高中數(shù)學學業(yè)水平考試知識點大全(必修1-5)

1、2015年高中數(shù)學學業(yè)水平考試知識點大全(必修1-5)高中數(shù)學必修1-5知識點必修一一、集合與函數(shù)概念并集：由集合A和集合B的元素合并在一起組成的集合，如果遇到重復的只取一次。記作：AU B交集：由集合A和集合B的公共元素所組成的集合，如果遇到重復的只取一次記作：AAB補集：就是作差。1、集合ai,a2,an的子集個數(shù)共有2n個；真子集有2n - 1個；非空子集有2n - 1個；非空的真子有2n -2個.2、求y f(x)的反函數(shù)：解出x f 1(y), x, y互換，寫出y f 1(x)的定義域；函數(shù)圖象關(guān)于y=x 對稱。3、(1)函數(shù)定義域：分母不為0;開偶次方被開方數(shù) 0;指數(shù)的真數(shù)屬于

2、 R對數(shù) 的真數(shù) 0.4、函數(shù)的單調(diào)性：如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間 D內(nèi)的任意兩個自變量 x1,x2,當x1<x2時，都有f(x 1)< ()f(x 2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)。5、奇函數(shù)：是f (- x)= - f(x),函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱(若 x 0在其定義域內(nèi)，則 f(0) 0);偶函數(shù)：是f (- x) = f (x),函數(shù)圖象關(guān)于 y軸對稱。6、指數(shù)哥的含義及其運算性質(zhì)：(1)函數(shù)y ax(a 0且a 1)叫做指數(shù)函數(shù)。a 1為增函數(shù);r s r sr sa a a ；(a )(2)指數(shù)

3、函數(shù)y ax(a 0,a 1)當0 a 1為減函數(shù)，當ars ；(ab)r arbr(a 0,b 0,r,s Q)。(3)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)xy a0 < a < 1a > 1圖 象J VQ-1KI V J, I性 質(zhì)定義域R值域(0 , +°°)定點過定點(0, 1),即x = 0時，y = 1(1) a > 1 ,當 x > 0 時，y > 1;當 x < 0 時，0 < y < 1。(2) 0 < a < 1,當 x > 0 時，0 < y < 1：當 x < 0 時，y &g

4、t; 1。單調(diào)性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)對稱性x .x. .y a和y a關(guān)于y軸對稱奇偶性非奇非偶函數(shù)7、對數(shù)函數(shù)的含義及其運算性質(zhì)：(1)函數(shù)y log a x(a 0,a 1)叫對數(shù)函數(shù)。(2)對數(shù)函數(shù)y logaX(a 0,a 1)當0 a 1為減函數(shù)，當 a 1為增函數(shù)；負數(shù)和零沒有對數(shù)；1的對數(shù)等于0 ： loga1 0;底真相同的對數(shù)等于1： log a a 1,(3)對數(shù)的運算性質(zhì)：如果a > 0 ,aw 1 , M> 0 , N > 0 ,那么： lOgaMN 10g a M 10g a N ； loga M log a M log a N ；N log

5、 a M n nlog a M (n R) o(4)換底公式：log a b °g c 0 (a 0且a1, c 0且c 1, b 0)log ca對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì):y loga X5 / 25(0 , +°°)定義域值域(1)過定點(1 , 0),即 x = 1 時，y = 0(2)在 R上是減函數(shù)(2)在 R上是增函數(shù)(3)同正異負，即 0 < a < 1 , 0 < x < 1 或 a > 1 , x > 1 時，log a x > 0； 0 < a < 1 , x > 1 或 a > 1

6、 , 0 < x < 1 時，log a x < 0。(4)非寄非偶函數(shù)。8、哥函數(shù)：函數(shù)y x叫做哥函數(shù)(只考慮 11,2,3, 1-的圖象)。29、方程的根與函數(shù)的零點：如果函數(shù)y f(x)在區(qū)間a , b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f (a) f (b) 0,那么，函數(shù) y f (x)在區(qū)間(a , b)內(nèi)有零點，即存在 c (a,b),使得f(c) 0,這個c也就是方程f(x) 0的根。必修二一、直線平面簡單的幾何體1、長方體的對角線長l2 a2 b2 c2；正方體的對角線長l <3a2、球的體積公式：v 3 R3；球的表面積公式：S 4 R233、柱體

