數(shù)學(xué)畢業(yè)論文_高等代數(shù)知識(shí)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、分類(lèi)號(hào) O13 論文編號(hào) 202140432021 本 科 生 畢 業(yè) 論 文 高等代數(shù)知識(shí)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用姓 名： 院 系： 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 年級(jí)專(zhuān)業(yè)： 指導(dǎo)教師： 2021年 5月誠(chéng)信承諾書(shū)本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的科研成果。對(duì)本文的研究做出重要奉獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識(shí)到本聲明的法律責(zé)任由本人承當(dāng)。作者簽名： 日 期： 關(guān)于學(xué)位論文使用授權(quán)的聲明本人完全了解興義民族師范學(xué)院有關(guān)保存、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)院保存或向國(guó)家有關(guān)部門(mén)

2、或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱；本人授權(quán)興義民族師范學(xué)院可以將本學(xué)位論文的全部或局部?jī)?nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或其它復(fù)制手段保存論文和匯編本學(xué)位論文。 (保密論文在解密后應(yīng)遵守此規(guī)定)作者簽名： 導(dǎo)師簽名： 日 期： 目 錄摘要IAbstractII第一章 緒論1第二章 高等代數(shù)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系2知識(shí)方面的區(qū)別與聯(lián)系2思想方法方面的區(qū)別與聯(lián)系2觀念方面的區(qū)別與聯(lián)系4第三章 多項(xiàng)式理論在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用5去重因式分解多項(xiàng)式53.2 利用因數(shù)定理分解多項(xiàng)式53.3利用對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式與輪換多項(xiàng)式的性質(zhì)分解多項(xiàng)式63.4多項(xiàng)式的一些應(yīng)用6第四章 行列式在初等數(shù)學(xué)中

3、的應(yīng)用8應(yīng)用行列式判定二元二次多項(xiàng)式的可分解性8應(yīng)用行列式分解因式9應(yīng)用行列式解決數(shù)列問(wèn)題9第五章 線(xiàn)性方程組在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用125.1 在平面解析幾何上的應(yīng)用12在空間解析幾何中的應(yīng)用13在求解二元方程組上的應(yīng)用14第六章 柯西不等式在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用15柯西不等式在解析幾何中的應(yīng)用15柯西不等式在解其它題方面的應(yīng)用15第七章 結(jié) 論18參考文獻(xiàn)19致謝20摘 要高等代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的分支，是在初等代數(shù)的根底上研究對(duì)象進(jìn)一步的擴(kuò)充高等代數(shù)是初等數(shù)學(xué)的進(jìn)化高等代數(shù)不僅是初等數(shù)學(xué)的延拓，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的根底，只有很好的掌握高等代數(shù)的根底知識(shí)才能適應(yīng)數(shù)學(xué)開(kāi)展和教材改革高等代數(shù)知識(shí)在開(kāi)闊視野

4、，指導(dǎo)中學(xué)解題等方面的作用尤為突出在許多問(wèn)題中，如果我們能用高等代數(shù)知識(shí)解決一些初等數(shù)學(xué)中的問(wèn)題，將命題轉(zhuǎn)化為一般性的問(wèn)題進(jìn)行解決，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新文章一方面介紹了高等代數(shù)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，從數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)觀念3個(gè)方面開(kāi)掘一下高等數(shù)學(xué)類(lèi)課程與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系另一方面介紹高等代數(shù)的一些知識(shí)在初等數(shù)學(xué)的應(yīng)用如多項(xiàng)式、行列式、線(xiàn)性方程組、柯西不等式在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，高等代數(shù)應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)并不是簡(jiǎn)單的一題多解,而是一種知識(shí)的融會(huì)貫穿和開(kāi)展學(xué)生的發(fā)散和聯(lián)想思維用高等代數(shù)的觀點(diǎn)去研究初等數(shù)學(xué)史新世紀(jì)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教師的高水平要求，教師是否具有較高的教學(xué)觀點(diǎn)，是衡量教師數(shù)學(xué)素

