高考數(shù)學(xué)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識點

1、Word文檔高考數(shù)學(xué)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識點 高考數(shù)學(xué)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)學(xué)問點 1函數(shù)恒成立問題 【學(xué)問點的熟悉】 恒成立指函數(shù)在其定義域內(nèi)滿意某一條件（如恒大于0等），此時，函數(shù)中的參數(shù)成為限制了這一可能性（就是說某個參數(shù)的存在使得在有些狀況下無法滿意要求的條件），因此，適當(dāng)?shù)姆謩e參數(shù)能簡化解題過程例：要使函數(shù)f（x）ax2+1恒大于0，就必需對a進(jìn)行限制令a0，這是比較簡潔的狀況，而對于比較簡單的狀況時，先分別參數(shù)的話做題較簡潔 【解題方法點撥】 一般恒成立問題最終都轉(zhuǎn)化為求最值得問題，常用的方法是分別參變量和求導(dǎo)例：f（x）x2+2x+3ax，（x0）求a的取值范圍 解：由題意可知：a恒成立 即ax

2、+2 ?a2+2 【命題方向】 恒成立求參數(shù)的取值范圍問題是近幾年高考中消失頻率相當(dāng)高的一類型題，它比較全面的考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，突出了導(dǎo)數(shù)的工具性作用 2函數(shù)的零點 【函數(shù)的零點】 一般地，對于函數(shù)yf（x）（xR），我們把方程f（x）0的實數(shù)根x叫作函數(shù)yf （x）（xD）的零點即函數(shù)的零點就是使函數(shù)值為0的自變量的值函數(shù)的零點不是一個點，而是一個實數(shù) 【解法二分法】 確定區(qū)間a，b，驗證f（a）*f（b）0，給定精確度；求區(qū)間（a，b）的中點x1； 計算f（x1）； 若f（x1）0，則x1就是函數(shù)的零點；若f（a）f（x1）0，則令bx1（此時零點x0（a，x1）；若f（x1）f（b）0，

3、則令ax1（此時零點x0（x1，b）推斷是否滿意條件，否則重復(fù)（2）（4） 【總結(jié)】 零點其實并沒有多高深，簡潔的說，就是某個函數(shù)的零點其實就是這個函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo)，另外假如在（a，b）連續(xù)的函數(shù)滿意f（a）?f（b）0，則（a，b）至少有一個零點這個考點屬于了解性的，知道它的概念就行了 3函數(shù)零點的判定定理 【學(xué)問點的學(xué)問】 1、函數(shù)零點存在性定理： 一般地，假如函數(shù)yf（x）在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f （a）?f（b）0，那么函數(shù)yf（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，即存在c（a，b），使得f（c）O，這個c也就是f（x）0的根 特殊提示： （1）依據(jù)該定理，

4、能確定f（x）在（a，b）內(nèi)有零點，但零點不肯定唯一 （2）并不是全部的零點都可以用該定理來確定，也可以說不滿意該定理的條件，并不能說明函數(shù)在（a，b）上沒有零點，例如，函數(shù)f（x）x23x+2有f（0）?f（3）0，但函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上有兩個零點 （3）若f（x）在a，b上的圖象是連續(xù)不斷的，且是單調(diào)函數(shù)，f（a）f（b）0，則f （x）在（a，b）上有唯一的零點 2、函數(shù)零點個數(shù)的推斷方法： （1）幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yf（x）的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點 特殊提示： “方程的根”與“函數(shù)的零點”盡管有親密聯(lián)系，但不能混為一談，如方程x2

5、2x+10在0，2上有兩個等根，而函數(shù)f（x）x22x+1在0，2上只有一個零點； 函數(shù)的零點是實數(shù)而不是數(shù)軸上的點 （2）代數(shù)法：求方程f（x）0的實數(shù)根 4利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性 【學(xué)問點的學(xué)問】 1、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系： （1）若f（x）0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f（x）0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間； （2）若f（x）0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f（x）0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間 2、利用導(dǎo)數(shù)求解多項式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟： （1）確定f（x）的定義域； （2）計算導(dǎo)數(shù)f（x）； （3）求出f

