cn電磁場(chǎng)與電磁波 ch3

1、2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院1第第3章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 靜態(tài)電磁場(chǎng)靜態(tài)電磁場(chǎng)：場(chǎng)量不隨時(shí)間變化，包括：場(chǎng)量不隨時(shí)間變化，包括： 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 恒定電場(chǎng)恒定電場(chǎng) 恒定磁場(chǎng)恒定磁場(chǎng) 時(shí)變情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場(chǎng)時(shí)變情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場(chǎng) 靜態(tài)情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立靜態(tài)情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立 2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院2本章內(nèi)容本章內(nèi)容 3.1 靜電場(chǎng)分析靜電場(chǎng)分析 3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)

2、分析導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析 3.3 恒定磁場(chǎng)分析恒定磁場(chǎng)分析 3.4 靜態(tài)場(chǎng)的邊值問題及解的惟一性定理靜態(tài)場(chǎng)的邊值問題及解的惟一性定理 3.5 鏡像法鏡像法 3.6 分離變量法分離變量法2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院33.1 靜電場(chǎng)分析靜電場(chǎng)分析 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 3.1.1 靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件 3.1.2 電位函數(shù)電位函數(shù) 3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容 3.1.4 靜電場(chǎng)的能量靜電場(chǎng)的能量 3.1.5 靜電力靜電力2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院42.

3、 邊界條件邊界條件0ED微分形式：微分形式：ED本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：1. 基本方程基本方程0)()(21n21nEEDDeeS0ddlESDCSq積分形式：積分形式：0)(0)(21n21nEEDDee02t1tn2n1EEDDS或或2t1tn2n1EEDD或或3.1.1 靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件若分界面上不存在面電荷，即若分界面上不存在面電荷，即 ，則，則0S2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院5介質(zhì)介質(zhì)2 2介質(zhì)介質(zhì)1 121212E1Ene1122tantan 在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場(chǎng)電場(chǎng)

4、為為0，則導(dǎo)體表面的，則導(dǎo)體表面的邊界條件為邊界條件為 0nnEDeeS0tnEDS或或 場(chǎng)矢量的折射關(guān)系場(chǎng)矢量的折射關(guān)系 導(dǎo)體表面的邊界條件導(dǎo)體表面的邊界條件D與與E均垂直于導(dǎo)體表面均垂直于導(dǎo)體表面2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院6即即靜電場(chǎng)可以用靜電場(chǎng)可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，來表示，標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù) 稱為靜稱為靜電場(chǎng)的電場(chǎng)的標(biāo)量電位標(biāo)量電位或簡(jiǎn)稱或簡(jiǎn)稱電位電位。0E由由1. 電位函數(shù)的定義電位函數(shù)的定義E3.1.2 電位函數(shù)電位函數(shù)2. 電位的表達(dá)式電位的表達(dá)式對(duì)于連續(xù)的體分布電荷，由對(duì)于連續(xù)的體分布電荷，由d)1)(41d)1

5、()(41d)(41)(3VRrVRrVRRrrEVVV3)1(RRRrrR2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院7同理得，同理得，面電荷面電荷的電位：的電位： 1()( )d4VrrVCR電位：電位：點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷的電位：的電位：( )4qrCR()1( )d4lCrrlCR線電荷線電荷的電位：的電位：( )1( )d4SSrrSCR2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院8 3. 電位差電位差兩端點(diǎn)乘兩端點(diǎn)乘 ，則有，則有l(wèi)dE將將dd(ddd )dEllxyzxyz 上式兩邊從點(diǎn)上式兩邊從點(diǎn)P到點(diǎn)到點(diǎn)Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得沿任意路

6、徑進(jìn)行積分，得關(guān)于電位差的說明關(guān)于電位差的說明 P、Q 兩點(diǎn)間的兩點(diǎn)間的電位差電位差等于等于電場(chǎng)力將單位正電荷從電場(chǎng)力將單位正電荷從P點(diǎn)移至點(diǎn)移至Q 點(diǎn)點(diǎn) 所做的功所做的功，電場(chǎng)力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。，電場(chǎng)力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。 電位差也稱為電位差也稱為電壓電壓，可用，可用U 表示。表示。 電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)與積分路徑無關(guān)。)()(ddQPlEQPQPP、Q 兩點(diǎn)間的電位差兩點(diǎn)間的電位差電場(chǎng)力做電場(chǎng)力做的功的功2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院9 選擇電位參

7、考點(diǎn)的原則選擇電位參考點(diǎn)的原則 應(yīng)使電位表達(dá)式有意義。應(yīng)使電位表達(dá)式有意義。 應(yīng)使電位表達(dá)式最簡(jiǎn)單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無應(yīng)使電位表達(dá)式最簡(jiǎn)單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無 限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)。限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)。 同一個(gè)問題只能有一個(gè)參考點(diǎn)。同一個(gè)問題只能有一個(gè)參考點(diǎn)。 靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即)(CC選參考點(diǎn)選參考點(diǎn)令參考點(diǎn)電位為零令參考點(diǎn)電位為零電位確定值電位確定值( (電位差電位差) )兩點(diǎn)間電位差有定值兩點(diǎn)間電位差有定值4. 電位參考點(diǎn)電位參考點(diǎn)2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院10 例例 3.1.1

