2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章參數(shù)方程2.1直線的參數(shù)方程學(xué)案北師大版選修4-4

1、2. 1 直線的參數(shù)方程1 .有向線段的數(shù)量如果P, M是I上的兩點，P到M的方向與直線的正方向一致，那么PM取正值,否則取負(fù)值.我們稱這個數(shù)值為有向線段|PM的數(shù)量.2直線參數(shù)方程的兩種形式(1)經(jīng)過點P(Xo,yo)、傾斜角是a的直線的參數(shù)方程為:參數(shù)).經(jīng)過兩個定點Qxi,yi),P(X2,y2)(其中x X2)的直線的參數(shù)方程為Xi+ 入X2其中Mx,y)為直線上的任意一點， 參數(shù)入的幾何意義是：動點M分有向線段的數(shù)1當(dāng)入0 時，M為內(nèi)分點;2當(dāng)入0 且入工一 1 時，M為外分點;3當(dāng)入=0 時，點M與Q重合.合作探究a= (a,b)或斜率為b平行的直線的ka7參數(shù)方程?對應(yīng)學(xué)生用書

2、P24自主學(xué)習(xí)提示：在直線I上任取一點Mx,y),因為 PM /a,由兩向量共線的充要條件以及=( (xxo,yyo) )，可得 冷勺冷勺=叫力叫力，設(shè)這個比值為t，即:XXoayyob=t，則有:X=Xo+tCOSa ,(t 為y=yo+1sina其中Mx,y)為直線上的任意一點，參數(shù) 向線段|PM的數(shù)量來表示.t的幾何意義是從點P到M的位移，可以用有yi+ 入y21+入(入為參數(shù)，入工1).量比QMMP1.如何引入?yún)?shù)求過定點F(X0,y)且與平面向量3x=x+at,i丄航(t R).y=y+bt相同的幾何意義?提示：當(dāng)a2+b2= 1 時.求得交點.即 fy= 4+(t為參數(shù)).f1x=

3、 3 2t,把y=4+#得 3 * 4 -23t+ 1 = 0,得t= 0.精解詳析(1)直線I的參數(shù)方程為x= 3+tcos 120y= 4+tsin 120(t為參數(shù)),2.問題 1 中得到的參數(shù)方程中參數(shù)何時與x=Xo+tcosy=yo+1sin(t R)中參數(shù)t具有寫出直線I的參數(shù)方程;(2)求直線I與直線xy+思路點撥 本題考查如何根據(jù)已知條件確定直線的參數(shù)方程及運(yùn)算求解能力,題需要將條件代入x=Xo+tCOsa ,y=y+tsina得到直線的參數(shù)方程，然后與xy+ 1 = 0解答此聯(lián)立可代入xy+ 1 = 0,對應(yīng)學(xué)生用書 P24直線參數(shù)方程的確定例 1已知直線I過(3,4)，且它

4、的傾斜角0= 120.4把t=0 代入得兩直線的交點為（3,4）1.已知直線經(jīng)過的定點與其傾斜角，求參數(shù)方程利用xxo+tCOSa ,i（t為參數(shù)）|yy0+tsinaX1+ 入X22已知直線過兩點，求參數(shù)方程利用x ,1+入y1+ 入y入為參數(shù)且入工一1.1?方法方法- -規(guī)律規(guī)律 小結(jié)小結(jié)3 .已知直線經(jīng)過的定點與其方向向量a= （a,b）（或斜率-），則其參數(shù)方程可為:aX=xo+ta,y=yo+tb1.已知兩點A（1,3）,耳 3,1）和直線l:y=x，求過點 A,B的直線的參數(shù)方程，并求它 與直線I的交點M分AB的比.解：設(shè)直線AB與I的交點Mx,y）,且MM=入，則直線AB的參數(shù)方