5、質(zhì)的重要標(biāo)準(zhǔn)教師具有高的觀點(diǎn)，就能從高處看清中學(xué)教材的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和本質(zhì)聯(lián)系，把握教材的重、難點(diǎn)；教師具有高觀點(diǎn)，就能從認(rèn)知的角度，在知識(shí)的各局部參透高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性、判斷性思維關(guān)鍵詞： 高等代數(shù) 多項(xiàng)式 行列式 柯西不等式 初等代數(shù) 應(yīng)用AbstractHigher algebra is an important branch of modern mathematics, which is on the basis of the elementary algebra research object for further expansion. Advanced algebra i

6、s the evolution of elementary mathematics. Advanced algebra is not only the continuation of elementary mathematics, also is the foundation of modern mathematics, only good to master the basic knowledge of advanced algebra can adapt the mathematical development and teaching materials reform. Advanced

7、 algebra in the open field of vision of knowledge, especially the role of guiding middle school problem solving, etc. In many problems, if we can use the advanced algebra knowledge to solve some problems in the elementary mathematics, converting the proposition to general problems are solved, can of

8、ten get twice the result with half the effort, make the person find everything new and fresh.Higher algebra and elementary mathematics were introduced on the one hand, from the concept of mathematics knowledge, mathematics thought method, mathematics three aspects of excavating the higher mathematic

9、s curriculum links with the middle school mathematics. On the other hand, introduces some knowledge of advanced algebra in the application of elementary mathematics. Such as polynomial, determinant, system of linear equations, cauchy inequality in elementary mathematics, the application of advanced

10、algebra to establish mathematics is not a simple problem solution, but a mastery of knowledge and the development of students divergent and associative thinking. In view of higher algebra to study the history of elementary mathematics for middle school mathematics teachers in the new century of high

11、 level requirements, whether teachers with high teaching point of view, is the important measure of teachers mathematics quality. Teachers have a high point of view, and can see the inner structure and the essence of the middle school teaching material from a height, grasp the heavy and difficulties

12、 of teaching materials; Teachers have a high point of view, can from the perspective of cognition, in the knowledge of each part searches view of higher mathematics, develop the students creativity, critical thinking.Keywords: Advanced Algebra Polynomial determinant Cauchy inequality Elementary Alge

13、bra Application 第一章 緒論人類(lèi)的文明進(jìn)步和社會(huì)開(kāi)展，無(wú)時(shí)無(wú)刻不受到數(shù)學(xué)的恩惠和影響，數(shù)學(xué)科學(xué)的應(yīng)用和開(kāi)展牢固地奠定了它作為整個(gè)科學(xué)技術(shù)乃至許多人文科學(xué)的根底的地位，當(dāng)今時(shí)代，數(shù)學(xué)正突破傳統(tǒng)的應(yīng)用范圍向幾乎所有的人類(lèi)知識(shí)領(lǐng)域滲透，它和其他學(xué)科的交互作用空前活潑，越來(lái)越直接地為人類(lèi)物質(zhì)生產(chǎn)與日常生活作出奉獻(xiàn)，也成為其掌握者翻開(kāi)眾多時(shí)機(jī)大門(mén)的鑰匙在長(zhǎng)期開(kāi)設(shè)高等代數(shù)等數(shù)學(xué)類(lèi)課程的實(shí)踐中一直存在兩方面的問(wèn)題，一方面由于中學(xué)知識(shí)難以與高等代數(shù)直接銜接，使不少大學(xué)生一接觸到“數(shù)學(xué)分析、“高等代數(shù)等課程，就對(duì)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)課程產(chǎn)生了畏懼情緒：另一方面，由于高等代數(shù)理論與中學(xué)教學(xué)需要嚴(yán)重脫節(jié)，許多高

