多元線性回歸方程的檢驗、預測

1、 多元線性回歸模型 的檢驗、預測 多元回歸的擬合優(yōu)度檢驗（R2） 方程總體線性檢驗顯著性檢驗（F） 變量的顯著性（t）正確的態(tài)度為什么要學好計量經濟學？為什么要學好計量經濟學？ 你的人生會有所不同！你的人生會有所不同！l 獨立思考獨立思考避免人云亦云避免人云亦云l 掌握研究問題的方法掌握研究問題的方法實證分析實證分析l 提高學歷含金量提高學歷含金量同學存在問題：同學存在問題： 存在上課走神的現(xiàn)象 課后不看書 缺乏鉆研精神必要說明計量經濟學其實很簡單！ 要有自信心自信心 正確的學習方法學習方法如何學好計量經濟學？如何學好計量經濟學？ 不要錯過我的課堂！不要錯過我的課堂！l 課堂的點撥很重要課堂的

2、點撥很重要l 自學起來是事倍功半自學起來是事倍功半 要有強烈的求知欲！要有強烈的求知欲！l 課后復習、練習（看其他參考書）課后復習、練習（看其他參考書）l 自己下載軟件學習自己下載軟件學習軟件學習很重要！軟件學習很重要！如何學習？知識體系本科計量經濟學主要講什么？本科計量經濟學主要講什么？ 統(tǒng)計檢驗！統(tǒng)計檢驗！l 擬合優(yōu)度檢驗擬合優(yōu)度檢驗R R2 2l 單變量顯著性檢驗單變量顯著性檢驗t t檢驗檢驗l 回歸方程的顯著性檢驗回歸方程的顯著性檢驗F F檢驗檢驗 計量經濟學檢驗！計量經濟學檢驗！l 多重共線性多重共線性l 異方差性異方差性l 自相關性自相關性則2222)()(2)()()()(YYY

3、YYYYYYYYYYYTSSiiiiiiiiii 總離差平方和的分解多元回歸的擬合優(yōu)度檢驗多元回歸的擬合優(yōu)度檢驗)()(YYeYYYYiiiiikiikiiieYXeXee110=0所以有： ESSRSSYYYYTSSiii22)()(注： 222222YYYYYYYYYYYYYYYYYYiiiiiiiiiiii必要必要說明說明： 可決系數(shù)TSSRSSTSSESSR12該統(tǒng)計量越接近于1，模型的擬合優(yōu)度越高。 問題：在應用過程中發(fā)現(xiàn)，如果在模型中增加一個解釋變量， R2往往增大（Why?) 這就給人一個錯覺一個錯覺：要使得模型擬合得好，只要只要增加解釋變量增加解釋變量即可。 但是，現(xiàn)實情況往往

4、是，由增加解釋變量個數(shù)引起的R2的增大與擬合好壞無關，R2需調整。多元回歸的擬合優(yōu)度檢驗多元回歸的擬合優(yōu)度檢驗 調整的可決系數(shù)調整的可決系數(shù)（adjusted coefficient of determination） 在樣本容量一定的情況下，增加解釋變量必定使得自由度減少，所以調整的思路是調整的思路是:將殘差平方和與總離差平方和分別除以各自的自由度，以剔除變量個數(shù)對擬合優(yōu)度的影響:) 1/() 1/(12nTSSknRSSR其中：n-k-1為殘差平方和的自由度，n-1為總體平方和的自由度。多元回歸的擬合優(yōu)度檢驗多元回歸的擬合優(yōu)度檢驗22222()1()iiiiYTSYeESSRSSRTSSY

