哈工大《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》第九章線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間綜合法

1、1第九章第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間綜合法線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間綜合法n9.1 線性反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分析 n9.2 線性系統(tǒng)的極點(diǎn)配置、狀態(tài)反饋和輸出反饋 n9.3 系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題 n9.4 線性系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器 n9.5 利用狀態(tài)觀測器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的系統(tǒng) n9.6 線性系統(tǒng)的解耦 目目 錄錄2控制系統(tǒng)的分析控制系統(tǒng)的分析控制系統(tǒng)的綜合控制系統(tǒng)的綜合控制系統(tǒng)研究的兩大課題控制系統(tǒng)研究的兩大課題系統(tǒng)響應(yīng)分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析狀態(tài)空狀態(tài)空 間描述間描述控制系統(tǒng) 的設(shè)計(jì)反饋的思想狀態(tài)反饋輸出反饋動(dòng)態(tài)補(bǔ)償觀測器設(shè)計(jì)解耦設(shè)計(jì)能控性能觀性穩(wěn)定性39.1 線性反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分析線性反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分析受控

2、對象反饋控制器閉環(huán)控制系統(tǒng)閉環(huán)控制系統(tǒng)4一一. 狀態(tài)反饋的結(jié)構(gòu)狀態(tài)反饋的結(jié)構(gòu)xAxBuyCxDu受控對象：若 ，D0則受控系統(tǒng)為：xAxBuyCx簡記為：0,A B C5上式中：nRxrRumRyAn n矩陣Bn r矩陣Cm n矩陣Dm r矩陣6取線性狀態(tài)反饋控制律uKxv其中：v1r維參考輸入Krn維狀態(tài)反饋增益矩陣對于單輸入系統(tǒng)，K1 n為 維的行向量閉環(huán)系統(tǒng)()()xAxBuAxB KxvyCxDuCxD Kxv7()()xABK xBvyCDK xDv()()xAxB KxvAxBKxBvyCxD KxvCxDKxDv即8若 ，D0則閉環(huán)系統(tǒng)寫為()xABK xBvyCx簡記為：,KA

3、BK B C9ABCDK+vxuy狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖10閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：1( ) ssKWCIABKB可見，狀態(tài)反饋矩陣 的引入，并不增加系統(tǒng)的維數(shù)，K但可以通過選擇不同的 ，來自由地改變系統(tǒng)的特征K值，從而使系統(tǒng)獲得所要求的性能。11二二. 輸出反饋的結(jié)構(gòu)輸出反饋的結(jié)構(gòu)輸出反饋是經(jīng)典控制理論所討論的重點(diǎn)。受控對象：xAxBuyCxDu或xAxBuyCx取輸出線性反饋控制律uHyv12其中：v1r維參考輸入Hrm維輸出反饋增益矩陣對于單輸出系統(tǒng)，H1r為 維的列向量 將系統(tǒng)的輸出方程代入到輸出反饋控制律表達(dá)式中，得：H CxDuvHCxHDuvuHyv13整理得 1uIHDHCxv

4、代入開環(huán)系統(tǒng) 中，有：xAxBuyCxDu 1xAxB IHDHCxv11AB IHDHC xB IHDv 1yCxD IHDHCxv11CD IHDHC xD IHDv14若 ，D0則閉環(huán)系統(tǒng)寫為xABHC xBvyCx簡記為：,HABHC B C 可以選擇輸出反饋增益矩陣 ，也可以改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而改變閉環(huán)系統(tǒng)的性能。H15ABCDH+vxuy輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖16輸出反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為：1( ) ssHWCIABHCB17狀態(tài)反饋與輸出反饋的比較狀態(tài)反饋與輸出反饋的比較1( ) ssKWCIABKB1( ) ssHWCIABHCB輸出反饋中的 相當(dāng)于狀態(tài)反饋中的 ；H

5、CK由于 ，所以 可供選擇的自由度小于 ；mnHK一般情況下，輸出反饋相當(dāng)于部分狀態(tài)反饋，只有當(dāng) 時(shí)，輸出反饋才等價(jià)于全狀態(tài)反饋；CI狀態(tài)反饋效果較好，輸出反饋技術(shù)實(shí)現(xiàn)較容易。18三三. 動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的結(jié)構(gòu)狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋和和輸出反饋輸出反饋的的共同特點(diǎn)共同特點(diǎn)是：是：不增加新的狀態(tài)變量，開環(huán)與閉環(huán)同維數(shù)；反饋增益矩陣均為常數(shù)矩陣；反饋結(jié)構(gòu)為線性反饋。 在更加復(fù)雜的情況下，常常需要引入一個(gè)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)來改善系統(tǒng)的性能。這種動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)稱為動(dòng)態(tài)補(bǔ)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器償器。19動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器與受控系統(tǒng)的連接方式分為：串聯(lián)連接0,A B Cdddd,A B C-反饋連接0,A B Cffff,A B C