7、、錐體、臺體的體積公式：1-一一 V柱體=Sh (S為底面積，h為枉體局)；V錐體=一Sh (S為底面積，h為枉體局)31V臺體=(S'+,S'S+S)h (S', S分別為上、下底面積，h為臺體高) 34、點、線、面的位置關(guān)系及相關(guān)公理及定理：(1)四公理三推論：公理1：若一條直線上有兩個點在一個平面內(nèi)，則該直線上所有的點都在這個平面內(nèi)。公理2:經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面。公理3:如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線。推論一：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面。推論二：經(jīng)過兩條相

8、交直線，有且只有一個平面。推論三：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行.(2)空間線線，線面，面面的位置關(guān)系：空間兩條直線的位置關(guān)系 ：相交直線一一有且僅有一個公共點；平行直線一一在同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線一一不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。相交直線和平行直線也稱為共面直線?？臻g直線和平面的位置關(guān)系：(1)直線在平面內(nèi)(無數(shù)個公共點)；(2)直線和平面相交(有且只有一個公共點)；(3)直線和平面平行(沒有公共點)它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為a ,al A, a/空間平面和平面的位置關(guān)系：(1)兩個平面平行沒有公共點；(2)兩個平面

9、相交一一有一條公共直線。5、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，那么該直線與這個平面平行。a符號表示：b a / ° 圖形表示:a / b6、兩個平面平行的判定定理: 行。ab符號表示：a I b pa/b/如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平/ 。圖形表示:7、 .直線與平面平行的性質(zhì)定理： 交，那么交線與這條直線平行。a/符號表不：aa/b。I b如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面與已知平面相圖形表木:8、兩個平面平行的性質(zhì)定理:表布:/ , I9、直線與平面垂直的判定定理: 這條直線垂直于這個平面。10、a ,

10、b ,a I b P, l.兩個平面垂直的判定定理：符號表示：l , l如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們交線的平行。a, I b a/b如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么符號表示：a, l b l一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。符號11、直線與平面垂直的性質(zhì)： 如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。符號表示：ba / b。12、平面與平面垂直的性質(zhì)：如果兩個平面互相垂直，那么在其中一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直下另一個平面。符號表示：l , I m,l m l l/13、異面直線所成角：平移到一起求平移后的夾角。直線與平面所成角：直線和

11、它在平面內(nèi)的射影所成的角。(如右圖)/H14、異面直線所成角的取值范圍是0 ,90 ；直線與平面所成角的取值范圍是0 ,90 ；二面角的取值范圍是 0 ,180 ;兩個向量所成角的取值范圍是0 ,180、直線和圓的方程1、斜率：k tan , k ()；直線上兩點P(xi，y) P2(x2，y2),則斜率為V2yiX2X12、直線的五種方程：(1)點斜式 y y k(x %)(直線l過點P(X1, y1)，且斜率為k).(2)斜截式 y kx b(b為直線l在y軸上的截距).y y x x(3)兩八'、式(P1(x1,y1) 'P2(x2,y2) ；(x1x2)、(y1y2).

12、y2y1x2X(4)截距式 1 ( ci> b分別為直線的橫、縱截距，& b 0)a b(5) 一般式AxByC0(其中AB不同日為0).3、兩條直線的平行、重合和垂直：(1)若 l1 : yk1xb ,l2:y k2xd l1 II l2k1 卜2且“豐 b2;l1與l2重合時k1 k2且bb2； l1 l2k1k21.(2)若 l1:AxB1yC10, l2: A2x1iII122電5；1ia2b2 c2B2y C2 0,且Ai、隧、Bi、B2都不為零l2AA2 B1B2 04、兩點 Pi (xi, y1)P2 (x2, y2)的距離公式PP2 = . (x2 Xi)2 (y