14、師畢業(yè)生對(duì)如何用高等代數(shù)知識(shí)指導(dǎo)初等代數(shù)教學(xué)感到茫然通過(guò)本文的介紹，使讀者都能清楚地看到：高等代數(shù)知識(shí)在初等數(shù)學(xué)的繼續(xù)喝提高，在思想方法上是初等數(shù)學(xué)的延續(xù)和擴(kuò)張，在觀念上是初等數(shù)學(xué)的深化和開(kāi)展這樣學(xué)生學(xué)習(xí)高等代數(shù)的難度就會(huì)大大降低高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)在思想方法方面的聯(lián)系主要表達(dá)在抽象化思想、分類(lèi)思想、結(jié)構(gòu)思想、類(lèi)比推理思想、公理化方法等方面高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系比照不但可以降低高等代數(shù)課的學(xué)習(xí)難度，而且增強(qiáng)了高等代數(shù)課對(duì)培養(yǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)教師的指導(dǎo)作用馬克思曾說(shuō)過(guò)：“一門(mén)學(xué)科只有成功地應(yīng)用了數(shù)學(xué)時(shí)，才真正到達(dá)了完善的地步高等代數(shù)作為一門(mén)抽象的大學(xué)學(xué)科，雖然外表上是獨(dú)立的知識(shí)體系，但并沒(méi)有與初等代數(shù)內(nèi)

15、容嚴(yán)重脫節(jié)，而是相互參透，彼此相通。因此在數(shù)與教的過(guò)程中，要學(xué)會(huì)融會(huì)貫穿，靈活運(yùn)用應(yīng)用于初等代數(shù)是有意義的，它使高等代數(shù)知識(shí)和方法得到一定的應(yīng)用它將使學(xué)生從中學(xué)的解題思維定勢(shì)中走出來(lái)，用一種更廣闊的眼光看初等數(shù)學(xué)問(wèn)題，這才是教與學(xué)的真正目的，這對(duì)逐步把學(xué)生培養(yǎng)成一名合格的數(shù)學(xué)教師是重要的第二章 高等代數(shù)知識(shí)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系高等數(shù)學(xué)類(lèi)課程在知識(shí)上是中學(xué)數(shù)學(xué)的繼續(xù)和提高，在思想方法上是中學(xué)數(shù)學(xué)的沿用和擴(kuò)張，在觀念上是中學(xué)數(shù)學(xué)的深化和開(kāi)展高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)在思想方法方面的聯(lián)系主要表達(dá)在抽象化思想、分類(lèi)思想、結(jié)構(gòu)思想、類(lèi)比推理思想、公理化方法等方面注意與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系比照不但可以降低高等代數(shù)課的學(xué)習(xí)難

16、度，而且增強(qiáng)了高等代數(shù)課對(duì)培養(yǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)教師的指導(dǎo)作用高等代數(shù)作為數(shù)學(xué)的根底學(xué)科，與初等數(shù)學(xué)有很多聯(lián)系，參考文獻(xiàn)【1】從數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)觀念三個(gè)方面討論高等代數(shù)與初等數(shù)學(xué)的區(qū)別與聯(lián)系2.1知識(shí)方面的區(qū)別與聯(lián)系初等數(shù)學(xué)講多項(xiàng)式的運(yùn)算法那么而高等代數(shù)在拓寬多項(xiàng)式的含義，嚴(yán)格定義多項(xiàng)式的次數(shù)及加法、乘法運(yùn)算的根底上，接著講多項(xiàng)式的整除理論及最大公因式理論初等數(shù)學(xué)講一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系高等代數(shù)接著講一元次方程根的定義，復(fù)數(shù)域上一元次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的個(gè)數(shù)，實(shí)系數(shù)一次方程根的特點(diǎn)，有理系數(shù)一元次方程有理根的性質(zhì)及求法，一元次方程根的近似解法及公式解

