幼龜性別比與孵化溫度模型

1、幼龜性別比與孵化溫度模型幼龜性別比與孵化溫度模型摘 要本文通過對3批烏龜?shù)胺趸^程雄龜性別與溫度之間數(shù)據(jù)的分析與處 理，參照統(tǒng)計回歸模型，建立幼龜性別比與孵化溫度模型，并對模型進(jìn)行了求 解和推廣。對于問題 ，以溫度為自變量，孵化出的雄龜所占比例為因變量，因為因變量不是連續(xù)變量，回歸分析不適用，而應(yīng)建立logit模型。通過Matlab統(tǒng)計工具箱中的命令glmfit對logit模型右端的關(guān)于溫度線性函數(shù)進(jìn)行相關(guān)參數(shù)求 解，并得出該模型的擬合程度。擬合偏差為14.8629，建立的模型實用性不強(qiáng)，需對模型進(jìn)行改進(jìn)。在logit模型的右端加入自變量溫度的二次項，重復(fù)以上 過程，直到擬合程度數(shù)值較小，與實

2、際數(shù)據(jù)相差較小。當(dāng)加入自變量溫度的五 次項時，誤差為 1.90911017，所建立的模型較為符合題目要求。 在已建立logit模型基礎(chǔ)上，根據(jù)題目要求自變量的值為0.5，將此值代入模型中，反解出溫度的值為27.6C,即為雌雄比例1:1的溫度值。對于問題，在問題(1)的模型基礎(chǔ)上,建立odds函數(shù)模型，odds是雄性 烏龜?shù)臄?shù)目與雌性烏龜?shù)臄?shù)目的比，并將logit模型用odds函數(shù)表示。溫度升 高1C時，雄性烏龜?shù)臄?shù)目與雌性烏龜?shù)臄?shù)目比為一個指數(shù)函數(shù)， 隨溫度的升高， 雄性比例也在不斷提高，最后趨近于1。該模型還可以推廣到受烏龜?shù)胺趸^程溫度影響的因變量是多分類指標(biāo)變 量時，采用多分類logit

3、模型對模型進(jìn)行求解，對研究烏龜?shù)胺趸^程具有重要 的指導(dǎo)意義和實用價值。關(guān)鍵詞統(tǒng)計回歸模型;logit模型；odds函數(shù)一、問題重述自然界中的生物有的有雌雄之分， 有的生物則是雌雄同體， 性別是由哪些 因素決定的呢？不同的生物決定因素不同，人類的性別由x染色體和y染色體決定的，而植物的性別決定因素更加復(fù)雜，植物的在同一多花上既有雄蕊也有 雌蕊的則是雌雄同體，哺乳動物的性別決定因素與人類一樣，都是由基因決定 的，兩棲類的動物如甲殼蟲，烏龜?shù)男詣e則受環(huán)境因素的影響，科學(xué)研究表明， 決定幼龜性別的最關(guān)鍵的因素是烏龜?shù)胺趸瘯r的溫度。為了研究溫度是如何影 響幼龜?shù)拇菩郾壤?，美國科學(xué)家對某一類烏龜?shù)姆趸^

4、程作了實驗。實驗在5個不同的恒定溫度下進(jìn)行，每個溫度下分別觀察3批烏龜?shù)暗姆趸^程，得到數(shù)據(jù)如下：溫度/C烏龜?shù)皞€數(shù)雄龜個數(shù)雌龜個數(shù)雄龜比例27.2101910%8080%91811%.127.7107370%64266.7%86275%28.313130100%96366.7%87187.5%28.4107370%95362.5%87277.8%29.91110190.9%880100%990100%請根據(jù)數(shù)據(jù)建立幼龜性別比和孵化溫度之間的logit模型，并求解出在孵化溫度多大時，孵化出幼龜?shù)男詣e比恰好為1:1。(2)分析溫度每升高仁C,幼龜?shù)男詣e的變化情況。二、問題分析對于問題 ，以溫度為