13、2 Yi)25、兩點 Pi (xi, y1)P2 (x2, v2的中點坐標公式M( x1 x2,yiy2)，26、點P (x。，y。)至ij直線(直線方程必須化為 一般式)Ax+By+C=0的距離公式d=lAx0 By0 ,CA 22A B7、平行直線 Ax+By+C=0、Ax+By+C=0的距離公式d= C2C122.a2b28、圓的方程：標準方程一般方程x2 y2 DxxEy2-22a y b r ,圓心a,b ,半徑為r ；D 2E 2 D 2 E 2 4F、F 0，(配萬：(x 工)(y )224_ 2_ 2D E 4F 0時，表示一個以(29、點與圓的位置關(guān)系：且)為圓心，半徑為 工

14、、廿一E1 4T的圓; 222. 2點 P(x0, Y0)與圓(x a) (y b)2 一,一，r的位置關(guān)系有三種:若 d (a %)2 (b y0)2 ,則d r 點P在圓外；d r10、直線與圓的位置關(guān)系：直線Ax By C 0與圓(x點P在圓上；da)2 (y b)2r 點P在圓內(nèi).r2的位置關(guān)系有三種2015年高中數(shù)學學業(yè)水平考試知識點大全（必修1-5）相離相交0; d r 相切 0;Aa Bb C0.其中d=% A2B211、弦長公式：若直線y=kx+b與二次曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線）相交于 由二次曲線方程A(x1，y1)B （x2, y2）兩點，則13、y=kx+max2+b

15、x+c=0(a 半 0)則知直線與二次曲線相交所截得弦長為:AB = . (x2x1)2汕y1）2=.1 k2XiyiX2y22 b2 4ac=5 k2 (12k2) (x1 x2)4x1x2空間直角坐標系，兩點之間的距離公式:xoy平面上的點的坐標的特征xozyoz x平面上的點的坐標的特征平面上的點的坐標的特征A (xB (xC (02) (y1y2)24y1y2CEA軸上的點的坐標的特征軸上的點的坐標的特征軸上的點的坐標的特征(x, 0(0, y(0, 0y 0) 0) z)0) z) z)豎坐標 縱坐標 橫坐標z=0P1P2 = C(x2-x1)2縱、豎坐標 橫、豎坐標 橫、縱坐標y=

16、0 x=0 y=z=0 x=z=0 x=y=0(丫2»)22)2必修三算法初步與統(tǒng)計：以下是幾個基本的程序框流程和它們的功能圖形符號名稱功能-11終端框（起止框）表示一個算法的起始和結(jié)束7輸入、輸出框表k個算法輸入輸出的信息處理框（執(zhí)行框）賦值、計算（語句、結(jié)果的傳送）<判斷框判斷某一條件是否成立時，在出口處標明“是”或“Y”，不成立時標明“否”或“N”11流程線連接程序框（流程進行的方向）O連接點連接程序框圖的兩部分丁 -注釋框幫助注解流程圖<>循環(huán)框程序做重復運算一、算法的三種基本結(jié)構(gòu)：（1）順序結(jié)構(gòu)（2）條件結(jié)構(gòu)（3）循環(huán)結(jié)構(gòu)二、算法基本語句：1、輸入語句：輸

17、入語句的格式：INPUT "提示內(nèi)容”；變量。2、輸出語句：輸出語 句的一般格式：PRINT "提示內(nèi)容”；表達式。3、賦值語句：賦值語句的一般格式：變量 =表達式。4、條件語句（1） “ IFTHENELSE”語句。5、循環(huán)語句：直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)“ DO-LOOP UNTIL'語句和 當型循環(huán)結(jié)構(gòu)“ WHILE- WEND三.三種常用抽樣方法：1、簡單隨機抽樣；2.系統(tǒng)抽樣；3.分層抽樣。4.統(tǒng)計圖表：包括條形圖，折線圖，餅圖，莖葉圖。四、頻率分布直方圖：具體做法如下：（1）求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）；（2）決定組頻率距與組數(shù)；（3）將數(shù)據(jù)分組；（4）