17、簡(jiǎn)介初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)為高等代數(shù)的數(shù)環(huán)、數(shù)域提供例子初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、平面向量為高等代數(shù)的向量空間提供例子初等數(shù)學(xué)中的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式成為高等代數(shù)中坐標(biāo)變換公式的例子初等幾何學(xué)習(xí)的向量的長(zhǎng)度和夾角為歐氏空間向量的長(zhǎng)度和夾角提供模型，三角形不等式為歐氏空間中2點(diǎn)間距離的性質(zhì)提供模型，線(xiàn)段在平面上的投影為歐氏空間中向量在子空間的投影提供模型綜上所述可知，高等代數(shù)在知識(shí)上確實(shí)是中學(xué)數(shù)學(xué)的繼續(xù)和提高它不但解釋了許多中學(xué)數(shù)學(xué)未能說(shuō)清楚的問(wèn)題，如多項(xiàng)式的根及因式分解理論、線(xiàn)性方程組理論等，而且以整數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、平面向量為實(shí)例，引入了數(shù)環(huán)、數(shù)域、向量空間、歐氏空間等代數(shù)系統(tǒng)

18、這對(duì)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、原理和方法指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)教學(xué)是十分有用的2.2思想方法方面的區(qū)別與聯(lián)系內(nèi)容初等數(shù)學(xué)高等代數(shù)抽象化思想小學(xué)從具體事物的數(shù)量中抽象出數(shù)字，開(kāi)創(chuàng)了算術(shù)運(yùn)算的時(shí)期中學(xué)用字母表示數(shù)，開(kāi)創(chuàng)了在一般形式下研究數(shù)、式、方程的時(shí)期用字母表示多項(xiàng)式、矩陣，開(kāi)始研究具體的代數(shù)系統(tǒng)，進(jìn)而又用字母表示滿(mǎn)足一定公理體系的抽象元素，開(kāi)始研究抽象的代數(shù)系統(tǒng)向量空間、歐氏空間化歸思想化無(wú)理方程為有理方程，化分式方程為整式方程，化三元一次方程組為二元一次方程組直至一元一次方程，通過(guò)化歸矩形推導(dǎo)平行四邊形面積公式，這些都用到化歸思想在通過(guò)按行按列展開(kāi)，將階數(shù)較高的行列式化為階數(shù)較低的行列式；通過(guò)選定基，將向量之

19、間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)之間的關(guān)系，將線(xiàn)性變換的研究轉(zhuǎn)化為矩陣的研究分類(lèi)思想中學(xué)按概念對(duì)研究的對(duì)象分類(lèi)高等代數(shù)除按概念分類(lèi)，按元素間的等價(jià)關(guān)系分類(lèi)，利用向量空間的同構(gòu)關(guān)系對(duì)向量空間、歐氏空間按維數(shù)分類(lèi)，等等結(jié)構(gòu)思想現(xiàn)代數(shù)學(xué)通過(guò)3種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)將數(shù)學(xué)各分支聯(lián)系成一個(gè)整體中學(xué)數(shù)學(xué)與高等代數(shù)都用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和語(yǔ)言組織教材從負(fù)數(shù)到負(fù)多項(xiàng)式、負(fù)矩陣再到負(fù)元素，從數(shù)的運(yùn)算律到集合、多項(xiàng)式、矩陣的運(yùn)算律再到代數(shù)系統(tǒng)的運(yùn)算律類(lèi)比推理思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中，由分?jǐn)?shù)的性質(zhì)類(lèi)比推理分式的性質(zhì)；由2直線(xiàn)的位置關(guān)系類(lèi)比推理2平面的位置關(guān)系；由直角三角形的勾股定理類(lèi)比推理具有3直角頂點(diǎn)四面體的勾股定理由整數(shù)整除理論類(lèi)比推理數(shù)域F上

20、的多項(xiàng)式的整除理論；由直角坐標(biāo)系下，幾何向量的長(zhǎng)度、夾角、內(nèi)積、距離公式類(lèi)比推理標(biāo)準(zhǔn)正交基下，n維歐氏空間中向量的長(zhǎng)度、夾角、內(nèi)積、距離公式嚴(yán)格的邏輯推理方法中學(xué)數(shù)學(xué)中嚴(yán)格的定義較少，定理和習(xí)題的推理過(guò)程較短，幾何問(wèn)題的推導(dǎo)還常常借助直觀圖形首先給出嚴(yán)格的定義，然后從定義出發(fā)，通過(guò)嚴(yán)密的邏輯推理，得出性質(zhì)、定理、推論，直至建立完整的理論體系公理化方法中學(xué)平面幾何將利用直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)不證自明的少數(shù)命題和推導(dǎo)原那么作為公理，由此出發(fā)推證出大量新的命題，這已用到實(shí)質(zhì)公理化方法由實(shí)質(zhì)公理化方法到形式公理化方法表達(dá)了公理化方法的開(kāi)展坐標(biāo)方法中學(xué)數(shù)學(xué)通過(guò)數(shù)軸建立了直線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)平面坐標(biāo)系建立了平面上點(diǎn)的坐