8、 求電偶極子的電位求電偶極子的電位. . 解解 在球坐標(biāo)系中在球坐標(biāo)系中211202104)11(4)(rrrrqrrqrcos)2/(cos)2/(222221rddrrrddrrcos22drr用二項(xiàng)式展開，由于，得用二項(xiàng)式展開，由于，得dr ,cos21drr302020444cos)(rrrrqdrrpep代入上式，得代入上式，得 表示表示電偶極矩電偶極矩，方向由，方向由負(fù)電荷負(fù)電荷指向指向正電荷正電荷。dqp+q電偶極子電偶極子zodq2r1rr),(rP2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院11ErErrdd21sinCr 將將 和和 代入上式，代入上

9、式，解得解得E 線方程為線方程為ErE 由球坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場(chǎng)強(qiáng)度由球坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場(chǎng)強(qiáng)度30(2cossin )4rpree)sin11()(rerererErcos2Cr Crp204cos等位線等位線電場(chǎng)線電場(chǎng)線電偶極子的場(chǎng)圖電偶極子的場(chǎng)圖電場(chǎng)線微分方程電場(chǎng)線微分方程：等位線方程等位線方程：( )rC2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院12 在在圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系中，取中，取 與與x 軸方向一致，即軸方向一致，即 ，而，而 ，故，故 zree z00 xEe E0E 解解 選定均勻電場(chǎng)空間中的一點(diǎn)選定

10、均勻電場(chǎng)空間中的一點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，而任意點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，而任意點(diǎn)P 的的位置矢量為位置矢量為r ，則，則000( )( )ddPPoOPOElErEr 若選擇點(diǎn)若選擇點(diǎn)O為電位參考點(diǎn)，即為電位參考點(diǎn)，即 ，則，則( )0O0( )PEr 000( )coszPErer EE r 在在球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中，取極軸與中，取極軸與 的方向的方向一致，即一致，即 ，則有，則有00zEe E0E000( )()cosxzPEreE ee zE 0ExzOPr 例例3.1.2 求均勻電場(chǎng)的電位分布。求均勻電場(chǎng)的電位分布。2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院13z 解解 采用圓柱

11、坐標(biāo)系，采用圓柱坐標(biāo)系，令線電荷與令線電荷與 z 軸相重合，中點(diǎn)位于坐軸相重合，中點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)。由于軸對(duì)稱性，電位與標(biāo)原點(diǎn)。由于軸對(duì)稱性，電位與 無關(guān)。無關(guān)。在帶電線上位于在帶電線上位于 z處的線元處的線元 ，它，它到點(diǎn)到點(diǎn) 的距離的距離 ，則則22()Rzzddlz( , , )Pz xyzL-L( , , ) z zddlzR02201()d4()LlLrzzz2200ln() 4LlLzzzz220220()()ln4()()lzLzLzLzL 例例3.1.3 求長(zhǎng)度為求長(zhǎng)度為2L、電荷線密度為、電荷線密度為 的均勻帶電線的電位。的均勻帶電線的電位。0l2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)

12、與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院142222000220002( )lnlnln422lllLLLLLrLL 在上式中若令在上式中若令 ，則可得到無限長(zhǎng)直線電荷的電位。當(dāng)，則可得到無限長(zhǎng)直線電荷的電位。當(dāng) 時(shí)，上式可寫為時(shí)，上式可寫為 LRL 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，上式變?yōu)闊o窮大，這是因?yàn)殡姾刹皇欠植荚谟邢迏^(qū)時(shí)，上式變?yōu)闊o窮大，這是因?yàn)殡姾刹皇欠植荚谟邢迏^(qū)域內(nèi)，而將電位參考點(diǎn)選在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)之故。這時(shí)可在上式中加上域內(nèi)，而將電位參考點(diǎn)選在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)之故。這時(shí)可在上式中加上一個(gè)任意常數(shù)，則有一個(gè)任意常數(shù)，則有L 002( )ln2lLrC并選擇有限遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)。例如，選擇并選擇有限遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)。例如，

13、選擇= a 的點(diǎn)為電位參的點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，則有考點(diǎn)，則有002ln2lLCa 00( )ln2lar2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院15在均勻介質(zhì)中，有在均勻介質(zhì)中，有5. 電位的微分方程電位的微分方程在無源區(qū)域，在無源區(qū)域，0EED202標(biāo)量泊松方程標(biāo)量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院16 6. 靜電位的邊界條件靜電位的邊界條件 設(shè)設(shè)P1和和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為別為1和和2。當(dāng)兩點(diǎn)間距離當(dāng)兩點(diǎn)間距離l0時(shí)時(shí) 導(dǎo)體表

14、面上電位的邊界條件：導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：0dlim21021PPlEl由由 和和Se)(21nDDD12媒質(zhì)媒質(zhì)2媒質(zhì)媒質(zhì)121l2P1P 若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即0Snn1122常數(shù)常數(shù)，SnSnn1122212022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院17 例例3.1.4 兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于 x = 0 和和 x = a 處，處，在兩板之間的在兩板之間的 x = b 處有一面密度為處有一面密度為 的均勻電荷分布，如圖所的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導(dǎo)體平板之間的示。求兩導(dǎo)體平板之間的電位

15、電位和和電場(chǎng)電場(chǎng)。0S 解解 在兩塊無限大接地導(dǎo)體平板之間，除在兩塊無限大接地導(dǎo)體平板之間，除 x = b 處有均勻面電處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉一維拉普拉斯斯方程方程212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD方程的解為方程的解為obaxy兩塊無限大平行板兩塊無限大平行板0S1( )x2( ) x2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院180110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 010020