18、列喻汾布表；（5）畫頻率分布直 方 圖。注：頻率分布直方圖中小正方形的面積 =組距X頻率。2、頻率分布直方圖：|頻率=小矩形面積（注意：不是小矩形的高度）計算公式:頻率=頻數(shù)樣本容量頻數(shù)=樣本容量頻率頻率頻率=小矩形面積=組距 組距各組頻數(shù)之和=樣本容量，各組頻率之和=13、莖葉圖：莖表示高位，葉表示低位。折線圖：連接頻率分布直方圖中小長方形上端中點，就得到頻率分布折線圖。7 / 252015年高中數(shù)學學業(yè)水平考試知識點大全（必修1-5）4、刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量：平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)。在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從大到小(或從小到大)排列，處在中間位

19、置上的一個數(shù)據(jù)(或中間兩位數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的 中位數(shù)；5、刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量：極差 ，極準差，方差。(1)極差一定程度上表明數(shù)據(jù)的分散程度，對極端數(shù)據(jù)非常敏感。(2)方差，標準差越大，離散程度越大。方差，標準差越小，離散程度越小，聚集于平均數(shù)的程度 越高。(3)計算公式：萬差：s2( Xi x) 2 (X2 x) 2 L (Xn x)2n直線回歸方程的斜率為 b?,截距為夕，即回歸方程為 ？ = l?x+?(此直線必過點(X, y)o6、頻率分布直方圖：在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，方長方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和等于

20、1。五、隨機事件：在一定的條件下所出現(xiàn)的某種結(jié)果叫做事件。一般用大寫字母A,B,C表示.隨機事件的概率：在大量重復進行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率總接近于某個常數(shù)， 在它附近擺動,這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P (A)。由定義可知0WP (A) W1,顯然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是 0。1、事件間的關(guān)系：(1)互斥事件：不能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件；(2)對立事件：不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件；(3)包含：事件 A發(fā)生時事件B一定發(fā)生，稱事件 A包含于事件B (或事件B包含事件A);(4)對立一定互斥，互斥不一定對立。2、概率的加法公式：(1)

21、當A和B互斥時，事件A+B的概率滿足加法公式：P (A+B)=P(A)+P( B)(A、B互斥)(2)若事件A與B為對立事件，則 AU B為必然事件，所以 P(AU B)= P(A)+ P(B)=1 ,于是有P(A)=1 P(B).3、古典概型：(1)正確理解古典概型的兩大特點：1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等；（2）掌握古典概型的概率計算公式:p( A)事件A包含的基本事件個數(shù)mP(A)實驗中基本事件的總數(shù)n4、幾何概型：（1）幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則 稱這樣的概率模型為幾何概率模型。（2

22、）幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.（3）幾何概型的概率公式:, 、事件A構(gòu)成的區(qū)域的長度（面積或體積）P（A）5、排列：（1）、排列數(shù)公式:Am = n(n 1)(nn!一 .*m 1) =.( n , m e N,且 m n) . 0! =1(n m)實驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的長度（面積或體積）15 / 251 n (n 1)!；n); Cn0 1。(2)、全排列：n個不同元素全部取出的一個排列；Ann n! n(n 1)(n 2)3 26、組合：m Am n(n 1) (n m 1) n* 口(1)、組合數(shù)公式：Cn =

23、-m = -=( n , m e N,且mAm1 2 m m! (n m)!一、 三角函數(shù)1、弧度制：（1）、180必修四弧度，1弧度（竺0）57 18,；弧長公式：l | | r （l為 所對的弧長，r為半徑，正負號的確定：逆時針為正，順時針為負）2、三角函數(shù)：（1）、定義：sin工cosxtan義cotxrrxy3、特殊角的三角函數(shù)值:的角度030456090120135150180270360的弧度0643萬233456322sin01223321近2±2212010cos1332石 212012222<32101tan0祗31一石1工30一04、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：

24、sin2cos21 tan-itan cot 1cos5、誘導公式：（眾變橫不變，符號看象限）正弦上為正；余弦右為正；正切一三為正。sin()sincos()costan()tancot()cotsin(90)cossin(180)sincos(90)sincos(180)costan(90)cottan(180)tancot(90tancot(180)cotsin(90)cossin(180)sincos(90)sincos(180)costan(90)cottan(180)tancot(90)tancot(180)cotsin(270)cossin(360)sincos(270)sinco