21、標(biāo)通過(guò)向量空間的基建立了向量空間中各種向量的坐標(biāo)，推導(dǎo)出了向量和及向量數(shù)乘的坐標(biāo)計(jì)算公式，證明了坐標(biāo)變換公式變換方法中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)過(guò)線(xiàn)性方程組的同解變換將這些同解變換轉(zhuǎn)換成矩陣的初等變換，由此得到一種用途廣泛的解題方法矩陣的初等變換法構(gòu)造性方法高等代數(shù)與中學(xué)代數(shù)雖然在知識(shí)深度上有較大差異，但產(chǎn)生知識(shí)的思想方法卻是一脈相承的只是由于中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)較淺，內(nèi)容較窄，對(duì)思想方法的巨大作用表達(dá)不深而已通過(guò)學(xué)習(xí)高等代數(shù)等近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程，從而深刻地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法在揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的自覺(jué)性大大增強(qiáng)而這種自覺(jué)性對(duì)于當(dāng)前提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量恰恰是最為重要的2.3觀念方面的區(qū)別與聯(lián)系

22、在初等數(shù)學(xué)中初步萌生的假設(shè)干數(shù)學(xué)觀念，包括數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，數(shù)學(xué)研究的特點(diǎn)等，在高等代數(shù)中將得到深化和開(kāi)展關(guān)于數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，由初等數(shù)學(xué)研究的數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)等內(nèi)容，初等幾何研究的點(diǎn)、線(xiàn)、面、常見(jiàn)圖形等內(nèi)容，不難看出：數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式然而這個(gè)觀念在高等代數(shù)等后繼課程中卻不斷受到?jīng)_擊首先，集合的包含關(guān)系，多項(xiàng)式的整除關(guān)系，向量的線(xiàn)性關(guān)系，矩陣的等價(jià)、相似、合同關(guān)系已不再是傳統(tǒng)意義下的數(shù)量關(guān)系其次，向量空間、歐氏空間也不再局限于有直觀意義的空間形式高等代數(shù)等近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程都說(shuō)明：數(shù)學(xué)是一門(mén)應(yīng)用抽象量化方法研究關(guān)系、結(jié)構(gòu)、模式的科學(xué)這一新的觀念對(duì)于指導(dǎo)中學(xué)教改是至關(guān)

23、重要的關(guān)于數(shù)學(xué)研究的特點(diǎn)，人們普遍認(rèn)為是抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的廣泛性，然而僅從中學(xué)數(shù)學(xué)是很難深刻體會(huì)到這些特點(diǎn)的首先看抽象性中學(xué)數(shù)學(xué)中，從用字母表示數(shù)，諸多數(shù)學(xué)概念的形成已使學(xué)生初步體會(huì)到抽象的含義和作用但是對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)如何借助于抽象而不斷開(kāi)展卻知之甚微，通過(guò)高等代數(shù)等后繼課程的學(xué)習(xí)，這樣的例子就漸漸多了起來(lái) 第三章 多項(xiàng)式理論在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用3.1去重因式分解多項(xiàng)式引理3.1【2】 假設(shè)一個(gè)多項(xiàng)式有重因式，比方那么可求與的最大公因式分析：我們利用以上的引理，令，其中是最大公因式，那么分解可轉(zhuǎn)化為分解,一方面與有相同的不可約因式，另一方面一般情況下次數(shù)低于的次數(shù)。當(dāng)然就降低了分解的難度例3 求