5、自變量，孵化出的雄龜所占比例為因變量，隨著溫 度的升高，若雄龜所占的比例呈線性增長趨勢，則建立線性回歸模型，因為因 變量不是連續(xù)變量，回歸分析不適用，而應(yīng)建立logit模型，首先令logit模型的右端為關(guān)于溫度線性函數(shù)，通過Matlab軟件對相關(guān)參數(shù)進(jìn)行求解，并得出 該模型的擬合程度，若擬合程度數(shù)值較小，則說明擬合程度好，符合實際情況， 否則，在logit模型的右端加入自變量溫度的二次項，重復(fù)以上過程，直到擬 合程度數(shù)值較小，與實際數(shù)據(jù)相差較小。在建立logit模型基礎(chǔ)上，根據(jù)題目要求自變量的值為0.5，將此值代入模型中，反解出溫度的值，則為雌雄比例1:1的溫度值。對于問題，在問題(1)的模型

6、基礎(chǔ)上，建立odds函數(shù)模型，odds為時間 發(fā)生的概率與不發(fā)生的概率之比，在該題中則是雄性烏龜?shù)臄?shù)目與雌性烏龜?shù)?數(shù)目的比，并將logit模型用odds模型表達(dá)，分析當(dāng)溫度升高一度時，odds函 數(shù)值的變化，貝U為雄性烏龜與雌性烏龜數(shù)目的比值變化。三、模型假設(shè)通過建立幼龜性別與孵化溫度之間的logit模型來研究孵化溫度對幼龜性別的影響，為了簡化問題，現(xiàn)作出以下假設(shè)：(1)這15批烏龜?shù)岸际仟毩⑦x取的；(2)不考慮日照，濕度，孵化時長等因素的影響；四、符號表示符號意義T烏龜?shù)胺趸臏囟菴(T)雄龜?shù)谋壤齥烏龜?shù)胺趸瘯r分成k組Ti第i組的溫度第i組的烏龜?shù)皵?shù)目mi第i組的雄性烏龜數(shù)目odds(T

7、)溫度為T時，雄性比與雌性比的概率之比五、模型建立與求解通過對題目中數(shù)據(jù)的分析，表中數(shù)據(jù)已將被觀察的烏龜?shù)鞍礈囟确殖闪宋?組，并統(tǒng)計了每個溫度下的雄幼龜?shù)臄?shù)目，及雄幼龜所占總數(shù)的比例，下面將 根據(jù)數(shù)據(jù)建立烏龜性別與孵化溫度之間的logit模型5.1logit模型的建立為考察雄性烏龜?shù)谋壤c溫度的關(guān)系，首先根據(jù)題目中的表格數(shù)據(jù)用Matlab軟件作出雄烏龜?shù)谋壤龑Ω鳒囟鹊纳Ⅻc圖，見圖1。式反函數(shù)寫為ln1 C(T)或logistic回歸模型。當(dāng) C(T)在0,1取值時，logit(C(T)取值為(，5.2模型的求解logit模型是一種廣義線性模型，可利用Matlab統(tǒng)計工具箱中的命令glmfit求

8、解。求解程序見附錄中的程序1，執(zhí)行程序后得到logit模型中的參0.Gns從圖1可以看出，雄龜比例隨著溫度的升高而增大，為了尋求雄龜比例 C(T) 與溫度T之間的函數(shù)關(guān)系，并注意到 C(T)在0,1型。區(qū)間取值,可以建立logit模-0 1TC(T)reiT式左端可看作 C(T)的變換，記作 logit(C(T)，稱為logit模型220.5圖1雄龜比例對溫度的散點圖數(shù)0 1，的最大似然估計值與它的標(biāo)準(zhǔn)差(見表1)，擬合偏差為14.8629，擬 合偏差過大，所以可以考慮在模型 后加上 T2，T3,T4,T5四項，即為：0iT2T23T34T5同利用Matlab統(tǒng)計工具箱中的命令glmfit1.

