j圓周運動2-藍(lán)背景

1、sincosryrx 本節(jié)討論一種典型的曲線運動本節(jié)討論一種典型的曲線運動圓周運動，對于圓周運動，對于圓運動，一般使用平面極坐標(biāo)圓運動，一般使用平面極坐標(biāo)(r,)和自然坐標(biāo)系和自然坐標(biāo)系(?)。如圖：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的換算關(guān)系為：如圖：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的換算關(guān)系為：Arxyo1-4-2圓周運動圓周運動一一.圓周運動圓周運動(circular motion)的角速度、角加速度的角速度、角加速度如右圖如右圖t 質(zhì)點在質(zhì)點在XOY平面上做半平面上做半徑為徑為r的圓周運動。的圓周運動。1、平均角速度：在、平均角速度：在 t時間內(nèi)，從時間內(nèi)，從A點運動到點運動到B點，與點，與X軸軸的夾角從的夾角從 變?yōu)?/p>

2、變?yōu)?+ ，平均角速度，單位為弧度每秒平均角速度，單位為弧度每秒rad s-1。2、角速度：當(dāng)、角速度：當(dāng) t0時，平均角速度的極限值就是角速度時，平均角速度的極限值就是角速度tttddlim0 即為圓運動的角速度，其單位為弧度每秒即為圓運動的角速度，其單位為弧度每秒rad s-1。 3、速率與角速度的關(guān)系：在、速率與角速度的關(guān)系：在 t時間內(nèi)，質(zhì)點從時間內(nèi)，質(zhì)點從A點運動到點運動到B點，所經(jīng)過的弧長為點，所經(jīng)過的弧長為 s=r ，則當(dāng)，則當(dāng) t0時，時， s/ t的極的極限值為：限值為：trtstt 00limlim rv即即trtsdddd 即即t 單位為單位為rad s-2。tttddl

3、im0 單位為弧度每秒單位為弧度每秒rad s-2。 5、角加速度、角加速度 ：當(dāng)：當(dāng) t0時，平均角加速度的極限值就時，平均角加速度的極限值就是角加速度。是角加速度。4、平均角加速度、平均角加速度 ：在：在 t時間內(nèi)，質(zhì)點從時間內(nèi)，質(zhì)點從A點運動到點運動到B點，角速度從點，角速度從 變?yōu)樽優(yōu)?+ ， 為討論圓周運動的加速度，引入為討論圓周運動的加速度，引入自自然坐標(biāo)系然坐標(biāo)系：切向：質(zhì)點前進的方向切向：質(zhì)點前進的方向法向：與切向垂直，指向法向：與切向垂直，指向曲線凹的一面。曲線凹的一面。teneP單位矢量。分別是沿法向和切向的tnee,11tnee單位矢量的方向是變化的單位矢量的方向是變化的

4、tevetvttdddd 二二. 圓周運動的加速度圓周運動的加速度1、切向加速度、切向加速度(tangential acceleration)由速度大小的變化引起的，方向由速度大小的變化引起的，方向為切向單位矢量的方向，故為切向單位矢量的方向，故被稱被稱為切向加速度為切向加速度，以，以 表表 示示ta由沿速度方由沿速度方向單位矢量向單位矢量的變化引起的變化引起的的 v 質(zhì)點做圓周運動時，它在每一點的速度質(zhì)點做圓周運動時，它在每一點的速度 方向都是方向都是沿著該點運動的切線方向，利用自然坐標(biāo)系表示。沿著該點運動的切線方向，利用自然坐標(biāo)系表示。tvadd tevtd)d( 利用角量與線量的關(guān)系得：

5、利用角量與線量的關(guān)系得：ttttteretretretva dddd(dd）切向加速度表示為：切向加速度表示為：ttetvadd 切向加速度的大小表示為：切向加速度的大小表示為： rtrtrtvat 22dddddd rtrtrtvat 22dddddd？ rtrtrtvat 22dddddd不一定大于零，但 v0vd,2法向加速度法向加速度(normal acceleration)如圖：如圖：12vvv 弦弦長長）弧弧長長 (1 te在在 t時間內(nèi)，時間內(nèi)，速度增量為：速度增量為：12ttteee 切向單位矢量的增量為：切向單位矢量的增量為：當(dāng)當(dāng) t0時，時， 0， 方向趨于與方向趨于與 垂

6、直。也即與垂直。也即與 垂垂直，并且指向圓心，在沿徑矢而且指向圓心的方向上取直，并且指向圓心，在沿徑矢而且指向圓心的方向上取單位矢量為單位矢量為 ， 稱為法向單位矢量，則有：稱為法向單位矢量，則有： nenete 1te1vro1v1 te2v2te1 te2teteontn0tt0tetddtdedetlimtelim 即：即：ntetvtevdddd nnetvadd rvt dd和和2222 rrvaerverannnn 和和故故na方向是垂直于切向的，故該加速度稱為方向是垂直于切向的，故該加速度稱為法向加速度法向加速度，用，用 表示，也稱為向心加速度（表示，也稱為向心加速度（centr

7、ipetal acceleration) 。即：即：1 te2teten2tn2tntererervetvaadtvdadd2y2x21222212n2taarvtvaaaa)()dd()(大小為： 質(zhì)點做變速率圓周運動時，其加速度可以表示為質(zhì)點做變速率圓周運動時，其加速度可以表示為兩個兩個互相垂直的互相垂直的分矢量和：分矢量和：夾角為加速度與速度方向的，方向為：tnaatga同一質(zhì)點的加速度無論同一質(zhì)點的加速度無論在直角坐標(biāo)還是自然坐在直角坐標(biāo)還是自然坐標(biāo)中總加速度標(biāo)中總加速度 a 只能是只能是一個值。一個值。(一例）一例）2t2y2x2t2naaaaaa有時上式變形：例.由樓窗口以水平初速