5、YTSSSy 222222(-1)11111(1)(1)11iiiienkennRRynnkynk 可決系數(shù)與調整的可決系數(shù)可決系數(shù)與調整的可決系數(shù) *赤池信息準則和施瓦茨準則赤池信息準則和施瓦茨準則 為了比較所含解釋變量個數(shù)不同的多元回歸模型的擬合優(yōu)度，常用的標準還有: 赤池信息準則赤池信息準則（Akaike information criterion, AIC）nknAIC) 1(2lnee施瓦茨準則施瓦茨準則（Schwarz criterion，SC） nnknAClnlnee 這兩準則均要求這兩準則均要求僅當所增加的解釋變量能夠減少AIC值或AC值時才在原模型中增加該解釋變量。 如果計

6、算的F值大于臨界值，則拒絕原假設，說明回歸模型有顯著意義；即所有解釋變量聯(lián)合起來對Y確有顯著影響。如果計算的F值小于臨界值，則不拒絕原假設，說明回歸模型沒有顯著意義；即所有解釋變量聯(lián)合起來對Y沒有顯著影響。方程總體線性的顯著性檢驗方程總體線性的顯著性檢驗（F 檢驗）檢驗）方程總體線性的顯著性檢驗方程總體線性的顯著性檢驗（F 檢驗）檢驗） 方程的顯著性檢驗，旨在對模型中被解釋變量方程的顯著性檢驗，旨在對模型中被解釋變量與解釋變量之間的線性關系在總體上是否顯著成立與解釋變量之間的線性關系在總體上是否顯著成立作出推斷。作出推斷。 即檢驗模型 Yi=0+1X1i+2X2i+ +kXki+i i=1,2

7、, ,n中的參數(shù)j是否顯著不為0。14總變差總變差 TSS= TSS= 自由度自由度 N1 模型解釋了的變差模型解釋了的變差 ESS= ESS= 自由度自由度 K剩余變差剩余變差 RSS= RSS= 自由度自由度 NK-1 變差來源變差來源 平平 方方 和和 自由度自由度 方方 差差歸于回歸模型歸于回歸模型 ESS= ESS= k歸于剩余歸于剩余 RSS= n-RSS= n-k-1k-1總變差總變差 TSS= TSS= n-1基本思想基本思想: : 如果多個解釋變量聯(lián)合起來對被解釋變量的影響不顯著如果多個解釋變量聯(lián)合起來對被解釋變量的影響不顯著, , “歸于回歸于回歸的方差歸的方差“ 比比“歸

8、于剩余的方差歸于剩余的方差”顯著地小應是大概率事件。顯著地小應是大概率事件。2()iYY2()iiYY2()iYY2)(YYi2()iYY2()iiYY 方差分析表2() /iYYk2() /(-1)iiYYnk2() /(1)iYYn方程總體線性的顯著性檢驗方程總體線性的顯著性檢驗 可提出如下原假設與備擇假設： H0： 0=1=2= =k=0 H1： j不全為0 F檢驗的思想來自于總離差平方和的分解式： TSS=ESS+RSS由于回歸平方和2iyESS是解釋變量X的聯(lián)合體對被解釋變量Y的線性作用的結果，考慮比值 22/iieyRSSESS 如果這個比值較大，則X的聯(lián)合體對Y的解釋程度高，可認

9、為總體存在線性關系，反之總體上可能不存在線性關系。 因此,可通過該比值的大小對總體線性關系進行推斷。 根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學中的知識，在原假設H0成立的條件下，統(tǒng)計量 ) 1/(/knRSSkESSF服從自由度為(k , n-k-1)的F分布。 給定顯著性水平，可得到臨界值F(k,n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計量F的數(shù)值，通過 F F(k,n-k-1) 或 FF(k,n-k-1) 來拒絕或接受原假設H0，以判定原方程總體上的線性關系是否顯著成立。 H0： 0=1=2= =k=0 H1： j不全為0方程總體線性的顯著性檢驗方程總體線性的顯著性檢驗關于擬合優(yōu)度檢驗與方程顯著性檢驗關系的討論關于擬合優(yōu)度檢驗與

