2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第45講立體幾何中的向量方法(二)—求空間角和距離實(shí)

1、設(shè)AB= m貝y QP= PGQG=故當(dāng)n=彳，即AB=此時(shí)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，各點(diǎn)的坐標(biāo)為Q0,0,0),故PC=4 (0, .6, 0),2018 年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第 45 講 立體幾何中的向量方法(二)一求空間角和距離實(shí)戰(zhàn)演練 理板塊冋/考題集萃*賓戰(zhàn)演練1. (2014 江西卷)如圖，四棱錐P-ABCDK ABC為矩形，平面PADL平面ABCD(1) 求證：ABL PD(2) 若/BPC=90,PB=.2,PC=2，問(wèn)AB為何值時(shí)，四棱錐RABCD勺體積最大？并 求此時(shí)平面BPC與平面DPC夾角的余弦值.解析：(1)證明：ABCD矩形，故ABL AD又平面PA

2、DL平面ABCD平面PACT平面ABCIAD所以ABL平面PAD故ABL PD過(guò)P作AD的垂線，垂足為Q過(guò)O作BC的垂線，垂足為G連接PG故PQL平面ABCD BCL平面PQG BCL PG在 RtBPG中PG=233，GC=甘，BG=J333故四棱錐P-ABCD勺體積為因?yàn)榻?8 6吊=p8吊一6ITJ=F-ABC啲體積最大.1_62,63，0，0,2設(shè)平面BPC勺一個(gè)法向量ni= (x,y,1),-存竽y-， 則由ni丄PC ni丄 B得3336y= 0,解得x= 1,y= 0,ni= (1,0,1).同理可求出平面DPC勺一個(gè)法向量n2= 0, 2, 1 .從而平面BPC與平面DPG夾角

3、0的余弦值為P-ABCD中,PA!底面ABCDAD/ BC AB= AD= AC=3,PA= BC=4,M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD N為PC的中點(diǎn).(1) 證明：MN/平面PAB(2) 求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.民冷,0,2. (2016 全國(guó)卷川)如圖，四棱錐3以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.P(0,0,4),M020) ,Q,5, 2,0),2解析：(1)證明：由已知得AM=AD=2.取BP的中點(diǎn)T,連接AT TN由N為PC的中點(diǎn)知TN/ BC1TN=?BC=2.又AD/ BC故TN綊AM故四邊形AMN為平行四邊形，于是M/A

4、T因?yàn)锳T?平取BC的中點(diǎn)E,連接AE由AB= AC得AE丄BC從而AEL AD,且AE= AWBE=由題意知,設(shè)n= (x,y,z)為平面PMN勺法向量.可取n= (0,2,1)3. (2016 山東卷)在如圖所示的圓臺(tái)中，AC是 下 底 面 圓O的 直 徑 ，EF是 上 底 面 圓0的直徑，F(xiàn)B是圓臺(tái)的一條母線.已知G H分別為EC FB的中點(diǎn)，求證：GH/平面ABC1 已知EF=FB=JAC=2 羽，AB= BC求二面角F-BGA的余弦值.解析：(1)證明：設(shè)FC中點(diǎn)為I，連接GI,HI.在厶CEF中，因?yàn)辄c(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，所以Gl/EF又EF/ OB所以GI/OB又OB平面ABC GI

5、?平面ABC GI/平面ABC在厶CFB中，因?yàn)镠是FB的中點(diǎn)，所以HI/BC同理HI/平面ABC又HI n GI=I, 所以平面GHI/平面ABC因?yàn)镚H平面GHI,所以GH/平面ABC(2)連接OO，貝U OO丄平面ABCPM (0,2 , - 4) ,PN=則廠P昨0,、nPN=0,-4z =0,x+y 2z=0,于是|cosn,ANInAN_ 空In|AN25即直線AN與平面PMN所成角的正弦值為525,1 , - 2 ,AN=45又AB= BC且AC是圓O的直徑，所以BC丄AC以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz所以診(2 3, 2 3, 0),過(guò)點(diǎn)F作FM垂直O(jiān)B于

6、點(diǎn) M 所以FMkFWBM=3,可得F(0 , 3, 3).故BF= (0，3, 3).設(shè)mi=(x,y,z)是平面BCF的法向量.-2 羽X-2 風(fēng)=0,寸 3y+ 3z= 0.由題意得B(0,23, 0) ,C( 2 3, 0,0),可得平面BCF的一個(gè)法向量1, 1,因?yàn)槠矫鍭BC的一個(gè)法向量n= (0,0,1),mn所以cosm n=帀廠而所以二面角F-BGA的余弦值為呂.4. (2014 新課標(biāo)全國(guó)卷I)如圖，三棱柱ABGABC中，側(cè)面BBCQ為菱形，ABL BC.(1)證明：AC=AB;若ACLAB, /CBB=60 ,AB= BC求二面角AAB-G的余弦值.解析：(1)證明：連接

7、BC,交BC于點(diǎn)O,連接AO因?yàn)閭?cè)面BBCC為菱形,所以BC丄BC,且O為BC及BC的中點(diǎn).又ABL B C, ABA BO= B,所以B C丄平面ABO由于AC?平面ABO故B C丄AO又B O= CO故AC= AB.(2)因?yàn)锳CL AB,且O為B C的中點(diǎn),BC=0,由T7所以AO= CO又因?yàn)锳B= BQ所以BOABOC故OAL OB從而OA OB OB兩兩互相垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB OB, OA勺方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，|6B為單位長(zhǎng)，建 立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz因?yàn)?CBB=60，所以CBB為等邊三角形.又AB= BC OC= OA則A0, 0,申!，政 1,0,0)，Bp 申,0 !，Co，-零 0 !，AB= 0, , -AB=芯 1，0, -設(shè)n= (x,y,z)是平面AAB的法向量,nrAB=0,設(shè)m是平面ABC的法向量，則I