6、（x）0的根； （4）用f（x）0的根將f（x）的定義域分成若干個區(qū)間，列表考察這若干個區(qū)間內(nèi)f（x）的符號，進(jìn)而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：f（x）0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f（x）0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間 【典型例題分析】 題型一：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系 典例1：已知函數(shù)f（x）的定義域為R，f（1）2，對任意xR，f（x）2，則f（x）2x+4的解集為（） A（1，1）B（1，+）C（，1）D（，+） 解：f（x）2x+4， 即f（x）2x40， 設(shè)g（x）f（x）2x4， 則g（x）f（x）2， 對任意xR，f（x）2， 對任意xR，

7、g（x）0， 即函數(shù)g（x）單調(diào)遞增， f（1）2， g（1）f（1）+24440， 則由g（x）g（1）0得 x1， 即f（x）2x+4的解集為（1，+）， 故選：B 題型二：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用 典例2：已知函數(shù)f（x）alnxax3（aR） （）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間； （）若函數(shù)yf（x）的圖象在點（2，f（2）處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t 1，2，函數(shù)在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍； （）求證： 解：（）（2分） 當(dāng)a0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1，減區(qū)間為1，+）； 當(dāng)a0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為1，+），減區(qū)間為（0，1； 當(dāng)

8、a0時，f（x）不是單調(diào)函數(shù)（4分） （）得a2，f（x）2lnx+2x3 ， g'（x）3x2+（m+4）x2（6分） g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g（0）2 由題意知：對于任意的t1，2，g（t）0恒成立， 所以有：，（10分） （）令a1此時f（x）lnx+x3，所以f（1）2， 由（）知f（x）lnx+x3在（1，+）上單調(diào)遞增， 當(dāng)x（1，+）時f（x）f（1），即lnx+x10， lnxx1對一切x（1，+）成立，（12分） n2，nN*，則有0lnnn1， 【解題方法點撥】 若在某區(qū)間上有有限個點使f（x）0，在其余的點恒有f（x）0，則f（x）仍為增 函

9、數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似）即在區(qū)間內(nèi)f（x）0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件 5函數(shù)在某點取得極值的條件 【學(xué)問點的學(xué)問】 極值的推斷首先要求：1、該處函數(shù)值有意義，2、該處函數(shù)連續(xù)求極值的時候F'（X）0是首先考慮的，但是對于F'（X）無意義的點也要爭論，只要該點有函數(shù)值且函數(shù)連續(xù)、兩邊導(dǎo)函數(shù)值異號，就可以確定該點是極值點具備了這些條件，我們進(jìn)一步判定極大值和微小值：當(dāng)這個點左邊的導(dǎo)函數(shù)大于0時，即左邊單調(diào)遞增，右邊的導(dǎo)函數(shù)小于0時，即右邊單調(diào)遞減，此時這個點就是極大值，你可以把他理解成波峰的那個點；那么波谷的那個點就是微小值，狀況相反 【典型例題分析

10、】 例1：求函數(shù)f（x）3x55x39的極值點的個數(shù) 解：函數(shù)f（x）3x55x39 f'（x）15x415x2 令f'（x）0 則x1，x0或x1 又當(dāng)x（，1）時，f'（x）0； 當(dāng)x（1，0）時，f'（x）0； 當(dāng)x（0，1）時，f'（x）0； 當(dāng)x（1，+）時，f'（x）0 故函數(shù)f（x）3x55x39的極值點的個數(shù)有2個 這個例題中首先推斷的是其是否連續(xù)，然后在求導(dǎo)函數(shù)為0的點有幾個，即它的極值點有幾個 例2：已知實數(shù)a，b，c，d成等比數(shù)列，且曲線y3xx3的極大值點的坐標(biāo)為（b，c），則ad等于 解：已知實數(shù)a，b，c，d成等比數(shù)列