25、s(360)costan(270)cottan(360)tancot( 270)tancot(360)cotsin(270)cossin(360)sincos(270)sin scos(360)costan(270)cottan(360)tancot( 270)tancot(360)cot6、兩角和與差的正弦、余弦、正切：S()：sin()sincoscos sinS():sin()sincoscos sinC():cos(a)coscossin sinC():cos(a)cos cossin sintan()）T（tan tan1 tan tanT（）：tan(tan tan1 tan ta

26、ntan+tan=tan()(1 tan tan )tan -tan = tan()(1 tan tan )7、輔助角公式：a sinb cos x a2 b2b一 sin x cos xb2a2b2_22,. a b (sin x cos.、2, 2cosx sin ) a b sin(x )8、二倍角公式：（1）、S2 : sin2 2sin cosC2 : cos2 cos2 sin21 2sin22cos21T2(2)、tan22tan1 tan2降次公式：（多用于研究性質(zhì)）sin cos2sin2sin21 cos2cos2 22 cos1 cos21-1cos22229、在 y s

27、in , y cos , y tan,y cot四個三角函數(shù)中只有y cos是偶函數(shù)，其它三個是寄函數(shù)。（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是非寄非偶函數(shù)）10、在三角函數(shù)中求最值（最大值、最小值） ；求最小正周期；求單調(diào)性（單調(diào)第增區(qū)間、單調(diào)第減區(qū) 間）；求對稱軸；求對稱中心點都要將原函數(shù)化成標準型；yAsin（x）byAcos（x）b如：再求解。yAtan（x）byAcot（x）b11、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx圖象尸'/z174| A1.匆？:“憶?. a-竽n-1 *定義 域RRxx k ,k Z 2值域1,11,1R奇偶 性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)周期 性22單

28、調(diào) 性在2k萬,2k_ (k Z)上是增函數(shù)在32 k ,2k(k Z)22上是減函數(shù)在2k,2k （k Z）上是增函數(shù)在2k ,2k （k Z）上是減函數(shù)在（k 一，k_） （k Z）22上是增函數(shù)最值當 x 2k ,k Z 時， 2ymax1當 x 2k ,k Z 時，2ymin1當 x 2k ,k Z 時，y max1當 x (2k 1) ,k Z 時，y min1無對稱 性對稱中心（k ,0） , k Z對稱軸：x k - （k Z）2對稱中心（k ,0）, 2k Z對稱軸：x k （k Z）對稱中心（k ,0）, k Z對稱軸：無12.函數(shù)y Asin x 的圖象:（1）用“圖象變換

29、法”作圖由函數(shù)y sinx的圖象通過變換得到y(tǒng) Asin(）的圖象，有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移” 法一：先平移后伸縮y sin x向左（0）或向右（ 平移 個單位0) ysin(x縱坐標變?yōu)樵瓉淼臋M坐標不變Asin(y sin x向左（0）或向右（平移 個單位0)ysin(x橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍縱坐標不變y sin ( x )法二：先伸縮后平移橫坐標變?yōu)樵瓉淼膟 sin x縱坐標不變sin向左（0）或向右（0）sin( x )縱坐標變?yōu)樵瓉淼臋M坐標不變Asin( x平移廠個單位當函數(shù)y Asin（)(A>0,0,）表示一個振動量時,振動時離開平衡位置的最大距離，通常

30、把它叫做這個振動的振幅；往復振動一次所需要A就表示這個量、2的時間 T 2015年高中數(shù)學學業(yè)水平考試知識點大全（必修1-5）12它叫做振動的周期；單位時間內(nèi)往復振動的次數(shù) f 一 一 ,它叫做振動的頻率；x 叫做相位,T叫做初相（即當x=0時的相位）。二、平面向量1、平面向量的概念：1在平面內(nèi)，具有大小和方向的量稱為平面向量.2向量可用一條有向線段來表示.有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向.3向量"的大小稱為向量的模（或長度），記作UtJlr .4模（或長度）為0的向量稱為零向量；模為 1的向量稱為單位向量.rr . 一 一 . r5與向量a長度相等且萬向相

