2412_垂直于弦的直徑(1)(人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上)

1、人教版九年級(jí)上冊人教版九年級(jí)上冊赤東中學(xué) 朱保全 問題問題: :你知道趙州橋嗎你知道趙州橋嗎? ? 它的主橋是圓弧形它的主橋是圓弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對的弦的長弧所對的弦的長) )為為37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧弧的中點(diǎn)到弦的距離的中點(diǎn)到弦的距離) )為為7.27.2m m，你能求出趙州橋主你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑是多少？趙州橋主橋拱的半徑是多少？ 探究探究1 1 用紙剪一個(gè)圓，沿著圓的任意一條直用紙剪一個(gè)圓，沿著圓的任意一條直徑對折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此徑對折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？你

2、能得到什么結(jié)論？O 圓是軸對稱圖形圓是軸對稱圖形它的對稱軸是什么它的對稱軸是什么? ?你能找到多少條對稱軸？你能找到多少條對稱軸？n圓的對稱軸是任意一條圓的對稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線經(jīng)過圓心的直線, ,它有無它有無數(shù)條對稱軸數(shù)條對稱軸. .O O 如圖如圖,AB,AB是是OO的一條弦的一條弦, , 直徑直徑CDAB, CDAB, 垂足為垂足為E.E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和弧和弧? ? 為什么為什么? ?OABCDE線段線段: AE=BE: AE=BE弧弧: AC=BC, AD=BD: AC=BC, AD=BD探究探究2 2垂直于垂直于弦的弦的直徑直徑平分

3、這條弦，并平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。且平分弦所對的兩條弧。題設(shè)題設(shè)結(jié)論結(jié)論（1）過圓心）過圓心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所對的優(yōu)?。┢椒窒宜鶎Φ膬?yōu)?。?）平分弦所對的劣?。┢椒窒宜鶎Φ牧踊〈箯蕉ɡ泶箯蕉ɡ泶箯蕉ɡ泶箯蕉ɡ泶怪庇谙掖怪庇谙业牡闹睆街睆狡椒窒移椒窒? ,并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧CDABCDAB CD CD是直徑，是直徑， AE=BE, AE=BE, AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDE 溫馨提示溫馨提示: : 垂徑定理是圓中一個(gè)重要的定理垂徑定理是圓中一個(gè)重要的定理, ,三種語言要相互轉(zhuǎn)化

4、三種語言要相互轉(zhuǎn)化, ,形成整體形成整體, ,才能運(yùn)用自如才能運(yùn)用自如. .EDCOAB下列圖形是否具備垂徑定理的條件？下列圖形是否具備垂徑定理的條件？ECOABDOABc是是不是不是是是不是不是OEDCABEDCOABOBCADDOBCAOBAC垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：CDCD過圓心過圓心CDABCDAB于于E EAE=BEAC=BCAD=BD1 1、如圖，、如圖，ABAB是是OO的直徑，的直徑，CDCD為弦，為弦，CDCDABAB于于E E，則下列結(jié)論中則下列結(jié)論中不成立不成立的是（的是（ ）A、COE=DOEOE=DOEB、CE=DECE=DEC、OE=AEOE=

5、AED、BD=BCBD=BC OABECDc2 2、如圖，、如圖，OEOEABAB于于E E，若若OO的半徑為的半徑為10cm,OE=6cm,10cm,OE=6cm,則則AB=AB= cmcm。OABE解：解：連接連接OAOA， OE OEABABcmOEOAAE86102222 AB=2AE=16cm AB=2AE=16cm3 3、如圖，在、如圖，在O中，弦中，弦ABAB的長為的長為8 8cmcm，圓，圓心心O到到AB的距離為的距離為3 3cmcm，求，求O的半徑。的半徑。OABE解：解：過點(diǎn)過點(diǎn)O O作作OEOEABAB于于E E，連接連接OAOAcmOEcmABAE3421cmOEAEA

6、o5342222即即O的半徑為的半徑為5 5cm.cm.4 4、如圖，、如圖，CDCD是是O的直徑，弦的直徑，弦ABCDABCD于于E E，CE=1CE=1，AB=10AB=10，求直徑，求直徑CDCD的長。的長。OABECD解：解：連接連接OAOA， CD CD是直徑，是直徑，OEOEABAB AE=1/2 AB=5 AE=1/2 AB=5設(shè)設(shè)OA=xOA=x，則，則OE=x-1OE=x-1，由勾股定理得，由勾股定理得x x2 2=5=52 2+(x-1)+(x-1)2 2解得：解得：x=13x=13 OA=13 OA=13 CD=2OA=26 CD=2OA=26即直徑即直徑CDCD的長為的

7、長為26.26.例例1： 已知：如圖，在已知：如圖，在以以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦中，大圓的弦AB交小圓交小圓于于C，D兩點(diǎn)。兩點(diǎn)。求證：求證：ACBD。證明：過證明：過O作作OEAB，垂足為，垂足為E，則則AEBE，CEDE。AECEBEDE。所以，所以，ACBDE.ACDBO例例2： 已知：已知： O中中弦弦ABCD。求證：求證：ACBD證明：作直徑證明：作直徑MNAB。ABCD，MNCD。則。則AMBM，CMDMAMCMBMDMACBD .MCDABON 你能利用垂徑定理解決求你能利用垂徑定理解決求趙州橋拱半徑的問題嗎趙州橋拱半徑的問題嗎? ?37.4m7.2m

8、ABOCD關(guān)于弦的問題，常關(guān)于弦的問題，常常需要常需要過圓心作弦過圓心作弦的垂線段的垂線段，這是一，這是一條非常重要的條非常重要的輔助輔助線線。圓心到弦的距離、圓心到弦的距離、半徑、弦半徑、弦構(gòu)成構(gòu)成直角直角三角形三角形，便將問題，便將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。的問題。ABOCD解：解：如圖，用如圖，用ABAB表示主橋拱，設(shè)表示主橋拱，設(shè)ABAB所在的圓的圓心為所在的圓的圓心為O O，半徑為，半徑為r.r.經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O O作弦作弦ABAB的垂線的垂線OCOC垂足為垂足為D D，與，與ABAB交于點(diǎn)交于點(diǎn)C C，則，則D D是是ABAB的中的中點(diǎn)，點(diǎn)，C C是是ABAB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，CDCD就是拱高就是拱高. . AB=37.4m AB=37.4m，CD=7.2mCD=7.2m AD=1/2 AB=18.7m AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2OD=OC-CD=r-7.2 222ADODOA2222 . 77 .18rr解得解得r=27.9r=27.9（m m）即即主橋拱半徑約為主橋拱半徑約為27.9m.27.9m.1.本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了圓的軸對稱性圓的軸對稱性 和和垂徑定理垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦， 并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧 2