11、，adbc， y33x20，則x±1， 經(jīng)檢驗，x1是極大值點極大值為2 b1，c2 由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：adbc2 這個有兩個極值點，但要求的是極大值，這個時候我們可以聯(lián)想到波峰，即在這個點的左邊必需要大于0，要是單調(diào)遞增的，右邊必需小于0，既是單調(diào)遞減的，這樣這個點才處于波峰的位置，這個時候就是極大值，這里的驗證其實就是做這個工作 【考點動向】 這也是導(dǎo)數(shù)里面很重要的一個點，可以單獨出題，也可以作為大題的一個小問，還可以隱含在條件中作為隱含信息，大家務(wù)必理解，并敏捷運用 6利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的極值 【學(xué)問點的學(xué)問】 1、極值的定義： （1）極大值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點x0四

12、周有定義，假如對x0四周的全部的點，都有f（x）f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極大值，記作y極大值f（x0），x0是極大值點； （2）微小值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在x0四周有定義，假如對x0四周的全部的點，都有f （x）f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個微小值，記作y微小值f（x0），x0是微小值點 2、極值的性質(zhì)： （1）極值是一個局部概念，由定義知道，極值只是某個點的函數(shù)值與它四周點的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最?。?（2）函數(shù)的極值不是唯一的，即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或微小值可以不止一個； （3）極大值與微小

13、值之間無確定的大小關(guān)系，即一個函數(shù)的極大值未必大于微小值；（4）函數(shù)的極值點肯定消失在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點，而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點 3、判別f（x0）是極大、微小值的方法： 若x0滿意f（x0）0，且在x0的兩側(cè)f（x）的導(dǎo)數(shù)異號，則x0是f（x）的極值點，f（x0）是極值，并且假如f（x）在x0兩側(cè)滿意“左正右負(fù)”，則x0是f（x）的極大值點，f（x0）是極大值；假如f（x）在x0兩側(cè)滿意“左負(fù)右正”，則x0是f（x）的微小值點，f（x0）是微小值 4、求函數(shù)f（x）的極值的步驟： （1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f（x）； （2）

14、求方程f（x）0的根； （3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢查f（x）在方程根左右的值的符號，假如左正右負(fù)，那么f（x）在這個根處取得極大值；假如左負(fù)右正，那么f（x）在這個根處取得微小值；假如左右不轉(zhuǎn)變符號即都為正或都為負(fù)，則f（x）在這個根處無極值 【解題方法點撥】 在理解極值概念時要留意以下幾點： （1）按定義，極值點x0是區(qū)間a，b內(nèi)部的點，不會是端點a，b（由于在端點不行導(dǎo)）（2）極值是一個局部性概念，只要在一個小領(lǐng)域內(nèi)成馬上可要留意極值必需在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點取得一個函數(shù)在定義域內(nèi)可以有很多個微小值和極大值，在某一點的微小值也可能大于另一個點

15、的極大值，也就是說極大值與微小值沒有必定的大小關(guān)系，即極大值不肯定比微小值大，微小值不肯定比極大值小 （3）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值 （4）若函數(shù)f（x）在a，b上有極值且連續(xù)，則它的極值點的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個極大值點之間必有一個微小值點，同樣相鄰兩個微小值點之間必有一個極大值點，一般地，當(dāng)函數(shù)f（x）在a，b上連續(xù)且有有 限個極值點時，函數(shù)f（x）在a，b內(nèi)的極大值點、微小值點是交替消失的， （5）可導(dǎo)函數(shù)的極值點必需是導(dǎo)數(shù)為0的點，但導(dǎo)數(shù)為0的點不肯定是極值點，不行導(dǎo)的點也可能是極值點，也可能不是極值點 7