31、反的向量稱為a的相反向量，記作 a .6方向相同且模相等的向量稱為相等向量.2、實數(shù)與向量的積的運算律：設(shè)入、科為實數(shù)，那么（1）結(jié)合律：入（科a）=（入W）a;（2）第一分配律：（入+ ）a = x a + a；（3）第二分配律：入（a b ）= x a +入b.3、向量的數(shù)量積的運算律：（1） a b = b a （交換律）；（2）（ a） b=（a b） = a b=a （b ） ；（3） （a b） c= a c + b c.4、平面向量基本定理：如果e,、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)入1、入2,使得a =入1e1 +入2 e2 .不

32、共線白向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.X1 X2,yy25、坐標運算：（1）設(shè) aX1, y,，b X2, y2，則 a b數(shù)與向量白積：入ax1, y1x1, y1 ,數(shù)量積： a b x1x2 y1y21y,Y210 a 0,0a 0, a ( a) 0X 又2y1 y22222.x,y1 . x2y2R) , a/ bx y2X2 y10(3)、P分有向線段 PP2 的：設(shè) P (x, y) , P (x1, y1),P2 (x2, y2),且 PPPE(2)、設(shè)A、B兩點的坐標分別為(xbyO ,(x2,y2),則ABx2x1,y2y1.(終點減起點)uuu uur

33、 uuu 6、平面兩點間的距離公式：(1) dA,B = |AB| VAB AB J8 x1)2 仇 y,)2fc-fc-fc-(2)向量 a 的模 |a |： | a|2aax2 y2 ；(3)、平面向量的數(shù)量積：a b a b cos ，注意:(4)、向量 ax1,y1 ,bx2, y2 的夾角，則，cos(a x1 , y 1 , b x2 , y 2 )7、重要結(jié)論：（1）、兩個向量平行：a/ b a b （2）、兩個非零向量垂直a bx1x2 y1y2 0x2x1 x2 x 2y1 y2y 13 / 2522015年高中數(shù)學學業(yè)水平考試知識點大全（必修1-5）中點坐標公式則定比分點坐

34、標公式三、空間向量1、空間向量的概念：（空間向量與平面向量相似）1在空間中，具有大小和方向的量稱為空間向量.2向量可用一條有向線段來表示. 有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向.3向量"的大小稱為向量的模（或長度），記作UtJlr .4模（或長度）為0的向量稱為零向量；模為 1的向量稱為單位向量.5與向量a長度相等且方向相反的向量稱為a的相反向量，記作a.6方向相同且模相等的向量稱為相等向量.r rr , r 、 ., 一2、實數(shù) 與空間向量a的乘積 a是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算. 當 0時，a與a萬向相同；當o時，a與a方向相反；當o時，a為零向量，記為0

35、. a的長度是a的長度的倍.3、設(shè)，為實數(shù)，a, b是空間任意兩個向量，則數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律.r rrrrr分配律：a bab ；結(jié)合律：aa.則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)4、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合, 定零向量與任何向量都共線.5、向量共線的充要條件：對于空間任意兩個向量r rrb b 0 , a / b的充要條件是存在實數(shù)，使21 / 25a b.6、平行于同一個平面的向量稱為共面向量.7、向量共面定理：空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對X,UUUUULTXuuury C ;或?qū)臻g任一定點uurUUITULITyuuurC ；或若四點uu

36、u共面，則uuur xuuruulty z C x8、已知兩個非零向量r 一. ,、一 一 ,a和b,在空間任取一點的夾角，記作ra,b.兩個向量夾角的取值范圍是:rr a9、對于兩個非零向量a和b ,右a,buuura,buur0,r -10、已知兩個非零向量a和cos a,b一 ，一 r稱為向重arb互相垂直，記作一 , r稱為arb的數(shù)量積a b cos a, b .零向量與任何向量的數(shù)量積為0.r11、 ab等于a的長度a與b在a的方向上的投影 b cos a,b的乘積.12、若r .一，一 r、. 一 . r r rb為非零向量，e為單位向量，則有1 e a aa cos a,e ；