6、-20輸出反饋動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的輸出反饋動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器形式為：被控系統(tǒng)xAxBuyCx（1）zRzSyTvuLzMyNv（2）zq維動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的狀態(tài)向量q動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的階次21vr維外部參考輸入特別地，當(dāng) 時(shí)，輸出反饋動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器就變成0q 靜態(tài)輸出反饋控制律。帶有輸出反饋動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖：22ACBRSL+NT+Myuxz+v帶有輸出反饋動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖23引入增廣狀態(tài)向量e xxzxAxBuAxB LzMyNvAxBLzBMCxBNvABMC xBLzBNv24zRzSyTvSCxRzTv增廣系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為xABMC xBLzBNvzSCxRzTv即 xABMCBLxBN

7、vzSCRzT25eeeeeexA xB vyC x其中eABMCBLASCReBNBTeCC0進(jìn)一步寫為26定理定理1 被控系統(tǒng)（1）在動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器（2）控制下等價(jià)于增廣系統(tǒng)eeeeexA xB uyC x受輸出靜態(tài)反饋eeuKyGv的控制作用。其中e xxze2uuue2yyy272u2y 、 均為 維列向量q A0A00q B0B0Iq C0C0ITGNSRKML28證明證明根據(jù)增廣系統(tǒng)和增廣輸出靜態(tài)反饋控制律的定義，可得：e2q B0uxA0 xx0Iuz00z22BuAxBuAxuu029e22uySRTuvuyMLN22SyRyTvMyLyNv22SyRyTvMyLyNv30故2xA

8、xB SyRyTv2zMyLyNv又因?yàn)閑e2q C0yxCxyC x0Iyzz31故yCx2yz則xAxB SyRzTvzMyLzNvyCx32即寫為xAxBuyCxzMyLzNvuSyRzTv33四四. 閉環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀性閉環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀性定理定理2 狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng) 的能控性，但是不能保證系統(tǒng)的能觀性不變。0,A B C證明證明只證能控性不變。只要證明受控系統(tǒng)和狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性矩陣的秩相同即可。受控系統(tǒng)和狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性矩陣分別為：3421c0nQBABA BAB21cK()()()nQBABK BABKBABKB比較這兩個(gè)矩陣的各個(gè)分塊：第一分塊 相同

9、。B 的第二分塊()ABK BABBKBcKQ由于 是一個(gè)常數(shù)矩陣，因此 的列向KB()ABK B量可表示成 的線性組合。BAB35同理， 的第三分塊為cKQ2()ABKB2222A BABKBB K B2()()()A BAB KBB KABB KBKB2222AABKB KB所以 的列向量也可用2()ABKB2BABA B的線性組合來表示。36其余各個(gè)分塊的情況完全類似。所以， 可以看作是由 經(jīng)過初等變換而得到的，cKQc0Q而矩陣的初等變換并不改變它的秩，所以，cKQc0Q矩陣 和 的秩相同。這就證明了狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng)的能控性。37狀態(tài)反饋不保持系統(tǒng)的能觀性。舉例如下：考察系統(tǒng)01

10、10200111yxxux則11C0120A例例138011120CA21 o1121CQCA顯然有orank2nQ開環(huán)系統(tǒng)是能觀的。39引入狀態(tài)反饋0230uxv可得閉環(huán)系統(tǒng)01100220013011y xxxvx40011002102001300111yxxxvx即得閉環(huán)系統(tǒng)0110100111yxxvx41對于這個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)11KC0110KA011110KKC A1142Ko1111KKKCQC A顯然有Korank12n Q閉環(huán)系統(tǒng)是不完全能觀的。43例例2考慮下述系統(tǒng)在引入狀態(tài)反饋前后的能控和能觀性。01010101uy xxx狀態(tài)反饋控制律10u x440110A01 b01c解

11、解01011010 Ab01011010cA先列出相關(guān)的矩陣。10 K45先驗(yàn)證開環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀性。c01rankrankrank210QbAbo01rankrankrank210cQcA說明開環(huán)系統(tǒng)既能控又能觀。46引入狀態(tài)反饋后01010101 AbK01000101()0010 AbK b47相應(yīng)的有Kc01rankrank()rank210QbAbK b01()0100c AbK0048Ko01rankrankrank1()00cQc AbK可見，在引入狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)的能控性保持不變，但卻破壞了系統(tǒng)的能觀性。 事實(shí)上，這反映在系統(tǒng)的傳遞函數(shù)出現(xiàn)了零極點(diǎn)對消現(xiàn)象。110210( )()01111ssssss WcIAb11K2101( )()0101sssssss WcIAbKb49定理定理3輸出反饋不改變受控系統(tǒng) 的能控性和能觀性。0,A B C證明證明先證閉環(huán)系統(tǒng)的能控性不變。輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)方程為()xABHC xBu若把 看成等效的狀態(tài)反饋矩陣 ，那么狀態(tài)反饋HCK便保持系統(tǒng)的能控性不變。50再證閉環(huán)系統(tǒng)的能觀性不變。分別寫出開環(huán)系統(tǒng)和輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能觀性