三角函數(shù)同步練習(xí)

1、三角函數(shù)同步練習(xí)例 1、計(jì)算下列各式的值:2、cos 70* -魂什+塩 5 護(hù) V 或?qū)?T 外血2C*J匚加 2 13 盼 |sin 10*- 1| -723 rg67 - 2sin 10 cos W3、2sin225 + cos225 + -h 1 = 1 + 丄 + 1 二解：1、原式=2222、原式=斕 2IT-堰 4 歹+堰壬匚堰 5 印+堰 4 歹-雞 2L1Js/ lCT + A -sin10 - Jl-2fin 10cosWQ3、原式=沁1宀卜如心皿而十市皿七而三齊cos 10+扌-inl(r加而二心市于M宀卜血心血吩“I-Ceos 10 -sin 1(F)1、I。刖冷+2小

2、“婀M宀卜+5。1例 2、比較下列各式的大小。(1) sin10 和 cos10 (2) tan49 和 cot42(3) tan 46 和 sin46 (4) sin27 和 cot 27解：(1)vcos10= cos (90 80)= sin 80 ，而 sin80 sinl0 sin 10vcos10。(2) ctg42 = ctg (90 48)= tg48 ，而 tg49 tg48 ,tg49 ctg42 。(3)vtg46 tg45 = 1,而 si n46v1 ,tg46 sin46 。vctg27 。_例3、已知：如圖所示，AD/ BC / B= 90, AD= 4, AB+

3、 BC= 28, tanC =:求：梯形ABCD 勺面積。分析：此題欲求梯形面積，不難發(fā)現(xiàn)只需求出 AB BC 的長(zhǎng)。由條件 tgC =,想到按處理方法把它轉(zhuǎn)換成線(xiàn)段比，但/ C 未在直角三角形中，故須作垂直線(xiàn)， 怎么做呢？由 AD/ BC / B= 90,想到梯形中常用輔助線(xiàn)：作 DEIBC 于 E,則DE1(4)Tsin27vsin30=,ctg271ctg30= J,而v J- , sin27例g圖DEAB AD= BE配了，設(shè)A吐 DPx, EC= 3x,由 AB+ BC= 28, AD= 4,不難求出 x 的值， 進(jìn)而求出 AB 和 BQ 解： 作 DEIBC 于 E,vZB= 90

4、,二 AB/ DE ；AD/BC, /A 吐 DE BE= AD=4。 EE刁，設(shè) DE= x，貝 U A 吐 x, EO,VAB+ BC= 28,二 AB+ BE+ EC=28, 二 x + 4+ 3x= 28, x= 6。二 AB= x = 6, BC= BE+ 3x = 4+ 18= 22,說(shuō)明：通過(guò)此題解法，讀者可從中體會(huì)：題目條件中有三角函數(shù)值時(shí)常用處理方 法在解題中加以具體應(yīng)用。例 4、已知：如圖所示， ABC 中，/ C= 90, E 是 AC 上一點(diǎn)，EDLAB 于 D,31233若 cot / BE=耳 ,cosA=13CE=卩。求：DE 的長(zhǎng)。例對(duì)圖分析：此題條件中有兩個(gè)三

5、角函數(shù)值條件，按解題思路想到將它們轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段比， 注意二個(gè)三角函數(shù)所對(duì)應(yīng)的相應(yīng)線(xiàn)段比有公共線(xiàn)段，這樣我們看到可以在一個(gè)直 角三角形內(nèi)用三角函數(shù)值表示線(xiàn)段比， 然后設(shè)未知數(shù)，這時(shí)就可以將另外直角三 角形的邊長(zhǎng)用這個(gè)未知數(shù)表示出，再利用另一個(gè)三角函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段比便可 得到含未知數(shù)的方程，進(jìn)而求出未知數(shù)的值，從而求出題目所要求的線(xiàn)段的長(zhǎng)。11梯形 ABCD 面積=2(AD+ BC)A 吐2(4+22)X6=78。整理得，55x= 33， x =，DE= 5x=3o解法一：EDI AB,”= ctg / BEt，設(shè) DE= 3x，則 BE 4x。：/ C=AC AD12_90。，KE = cosA