37、b a與b同向a與b反向a2,4 cosa,br r a b13、量數(shù)乘積的運算律:a br14、空間向量基本定理:若三個向量c不共面,則對空間任一向量r p ,存在頭數(shù)組x, y, z ,-r r使得p xar yb“，-r15、三個向量ac不共面,則所有空間向量組成的集合是p p xar ybr zc,x,y,zr .這個集合可看作是由向量a, b,生成的,r r r ,j人 a,b,r稱為空間的一個基底,a, b, c稱為基向量.空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底.16、設(shè)0 , 62 , e3為有公共起點的三個兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽换祝﹊re3的公共起點為

38、原點，分別以irei ,e2 , q的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系 xyz.則對于空間任意一個向量定可以把它平移，使它的起點與原點重合，得到向uur r量 p .存在有序?qū)崝?shù)組x, y, zr ir ur ir,使得 pxeiye2zqr.把x , y , z稱作向重p在單位正交基底e , e2, q下的坐標，記作x, y,z .此時，向量rp的坐標是點在仝間直角坐標系xyz中的坐標 x, y, z .17、2r設(shè) aX1, yi, zX2,Xi X2, yi y2,zr ry2,z2 ，則 1 a bx x2,3 V2Z z2z22015年高中數(shù)學學業(yè)水平考試知識點大全（

39、必修1-5）i7 / 25Xi,yi, zi X1X2V1V2Z1Z2rb為非零向量，則rb 0x1x2 y1y2 ziz2 0 XiX2,yi丫2,4Z2.2yi2Zicosa,b,Xr r a bX1X22 yiyy2Z1Z222y2Z2Xi,yi,Zi ,X2, y2ZX2Xiy22yiZ218、若空間不重合兩條直線 a , b的方向向量分別為a/br ra/brrabR ,異面垂直時i9、若空間不重合的兩個平面的法向量分別為則/r ra/b20、2i、直線l垂直rr _ ,取直線l的方向向量a,則向量a稱為平面的法向量.22、法向量的定義：垂直于平面或者垂直于線的向量(方向不管)若直線

40、a的方向向量為r _.一，一，ra,平面的法向量為n,且r r ranar r a/nO,則 a/ rn .a法向量的計算方法已知AB(Xi, yi , Zi ), AC(X2,y2, Z2)，設(shè)面平ABC的一個法向量為n (x,y,z),由n上面ABC得所以：nAB,nAC ；所以n ? AB 0n ? ACxxiyyiZ40XX2 yy2ZZ20上面兩個方程，要解三個未知數(shù)，為了計算方便，取 個數(shù)，可求出另兩個未知數(shù)，得出平面的一個法向量。z (或x或y)等于方法二：若AB(Xi, yi, Zi), AC (X2, y2,Z2),則平面ABC的一個法向量為：n AB ACyizi Izi(

41、y2 z2 , z2xi IxiX2 , X2yi)平=(yiz2-y2zi,ZiX2-Z2Xi, Xiy2-X2yi)立體幾何中的向量方法距離問題、求點到平面的距離i.（一般）傳統(tǒng)方法：利用定義先作出過這個點到平面的垂線段, 再計算這個垂線段的長度；2 .還可以用等積法求距離；3 .向量法求點到平面的距離在Rt PAO中,sin d | AP | sinI API又sin| AP n |I APIInl| AP n |d J（其中AP為斜向量，n為法向量）I n I二、直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為點到線的距離：IAP nId J1 （其中AP為斜向量，n為法向量） I n I三、平面到平面的距離也

42、是轉(zhuǎn)化為點到線的距離：I AP n Id J'（其中AP為斜向量，n為法向量） In I四、異面直線的距離如圖，異面直線也是轉(zhuǎn)化為點到線的距離：IAP nIIn I（其中AP為兩條異面直線上各取一點組成的向量,n是與a,b都垂直的向量）例i.如圖，在正方體 ABCD ABiCiDi中，棱長為i, E為CiDi的中點，求下列問題:（i） 求B1到面AiBE的距離;解：如圖，建立空間直角坐標系1AE ( 1,2,0), A1B(0,1,1),設(shè)n (x, y, z)為面A1 BE的法向量A1E0A1B01y202,z 2,n (1,2,2)選點B1到面A1BE的斜向量為AB1(0,1,0)