16、利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的最值 【利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值與最小值】 1、函數(shù)的最大值和最小值 觀看圖中一個定義在閉區(qū)間a，b上的函數(shù)f（x）的圖象圖中f（x1）與f（x3）是微小值，f（x2）是極大值函數(shù)f（x）在a，b上的最大值是f（b），最小值是f（x1） 一般地，在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f（x）在a，b上必有最大值與最小值 說明：（1）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f（x）不肯定有最大值與最小值如函數(shù)f（x）在（0，+）內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值； （2）函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點四周函數(shù)值得出的 （3）函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，是f（x）在閉

17、區(qū)間a，b上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件 （4）函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個 2、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟： 由上面函數(shù)f（x）的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)全部的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)的最值了 設(shè)函數(shù)f（x）在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則求f（x）在a，b上的最大值與最小值的步驟如下： （1）求f（x）在（a，b）內(nèi)的極值； （2）將f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較得出函數(shù)f（x）在a，b上的最值 【解題方法點撥】 在理解極值概念時要留意以下幾點： （1）按定義，極值點x0是區(qū)間a

18、，b內(nèi)部的點，不會是端點a，b（由于在端點不行導(dǎo)）（2）極值是一個局部性概念，只要在一個小領(lǐng)域內(nèi)成馬上可要留意極值必需在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點取得一個函數(shù)在定義域內(nèi)可以有很多個微小值和極大值，在某一點的微小值也可能大于另一個點的極大值，也就是說極大值與微小值沒有必定的大小關(guān)系，即極大值不肯定比微小值大，微小值不肯定比極大值小 （3）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值 （4）若函數(shù)f（x）在a，b上有極值且連續(xù)，則它的極值點的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個極大值點之間必有一個微小值點，同樣相鄰兩個微小值點之間必有一個極大值點，一般地，當(dāng)函數(shù)f

19、（x）在a，b上連續(xù)且有有限個極值點時，函數(shù)f（x）在a，b內(nèi)的極大值點、微小值點是交替消失的， （5）可導(dǎo)函數(shù)的極值點必需是導(dǎo)數(shù)為0的點，但導(dǎo)數(shù)為0的點不肯定是極值點，不行導(dǎo)的點也可能是極值點，也可能不是極值點 8利用導(dǎo)數(shù)討論曲線上某點切線方程 【考點描述】 利用導(dǎo)數(shù)來求曲線某點的切線方程是高考中的一個常考點，它既可以考查同學(xué)求導(dǎo)力量，也考察了同學(xué)對導(dǎo)數(shù)意義的理解，還考察直線方程的求法，由于包含了幾個比較重要的基本點，所以在高考出題時備受青睞我們在解答這類題的時候關(guān)鍵找好兩點，第一找到切線的斜率；其次告知的這點其實也就是直線上的一個點，在知道斜率的狀況下可以用點斜式把直線方程求出來 【實例解

20、析】 例：已知函數(shù)yxlnx，求這個函數(shù)的圖象在點x1處的切線方程 解：ky'|x1ln1+11 又當(dāng)x1時，y0，所以切點為（1，0） 切線方程為y01×（x1）， 即yx1 我們通過這個例題發(fā)覺，第一步確定切點；其次步求斜率，即求曲線上該點的導(dǎo)數(shù)；第三步利用點斜式求出直線方程這種題的原則基本上就這樣，盼望大家敏捷應(yīng)用，仔細(xì)總結(jié)9數(shù)列與不等式的綜合 【學(xué)問點的學(xué)問】 證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式基本方法： （1）直接將數(shù)列求和后放縮； （2）先將通項放縮后求和； （3）先將通項放縮后求和再放縮； （4）嘗試用數(shù)學(xué)歸納法證明 常用的放縮方法有： ， （n2）， （）（n2）， ， 2（）2（） + 【解題方法點撥】 證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強，需要有較高的放縮技巧而布滿思索性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查同學(xué)的潛能與后繼學(xué)習(xí)力量，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀看所給數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)，深化剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：（1）添加或舍去一些項，如：|a|；n； （2）將分子或分母放大（或縮?。?； （3）利用基本不等式； （4）二項式放縮； （5）利用常用