16、()( ),(0)( )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )SxabE xxea 1221122021000SDC aDC bDC bDCC 利用邊界條件，有利用邊界條件，有 處，處，xb12( )( ),bb0210( )( )Sx bxxxx最后得最后得 處，處，0 x 1(0)0 處，處，x a2( )0a所以所以0220( )( )SxbE xxea由此解得由此解得2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院19ExEx：板面積為：板面積為S S，相距為，相距為d d 的平行板電容器中放入的平行板電容器中放入介電常數(shù)為介電常數(shù)為

17、 的兩種均勻介質(zhì)，如圖所示。若兩的兩種均勻介質(zhì)，如圖所示。若兩極板上分別帶有電荷極板上分別帶有電荷 。忽略邊緣效應(yīng)。忽略邊緣效應(yīng)。12和Q 求：求：1 1） 電容器中的電容器中的 2 2） 電容器的電容電容器的電容 3 3） 束縛電荷的分布束縛電荷的分布E和120dx11E 22E1d2dQQAB2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院20解：因?yàn)殡娙萜髦杏袃煞N不同的解：因?yàn)殡娙萜髦杏袃煞N不同的介質(zhì)，介質(zhì)， 分成兩個(gè)區(qū)域分別求解分成兩個(gè)區(qū)域分別求解忽略邊緣效應(yīng)，兩極板可視為忽略邊緣效應(yīng)，兩極板可視為無窮大的帶電平面，電荷分布無窮大的帶電平面，電荷分布也是均勻的，也是

18、均勻的，僅是僅是x x的函數(shù)的函數(shù)22111112222222220000A xBxA xBx取取 時(shí)為電位參考點(diǎn)時(shí)為電位參考點(diǎn)0 x 120dx11E 22E1d2dQQAB2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院2111110|0 xBAxsQS1121212xdxx時(shí)1212122QdA dBSQAS11QxS 11QAS 111110|nxD SSASx 2122111()QQxdSS 22212111()QASQBdS 2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院22111222xxxxQEeexSQEeexS (2)ABU1211

19、21()SQCUddd 10211121|()xx ddddQdS2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院230111()(1)xxspAAQP nPeeS 1110101(3)()()xQPEeS 2220202()()xQPEeS 11202111|()x dxxspCQP eP eS 0222(1)xxspBBQP nP e eS 2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院24電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中：電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中： 3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容 在電子電路中，利用電容器來實(shí)

20、現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁在電子電路中，利用電容器來實(shí)現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁 路、選頻等作用。路、選頻等作用。 通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜 電路。電路。 在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以 減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率。減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率。2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院25 電容電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng)是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng) 儲(chǔ)存電儲(chǔ)存電荷能力的物理量。荷能力

21、的物理量。 孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量q與其電位與其電位 的比值，即的比值，即qC 1. 電容電容 孤立導(dǎo)體的電容孤立導(dǎo)體的電容 兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷（兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷（ q）的的 導(dǎo)體組成的電容器導(dǎo)體組成的電容器，其電容為，其電容為12qqCU 電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸幾何尺寸、形狀形狀和及和及周圍電介質(zhì)周圍電介質(zhì) 的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)。的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)。E02U1qq2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院26 (1) 假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷假定兩導(dǎo)體上

22、分別帶電荷+q 和和q ； 計(jì)算電容的方法一計(jì)算電容的方法一： (4) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。UqC 21dlEU (3) 由由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差；，求出兩導(dǎo)體間的電位差； (2) 計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場(chǎng)強(qiáng)度E； 計(jì)算電容的方法二計(jì)算電容的方法二： (1) 假定兩電極間的電位差為假定兩電極間的電位差為U ； (2) 計(jì)算兩電極間的電位分布計(jì)算兩電極間的電位分布 ； (3) 由由 得到得到E ; (4) 由由 得到得到 ;nESSESSSqd (5) 由由 ，求出導(dǎo)體的電荷，求出導(dǎo)體的電荷q ；UqC (6) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，

23、即得出所求電容。2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院27 解解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為電荷為q ，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間的電場(chǎng)的電場(chǎng)44rr22qqDe,Eerr0011d()44baqqbaUE rabab同心導(dǎo)體間的電壓同心導(dǎo)體間的電壓04abqCUba球形電容器的電容球形電容器的電容04Ca當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，b 例例3.1.5 同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a 、外導(dǎo)體半徑為、外導(dǎo)體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為其間填充介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。的均勻介質(zhì)。求此求此球形電容器的電容球形電容器的電容。孤

24、立導(dǎo)體球的電容孤立導(dǎo)體球的電容abo2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院28 例例 3.1.6 如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為a ，兩導(dǎo)線，兩導(dǎo)線的軸線距離為的軸線距離為D ，且，且D a ，求，求傳輸線單位長(zhǎng)度的電容傳輸線單位長(zhǎng)度的電容。 解解 設(shè)兩導(dǎo)線單位長(zhǎng)度帶電量分別為設(shè)兩導(dǎo)線單位長(zhǎng)度帶電量分別為 和和 。由于。由于 ，故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理高斯定理和和疊加原疊加原理理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上

25、任一點(diǎn)P 的電場(chǎng)強(qiáng)度為的電場(chǎng)強(qiáng)度為llDa011( )()2lxE xexDx兩導(dǎo)線間的電位差兩導(dǎo)線間的電位差210011d()dln2DallaDaUElxxDxa故單位長(zhǎng)度的電容為故單位長(zhǎng)度的電容為001(F/m)ln()ln()lCUDaaD axyzxDa2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院29 解解 設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電量分別為設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電量分別為 和和 ，應(yīng)用應(yīng)用高斯定理高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為ll 例例3.1.7 同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a ，外導(dǎo)體半徑