43、得點B1到面 A BE的距離為dIA1B1 n|In I(2)求D1c到面A1BE的距離;解：由(1)知平面A1BE的法向量(1,2,2)斜向量 D1A1(1,0,0)點D1到面A1BE的距離為d|DA n|求面A1DB與面D1CB1的距離;解：由圖知平面ABD的法向量為nAC1(1,1,1)又斜向量D1A (1,0,0)zA點D1到面A1BD的距離為dID1A1 n|s-n即面A BD與D1cBi的距離為(4)求異面直線 DB與A1E的距離.解：如圖建立空間直角坐標系Dxyz則D1(0,0,1), B(1,1,0),A(1,0,1),E(0,1,1)12AE ( 1,1,0),D1B (1,

44、1, 1)設(shè)n (x, y, z)是與A1E,D1 B都垂直的向量,2015年高中數(shù)學學業(yè)水平考試知識點大全(必修1-5)31 / 25n A1En D1By 2x，取x 1,得一個法向量為 n (1,2,3)z 3x選AE與BD1的兩點向量D1A(1,0,0)得A1E與BD1的距離為d練習1：|DA n|n I,14141.如圖在直二棱柱 ABCA1B1cl 中，AC BC 1,ACB 90 , AA1 J2 ,求點 B1 到面 A1BC的距離.DAiCi和平面ABiC間的距離2.已知棱長為1的正方體 ABCDA1B1C1D1 ,求平面Cic3.已知棱長為1的正方體 ABCDA1B1C1D1

45、 ,求直線DAi和AC間的距離。CiC4.已知棱長為1的正方體 ABCDAB1C1D1中，E、F分別是B1C1和C1D1的中點，求點 A1到平面DBEF的距離。5.如圖在直二棱柱ABCAB。中，AC BC6.在直三棱柱 ABC AB1cl 中，A 90 , O,O1,G分別為 BC,BiCi,AA的中點，且AB AC AAi 2 .（1）求Oi到面ACBi的距離；（?）（2）求BC到面GBiCi的距離.（運）3立體幾何中的向量方法空間角問題空間的角主要有：異面直線所成的角；直線和平面所成的角；二面角.(1)求異面直線所成的角b的方向向量，則兩異r ragb .=arccos| r 行 |a|b

46、|一 r r 一 一- .一r_.一n是平面的法向量,r r= arcsin| rlgr |1111n|設(shè)a、b分別為異面直線a、面直線所成的角(2 )求線面角r 一 設(shè)l是斜線l的方向向量，則斜線l與平面所成的角(3 )求二面角,rr法一、在內(nèi)a 1 ,在內(nèi)b 1 ,其方向如圖，則二r r面角 1的平面角=arccos tagr|a|b|一 ur uu法二、設(shè)n,n2,是二面角1的兩個半平面的法 量，其方向一個指向內(nèi)側(cè)，另一個指向外側(cè)，則二ur uu角 1 的平面角 =arccos- U|ni m |例1.如圖，在棱長為2的正方體ABCD ABCQi中，E、F分別是棱ADi,AB的中占I 八

47、、(I)求異面直線DE與FCi所成的角；(II)求BCi和面EFBD所成的角;(III )求B到面EFBD的距離2015年高中數(shù)學學業(yè)水平考試知識點大全(必修1-5)解：(I)記異面直線DE與FCi所成的角為uuur lulu則等于向重DE與FC1的夾角或其補角,37 / 25cosUUULT| (DD 1uu ur uuuurDE gFC 1,uuuruuuur |I DE |g|FC 1 |uuuuruuurD 1E )g(FB 1uuuruuuuUUULTBiC 1)I DE |g| FCarccos(II)如圖建立空間坐標系Dr r UUr則DEuuur(1,0,2) , DB (2,2,0)設(shè)面EFBD的法向量為rn (x, y,1)uurDE 由 uuurDBr n r nruuur得 n ( 2,2,1)又 BC1(2,0,2)記BCi和面EFBD所成的角為uuuu rLLUL r , , BC1 n ,