5、程為1 + 3入1 +入3 +入1 +入（入為參數(shù)且入M 1） 1 + 3 入 3+入把代入y=x得齊丁= 1+亍，得入=1,利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義解決距離冋題所以點M分AB的比為 1 : 1.3n例 2寫出經(jīng)過點M（ 2,3），傾斜角為丁的直線I的參數(shù)方程，并且求出直線I上4與點M相距為 2 的點的坐標(biāo).56x=Xo+tCOSa ,思路點撥本題考查直線參數(shù)方程（t為參數(shù)）的應(yīng)用，特別是y=yo+1sina參數(shù)幾何意義的應(yīng)用.解答此題需先求出直線上與點M相距為 2 的點對應(yīng)的參數(shù)t,然后代入?yún)?shù)方程求此點的坐標(biāo).精解詳析直線l的參數(shù)方程為3nx=2+tcos-4設(shè)直線I上與已知點M相

6、距為 2 的點為M點，M點對應(yīng)的參數(shù)為t,則|MM= It| = 2, t = 2.將 t 的值代入式:當(dāng)t= 2 時，M點在M點上方，其坐標(biāo)為（一 2 Q2, 3+Q2）;當(dāng)t= 2 時，M點在M點下方，其坐標(biāo)為（一 2+ 2 , 3 2）.方法方法規(guī)律規(guī)律 小小結(jié)結(jié)二二x=Xo+tCOSa ,1.過定點P（Xo,yo），傾斜角為a的直線的參數(shù)方程為（t為參|y=yo+1sina的幾何意義是並的長度的一a2：b2.h1x= 1 +t,2.過點A（1 , 5）的直線Ii的參數(shù)方程為，廠 （t為參數(shù)），它與方程為x比=5 + 7 3ty 2 3= o 的直線I2相交于一點P,求點A與點P之間的距

7、離.解：將直線li的參數(shù)方程化為y= 3 +1sin3n4（t為參數(shù)）數(shù)）,|t|的幾何7M 的長度，即P與M間的距離.bx=xo+at,2.過定點M（x0,y0），斜率為b的直線的參數(shù)方程是jy=y+bt（a,b為常數(shù)，t為參數(shù)）當(dāng)a2+b2= 1 時，111 的幾何意義是有向線段MoM 的長度，當(dāng)a2+b2Ml時，11|71x= 1 + 2 2ty=-5+f?t1 且 0，令t = 2t,則將t代入上述方程得直線I1的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式為1+ 2t 5 + t 2.3 = 0,解得t= 4 3, |AP= |tI = 4 3.|直線與圓錐曲線的位置關(guān)系2例 3已知直線I過點P(1,0)，傾斜

8、角為-3，直線I與橢圓X3 +y2= 1 相交于A,B兩33點，設(shè)線段AB的中點為M(1) 求P, M兩點間的距離；(2) 求線段AB的長|AB|.思路點撥本題考查直線的參數(shù)方程在解決直線與圓錐曲線相交中的中點、弦長等問x=xo+tCOSa ,題中的應(yīng)用，解答此題需要求出直線的形如*(t為參數(shù))的方程，然后y=y0+1sina利用參數(shù)的幾何意義求解.精解詳析T直線l過點P(1,0)，傾斜角為nn, COSa= 1, sina二扌直線I的參數(shù)方程為直線l和橢圓相交，將直線的參數(shù)方程代入橢圓方程 并整理得 5t2+ 2t 4 = 0, = 4 + 4X(t為參數(shù)).代入xy 2 3= 0 得(t為

9、參數(shù)).+285X40.9設(shè)這個二次方程的兩個實根為t1,t2. .由根與系數(shù)的關(guān)系得：tl+t2= 5 ,tit2=-,由M為AB的中點，根據(jù)t的幾何意義，t1+t21得| |PM=丨二丨二-|-| =5. .(2)1AB= |t2tl|t1+t2 4tit2=方法，規(guī)律方法，規(guī)律小結(jié)小結(jié)1 在解決直線與圓錐曲線相交關(guān)系的問題中，若涉及到線段中點、弦長、交點坐標(biāo)等 問題，利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義求解，比利用直線l的普通方程來解決更為方便.2.在求直線l與曲線C: f(x,y) = 0 的交點間的距離時，把直線I的參數(shù)方程X=Xo+tCOSa ,代入f(x,y) = 0，可以得到一個