26、為，外導(dǎo)體半徑為b ，內(nèi)外導(dǎo)體，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為間填充的介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長(zhǎng)度的求同軸線單位長(zhǎng)度的電容電容。( )2lEe內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差1( )dd2bblaaUEe故得同軸線單位長(zhǎng)度的電容為故得同軸線單位長(zhǎng)度的電容為12(F/m)ln( / )lCUb aab同軸線同軸線ln( / )2lb a2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院302. 2. 部分電容（自學(xué)）部分電容（自學(xué)）若電容器由多個(gè)導(dǎo)體構(gòu)成若電容器由多個(gè)導(dǎo)體構(gòu)成, ,導(dǎo)體之間、導(dǎo)體與地之間均存在導(dǎo)體之間、導(dǎo)體與地之間均存在電容，引入部分電容

27、的概念電容，引入部分電容的概念. . 12311C33C22C12C23C13C由電容定義：由電容定義：111112121313222221213131333331313232()()()()()()qCCCqCCCqCCC式中：式中：iiC指導(dǎo)體與地之間形成電容，稱為指導(dǎo)體與地之間形成電容，稱為導(dǎo)體自有部分電容導(dǎo)體自有部分電容ijC指導(dǎo)體之間形成的電容，稱為指導(dǎo)體之間形成的電容，稱為導(dǎo)體互有部分電容導(dǎo)體互有部分電容ijjiCC說明：說明：2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院31 如果充電過程進(jìn)行得足夠緩慢，就不會(huì)有能量輻射，充電過如果充電過程進(jìn)行得足夠緩慢，就

28、不會(huì)有能量輻射，充電過程中外加電源所做的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場(chǎng)能量，或者說程中外加電源所做的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場(chǎng)能量，或者說電場(chǎng)能電場(chǎng)能量量就等于就等于外加電源在此電場(chǎng)建立過程中所做的總功。外加電源在此電場(chǎng)建立過程中所做的總功。靜電場(chǎng)能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。靜電場(chǎng)能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。靜電場(chǎng)最基本的特征是對(duì)電荷有作用力，這表明靜電場(chǎng)具有靜電場(chǎng)最基本的特征是對(duì)電荷有作用力，這表明靜電場(chǎng)具有 能量。能量。 任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個(gè)最終任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個(gè)最終電荷分布的建立電荷分布的建立(或充電或充電)過

29、程。在此過程中，外加電源必須克服過程。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而做功。電荷之間的相互作用力而做功。3.1.4 靜電場(chǎng)的能量靜電場(chǎng)的能量 2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院321 靜電場(chǎng)的能量靜電場(chǎng)的能量 討論系統(tǒng)充電并穩(wěn)定后的電場(chǎng)能量，與討論系統(tǒng)充電并穩(wěn)定后的電場(chǎng)能量，與充電過程無關(guān)充電過程無關(guān) 從零狀態(tài)開始充電，充電結(jié)束時(shí)，從零狀態(tài)開始充電，充電結(jié)束時(shí)，電荷電荷為為 、電位電位為為 充電過程中，充電過程中，電荷與電位同比增加電荷與電位同比增加，比例因子，比例因子 ，即充電過，即充電過程中某一時(shí)刻電荷與電位分別為程中某一時(shí)刻電荷與電位分

30、別為和和 充電過程由充電過程由 = 0到到 = 1，由無數(shù)個(gè)，由無數(shù)個(gè)充電單元充電單元d 組成組成 對(duì)于系統(tǒng)中的一個(gè)單位體積，在每個(gè)充電單元，電源將輸送對(duì)于系統(tǒng)中的一個(gè)單位體積，在每個(gè)充電單元，電源將輸送電荷電荷 d ，同時(shí)，同時(shí)做功做功()( d )，此功將轉(zhuǎn)換為電場(chǎng)的能量，此功將轉(zhuǎn)換為電場(chǎng)的能量 所以，在一個(gè)充電單元中，整個(gè)系統(tǒng)能量的增加，即所以，在一個(gè)充電單元中，整個(gè)系統(tǒng)能量的增加，即外電源外電源為此所做的功為此所做的功為為 dddddeVVWVV 2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院33通過電位計(jì)算通過電位計(jì)算面分布電荷面分布電荷電容器的儲(chǔ)能電容器的儲(chǔ)能

31、iq 第第i 個(gè)導(dǎo)體所帶的電荷個(gè)導(dǎo)體所帶的電荷i 第第i 個(gè)導(dǎo)體的電位個(gè)導(dǎo)體的電位式中：式中： iiiiSSiiSiSqSSWiiii21d21d21eSSSWd21e充電完成后，系統(tǒng)的總能量為充電完成后，系統(tǒng)的總能量為11001dddd2eeVVWWVV 2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院34 討論的是充電完成系統(tǒng)穩(wěn)定后的情況，所以討論的是充電完成系統(tǒng)穩(wěn)定后的情況，所以只適用于靜電場(chǎng)只適用于靜電場(chǎng) 積分區(qū)域?yàn)榉e分區(qū)域?yàn)榇嬖陔姾煞植嫉目臻g存在電荷分布的空間，由于在無電荷分布的區(qū)域，由于在無電荷分布的區(qū)域積分為零，所以積分也可以為整個(gè)空間積分為零，所以積分也可以