8、度由樓窗口以水平初速度 射出一發(fā)子彈，取槍口為射出一發(fā)子彈，取槍口為原點，沿原點，沿 方向為方向為x軸，豎直向下為軸，豎直向下為y軸，并取發(fā)射時軸，并取發(fā)射時刻刻t為為0，試求：，試求： (1) 子彈在任一時刻子彈在任一時刻t的位置坐標(biāo)及軌跡方程；的位置坐標(biāo)及軌跡方程； (2) 子彈在子彈在t時刻的速度，切向加速度和法向加速度時刻的速度，切向加速度和法向加速度 0v0v解（1）22202y2xtgvvv v(2)方向為：與x軸夾角 = tg-1( gt /v0) 與 同向 22202/ddtgtgtatvvvta222002/122/tggagatnvv方向與 垂直 202/21vgxy 20

9、21,gtytvx 3 3、當(dāng)質(zhì)點做一般的曲線運動時，、當(dāng)質(zhì)點做一般的曲線運動時， 和和 的表達(dá)式仍的表達(dá)式仍可以使用，只需把半徑可以使用，只需把半徑r換為曲率半徑換為曲率半徑 ，即把一段足，即把一段足夠小的曲線看成是一段圓弧，則包含這段圓弧的圓周夠小的曲線看成是一段圓弧，則包含這段圓弧的圓周就稱為曲線在該點的曲率圓，曲率圓的半徑就是曲率就稱為曲線在該點的曲率圓，曲率圓的半徑就是曲率半徑半徑 。 natagvggcos;cos;sin2 例例.以一定速度斜向上拋出一個物體，忽略空氣阻力，當(dāng)物體以一定速度斜向上拋出一個物體，忽略空氣阻力，當(dāng)物體的速度的速度 與水平面的夾角為與水平面的夾角為 時時

10、，它的切向加速度大小它的切向加速度大小at=_，法向加速度，法向加速度an=_，該點的曲率半，該點的曲率半徑徑 = 。v 2van tvatdd sdd 又又d = dt，若，若t=0時，時， = 0，則有：，則有： = 0+ t三三.勻速率圓周運動和勻變速率圓周運動勻速率圓周運動和勻變速率圓周運動（自學(xué)）（自學(xué)）1、 勻速率圓周運動勻速率圓周運動(uniform circular motion)：用線量描述：速率用線量描述：速率v=恒量恒量 切向加速度切向加速度=0法向加速度法向加速度=r 2=v2/r=恒量恒量nnnerveraa22 即勻速率圓周運動的加速度為：即勻速率圓周運動的加速度為

11、：用角量描述：角速度角量描述：角速度 為常量，角加速度為為常量，角加速度為0與勻速直線運動對應(yīng)與勻速直線運動對應(yīng)(x=x0+vt) )2(t21tt020220002、勻變速率圓周運動：、勻變速率圓周運動： 角加速度角加速度 =常量，常量，切向加速度切向加速度at=r =常量，常量，法向加速度法向加速度an=r 2=v2/r是一個變量是一個變量ntntntererervetvaaa22dd 故勻變速率圓周運動的加速度為：故勻變速率圓周運動的加速度為：若t=0時，=0，=0，則由和的定義得：這與勻變速直線運動這與勻變速直線運動的公式是相似的的公式是相似的。判斷正誤：判斷正誤：nntnnnttev

12、aaaaevaea 2234討討 論論 對于作曲線運動的物體，以下幾種說法中哪對于作曲線運動的物體，以下幾種說法中哪一種是正確的：一種是正確的： （A）切向加速度必不為零；）切向加速度必不為零； （B）法向加速度必不為零（拐點處除外）；）法向加速度必不為零（拐點處除外）； （C）由于速度沿切線方向，法向分速度必為）由于速度沿切線方向，法向分速度必為零，因此法向加速度必為零；零，因此法向加速度必為零； （D）若物體作勻速率運動，其總加速度必為）若物體作勻速率運動，其總加速度必為零；零； （E）若物體的加速度）若物體的加速度 為恒矢量，它一定作為恒矢量，它一定作勻變速率運動勻變速率運動 .a二階導(dǎo)

13、數(shù)為零二階導(dǎo)數(shù)為零例例1、一質(zhì)點在、一質(zhì)點在oxy平面內(nèi)作曲線運動，其加速度是平面內(nèi)作曲線運動，其加速度是時間的函數(shù)。時間的函數(shù)。 已知已知ax=2, ay =36t2。 設(shè)質(zhì)點設(shè)質(zhì)點t0時時r0=0,v0=0。求：求：(1)此質(zhì)點的運動方程；此質(zhì)點的運動方程；(2)此質(zhì)點的此質(zhì)點的軌道方程，軌道方程，(3)此質(zhì)點的切向加速度此質(zhì)點的切向加速度。 dd , dtdv)1(xtvaayyx dttdvdtdvyx236 ,2 tvytvxttvtvyx02000d36d ,d2djti tv3122 12 , 23tvtvyx tyvtxvyxdd , dd ttyttxd12d ,d2d3 tytxttyttx03000d12d ,d2d423 ,tytx jtitrtytx42423 3 , 所以質(zhì)點的運動方程為：所以質(zhì)點的運動方程為：(2)上式中消去上式中消去t,得得y=3x2即為軌道方程?？芍菕佄锞€。即為軌道方程