10、方程顯著性檢驗關系的討論 由) 1/() 1/(12nTSSknRSSR) 1/(/knRSSkESSF可推出：kFknnR1112與或22/(1)/(1)RkFRnk變量的顯著性的假設檢驗（變量的顯著性的假設檢驗（t 檢驗）檢驗） 方程的總體線性總體線性關系顯著 每個解釋變量每個解釋變量對被解釋變量的影響都是顯著的。因此，必須對每個解釋變量進行顯著性檢驗，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。 這一檢驗是由對變量的這一檢驗是由對變量的 t 檢驗完成的。檢驗完成的。變量的顯著性的假設檢驗（變量的顯著性的假設檢驗（t 檢驗）檢驗） 由于12)()(XXCov 以cii表示矩陣(XX)-1 主對角

11、線上的第i個元素，于是參數(shù)估計量的方差為： iiicVar2)( 其中2為隨機誤差項的方差，在實際計算時，用它的估計量代替: 1122knkneiee變量的顯著性的假設檢驗（變量的顯著性的假設檢驗（t 檢驗）檢驗）),(2iiiicN因此，可構造如下t統(tǒng)計量 ) 1(1kntkncStiiiiiiiee變量的顯著性的假設檢驗（變量的顯著性的假設檢驗（t 檢驗）檢驗）0:0jH0:1jH（j=1,2,k）* ()()1jjjjjjttSEnkc22(1)ienk變量的顯著性的假設檢驗（變量的顯著性的假設檢驗（t 檢驗）檢驗） 設計原假設與備擇假設： H1：i0 給定顯著性水平，可得到臨界值t/2

12、(n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計量t的數(shù)值，通過 |t| t/2(n-k-1) 或 |t|t/2(n-k-1)來拒絕或接受原假設H0，從而判定對應的解釋變判定對應的解釋變量是否應包括在模型中。量是否應包括在模型中。 H0：i=0 （i=1,2k） 24注意：一元線性回歸中，t檢驗與F檢驗一致 一方面，t檢驗與F檢驗都是對相同的原假設H0：1=0 進行檢驗; 另一方面，兩個統(tǒng)計量之間有如下關系： 222212221222122212212)2()2()2()2(txnexnexnenexneyFiiiiiiiiii對各回歸系數(shù)假設檢驗的作法25給定顯著性水平給定顯著性水平 ，查，查t t分布表的臨

13、界值為分布表的臨界值為如果如果 就不拒絕就不拒絕 ，而拒絕，而拒絕 即認為即認為 所對應的解釋變量所對應的解釋變量 對被解釋變量對被解釋變量Y Y的影響不顯的影響不顯著。著。 如果如果 就拒絕就拒絕 而不拒絕而不拒絕 即認為即認為 所對應的解釋變量所對應的解釋變量 對被解釋變量對被解釋變量Y Y的影響是的影響是 顯著的。顯著的。2(-1)tnk*22(-1)(-1)tnkttnk0:0jH0:1jHjjX*22(-1)(-1)ttnkttnk 或0:1jHjjX0:0jH案例分析一案例分析一例3.5.1 建立中國城鎮(zhèn)居民食品消費需求函數(shù)模型。 根據(jù)需求理論，居民對食品的消費需求函數(shù)大致為: )

14、,(01PPXfQ Q:居民對食品的需求量，X：消費者的消費支出總額P1：食品價格指數(shù)，P0：居民消費價格總指數(shù)。 （*)案例分析案例分析 零階齊次性，當所有商品和消費者貨幣支出總額按同一比例變動時，需求量保持不變 )/,/(010PPPXfQ (*)為了進行比較，將同時估計（為了進行比較，將同時估計（* *）式與（）式與（* * *）式。）式。 案例分析案例分析 根據(jù)恩格爾定律恩格爾定律，居民對食品的消費支出與居民的總支出間呈冪函數(shù)的變化關系: 首先,確定具體的函數(shù)形式32101PPAXQ 對數(shù)變換: 031210lnlnln)ln(PPXQ(*)案例分析案例分析考慮到零階齊次性零階齊次性時

