很多，思想也各不相同。可以用商業(yè)盈利的要求設(shè)計目標(biāo)函數(shù)使其達(dá)到最大。也可以先計算出每個商區(qū)的最大消費(fèi)額，然后在達(dá)到最大消費(fèi)額條件下求成本最小作為優(yōu)化目標(biāo)。在目標(biāo)函數(shù)選擇上，這兩類方法各有千秋。在建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型中，最困難的是如在建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型中，最困難的是如何為滿足何為滿足“均衡均衡”性要求而表達(dá)約束條件，這是本題在設(shè)計時性要求而表達(dá)約束條件，這是本題在設(shè)計時留下的難點(diǎn)，反映留下的難點(diǎn)，反映“深無底深無底”的命題特色。的命題特色。在眾多參賽論文中主要使用的是限制性約束條件，例如限制在每個商區(qū)的MS最多個數(shù)與最少個數(shù)之差達(dá)到極小