32、為整個(gè)空間 能量是分布在有電場(chǎng)存在的整個(gè)空間，并非僅僅存在于有電能量是分布在有電場(chǎng)存在的整個(gè)空間，并非僅僅存在于有電荷分布的區(qū)域，所以荷分布的區(qū)域，所以被積函數(shù)被積函數(shù) 不代表能量密度不代表能量密度關(guān)于靜電場(chǎng)能量表達(dá)式的補(bǔ)充說明關(guān)于靜電場(chǎng)能量表達(dá)式的補(bǔ)充說明1( ) ( )2eVWrr dV122022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院352. 電場(chǎng)能量密度電場(chǎng)能量密度 從場(chǎng)的觀點(diǎn)來看，靜電場(chǎng)的能量分布于電場(chǎng)所在的整個(gè)空間。從場(chǎng)的觀點(diǎn)來看，靜電場(chǎng)的能量分布于電場(chǎng)所在的整個(gè)空間。EDw21e電場(chǎng)能量密度電場(chǎng)能量密度：e1d2VWD E V電場(chǎng)的總能量電場(chǎng)的總能量：積分區(qū)

33、域?yàn)殡妶?chǎng)積分區(qū)域?yàn)殡妶?chǎng)所在的整個(gè)空間所在的整個(gè)空間2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 對(duì)于線性、各向同性介質(zhì)，則有對(duì)于線性、各向同性介質(zhì)，則有2e111222wD EE EE 2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院36由于體積由于體積V 外的電荷密度外的電荷密度0，若將上，若將上式中的積分區(qū)域擴(kuò)大到整個(gè)場(chǎng)空間，結(jié)式中的積分區(qū)域擴(kuò)大到整個(gè)場(chǎng)空間，結(jié)果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面內(nèi)，當(dāng)閉合面S 無限擴(kuò)大時(shí)，則有無限擴(kuò)大時(shí)，則有211()DRR)、故故 推證推證：()DDD E D R0Se11dd2

34、2VVWVDV1()d2VDDVSVSDVDdd )(VDESDVSd21d2121 11d(d )()0SSDSSR RR2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院37 例例3.1.8 半徑為半徑為a 的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的電的電荷，試求靜電場(chǎng)能量。荷，試求靜電場(chǎng)能量。5202420622020220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解：解： 方法一方法一，利用利用 計(jì)算計(jì)算 VVEDWd21e 根據(jù)高斯定理求得電場(chǎng)強(qiáng)度根據(jù)高斯定理求得電場(chǎng)強(qiáng)度 3220()3raEerar故故VEV

35、EVEDWVVVd21d21d2121220210e2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院38)()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEaraara 方法二方法二：利用利用 計(jì)算計(jì)算 VVWd21e 先求出電位分布先求出電位分布 故故5202022021e154d4)3(221d21arrraVWaV2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院39 已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計(jì)算帶電已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計(jì)算帶電體電荷之間的電場(chǎng)力。但對(duì)于電荷分布復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫體

36、電荷之間的電場(chǎng)力。但對(duì)于電荷分布復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計(jì)算電場(chǎng)力往往是非常困難的，因此通常采用侖定律計(jì)算電場(chǎng)力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法虛位移法來來計(jì)算靜電力。計(jì)算靜電力。 虛位移法：虛位移法：假設(shè)第假設(shè)第i 個(gè)帶電個(gè)帶電導(dǎo)體在電場(chǎng)力導(dǎo)體在電場(chǎng)力Fi 的作用下發(fā)生位移的作用下發(fā)生位移dgi，則電場(chǎng)力做功，則電場(chǎng)力做功dAFi dgi ，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)?，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)閐We 。根據(jù)根據(jù)能量守恒定律能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為edddSiiWF gW其中其中dWS是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。

37、具體計(jì)算中，可假定各帶電導(dǎo)體的電位不變，或假定各帶電具體計(jì)算中，可假定各帶電導(dǎo)體的電位不變，或假定各帶電導(dǎo)體的電荷不變。導(dǎo)體的電荷不變。3.1.5 靜電力靜電力(自學(xué)自學(xué))2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院403.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 3.2.1 恒定電場(chǎng)的基本方程和邊界條件恒定電場(chǎng)的基本方程和邊界條件 3.2.2 恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬 3.2.3 漏電導(dǎo)漏電導(dǎo)2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院41 由由J E 可知，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電

38、流可知，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場(chǎng)，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷作定向運(yùn)動(dòng)，但導(dǎo)體中的電的電場(chǎng)，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷作定向運(yùn)動(dòng)，但導(dǎo)體中的電荷分布是一種不隨時(shí)間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生荷分布是一種不隨時(shí)間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)稱為的電場(chǎng)稱為恒定電場(chǎng)恒定電場(chǎng)。 恒定電場(chǎng)恒定電場(chǎng)與與靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)的重要區(qū)別：的重要區(qū)別： （1 1）恒定電場(chǎng)可以存在于導(dǎo)體內(nèi)部。）恒定電場(chǎng)可以存在于導(dǎo)體內(nèi)部。 （2 2）恒定電場(chǎng)中有電場(chǎng)能量的損耗）恒定電場(chǎng)中有電場(chǎng)能量的損耗, ,要維持導(dǎo)體中的恒定電要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有流，就必須有外加電源外加電源來不斷來不斷