24、多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式解：()得 所以的不可約因式為但是由重因式定理，是的4重因式，所以3.2 利用因數(shù)定理分解多項(xiàng)式引理3.2【3】 是的因式的充分必要條件是=0亦即是的因式，c 是的根，并且 c 是的幾重根，就是的幾重因式這樣只要求出的假設(shè)干個(gè)根，就可得到的假設(shè)干個(gè)因式，用除以這假設(shè)干個(gè)因式的積，得到商式，分解就轉(zhuǎn)化為分解商式，到達(dá)“降次分解的目的 分析：引入新變量代替多項(xiàng)式中某些變量，使原多項(xiàng)式變?yōu)樾伦兞康亩囗?xiàng)式，這種方法叫做換元法通過(guò)換元，使關(guān)于新變量的多項(xiàng)式次數(shù)較原多項(xiàng)式次數(shù)小，到達(dá)降次分解的目的例3 求在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式解(的首項(xiàng)系數(shù)1的因子有，常數(shù)項(xiàng)的因子有故的根有

25、可能是將其代入逐一檢驗(yàn)，得出和是(的有理根不妨設(shè)，利用多項(xiàng)式乘法法那么將右邊展開(kāi)且合并同類(lèi)項(xiàng)，得與進(jìn)行逐項(xiàng)比擬，得所以，換元法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)換元可以使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化，從而到達(dá)化難為易、化繁為簡(jiǎn)在因式分解中，尤其對(duì)倒數(shù)多項(xiàng)式更為有效3.3利用對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式與輪換多項(xiàng)式的性質(zhì)分解多項(xiàng)式對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式都是輪換多項(xiàng)式，所以只討論輪換多項(xiàng)式的分解即可分解輪換多項(xiàng)式就是選定一個(gè)元為主元，將其它元看成常數(shù)，原多項(xiàng)式就被看成是關(guān)于主元的多項(xiàng)式利用因式定理知，求出一個(gè)根即可得到一個(gè)因式，利用輪換多項(xiàng)式的性質(zhì)，求出一個(gè)元為文字的多項(xiàng)式的根，即可得關(guān)于其它元作為主元的根，從而得到幾個(gè)相應(yīng)的因式，到達(dá)降

26、次分解的目的3.4多項(xiàng)式的一些應(yīng)用多項(xiàng)式理論是高等代數(shù)的主要內(nèi)容之一,它與中學(xué)數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系.它解決了初等數(shù)學(xué)中關(guān)于多項(xiàng)式的很多遺留問(wèn)題,如多項(xiàng)式的根及因式分解理論,對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)解題有居高臨下的作用.例 多項(xiàng)式當(dāng)時(shí),求此多項(xiàng)式的值.解 將條件等式變形為,由1|f(x),所以|.由多項(xiàng)式的除法,得,在將代入上式,可得.例 為整數(shù),且滿(mǎn)足與均為整數(shù),求證.證明： 設(shè) .于是 由條件知是首項(xiàng)系數(shù)為1的整系數(shù)多項(xiàng)式, 是它的三個(gè)有理根,于是均為整數(shù),又因?yàn)樗鼈兊某朔e為1,所以,故.第四章 行列式在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用4.1應(yīng)用行列式判定二元二次多項(xiàng)式的可分解性實(shí)系數(shù)二元二次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域內(nèi)是否可以分解因

27、式,是初等代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要問(wèn)題它不僅關(guān)系到因式分解,而且關(guān)系到:方程表示曲線(xiàn)的類(lèi)型及解二元二次方程;能簡(jiǎn)單明了地判定二元二次多項(xiàng)式的可分解性;定理【4】:對(duì)于實(shí)系數(shù)二元二次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)可分解的充要條件是: 證明: 可以分解成兩個(gè)一次因式的充要條件是二的二次三項(xiàng)式的判別式是一個(gè)完全平方式,即是完全平方式而= =上式是完全平方式的充要條件是它的判別等于O,即展開(kāi)整理,即:即 證畢例4 n為何值時(shí),方程表示兩條直線(xiàn)解:要使方程表示兩條直線(xiàn),只須使多項(xiàng)式可分解為兩個(gè)二元一次因式之積,故只須使; 即 或4.2應(yīng)用行列式分解因式例4分解因式:解 ： 分析：通過(guò)以上例子應(yīng)用行列式分解因式,可先作出一個(gè)