9、9091 1017參數(shù)的估計值由表給出:表1模型參數(shù)的估計結(jié)果參數(shù)參數(shù)估計值001172902-243203129043050用glmval畫出logistic回歸曲線圖形，如圖2給出了logistic回歸曲線 與散點圖。圖2 logistic回歸曲線 與散點圖利用glmval命令還可以給出自變量為T時因變量C的預(yù)測值以及置信度為95%的置信區(qū)間，結(jié)果如表2。表2雄性烏龜?shù)念A(yù)測值與預(yù)測區(qū)間求解，擬合偏差值為溫度/C龜個烏蛋數(shù)雄龜個數(shù)雄龜比例預(yù)測值c仃)置信區(qū)間27.22720.07400.70410.0109,127 724170 70830.70830.2798,128.330260.866

10、70.86670.3879,128.42719 10.7037 1 0.70370.1228,129.92827 10.9642 1 0.9643:0.0138,1針對問題(1),當(dāng)幼龜?shù)男詣e比例為1:1時，C(T)的值為0.5，代入 式可 得此時的溫度，舍去第一個溫度，所以當(dāng)孵化溫度為29.8C,28.5C,27.6C,27.0C時，孵化出的幼龜性別比恰好為1:1，雄性龜和 雌性龜數(shù)目相同。針對問題(2)，雄性烏龜?shù)臄?shù)目與雌性烏龜?shù)臄?shù)目比為odds(T)C(T)1 C(T)(3)于是logit模型可表示為TT2T3odds(T) e0 1T 2T 3丁4T 45T5(4)當(dāng)溫度升高1C時，o

11、dds比為oddST 1) e0 1(T 1) 2(T 1f3(T 1)34(T1)45(T 1)5oddST)e0 1T 2T23T34T45T5(5)分析(5)式可知雄性烏龜?shù)臄?shù)目與雌性烏龜?shù)臄?shù)目比為一個指數(shù)函數(shù)，隨溫度的 升高，雄性比例也在不斷提高，最后趨近于1。六、模型評價與推廣6.1模型評價在建立logit模型前，先進(jìn)行了數(shù)據(jù)的預(yù)處理，數(shù)據(jù)預(yù)處理是將被觀察者 按年齡段進(jìn)行分組，并統(tǒng)計各溫度下的雄性烏龜個數(shù)，及雄龜數(shù)目占該溫度下 烏龜總數(shù)的比例，為建立模型提供了數(shù)據(jù)支持，提高建模效率，logit模型相對于線性回歸模型來說，更符合概率在0,1區(qū)間取值的實際情況。Logit模型是一種廣義線

12、性模型，模型求解時運用了Matlab統(tǒng)計工具箱中的命令glmfit求解，使得參數(shù)求解和標(biāo)準(zhǔn)差求解更加便捷，并用glmval命令求出置信度為95%的置信區(qū)間，使預(yù)測值更具有說服力6.2模型推廣因變量是定性變量的回歸分析作為一種有效的數(shù)據(jù)處理方法已被廣泛應(yīng)用，尤其在醫(yī)學(xué)、社會調(diào)查、生物信息處理等領(lǐng)域。本文所建立的模型是只有 一個自變量的情形，對多個自變量Xi,K ,xm的情形，logit模型一般形式為:其中 Xi,K ,Xm可以是數(shù)值變量，也可以是分類變量，其分析與處理方式類似于本 文中的情形。另外，當(dāng)因變量是多分類指標(biāo)變量時，可以采多分類logit模型參考文獻(xiàn)1姜啟源,數(shù)學(xué)模型,北京：高等教育出版社，2005.附錄程序 1x=27.2,27.7,28.3,28.4,29.9;Chd=2,17,26,19,27;Total=27,24,30,27,28;logit(x)=ln(x)1(x)m0ixii 1y=Chd./Total;b,dev,stats=glmfit(x x.A2 x.A3 x.A4 x.A5,Chd Total, binomial, logit );0.80.2 丁=27.2,27吊2