10、關(guān)于t的方程f(xo+1cosa,yo+y=yo+tsinatsina) = 0.假設(shè)該方程的解為11,12,對應(yīng)的直線I與曲線C的交點為A B,那么由參數(shù)t的幾何意義可得|AB= |t112|.(1) 弦AB的長 |AB= |1112|.(2) 線段AB的中點M對應(yīng)的參數(shù)t= 土+上(解題時可以作為基本結(jié)論使用)3 .(江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線I的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與拋物線y2= 4x相交于A,B兩點，求線段AB的解：將(t為參數(shù))代入拋物線方程y2= 4x,長.的參數(shù)方程10得 2 + #t2= 4 1 #t，解得ti= 0,t2=- 8 2.所以AB=|1

11、112| =&2.|本節(jié)熱點命題關(guān)注-|本課時常考查直線參數(shù)方程的確定與應(yīng)用，同時考查運(yùn)算、轉(zhuǎn)化及求解能力，高考、模 擬常與極坐標(biāo)方程及圓錐曲線的參數(shù)方程交匯命題.考題印證Z|x=2s+1,（湖南高考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l1：（s為參數(shù)）和直線12：y=sx=at,（t為參數(shù)）平行，則常數(shù)a的值為y= 2t 1命題立意 本題主要考查對參數(shù)方程的理解、兩直線的位置關(guān)系， 以及平面直角坐標(biāo)系下由兩直線的位置關(guān)系確定參數(shù)值的方法.自主嘗試 先把兩直線的參數(shù)方程化成普通方程直線丨1：x 2y 1 = 0,直線12:2xaya= 0.因為兩直線平行，所以 1x（a） = 2x2,故

12、a= 4,經(jīng)檢驗，符合題意.答案4、選擇題1 .已知直線I過點A（1,5），傾斜角為-3,P是I上一動點，若以TA=t為參數(shù)，則直3線I的參數(shù)方程是（）1x=1 2 3 41t， D.31x= 1+t，y=5rC.廠y= 5+23tP26對應(yīng)學(xué)生用書11解析：選 D PA = t ,IAP=t.12x= 1 +則參數(shù)方程為y=5+x= 1 - ft,即丿y= 5 -x= 3+tsin 20 ,2.直線 （t為參數(shù)）的傾斜角是（)y=-tcos 20A. 20B. 70C.110D. 160解析：選 C 法一：將原方程改寫成x- 3=tsin 20 ,o消去t,得y= tan 110 (x-3)

13、,y=tcos 20,所以直線的傾斜角為 110.法二：將原參數(shù)方程化為F=3+-1，|y=-1引】11（）,jx= 3+t cos 110 令-t=則y=t sin110 ,所以直線的傾斜角為 110Q- 2 2t,3+ , 2t)與點P( - 2,3)的距離等于2,即d= .-2- _2t +22+3+ . 2t2= , 2.解得t= 故選 D.3.x =-2-迦,y=3+2t(t為參數(shù)）上與點 R - 2,3）的距離等于_ 2 的點的坐標(biāo)是A. (-4,5)B. ( -3,4)C. (-3,4)或(-1,2)D. ( - 4,5)或(0,1)解析：選 C 設(shè)直線上的點13線方程xy 2