6、=l 弓，設(shè) AD= 12y, AE= 13y,則 DE= J 加-曲= 5y。3363933DE= 3x = 5y， y=弓 x， AD= 12y=5x，AE= 13y=了 x，vCE=133933x + 5門(mén)62X-=門(mén)，整理，得 165x= 165， x= 1， DE= 3x= 33933AC= AE+ CE= x + -36AB= AD+ BD= 了 x + 4x=56AC12AB解法二：如圖所示,DE=- AD2AD EDLAB 二1?=cosA=1213，設(shè) AD= 12x，AE= 13x，則DE35x，J BD =ctg / BEDN33x，CE=， AO AE+ CE= 13x

7、+ 口，2056 A 吐 AD+BD= 12x+ ? x= ? x，vZC=90AC12-=cosA=X。DE=20T整理得，55x= 33， x =，DE= 5x=3o3DE AD _A90=/C,v/A公用，:AD0AACBAC AB ,DE ADX2XV3123360165780-165_ m_=_ =_ _sX _三 _-5712A13A1316% DE=13169169,AD=144K鄧TT169780 x-1 .507780z-1653563254-3S64，整理得，65x= 56,x=65，二 DE=169169=3。例 5、已知：如圖所示， ABC 中，三邊長(zhǎng)為 a、b、c,

8、E 是 AB 上一點(diǎn)，EDLAQ3且 BE= ED a、b 是關(guān)于 x 的方程_ 1一的兩個(gè)根，tanA =。求：AD 的值。AC12血=cosA= 1 ?,設(shè) AO 12x, AB= 13x,33133則 BC=J価-AC2=5x ,：CE=1 弓,AE= 12x 13 BD= AB- AD=1奸些十空13169DR-RD=ctg / BED=解法三：如圖所示，/C= 90 EDIAB,B例10圖A宀-自、分析：此題谷易想到=tgA ，設(shè) DE= 3x, AD= 4x，則AE= 5x, AB= 8x,但苦于找不到另一個(gè)含 x 的等式， 怎么辦？注意條件： a b 是方程的兩根， 想 到 a+

9、 b=4+c, ab= 4c + 8,從中想到若能將 a、b、c 都用 x 表示出，問(wèn)題便迎 刃而解，從表面上看仍看不出 a、b、c 之間有何聯(lián)系，但題目實(shí)在又沒(méi)有其他 條件可用，只有從 a+ b =4+ c 與 ab= 4c + 8 中進(jìn)一步挖掘性質(zhì)，將 a+ b = 4+ c 兩邊平方：a2+ b2+ 2ab= c2+ 8c+ 16，注意 2ab= 8c+ 16，從中得到 a2+ b2= c2, 故/ C= 90，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)了 a、b、c 之間的另外一關(guān)系式。解法一：a、b 是方程的兩個(gè)根,口2十十=(?十呂匚十6 2ab =+ 16._ a _ 3=4x,則 BE= DE= 3x, AE=

10、+。野=5x，二 c= A 吐 AE+ BE= 8x,_24設(shè) a = 3y, b=4y,貝 f J 詛知 . 5y= 8x, , a= 3y=,32_ T24_ f325一T5b = 4y =-A5,代入有：- A5+-A =4+ 8x,解得：x = 4 , AD= 4x=4X才=5。解法二：如圖所示，由解法一知：/ C= 90, a+ b=4+ caECA3_一 i- - * f 2J2v占AUA，設(shè) a= 3x, b=4x，則 c= AB= 5x,代入式,得：3x+4x=4+5x,. x=2，AB= 5x=10vDEL AC 3y,AD= 4y，貝 U BE= DE= 3y,AE=AD