28、行列式使其值等于所給多項(xiàng)式,然后對(duì)行列式進(jìn)行行變換或列變換,使之某一行或某一列元素完全相同,然后降階展開(kāi)從而到達(dá)因式分解之目的4.3應(yīng)用行列式解決數(shù)列問(wèn)題行列式在數(shù)學(xué)各分支中有廣泛應(yīng)用，但在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中引入較晚，因此其作用顯得不甚突出，其實(shí)它在許多方面是有用的工具定理【4】 設(shè)是等差數(shù)列中的任意三項(xiàng)，那么 1證 設(shè)的公差為，那么由等差數(shù)列通項(xiàng)公式知是直線(xiàn)上的點(diǎn)，從而由三點(diǎn)共線(xiàn)知1成立定理【4】 假設(shè)為等差數(shù)列的第項(xiàng)，那么也是一個(gè)等差數(shù)列的第項(xiàng)的從要條件是 2證 設(shè)、的公差分別為，且及均為第項(xiàng)，那么反過(guò)來(lái)，如果是等差數(shù)列的第項(xiàng)，且即 故 因由定理1知是一個(gè)等差數(shù)列的第項(xiàng)例4 在等差數(shù)列中，分別

29、為，求證：證 由定理1有 展開(kāi)得整理及得例4 在等差數(shù)列中，1求；2第幾項(xiàng)是62？ 解 1由 解得 2由 解得，即26項(xiàng)為64例4 依次組成等差數(shù)列，求證也依次組成等差數(shù)列 解 設(shè)的公差為，那么由定理3知，也成等差數(shù)列從上述幾個(gè)例子看出，直接用行列式解數(shù)列問(wèn)題不但解法簡(jiǎn)捷、而且思路清晰、規(guī)律性強(qiáng)、易掌握，向?qū)W生介紹這種方法，即有助于他們解題能力的提高、又有助于數(shù)學(xué)知識(shí)綜合運(yùn)用第五章 線(xiàn)性方程組在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用5.1 在平面解析幾何上的應(yīng)用定理5.1【5】 設(shè)平面上有兩條直線(xiàn)與，那么：（1） 相交：即兩條直線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn)，線(xiàn)性方程組有唯一解，從而其系數(shù)行列式（2） 平行:即兩條直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn),上

30、式無(wú)解,從而有而 至少有一個(gè)不為0（3） 重合:即兩條直線(xiàn)有無(wú)數(shù)公共點(diǎn),上式有無(wú)窮多個(gè)解,從而利用線(xiàn)性方程組理論判斷平面上兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系:相交、平行、重合例5 求過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程解:方法一:由公式求解由兩點(diǎn)式方程可知直線(xiàn)的方程為: 方法二:由線(xiàn)性方程組理論求解設(shè)直線(xiàn)方程為，那么方程組有非零解,即其系數(shù)行列式化簡(jiǎn)求解即有5.2在空間解析幾何中的應(yīng)用定理5.2【5】 設(shè)空間中有兩條直線(xiàn)其中，分別是上的點(diǎn),分別是的方向向量(1) 異面:即向量,(2) 相交:即方向向量與不共線(xiàn),且向量 (3) 平行:即向量與共線(xiàn),且向量與,都不共線(xiàn),(4) 重合:即向量,都共線(xiàn), 同樣,利用線(xiàn)性方程組理論也可以判