14、= 0,得 1 + qt 5+根據(jù)參數(shù)t的幾何意義可知 IMM= 6（ .3 + 1）.二、填空題5n5.過 R 4,0），傾斜角為 的直線的參數(shù)方程為 _解析：直線I通過P（ 4,0），傾斜角af5nx= 4+tcosg , 所以直線的參數(shù)方程為5ny= 0 +tsi n亠 6當(dāng)t冷時,x=-22X才3,y=3+.2X#=4,x=22X 22=y=3+2X -2=2,1,Q 1,2）.綜上，符合題意的點的坐標(biāo)為（一 3,4） 或（一 1,2） .n4直線I經(jīng)過點M0（1,5），傾斜角為，且交直線xy 2= 0 于點M,則|MIM等于（）A. 3+ 1C. 6+3B. 6( 3+ 1)D. 6

15、 3 + 1解析：選 B 由題意可得直線I的參數(shù)方程為y= 5 +（t為參數(shù)），代入直2 = 0,解得t= 6( 3+ 1).14x= 4答案：y=1t6 .若直線嚴(yán)1-2t，|y= 2+ 3t（t為參數(shù)）與直線 4x+ky= 1 垂直，則常數(shù)k=解析：直線x= 1 2t,y= 2+ 3t3的斜率為一3,4一kXI = 1,k= 6.答案：67.已知直線I的參數(shù)方程是x=1+tsin0 ,y= 2 +tcos（t為參數(shù)），其中角的范圍是nn，則直線l的傾斜角是解析：將原參數(shù)方程改寫成x 1 =tsiny+ 2=tcos消去參數(shù)t,n得y+ 2= (x 1)tan i兀7t和傾斜角的范圍可知直線

16、的傾斜角為32n-0.3n答案：01x= 2 t,&直線1y=1+2t（t為參數(shù)）與圓x+y= 1 有兩個交點A,B,若點P的坐標(biāo)為(2 , 1)，則 IPAPB=解析：把直線的參數(shù)方程代入圓的方程,15得 2 -1t2+ -1 + 2t2= 1,即 t2 6t+ 8 = 0，解得11= 2,12= 4, A(1,0) ,B(0,1) IPA=12+ 12= 2 |PB= 22+ 22= 2 2.|PAIPB=2X22=4.答案：4三、解答題9.已知P為半圓C:x2+y2= 1(0wyw1)上的點，點A的坐標(biāo)為(1,0) ,O為坐標(biāo)原點,n點M在射線OP上，線段OM與C的弧AP的長度均

17、為-.3(1) 以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，求點M的極坐標(biāo)；(2) 求直線AM的參數(shù)方程.nn解：(1)由已知，M點的極角為 石，且M點的極徑等于 石,3310.已知直線nl經(jīng)過點 R1,1)，傾斜角a=百.(1)寫出直線l的參數(shù)方程；設(shè)I與圓x2+y2= 4 相交于點A和點B,求點P到A,B兩點的距離之積.na=，所以直線l的參數(shù)方程為6故直線AM的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).解：(1)因為直線l過 只 1,1)，且傾斜角(t為參數(shù)).故點M的極坐標(biāo)為M點的直角坐標(biāo)為16因為點A B都在直線l上，所以可設(shè)它們對應(yīng)的參數(shù)分別為tl,t2將直線l的參整理，得t2+ ( 3 + 1)t-

18、2= 0.因為ti,t2是方程t2+ (3 + 1)t-2 = 0 的根,所以tit2=- 2.故 |PA|PE| = |tit2| = 2. 所以點P到 A,B兩點的距離之積為 2.X=2cos0 ,11.已知圓錐曲線， L(0是參數(shù))和定點A(0 , J3) ,Fi,F2是圓錐曲線y=寸 3sin0的左、右焦點.(1) 求經(jīng)過點F1垂直于直線 AR 的直線I的參數(shù)方程；(2) 以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線AB的極坐標(biāo)方程. =2cos0 ,解: (1)圓錐曲線y =寸 3sin02 2化為普通方程是4+； 1，所以F1( 1,0) ,F2(1,0),則直線 AR 的斜率k=01 03-3，于是經(jīng)過點F1垂直于直線AR的直線1的斜率k-3-,x