11、+ D針=5y,AA 吐 AE+ BE= 8y,A8y55a +5 = 4 +匚ti =+ 8 一得a+ b =c，故/ C= 90aBCA3- IgA 占AC 4 , EDLAC竺ADA,設(shè) DE= 3x, AD耳，二 AD= 4y=4X4 = 5。例 6 已知：如圖所示，在 ABC 中，/ ACB90 , CDLAB 于 D, CD= 1,若ADBD 的長(zhǎng)是關(guān)于 x 的方程 x2+ px + q = 0 的兩根，且 tgA tgB = 2。求：此二次方 程。W11S分析一：此題由條件 tgA tgB = 2,想到將其轉(zhuǎn)換成線(xiàn)段比，從中觀(guān)察其意義，不難得到AD 3D且D ED，注意 CD=

12、1, CD= AD- BD 則有BD- AD= 2，AD- BD= 1，因 AD, BD 是方程的根，貝 U 必有 AM BD= p，AD- BD=q= 1,從中發(fā)現(xiàn)只需求 AM BD 的值。這由 BD- AD= 2, AD- BD= 1 不難求得。解法一 ：I/ACB= 90, CDL AB / ACD CBD 二 CD：AD= BD：CD CDEDCD=1,AAD- BD= CD=1,11BD-AD/Q 3D ADBD=BDAD=2,ABD+AD2AD- BD= 4,vAD- BD= 1, BD+ AD+2AD- BD= 4 + 4 = 8,二(AD 十 BD2= 8,二 AD+ BD=

13、2：,Ap=AD+ BD= 2,q = AD- BD=1,A所求二次方程是 x22x + 1 = 0。分析二：此題關(guān)鍵是處理?xiàng)l件：tgA tgB = 2,充分注意條件/ AC= 90,則/A+ / B= 90，故有 tgB = ctgA，故有 tgA - tgB = tgA - ctgA = 1,從中可解得：CDCDtgA =：+ 1, tg B =1,即+ 1,二 = 1,注意 CD= 1,從中可求出 AD 和 BD 的值，進(jìn)而求出二次方程。解法二：AC=90,A/A+/ B=90,AtgB = tg (90 A)= ctgA ,AtgA - ctgA = 1,AtgA - tgB = 1，

14、 tgA tgB = 2，解，得 tgA=10, y=CE BC因此 sin2A=廠(chǎng)竺，再和結(jié)論比較發(fā)現(xiàn)只需證 cosA=，而 CDBC 在 RtBCD中,BC=cos/2=cosAoCD _1：+ 1, tgB = - 1,vCDL AB 于 D, CD= 1 ,二 丄丿=tgA+ 1,CD _ :.AD=L =-1,- X： = tgB i - 1, BD=氣醫(yī) _ =旋 + 10vAD BD 是方程 x2+ px+ q= 0 的兩個(gè)根，二p= AD + BD=廣1 + 1|+ 1=2 -,q=AD- BD=（ 1）（+ 1）= 2 1 =1,二所求二次方程是 x2 2 燈 x + 1=

15、0例 12、已知：如圖所示， ABC 中, / AC= 90, CDL AB 于 D, DEIAC 于 E。求分析：此題由結(jié)論中有三角函數(shù)，故想到應(yīng)將它們轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段之比，由于圖中有 許多三角形，/ A 分別在 Rt ADE Rt ADC Rt ACB 中,又易證/ 1 =Z2=ZA, 可見(jiàn)在圖中任何一個(gè)直角三角形中， 都可以將 sinA 和 cosA 轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段比，問(wèn)題 是選哪些才能證出本題結(jié)論，由于結(jié)論另一邊與 CE AB 有關(guān)，因此應(yīng)選能涉及竺空CE 與 AB 的直角三角形，從圖中看有 ACBP DCE 這樣有 sinA =廠(chǎng) ：,證: sin2A cosA=EEAB112 0證明一：I/ACB= 90,二/A+ZB= 90,vCDLAB,:丄2+ZB= 90 /A=Z2,同理Z1 =ZA=Z2BC_OS在 Rt ABC 中，si nA =裁 ，在 Rt DEC 中, sinZ1= :-,2222、. - .2分析二：由于 sin A+ cos A= 1,故 sin A= 1 cos A,故只需證 cosA - (1 cos A )CE=石，如證明一，我們選取與 AB E 有關(guān)的直角三角形，將 cosA 分別用邊比 表示出來(lái)