15、)/ln()/ln()ln(012010PPPXQ(*)式也可看成是對（*）式施加如下約束而得:0321因此，對（*）式進行回歸，就意味著原需求函數(shù)滿足零階齊次性條件。(*)案例分析案例分析對（*）式回歸結果案例分析案例分析對（*）式回歸結果案例分析案例分析中國城鎮(zhèn)居民對食品的消費需求模型: 可改寫為可改寫為：（*）式回歸結果（*）式回歸結果案例分析二案例分析二研究的目的要求研究的目的要求 為了研究影響中國地方財政教育支出差異的主要原因，分為了研究影響中國地方財政教育支出差異的主要原因，分析地析地方財政教育支出增長的數(shù)量規(guī)律，預測中國地方財政教育支出方財政教育支出增長的數(shù)量規(guī)律，預測中國地方財

16、政教育支出的增長趨勢，需要建立計量經濟模型。的增長趨勢，需要建立計量經濟模型。研究范圍：研究范圍：20112011年年3131個省市區(qū)的數(shù)據(jù)為樣本個省市區(qū)的數(shù)據(jù)為樣本理論分析：理論分析：影響中國地方財政教育支出的主要的因素有：影響中國地方財政教育支出的主要的因素有：（1 1）由地區(qū)經濟規(guī)模決定的地方整體財力；）由地區(qū)經濟規(guī)模決定的地方整體財力；（2 2）地區(qū)人口數(shù)量不同決定各地教育規(guī)模不同；）地區(qū)人口數(shù)量不同決定各地教育規(guī)模不同；（3 3）人民對教育質量的需求對以政府教育投入為代表的公共）人民對教育質量的需求對以政府教育投入為代表的公共財政的需求會有相當?shù)挠绊憽Ｘ斦男枨髸邢喈數(shù)挠绊?。?

17、4）物價水平，影響地方財政對教育的支出。）物價水平，影響地方財政對教育的支出。（5 5）地方政府對教育投入的能力與意愿）地方政府對教育投入的能力與意愿模型設定模型設定選擇地方財政教育支出為被解釋變量。選擇地方財政教育支出為被解釋變量。選擇選擇“地區(qū)生產總值（地區(qū)生產總值（GDP）”作為地區(qū)經濟規(guī)模的代表；作為地區(qū)經濟規(guī)模的代表；選擇各地區(qū)的選擇各地區(qū)的“年末人口數(shù)量年末人口數(shù)量”作為各地區(qū)居民對教育規(guī)模的作為各地區(qū)居民對教育規(guī)模的需求的代表；需求的代表；選擇選擇“居民平均每人教育現(xiàn)金消費居民平均每人教育現(xiàn)金消費”作為代表居民對教育質量作為代表居民對教育質量的需求；的需求；選擇居民教育消費價格指

18、數(shù)作為價格變動影響的因素；選擇居民教育消費價格指數(shù)作為價格變動影響的因素；由于地方政府教育投入的能力與意愿難以直接量化，選擇由于地方政府教育投入的能力與意愿難以直接量化，選擇“教教育支出在地方財政支出中的比重育支出在地方財政支出中的比重”作為其代表。作為其代表。i12233445566iiiiiiiYXXXXXu234562416.490.01120.03950.146022.8162866.4100iYXXXXX 模型估計的結果為：模型估計的結果為：經濟意義檢驗：經濟意義檢驗：在假定其它變量不變的情況下，在假定其它變量不變的情況下， 地區(qū)生產總值(GDP)每增長1億元，平均說來地方財政教育支出將增長0.0112億元； 地區(qū)年末人口每增長1萬人，平均說來地方財政教育支出會增長0.0395億元； 當居民平均每人教育現(xiàn)金消費增加1元，平均說來地方財