39、補(bǔ)充被損耗的電場(chǎng)能量補(bǔ)充被損耗的電場(chǎng)能量。 恒定電場(chǎng)和靜電場(chǎng)都是恒定電場(chǎng)和靜電場(chǎng)都是無旋場(chǎng)無旋場(chǎng)，具有相同的性質(zhì)。，具有相同的性質(zhì)。 3.2.1 恒定電場(chǎng)的基本方程和邊界條件恒定電場(chǎng)的基本方程和邊界條件2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院42EJ0d0dlESJCS00EJ1. 基本方程基本方程 恒定電場(chǎng)的基本方程為恒定電場(chǎng)的基本方程為微分形式：微分形式：積分形式：積分形式：)(rJ 恒定電場(chǎng)的基本場(chǎng)矢量是恒定電場(chǎng)的基本場(chǎng)矢量是電流密度電流密度 和和電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度)(rE 線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系0)(EEJ 恒定電場(chǎng)的電位

40、函數(shù)恒定電場(chǎng)的電位函數(shù)0E0 EE0 J由由0)(02若媒質(zhì)是均勻的，則若媒質(zhì)是均勻的，則 均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷沒有體分布電荷2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院432. 恒定電場(chǎng)的邊界條件恒定電場(chǎng)的邊界條件0dlEC0dSJS媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 121212E1Ene0)(21nJJe0)(21nEEe 場(chǎng)矢量的場(chǎng)矢量的邊界條件邊界條件2nn1JJ即即2t1tEE即即場(chǎng)矢量的場(chǎng)矢量的折射關(guān)系折射關(guān)系1122tantan 電位電位的邊界條件的邊界條件nn221121,2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院

41、44JEJE討論討論：1 1）在理想導(dǎo)體內(nèi)，恒定電場(chǎng)為在理想導(dǎo)體內(nèi)，恒定電場(chǎng)為0 0；恒定電場(chǎng)可以存在于恒定電場(chǎng)可以存在于非理想導(dǎo)體非理想導(dǎo)體內(nèi)。內(nèi)。2) 2) 在導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)，恒定電場(chǎng)在導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)，恒定電場(chǎng) 和和 的方向相同的方向相同EJ 導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度電荷面密度n1212n1212()()SeeDDJJ媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 121212E1Ene12n12()J2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院45媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 12122E1E)(12媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 12012Ene1E)0(1 如如2 1、且、且

42、290，則則 10， 即電場(chǎng)線近似垂直于與即電場(chǎng)線近似垂直于與良導(dǎo)體良導(dǎo)體表面。表面。 此時(shí)，此時(shí)，良導(dǎo)體表面可近似地看作為良導(dǎo)體表面可近似地看作為 等位面等位面； 若媒質(zhì)若媒質(zhì)1為為理想介質(zhì)理想介質(zhì)，即即 10，則則 J1=0，故故J2n= 0 且且 E2n= 0，即，即導(dǎo)體導(dǎo)體 中的電流和電場(chǎng)與分界面平行中的電流和電場(chǎng)與分界面平行。導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面不良導(dǎo)體與導(dǎo)體分界面不良導(dǎo)體與導(dǎo)體分界面2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院46小結(jié)小結(jié)：靜電場(chǎng)和恒定電場(chǎng)性質(zhì)比較：靜電場(chǎng)和恒定電場(chǎng)性質(zhì)比較：相同點(diǎn)相同點(diǎn)：場(chǎng)性質(zhì)相同，均為保守場(chǎng)；：場(chǎng)性質(zhì)相

43、同，均為保守場(chǎng)； 場(chǎng)均不隨時(shí)間改變；場(chǎng)均不隨時(shí)間改變； 均不能存在于理想導(dǎo)體內(nèi)部；均不能存在于理想導(dǎo)體內(nèi)部；不同點(diǎn)不同點(diǎn)：源不同源不同。靜電場(chǎng)的源為靜止電荷，恒定電場(chǎng)。靜電場(chǎng)的源為靜止電荷，恒定電場(chǎng) 的源為運(yùn)動(dòng)電荷。的源為運(yùn)動(dòng)電荷。 存在區(qū)域不同存在區(qū)域不同。靜電場(chǎng)只能存在于導(dǎo)體外，。靜電場(chǎng)只能存在于導(dǎo)體外， 恒定電場(chǎng)可以存在于非理想導(dǎo)體內(nèi)。恒定電場(chǎng)可以存在于非理想導(dǎo)體內(nèi)。恒定電場(chǎng)同時(shí)存在于恒定電場(chǎng)同時(shí)存在于導(dǎo)體內(nèi)部導(dǎo)體內(nèi)部和和外部外部，在，在導(dǎo)體表面導(dǎo)體表面上的電場(chǎng)上的電場(chǎng)既有既有法向分量法向分量又有又有切向分量切向分量，電場(chǎng)并不垂直于導(dǎo)體表面，因電場(chǎng)并不垂直于導(dǎo)體表面，因而而導(dǎo)體表面不是等

44、位面導(dǎo)體表面不是等位面.2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院47 例例3.2.1一個(gè)有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為一個(gè)有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為 1、 1 和和 2、 2 ，外加電壓，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。 解解：極板是理想導(dǎo)體，極板是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿為等位面，電流沿z 方向。方向。1n2nJJ 由由1n2nSDD由由U1d2d11, 22, zo12121 12212()ddUUUEdE dJ12121122,JJJJEE12JJJ1212()ddJU121212,SSDJDJ上下2112