31、斷空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系:異面、相交、平行、重合例5:求過(guò)點(diǎn)與平面：平行且與直線(xiàn)相交的直線(xiàn)的方程解:設(shè)直線(xiàn)的方向向量為,由直線(xiàn)的方程知的方向向,且過(guò)點(diǎn)由與相交,因此,即展開(kāi)得又與平行,所以: ,聯(lián)立得方程組:求解,令Z為自由未知量,取Z =1,求得X=0,Y =0,故所求直線(xiàn)的方程為: 5.3在求解二元方程組上的應(yīng)用齊次線(xiàn)性方程組理論的一個(gè)重要結(jié)論是：齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式等于零利用這一結(jié)論也可以求解二元方程組,求解時(shí)只需將其中一個(gè)變量作為常數(shù)即可例5:求方程組 的全部解解:將看成是常數(shù),那么方程組可改寫(xiě)為：那么有求解得代入方程組求解,得到故原方程組的全部解為：第六章

32、柯西不等式在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用6.1柯西不等式在解析幾何中的應(yīng)用定理6.1【6】 設(shè)i=1,2n，那么 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式等號(hào)成立例6.1.1 設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，且軸。證明直線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)分析： 圖如下圖，欲證直線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，只須證三點(diǎn)共線(xiàn)即可。因?yàn)槭菕佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)弦，可知兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為，故可設(shè)，據(jù)題意不難得出，從而，因此三點(diǎn)共線(xiàn)6.2柯西不等式在解其它題方面的應(yīng)用柯西不等式在整個(gè)不等式證明求解當(dāng)中都起了很大的作用，它與我們的其它知識(shí)相結(jié)之后，就變得更加靈活，使解題增加了難度例6.2.1 設(shè)是正實(shí)數(shù)數(shù)列，對(duì)所有的滿(mǎn)足條件，證明對(duì)所有，有證明：先證一個(gè)更一

33、般的命題：設(shè)和都是正數(shù)，且 2.1假設(shè)對(duì)所有， 2.2那么有 2.3事實(shí)上，設(shè)，由2.1和2.2可得改變求和次序得 由此可得 由柯西不等式，有 所以 即令 那么 例6.2.2 試問(wèn)：當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得成立，其中，為虛數(shù)單位，.證明你的結(jié)論 分析：將成立轉(zhuǎn)換到實(shí)數(shù)范圍內(nèi)求解。根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)，結(jié)合柯西不等式尋找的范圍解：將轉(zhuǎn)化到實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，即 2.4假設(shè)存在實(shí)數(shù)使2-4成立，那么由柯西不等式可得 2.5如果，由2.4可得，從而與2.5矛盾，于是得 2.6反之，假設(shè)2.6成立，有兩種情況，那么取，顯然2.4成立，那么，那么不全為0不妨設(shè)，取，有.易知2.4成立.綜上，所求的

34、條件為 第七章 結(jié) 論高等代數(shù)許多內(nèi)容的知識(shí)背景源于中學(xué)，在課程教學(xué)改革實(shí)踐中，不僅要挖掘知識(shí)體系方面的聯(lián)系，更要挖掘數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)觀念方面的聯(lián)系從數(shù)學(xué)方法論的角度看，高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)在思想方法方面的聯(lián)系主要表達(dá)在抽象化思想、分類(lèi)思想、結(jié)構(gòu)思想、類(lèi)比推理思想、公理化方法等方面注意與中學(xué)數(shù)學(xué)的區(qū)別與聯(lián)系比照不但可以降低高等代數(shù)課程的學(xué)習(xí)難度，而且也可增強(qiáng)本課程對(duì)培養(yǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)教師的指導(dǎo)作用從根本概念、定理以及知識(shí)背景等方面闡述高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)的區(qū)別與聯(lián)系，把中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)恰當(dāng)?shù)厝谌氲礁叩却鷶?shù)的教學(xué)中來(lái)，將受到更好的效果另外，用高等代數(shù)的觀點(diǎn)去研究初等數(shù)學(xué)史新世紀(jì)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教師的高水平要求，教師是否具有較高的教學(xué)觀點(diǎn)，是衡量教師數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要標(biāo)準(zhǔn)教師具有高的觀點(diǎn)，就能從高處看清中學(xué)教材的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和本質(zhì)聯(lián)系，把握教材的重、難點(diǎn)；教師具有高觀點(diǎn)，就能從認(rèn)知的角度，在知識(shí)的各局部參透高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性、判斷性思維高等代數(shù)應(yīng)用于中