45、2121212112()SDDJUdd 介2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院483.2.2 恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬 如果兩種場(chǎng)，在一定條件下，場(chǎng)方程有相同的形式，邊界如果兩種場(chǎng)，在一定條件下，場(chǎng)方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場(chǎng)分布必然是同一個(gè)數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場(chǎng)的解，就兩種場(chǎng)分布必然是同一個(gè)數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場(chǎng)的解，就可以用對(duì)應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場(chǎng)的解。這種求解場(chǎng)可以用對(duì)應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場(chǎng)的解。這種求解場(chǎng)的方

46、法稱為的方法稱為比擬法比擬法。D0U靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)J0U恒定電場(chǎng)恒定電場(chǎng)2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院49恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬基本方程基本方程ED,EEJ0202n2n1t2t1 DDEEn2n1t2t1 JJEE靜電場(chǎng)（靜電場(chǎng)（ 區(qū)域）區(qū)域） 00d, 0dlESJCS0, 0EJ,E0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)位函數(shù)邊界條件邊界條件恒定電場(chǎng)（電源外）恒定電場(chǎng)（電源外）對(duì)應(yīng)物理量對(duì)應(yīng)物理量靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)EEDJqI恒定電場(chǎng)恒定電場(chǎng)GC0d, 0dlESDCS2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與

47、工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院50 工程上，常在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之工程上，常在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓U 時(shí)，必定會(huì)有微小的時(shí)，必定會(huì)有微小的漏電流漏電流 J 存在。存在。 漏電流與電壓之比為漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)漏電導(dǎo)，即，即UIG 其倒數(shù)稱為其倒數(shù)稱為絕緣電阻絕緣電阻，即，即IUGR13.2.3 漏電導(dǎo)漏電導(dǎo) 2022-4-5

48、中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院51(1) 假定兩電極間的假定兩電極間的電流電流為為I ；(2) 計(jì)算兩電極間的計(jì)算兩電極間的電流密度電流密度 矢量矢量J ；(3) 由由J = E 得到得到 E ;(4) 由由 ，求出兩導(dǎo)，求出兩導(dǎo) 體間的電位差；體間的電位差；(5) 求比值求比值 ，即得出，即得出 所求電導(dǎo)。所求電導(dǎo)。21dlEUUIG/ 計(jì)算電導(dǎo)的方法一計(jì)算電導(dǎo)的方法一： 計(jì)算電導(dǎo)的方法二計(jì)算電導(dǎo)的方法二： (1) 假定兩電極間的電位差為假定兩電極間的電位差為U； (2) 計(jì)算兩電極間的電位分布計(jì)算兩電極間的電位分布 ； (3) 由由 得到得到E ; (4) 由由 J

49、= E 得到得到J ; (5) 由由 ，求出兩導(dǎo)體間，求出兩導(dǎo)體間 電流；電流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求電導(dǎo)。求電導(dǎo)。ESISJdUIG/ 計(jì)算電導(dǎo)的方法三計(jì)算電導(dǎo)的方法三：靜電比擬法：靜電比擬法：CGCG2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院52 例例3.2.3 求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a 、b，長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為l ，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為、介電常數(shù)為、介電常數(shù)為。解解：直接用恒定電場(chǎng)的計(jì)算方法：直接用恒定電場(chǎng)的計(jì)算方法電導(dǎo)電導(dǎo))/ln(2ablUIG絕緣電阻絕緣電阻ab

50、lGRln211baablIlIUln2d2dlElba則則IlIJ2lIJE2設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I 。2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院53深埋球形接地器解法一 通過電流場(chǎng)計(jì)算電阻解法二 比擬法24 rIJI24IEr2d44aIIUrra14RaCG,4aC4,Ga14URIa例例3.2.4 求半徑為求半徑為a的金屬導(dǎo)體球形接地器的的金屬導(dǎo)體球形接地器的接地電阻接地電阻。土壤的電導(dǎo)率為。土壤的電導(dǎo)率為 。接地電阻：電流由接地器流入大地再向無限遠(yuǎn)處擴(kuò)散所遇到的電阻。2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科

51、學(xué)與工程學(xué)院54012222000, 0U 方程通解為方程通解為21CC例例3.2.5 在一塊厚度為在一塊厚度為h 的導(dǎo)電板上，的導(dǎo)電板上， 由兩個(gè)半徑為由兩個(gè)半徑為r1 和和 r2 的圓的圓弧和夾角為弧和夾角為 0 的兩半徑割出的一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖所示。的兩半徑割出的一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖所示。計(jì)算計(jì)算沿沿 方向的兩電極之間的電阻方向的兩電極之間的電阻。設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為。設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為。 解：解： 設(shè)在沿設(shè)在沿 方向的兩電極之間外加電壓方向的兩電極之間外加電壓U0，則電流沿則電流沿 方向流動(dòng)，而且電流密度是隨方向流動(dòng)，而且電流密度是隨 變化的。但容易變化的。但容易判定電位判定電

52、位 只是只是變量變量 的函數(shù)，因此電位函數(shù)的函數(shù)，因此電位函數(shù) 滿足一維滿足一維拉普拉斯方程拉普拉斯方程代入邊界條件代入邊界條件可以得到可以得到10020/,CUCU環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊r1hr2 0J2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院55電流密度電流密度00UJEe兩電極之間的兩電極之間的電流電流21002001d()d ()lnrSrUU hrIJSee her故故沿沿 方向的兩電極之間的方向的兩電極之間的電阻電阻為為0021( )ln(/ )URIhrr000UU所以所以00UEee 2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工

53、程學(xué)院56本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 3.3.1 恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件 3.3.2 恒定磁場(chǎng)的矢量磁位和標(biāo)量磁位恒定磁場(chǎng)的矢量磁位和標(biāo)量磁位 3.3.3 電感電感 3.3.4 恒定磁場(chǎng)的能量恒定磁場(chǎng)的能量 3.3.5 磁場(chǎng)力磁場(chǎng)力 3.3 恒定磁場(chǎng)分析恒定磁場(chǎng)分析2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院570HJB微分形式微分形式: :0dddSSCSBSJlH1. 基本方程基本方程BH2. 邊界條件邊界條件本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：SJHHeBBe)(0)(21n21nSJHHBBt2t12n1n0或或若若分界面分界面上不存在面電流，即上不存在

54、面電流，即JS0，則，則積分形式積分形式: :0)(0)(21n21nHHeBBe或或002tt1n2n1HHBB3.3.1 恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院58 矢量磁位的定義矢量磁位的定義 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)量量 的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場(chǎng)，即的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場(chǎng)，即由由AA 0BBA 即恒定磁場(chǎng)可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來表示。即恒定磁場(chǎng)可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來表示。

55、磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的造成的。為了得到確定的A，可以對(duì)，可以對(duì)A的散度加以限制，在恒定磁的散度加以限制，在恒定磁場(chǎng)中通常規(guī)定，并稱為場(chǎng)中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范庫侖規(guī)范。0A()AAA 1. 恒定磁場(chǎng)的矢量磁位恒定磁場(chǎng)的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位矢量磁位或稱磁矢位 3.3.2 恒定磁場(chǎng)的矢量磁位和標(biāo)量磁位恒定磁場(chǎng)的矢量磁位和標(biāo)量磁位2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院59 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在無源區(qū)：在無源區(qū)：AB0A 0J JA202 A矢量泊

56、松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ 磁矢位的表達(dá)式磁矢位的表達(dá)式JB直角坐標(biāo)系下直角坐標(biāo)系下,xyzeee都是常矢量都是常矢量2222xxxxxxxxe AeAA eA e 即即202020 xxyyzzAJAJAJ 2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院60由于兩組方程形式相同，因此 三個(gè)標(biāo)量Poisson方程的解可以參照電位解直接寫出：帶電體的電位帶電體的電位Cdq rrV141體電荷 dV面電荷 SdS線電荷 dlldqCdV rrJAV4 444zVzzyVyyxVxxCdV rrJACdV rrJACdV rrJA體體電電

57、流流的的矢矢量量位位 314 ()4VVBAJ r dV; RJ rRdVR rrR 2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院61關(guān)于矢量位關(guān)于矢量位A 的補(bǔ)充說明的補(bǔ)充說明面電流面電流線電流線電流C l d rrIAl4Cd rrJAS4SS 線電流的矢量位與電流方向一致，求解比較簡(jiǎn)單線電流的矢量位與電流方向一致，求解比較簡(jiǎn)單 對(duì)體分布電流，需要直接從泊松方程求解，其過程比較復(fù)雜對(duì)體分布電流，需要直接從泊松方程求解，其過程比較復(fù)雜 引入矢量位引入矢量位A是為了簡(jiǎn)化求解磁場(chǎng)，但只有對(duì)復(fù)雜問題才能是為了簡(jiǎn)化求解磁場(chǎng)，但只有對(duì)復(fù)雜問題才能顯示出其優(yōu)越性，對(duì)于簡(jiǎn)單問題，還

58、是直接求解磁場(chǎng)為宜顯示出其優(yōu)越性，對(duì)于簡(jiǎn)單問題，還是直接求解磁場(chǎng)為宜2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院62 磁矢位的邊界條件磁矢位的邊界條件 利用磁矢位計(jì)算磁通量利用磁矢位計(jì)算磁通量：0A 12AAn12()SeHHJ/HAn121211()SeAAJ1122dddCCSBSAlAlCSSlASASBddd0dSSA2t1tAA 2n1nAA其中其中C1、C2為閉合小柱面的上底面和下底面的邊界為閉合小柱面的上底面和下底面的邊界2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院63 例例 3.3.1 求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)

59、矢量磁位矢量磁位與與磁場(chǎng)磁場(chǎng)。小圓形回。小圓形回路的半徑為路的半徑為a ，回路中的電流為，回路中的電流為I 。 解解 如圖所示，由于具有軸對(duì)稱性，如圖所示，由于具有軸對(duì)稱性，矢量磁位和磁場(chǎng)均矢量磁位和磁場(chǎng)均與與 無關(guān)，計(jì)算無關(guān)，計(jì)算 xO z 平平面上的矢量磁位與磁場(chǎng)面上的矢量磁位與磁場(chǎng)將不失一般性。選將不失一般性。選取球坐標(biāo)。取球坐標(biāo)。(sincos )rxzre rr ee(cossin)rxyre aa eedd(sincos) dxyle aeea 222221 2( sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar小圓環(huán)電流小圓環(huán)電流aIxzyrRdlrIPO

60、2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院64對(duì)于遠(yuǎn)區(qū)，有對(duì)于遠(yuǎn)區(qū)，有r a ，所以，所以21 21 2112121 ( )sincos1sincosaaarrrrrrr1(1sincos)arr2001( )(1sincos)(sincos)d4xyIaaA reerr202sin4yI aer由于在由于在 = 0 面上面上 ，所以上式可寫成，所以上式可寫成yee于是得到于是得到20022( )sinsin44I aISA reerr2022-4-5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院6511(sin)()sinrBAeAerArrr 03(2cos